【期中真題】浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

杭州學(xué)軍中學(xué)2022學(xué)年第一學(xué)期期中考試高三數(shù)學(xué)試卷命題人：汪葉清審題人：楊建忠一、單項(xiàng)選擇題（每題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，每題5分）1. 設(shè)集合，，則（）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式，得到集合A,根據(jù)集合的交集運(yùn)算，求得答案.【詳解】解不等式得：，故，故，故選：B2. 已知復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的和為12，則（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】【分析】先把已知化簡(jiǎn)，整理出復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，接下來去求即可解決.【詳解】，則有，，解得，則，，故．故選：C3. 如圖，在正方體中，點(diǎn)E，F分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱的中點(diǎn)，則過線段AG且平行于平面的截而圖形為（）A. 等腰梯形 B. 三角形 C. 正方形 D. 矩形【答案】A【解析】【分析】利用平行作出截面圖形，即可判斷形狀.詳解】取BC中點(diǎn)H，連接AH，GH，，.如下圖所示：由題意得，.又平面，平面，平面，同理平面.又，平面，平面平面，故過線段且與平面平行的截面為四邊形，顯然四邊形為等腰梯形.故選：A4. 某校安排5名同學(xué)去A，B，C，D四個(gè)愛國(guó)主義教育基地學(xué)習(xí)，每人去一個(gè)基地，每個(gè)基地至少安排一人，則甲同學(xué)被安排到A基地的排法總數(shù)為（）A. 24 B. 36 C. 60 D. 240【答案】C【解析】【分析】分兩種情況分類計(jì)算，一種是基地只有甲同學(xué)在，另外一種是A基地有甲同學(xué)還有另外一個(gè)同學(xué)也在，兩種情況相加即可.【詳解】當(dāng)基地只有甲同學(xué)在時(shí)，那么總的排法是種；當(dāng)A基地有甲同學(xué)還有另外一個(gè)同學(xué)也在時(shí)，那么總的排法是種；則甲同學(xué)被安排到A基地的排法總數(shù)為種.故選：C5. 過圓上的動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，兩個(gè)切點(diǎn)之間的線段稱為切點(diǎn)弦，則圓內(nèi)不在任何切點(diǎn)弦上的點(diǎn)形成的區(qū)域的面積為（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作出圖形，過圓上一動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，計(jì)算出圓的圓心到直線的距離為，可知圓內(nèi)不在任何切點(diǎn)弦上的點(diǎn)形成以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓的內(nèi)部，利用圓的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示，過圓上一動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，則，，，則，且為銳角，所以，同理可得，所以，，則為等邊三角形，連接交于點(diǎn)，為的角平分線，則為的中點(diǎn)，，且，，若圓內(nèi)的點(diǎn)不在任何切點(diǎn)弦上，則該點(diǎn)到圓的圓心的距離應(yīng)小于，即圓內(nèi)的這些點(diǎn)構(gòu)成了以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓的內(nèi)部，因此，圓內(nèi)不在任何切點(diǎn)弦上的點(diǎn)形成的區(qū)域的面積為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于確定圓內(nèi)不切點(diǎn)弦上的點(diǎn)所構(gòu)成的區(qū)域，為此需要計(jì)算出圓的圓心到切點(diǎn)弦的距離，找出臨界位置進(jìn)行分析.6. 已知的展開式中的系數(shù)為40，則的值為（）A. -2 B. -1 C. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】首先變形得，然后利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求出的系數(shù)即可.【詳解】由題意可得，在的展開式中，由，令無(wú)解，即的展開式?jīng)]有項(xiàng)；在的展開式中，由，令解得，即的展開式中的項(xiàng)的系數(shù)為，又的系數(shù)為40，所以，解得.故選：B7. 已知函數(shù)，，則圖象如圖的函數(shù)可能是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)圖像的奇偶性和單調(diào)性即可判斷.【詳解】由圖可知，該函數(shù)為奇函數(shù)，和為非奇非偶函數(shù)，故A、B不符；當(dāng)x＞0時(shí)，單調(diào)遞增，與圖像不符，故C不符；為奇函數(shù)，當(dāng)x→＋?時(shí)，∵y＝的增長(zhǎng)速度快于y＝lnx的增長(zhǎng)速度，故＞0且單調(diào)遞減，故圖像應(yīng)該在x軸上方且無(wú)限靠近x軸，與圖像相符.故選：D.8. 如圖，雙曲線的右頂點(diǎn)為，左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，交左支于點(diǎn)，交漸近線于點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，且，則雙曲線的離心率是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【詳解】設(shè)，則，解得，即，由題意，所以，所以．又設(shè)，則，兩式相減得，即，所以，又，化簡(jiǎn)得，．故選B．考點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)．【名師點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，求離心率，要建立的一個(gè)方程．