考試時間：2023年10月4日 試卷滿分：150分
一、單選題
1. 連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點數(shù)分別為m，n，記，則下列說法正確的是（ ）
A. 事件“”的概率為B. 事件“t是奇數(shù)”與“”互為對立事件
C. 事件“”與“”互為互斥事件D. 事件“且”的概率為
【答案】D
【解析】
【分析】計算出事件“t＝12”的概率可判斷A；根據(jù)對立事件的概念，可判斷B；根據(jù)互斥事件的概念，可判斷C；計算出事件“t＞8且mn＜32”的概率可判斷D；
【詳解】連擲一枚均勻的骰子兩次，
所得向上的點數(shù)分別為m，n，則共有個基本事件，
記t＝m＋n，
則事件“t＝12”必須兩次都擲出6點，則事件“t＝12”的概率為，故A錯誤；
事件“t是奇數(shù)”與“m＝n”為互斥不對立事件,如事件m=3,n=5，故B錯誤；
事件“t＝2”與“t≠3”不是互斥事件，故C錯誤；
事件“t＞8且mn＜32”有
共9個基本事件，
故事件“t＞8且mn＜32”的概率為，故D正確；
故選：D．
2. 如圖，在平行六面體中，M在AC上，且，N在上，且．設，，，則
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量回路方法運算求解即可.
【詳解】解：因為M在AC上，且，N在上，且，
所以，，
在平行六面體中，，，，
所以，，
所以
，
故選：A．
【點睛】本題考查空間向量的線性運算，利用向量回路方法是常用的方法.
3. 已知空間三點，，在一條直線上，則實數(shù)的值是（ ）
A. 2B. 4C. -4D. -2
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)三點在一條直線上，利用向量共線原理，解出實數(shù)的值.
【詳解】解：因為空間三點，，在一條直線上，
所以 ,
故.
所以 .
故選：C.
【點睛】本題主要考查向量共線原理，屬于基礎題.
4. 已知直線的方程為，，則直線的傾斜角范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】計算，再考慮和兩種情況，得到傾斜角范圍.
【詳解】，則，
設直線的傾斜角為，故，
所以當時，直線的傾斜角；
當時，直線的傾斜角；
綜上所述：直線的傾斜角
故選：B
5. 在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】分析：先建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角與線線角相等或互補關系求結(jié)果.
詳解：以D為坐標原點，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則,所以,
因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C.
點睛：利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”.
6. 如圖，在二面角的棱上有兩點A、B，線段AC、BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，若，則線段CD的長為（ ）
A. B. 16C. 8D.
【答案】D
【解析】
【分析】分別過點、點作、的平行線相交于點，連接，則由題意可知為等邊三角形，為直角三角形，求解即可.
【詳解】分別過點、點作、的平行線相交于點，連接，
則四邊形為平行四邊形.
線段AC、BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱AB.
，則為二面角的平面角，即
，如圖所示.
為等邊三角形，
，，，平面，平面
平面
又平面
在中
故選：D
【點睛】本題考查空間的距離問題，屬于中檔題.
7. 如圖，平行六面體的底面是矩形，，，，且，則線段的長為（ ）

A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由，轉(zhuǎn)化為向量的模長，然后結(jié)合空間向量數(shù)量積運算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由，可得，
因為底面為矩形，，，，
所以，，
又
，
所以，則.
故選：B
8. 某知識問答競賽需要三人組隊參加，比賽分為初賽、復賽、決賽三個階段，每個階段比賽中，如果一支隊伍中至少有一人通過，則這支隊伍通過此階段.已知甲、乙、丙三人組隊參加，若甲通過每個階段比賽的概率均為，乙通過每個階段比賽的概率均為，丙通過每個階段比賽的概率均為，且三人每次通過與否互不影響，則這支隊伍進入決賽的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得這支隊伍通過每個階段比賽的概率為，利用相互獨立事件的概率計算可得出結(jié)果.
