1.已知復(fù)數(shù)z滿足z(1?i)=|1+i|2，則z=( )
A. 1?iB. 1+iC. ?1?iD. ?1+i
2.下列說法正確的是( )
A. 空間中兩直線的位置關(guān)系有三種：平行、垂直和異面
B. 若空間中兩直線沒有公共點(diǎn)，則這兩直線異面
C. 和兩條異面直線都相交的兩直線是異面直線
D. 若兩直線分別是正方體的相鄰兩個面的對角線所在的直線，則這兩直線可能相交，也可能異面
3.已知a,b,c均為單位向量，且2a=3b+4c，則a與b的夾角的余弦值為( )
A. 13B. ?13C. 14D. ?14
4.氈帳是蒙古族牧民居住的一種房子，內(nèi)部木架結(jié)構(gòu)，外部毛氈圍攏，建造和搬遷都很方便，適合牧業(yè)和游牧生活.如圖所示，某氈帳可視作一個圓錐與一個圓柱的組合體，下半部分圓柱的高為2.5米；上半部分圓錐的母線長為2 3米，軸截面(過圓錐軸的截面)是面積為3 3平方米的等腰鈍角三角形，則建造該氈帳(不含底面)需要毛氈( )平方米．
A. (6 3+15)πB. (5 3+6)πC. (12 3+15)πD. (10 3+6)π
5.設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的向量分別為OZ1,OZ2,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且z1=? 2+ 2i，若把OZ1繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)3π4，把OZ2繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)4π3，所得兩向量的終點(diǎn)重合，則z2=( )
A. 1? 3iB. ?1+ 3iC. 3?iD. ? 3+i
6.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c,B=π6,c=6，若△ABC有兩解，則b的取值范圍是( )
A. (3,6)B. (3 3,6 3)C. (3 3,6)D. (3,6 3)
7.如圖，在四邊形ABCD中，AD⊥CD，∠BAD=∠BCD=π3，AB=8，AD=16，點(diǎn)E在邊AD上，且BE⊥AD，點(diǎn)F為邊BC(含端點(diǎn))上一動點(diǎn)，則DF?EF的最小值為( )
A. 36
B. 39
C. 45
D. 48
8.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cb+2bc=3csA，1tanA+1tanC=2tanB，則sinB=( )
A. 64B. 105C. 156D. 217
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.設(shè)z，z1，z2是復(fù)數(shù)，則( )
A. 若|z|=2，則z2=4B. 若z1=z2?，則z2=z1?
C. 若z2≠0，則|z1z2|=|z1||z2|D. 若z+z?=0，則z為純虛數(shù)
10.對非零向量a,b，定義運(yùn)算“(?)”：a(?)b=|a|csθ+|b|sinθ，其中θ為a與b的夾角，則( )
A. 若a/?/b，則|a(?)b|=|a|
B. 若a=(?1,2),b=(?3,1)，則(a?b)(?)a= 5
C. 若Rt△ABC中，C=π2,AC=2,BC=1，則AB(?)AC=2 53
D. 若△ABC中，AB(?)BC=BC(?)AB=0，則△ABC是等腰三角形
11.已知正四棱錐O?ABCD的底面邊長為 6，高為3，則( )
A. 若點(diǎn)P為正四棱錐O?ABCD外接球的球心，則四棱錐P?ABCD的體積為4
B. 直徑為1的球能夠整體放入正四棱錐O?ABCD內(nèi)
C. 若點(diǎn)M在底面內(nèi)(包含邊界)運(yùn)動，N為OD中點(diǎn)，則當(dāng)MN/?/平面OBC時，點(diǎn)M的軌跡長度為 6
D. 若以點(diǎn)O為球心， 2為半徑的球O的球面與正四棱錐O?ABCD的棱OA，OB，OC，OD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，則四邊形EFGH的面積為1
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.如圖，已知△A′B′C′是水平放置的△ABC用斜二測畫法畫出的直觀圖，A′B′在x′軸上，B′C′與x′軸垂直，且B′C′=4，則△ABC的邊AB上的高為______．
13.如圖，為測量武漢防汛紀(jì)念碑AB的高度及取景點(diǎn)C與F之間的距離(B,C,D,F在同一水平面上，雕像垂直該水平面于點(diǎn)B，且B，C，D三點(diǎn)共線)，華中師大一附中研究性學(xué)習(xí)小組同學(xué)在C，D，F(xiàn)三點(diǎn)處測得頂點(diǎn)A的仰角分別為60°，30°，45°，若∠FCB=45°，CD=50米，則紀(jì)念碑的高度為______米，取景點(diǎn)C與F之間的距離為______米.