考慮到，且在漸近線上，因此可得，是弦的中點(diǎn)，考慮用點(diǎn)差法得，而點(diǎn)坐標(biāo)可由求得，從而關(guān)系式為，由此可得結(jié)論．本題把雙曲線的性質(zhì)與方法有機(jī)地結(jié)合在一起，才能簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，如果想不到這些性質(zhì)與方法，難度較大．二、多項(xiàng)選擇題（每題至少有兩個(gè)選項(xiàng)正確，每題5分）9. 對(duì)于變量x和變量y，通過隨機(jī)抽樣獲得10個(gè)樣本數(shù)據(jù)，變量x和變量y具有較強(qiáng)的線性相關(guān)并利用最小二乘法獲得回歸方程為，且樣本中心點(diǎn)為，則下列說法正確的是（）．A. 變量x和變量y呈正相關(guān)B. 變量x和變量y的相關(guān)系數(shù)C. D. 樣本數(shù)據(jù)比的殘差絕對(duì)值大【答案】BC【解析】【分析】由回歸方程中x系數(shù)判斷AB，將樣本點(diǎn)中心代入回歸方程得出，計(jì)算樣本數(shù)據(jù)和的殘差判斷D.【詳解】解：由于回歸方程中x的系數(shù)為，故變量x和變量y呈負(fù)相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)，因此A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確；將代入回歸方程，解得，故C選項(xiàng)正確；樣本數(shù)據(jù)的殘差為，樣本數(shù)據(jù)的殘差為，故，因此D選項(xiàng)錯(cuò)誤．綜上，BC選項(xiàng)正確．故選：BC10. 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，與函數(shù)的圖象重合，則的值可能為（）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】化簡(jiǎn)解析式，根據(jù)函數(shù)圖象變換的知識(shí)，求得的可能取值.【詳解】，向左平移得，與函數(shù)的圖象重合，故，（1）若，符合.（2）若，符合.故選：AC11. 已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則可以取到的整數(shù)值有（）A. B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)不同交點(diǎn)的問題，令，可求得單調(diào)遞增且存在，使得；設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可知的單調(diào)性，由此可作出的大致圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式可確定的范圍，由此可得結(jié)果.【詳解】由題意知：定義域?yàn)?/span>，有兩個(gè)零點(diǎn)，有兩個(gè)不等實(shí)根，當(dāng)時(shí)，恒成立，不合題意，，有兩個(gè)解，即與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，令，則，在上單調(diào)遞增，且存在，使得，設(shè)，則定義域?yàn)?/span>，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；由此可得的圖象如下圖所示，由圖象可知：若與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，則可能取到的整數(shù)值為和.故選：CD.12. 如圖，在直三棱柱中，是直角三角形，且，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A. 異面直線與所成角的余弦值是B. 三棱柱的外接球的球面積是C. 當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積是D. 的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】由異面直線夾角求法可判斷A；根據(jù)三棱柱的外接球的位置確定外接球的位置，可判斷B；由直線與平面平行確定點(diǎn)到平面的距離為定值，結(jié)合三棱錐的等體積轉(zhuǎn)換可求三棱錐的體積，即可判斷C；根據(jù)平面展開結(jié)合三角形余弦定理確定的最小值的取值范圍，即可判斷D.【詳解】解：對(duì)于A，如下圖，連接在直三棱柱中，有，則為異面直線與所成角或其補(bǔ)角又是直角三角形，且，則，所以，則，直三棱柱中，平面，平面，則，所以，同理得則于是異面直線與所成角的余弦值是，故A正確；對(duì)于B，由于直三棱柱中，平面，平面，則，且，故該三棱柱可以與以為頂點(diǎn)，為棱的長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)重合所以三棱柱的外接球的球半徑則三棱柱的外接球的球面積是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如下圖，連接在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，也是線段的中點(diǎn)，又，平面，平面，所以平面則點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相同所以，故C正確；對(duì)于D，在三棱柱中，四邊形為矩形，又為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，則均在平面上在中，，，且如圖，在平面，以為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，其中點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為則又，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則可得最小值設(shè)，又，所以直線方程為所以，則，所以時(shí)，在線段上，且所以的最小值是，故D正確.故選：ACD.三、填空題（每題5分）13. 已知向量與的夾角為，，，則_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，.故答案為：.14. 九連環(huán)是我國(guó)從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開為勝．用表示解下個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)．