【詳解】“至少有一人通過”的對立事件為“三人全部未通過”，
則這支隊伍通過每個階段比賽的概率為，
所以他們連續(xù)通過初賽和復賽的概率為，即進入決賽的概率為.
故選：B
二、多選題
9. (多選)下列說法正確的是（ ）
A. 不經(jīng)過原點的直線都可以表示為
B. 若直線與兩軸交點分別為A、B且AB的中點為(4，1)則直線l的方程為
C. 過點(1，1)且在兩軸上截距相等的直線方程為y＝x或x＋y＝2
D. 直線3x－2y＝4的截距式方程為
【答案】BCD
【解析】
【分析】A中，截距式方程不能表示與坐標軸垂直的直線，即可判斷；
B中，直接利用截距式方程判斷；
C中，直接求出過點(1，1)且在兩軸上截距相等的直線方程，即可判斷；
D中，直接化為截距式方程判斷．
【詳解】A中，與坐標軸垂直的直線也不能用截距式表示，故A錯；
B中，AB的中點為(4，1)，那么A(8，0)，B(0，2)的直線方程為.
故B對；
C中過原點時，直線為y＝x，不過原點時直線為x＋y＝2，故C對；
D中，方程3x－2y＝4可化為，故D對．
故選：BCD
10. 關于空間向量，以下說法正確的是（ ）
A. 若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線
B. 已知，，為空間一個基底，若，則也是空間的基底
C. 若對空間中任意一點，有，則，，，四點共面
D. 平面的一個法向量為，點為內(nèi)一點，則點到平面的距離為2
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)線面垂直、基底、共面、點面距等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項，雖然，但是無法判斷是否在平面外，所以A選項錯誤.
B選項，由于，所以共面，
由于，，為空間的一個基底，即與不共面，也即與不共面，
所以也是空間的基底，所以B選項正確.
C選項，由，
得，
所以，所以共面，所以四點共面，所以C選項正確.
D選項，，所以到平面的距離是，D選項正確.
故選：BCD
11. 下列說法正確的是（ ）
A. 甲乙兩人獨立的解題，已知各人能解出的概率分別是和，則題被解出的概率是
B. 若，是互斥事件，則，
C. 某校名教師的職稱分布情況如下：高級占比，中級占比，初級占比，現(xiàn)從中抽取名教師做樣本，若采用分層抽樣方法，則高級教師應抽取人
D. 一位男生和兩位女生隨機排成一列，則兩位女生相鄰的概率是
【答案】BCD
【解析】
【分析】用對立事件判斷A;根據(jù)互斥事件的概念判斷B;根據(jù)分層抽樣方法判斷C;根據(jù)排列組合公式求出位女生相鄰的概率，從而判斷D.
【詳解】∵他們各自解出的概率分別是和，，則此題不能解出的概率為，
則此題解出的概率為，A選項錯，
若、是互斥事件，則，，B選項對，
高級教師應抽取時人，C選項對，
由題意可得女生相鄰的概率，D選項對，
故選BCD.
12. 下列命題正確的是（ ）
A. 若是平面的一個法向量，是直線上不同的兩點，則的充要條件是
B. 已知三點不共線，對于空間中任意一點，若，則四點共面
C. 已知，若與垂直，則
D. 已知的頂點分別為，則邊上的高的長為
【答案】BCD
【解析】
【分析】直接利用法向量和向量垂直的充要條件的應用判定A的結(jié)論，利用共面向量的充要條件判斷B的結(jié)論，利用向量垂直的充要條件判定C的結(jié)論，利用空間坐標中點到之直線的距離求解高的值判定D的結(jié)論．
【詳解】若是平面的一個法向量，直線上有不同的兩點，，當時，
即使，也不能說明，故A錯誤；
若，則，
所以，所以四點共面，故B正確；
由題意可得，若與垂直，
則，解得，故C正確；
由題意可得，則邊上的高的長即為點到直線的距離，故D正確．
故選：BCD.