14.已知平面非零向量a,b和單位向量e，若a與e的夾角為π3,b3?e與b5?e的夾角為π4，則|a?b|的最小值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知復(fù)數(shù)z滿足z+i和z2?i均為實(shí)數(shù)．
(1)求復(fù)數(shù)z；
(2)若z1=z?+1m+(m2+m?3)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
16.(本小題15分)
已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，且6S=a(b+c)．
(1)若sinB=23，求csA；
(2)若a=3,A=π3，求S．
17.(本小題15分)
如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=3BC，點(diǎn)E為邊AD上靠近點(diǎn)A的六等分點(diǎn)，F(xiàn)為CD中點(diǎn)．
(1)用AB,AD表示EF；
(2)設(shè)G為AB中點(diǎn)，P是線段AG(不含端點(diǎn))上的動點(diǎn)，DP交EF于點(diǎn)M，若EM=λEF，AP=μAB，求3λ2+21+μ的取值范圍．
18.(本小題17分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為梯形，其中AD//BC，且AD=2BC，點(diǎn)E為棱PD的中點(diǎn)．
(1)求證：CE/?/平面PAB；
(2)若M為CE上的動點(diǎn)，則線段AD上是否存在點(diǎn)N，使得MN/?/平面PAB？若存在，請確定點(diǎn)N的位置，若不存在，請說明理由；
(3)若PA=PB=PC=AD=10，CD=12，請?jiān)趫D中作出四棱錐P?ABCD過點(diǎn)B，E及棱AD中點(diǎn)的截面，并求出截面周長．
19.(本小題17分)
為提升城市景觀面貌，改善市民生活環(huán)境，某市計劃對一公園的一塊四邊形區(qū)域ABCD進(jìn)行改造.如圖，AB=4(百米)，BC=2(百米)，AD=CD，AD⊥CD，∠ABC∈[π4,3π4]，M，N，E分別為邊BC，AB，AC的中點(diǎn)，△BDE所在區(qū)域?yàn)檫\(yùn)動健身區(qū)域，其余改造為綠化區(qū)域，并規(guī)劃4條觀景棧道DM，DN，EM，EN以及兩條主干道AC，BD.(單位：百米)
(1)若∠ABC=π2，求主干道BD的長；
(2)當(dāng)∠ABC變化時，
①證明運(yùn)動健身區(qū)域△BDE的面積為定值，并求出該值；
②求4條觀景棧道總長度的取值范圍．
答案解析
1.B
【解析】解：∵z(1?i)=|1+i|2=( 1+1)2=2，
∴z=21?i=2(1+i)(1?i)(1+i)=1+i．
故選：B．
2.D
【解析】解：對于A，空間中兩直線的位置關(guān)系有三種：平行、相交和異面，故A錯誤；
對于B，若空間中兩直線沒有公共點(diǎn)，則這兩直線異面或平行，故B錯誤；
對于C，和兩條異面直線都相交的兩直線是異面直線或相交直線，故C錯誤；
對于D，如圖，在長方體ABCD?A′B′C′D′中，
當(dāng)A′B所在直線為a，BC′所在直線為b時，a與b相交，
當(dāng)A′B所在直線為a，B′C所在直線為b時，a與b異面，
∴若兩直線分別是正方體的相鄰兩個面的對角線所在的直線，則這兩直線可能相交，也可能異面，故D正確．
故選：D．
3.D
【解析】解：因?yàn)閍,b,c均為單位向量，且2a=3b+4c，
所以2a?3b=4c，4a2?12a?b+9b2=16c2，即4?12cs+9=16，
解得cs=?14，即a與b的夾角余弦值為?14．
故選：D．
4.A
【解析】解：根據(jù)題意，如圖所示為該組合體上半部分圓錐軸截面，
由于其母線長為2 3米，軸截面是面積為3 3平方米的等腰鈍角三角形，
則有?2+r2=1212×2r×?=3 3r>?，解可得r=3?= 3，
則上半部分圓錐的側(cè)面積S1=πrl=6 3π，
下半部分圓柱的側(cè)面積S2=2πr×2.5=15π，
則該組合體的表面積(不含底面)S=S1+S2=(6 3+15)π．
故選：A．
5.B
【解析】解：由題意知，z1=? 2+ 2i=2(? 22+ 22i)=2(cs3π4+isin3π4)，
所以z=2(cs3π4+isin3π4)[cs(?3π4)+isin(?3π4)]=2(cs0+isin0)=2，
由z=z2(cs4π3+isin3π4)=2，
所以z2=2cs4π3+isin4π3=2(cs4π3?sin4π3)=?1+ 3i.
故選：B．
6.A
【解析】解：三角形中，B=π6，c=6，則△ABC有兩解的充要條件為：csinB

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