三、填空題
13. 已知直線l的一個方向向量為，若點為直線l外一點，為直線l上一點，則點P到直線l的距離為_____________.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用空間中點到線的距離公式計算即可.
【詳解】由題意可得l的一個單位方向向量為，
,
故點P到直線l的距離.
故答案為：.
14. 四面體OABC中，M，N分別是OA，CB的中點，點G在線段MN上，且使，若，則________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由空間向量的線性運算，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】
因為
又不共面，∴，則.
故答案為：.
15. 口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同的小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，“取出的2球中至少有一個黃球”，“取出的2球至少有一個白球”，“取出的兩球不同色”，“取出的2球中至多有一個白球”.下列判斷中正確的序號為________.
①與為對立事件；②與是互斥事件；③與是對立事件：④；⑤.
【答案】①④
【解析】
【分析】在①中，由對立事件定義得與為對立事件；有②中，與有可能同時發(fā)生；在③中，與有可能同時發(fā)生；在④中，（C）（E）；在⑤中，從而（B）（C）．
【詳解】口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同小球，從中取出2球，
事件 “取出的兩球同色”， “取出的2球中至少有一個黃球”，
“取出的2球至少有一個白球”， “取出的兩球不同色”， “取出的2球中至多有一個白球”，
①，由對立事件定義得與為對立事件，故①正確；
②，與有可能同時發(fā)生，故與不是互斥事件，故②錯誤；
③，與有可能同時發(fā)生，不是對立事件，故③錯誤；
④，（C），（E），，
從而（C）（E），故④正確；
⑤，，從而（B）（C），故⑤錯誤．
故答案為：①④．
【點睛】本題考查命題真假的判斷，是基礎題，考查對立互斥事件，解題時要認真審題，注意對立事件、互斥事件等基本概念的合理運用．
16. 直線過點，且與以、為端點的線段相交，則直線的斜率的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】作出圖形，求出、，觀察直線與線段的交點運動的過程中，直線的傾斜角的變化，可得出直線的取值范圍.
【詳解】如下圖所示：設過點且與軸垂直的直線交線段于點，設直線的斜率為，
且，，
當點從點移動到點（不包括點）的過程中，直線的傾斜角為銳角，
此時，；
當點從點（不包括點）移動到點的過程中，直線的傾斜角為鈍角，
此時，.
綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.
故答案為：.
四、解答題
17. 已知的頂點，，．
（1）求AB邊上的中線所在直線的方程；
（2）求經(jīng)過點A，且在x軸上的截距和y軸上的截距相等的直線的方程．
【答案】（1）
（2）或．
【解析】
【分析】（1）先利用中點坐標公式求出線段的中點，再利用兩點式即可求出所求；
（2）分類討論截距是否為0的情況，再利用截距式即可求得所求．
【小問1詳解】
線段的中點為，
則中線所在直線方程為：，即.
【小問2詳解】
設兩坐標軸上的截距為，
若，則直線經(jīng)過原點，斜率，
直線方程為，即；
若，則設直線方程為，即，
把點代入得，即，直線方程為；
綜上，所求直線方程為或．
18. 在直三棱柱中，，，．
（1）求異面直線與所成角的正切值；
（2）求直線與平面所成角的余弦值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系.
（1）利用空間向量法求出與所成角的余弦值，再利用同角三角函數(shù)的基本關系可得出答案；
（2）利用空間向量法求出直線與平面所成角的正弦值，再利用同角三角函數(shù)的基本關系可得出答案.
【詳解】在直三棱柱中，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：
則點、、、、、.
（1）設異面直線與所成角為，，，
，即，，
則，因此，異面直線與所成角的正切值為；
（2）設直線與平面所成角為，設平面的一個法向量為，
，，，
由，得，取，得，
所以，平面一個法向量為，
，，則.
因此，直線與平面所成角的余弦值為.
【點睛】本題考查異面直線所成的角和直線與平面所成的角的計算，解題的關鍵就是建立空間直角坐標系，利用空間向量法求解，考查計算能力，屬于中等題.
19. 已知空間中三點，，，設，.
（1）若，且，求向量；
（2）已知向量與互相垂直，求的值；
（3）求的面積.
【答案】（1）或；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）首先求出的坐標，由，可設，利用，求出參數(shù)的值，即可求出結(jié)果．
（2）首先表示出的坐標，由向量與互相垂直，得到，即可求出的值．
（3）求出，， ， ，再由同角三角函數(shù)的基本關系求出，最后由面積公式求出的面積．
【詳解】解：（1）空間中三點，，，設，，
所以，
，
，
，且，設
，
，
，或．
（2），
且向量與互相垂直，
，解得．
的值是．
（3）因為，，
，，
，
，
．
【點睛】本題考查向量的求法，考查實數(shù)值、三角形的面積的求法，考查向量坐標運算法則、向量垂直、三角形面積等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．
20. 如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點.
（1）求點到平面的距離；
（2）若G是棱上一點，當平面時，求的長.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）將點到平面的距離問題轉(zhuǎn)化為直線與平面所成角相關問題，再運用空間向量法求解直線與平面所成角的相關三角函數(shù)值，進而得出的結(jié)果；
（2）先將線面平行問題轉(zhuǎn)化為直線與平面的法向量的夾角為0，再運用空間向量法列等式可求解相應點的坐標，進而確定線段的長.
【小問1詳解】
如圖，以頂點為原點，分別以線段所在直線為軸建立坐標系.
根據(jù)題意，圖中各點坐標可表示為
設平面的法向量為，直線與平面的夾角為，
點到平面的距離為，則，
即， 取，則有，
.
所以點 到平面 的距離.
【小問2詳解】
根據(jù)（1）可設點的坐標為，點的坐標為,
當平面時， 即，
解得.
故的長為.
21. 2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，為了使全體黨員進一步堅定理想信念，傳承紅色基因，市教育局以“學黨史?悟思想?辦實事?開新局”為主題進行“黨史”教育，并舉辦由全體黨員參加“學黨史”知識競賽.競賽共設100個小題，每個小題1分，共100分.現(xiàn)隨機抽取1000名黨員的成績進行統(tǒng)計，并將成績分成以下七組：，，，，，，，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這1000名黨員成績的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)；
（2）用分層隨機抽樣的方法從低于80分的黨員中抽取5人，若在這5人中任選2人進行問卷調(diào)查，求這2人中至少有1人成績低于76分的概率.
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求得眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù).
（2）利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計算公式求得正確答案
【小問1詳解】
由頻率分布直方圖可得，1000名學員成績的眾數(shù)為，
成績在的頻率為，
成績在的頻率為，
故中位數(shù)位于之間，中位數(shù)是，
平均數(shù)為：.
【小問2詳解】
∵與的黨員人數(shù)的比值為，
采用分層隨機抽樣方法抽取5人，則在中抽取2人，中抽3人，
設抽取人的編號為，，抽取人的編號為，，，
則從5人中任選2人進行問卷調(diào)查對應的樣本空間為：
，，，，，，，，，，共10個樣本點，
這2人中至少有1人成績低于76分的有：
，，，，，，，共7個樣本點，
故這2人中至少有1人成績低于76分的概率.
22. 如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．

（1）證明：；
（2）點在棱上，當二面角為時，求．
【答案】（1）證明見解析；
（2）1
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量坐標相等證明；
（2）設，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.
【小問1詳解】
以為坐標原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，

則，
，
，
又不在同一條直線上，
.
【小問2詳解】
設，
則，
設平面的法向量，
則，
令 ，得，
，
設平面的法向量，
則，
令 ，得，
，
，
化簡可得，，
解得或，
或，
.

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