若，且則解下6個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為_________．【答案】64【解析】【分析】根據(jù)已知遞推公式，利用代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故答案為：6415. 已知拋物線：上有兩動(dòng)點(diǎn)，，且，則線段的中點(diǎn)到軸距離的最小值是___________.【答案】2【解析】【分析】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，由，結(jié)合拋物線的定義可得線段的中點(diǎn)到軸距離的最小值.【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上的投影為，點(diǎn)在直線上的投影為，線段的中點(diǎn)為，點(diǎn)到軸的距離為，則,∴ ，當(dāng)且僅當(dāng)即三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，∴ 線段的中點(diǎn)到軸距離的最小值是2，故答案為：2.16. 已知，，且，則的最小值為___________.【答案】4【解析】【分析】由題得，再利用基本不等式求出的最小值即得解.【詳解】解：由題得，所以.(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等)因?yàn)?/span>，所以的最小值為4.故答案為：4四、解答題17. 在中，角的對(duì)邊分別，.（1）求；（2）若的周長(zhǎng)為4，面積為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用、和誘導(dǎo)公式、兩角和差的余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再結(jié)合角的范圍進(jìn)行求解；（2）利用余弦定理、三角形的面積公式、周長(zhǎng)公式得到關(guān)于的方程組進(jìn)行求解.【小問1詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，即，所以，因?yàn)?/span>，所以,所以又，故，所以，即；【小問2詳解】解：由余弦定理，得，即，又，所以，即整理得，由面積為，即，所以，.18. 已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，已知且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求正整數(shù)的最小值.【答案】（1）（2）1010【解析】【分析】(1)利用累乘法或構(gòu)造常數(shù)列求解再求解的通項(xiàng)公式即可.(2)利用裂項(xiàng)相消的方法求解前項(xiàng)和,再分析求正整數(shù)的最小值即可.【詳解】（1）解析1：（累乘法）由,所以時(shí),,又也成立,所以,所以當(dāng)時(shí),,又也成立,所以.解析2：（配湊常數(shù)數(shù)列）,故為常數(shù)列,即,所以,所以當(dāng)時(shí),,又也成立,所以.解析3：（直接求）,所以,兩式相減可得,又因?yàn)?/span>,所以,即當(dāng)時(shí),,當(dāng)也成立,故.（2）解析（裂項(xiàng)相消）：由上題可知,所以,所以,故的最小值為1010.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)列前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求解通項(xiàng)公式的方法,同時(shí)也考查了裂項(xiàng)相消的應(yīng)用與數(shù)列不等式的方法等.屬于中等題型.19. 如圖，在四棱錐中，，，，E是棱PA的中點(diǎn)，且平面.（1）證明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，由面面平行的判定定理證得面面，由面面平行的性質(zhì)定理證得，再有題目證得面，則面.（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示得空間直角坐標(biāo)，分別求出平面和平面的法向量，由面面角的公式帶入即可求出答案.【小問1詳解】取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>E是棱PA的中點(diǎn)，所以，面，面，∴面，∵面，.∴面面，面面，面面，所以，，，故，.∴面，，∴面.【小問2詳解】因?yàn)?/span>面，，所以，建立如圖所示得空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，設(shè)平面法向量為，，所以，則，設(shè)平面法向量為，，所以，則設(shè)平面和平面所成角為，所以.二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為.20. 某人花了元預(yù)定2023年杭州亞運(yùn)會(huì)開幕式門票一張，另外還預(yù)定了兩張其他門票，根據(jù)亞奧理事會(huì)相關(guān)規(guī)定，從所有預(yù)定者中隨機(jī)抽取相應(yīng)數(shù)量的人，這些人稱為預(yù)定成功者，他們可以直接購(gòu)買門票，另外，對(duì)于開幕式門票，有自動(dòng)降級(jí)規(guī)定，即當(dāng)這個(gè)人預(yù)定的元門票未成功時(shí)，系統(tǒng)自動(dòng)使他進(jìn)入b元開幕式門票的預(yù)定.假設(shè)獲得a元開幕式門票的概率是0.1，若未成功，仍有0.2的概率獲得b元開幕式門票的機(jī)會(huì)，獲得其他兩張門票中的每一張的概率均是0.5，且獲得每張門票之間互不影響.（1）求這個(gè)人可以獲得亞運(yùn)會(huì)開幕式門票的概率；（2）假設(shè)這個(gè)人獲得門票總張數(shù)是，求的分布列及數(shù)學(xué)期.【答案】（1）（2）分布列見解析；【解析】【分析】（1）由獨(dú)立事件概率乘法公式即可求得獲得開幕式門票的概率；（2）由題意確定的可能取值，再利用獨(dú)立事件概率乘法公式求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，從而求得的分布列，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期.【小問1詳解】依題意得，獲得元開幕式門票的概率為0.1，則未獲得元開幕式門票的概率為0.9，獲得b元開幕式門票概率為0.2，則獲得開幕式門票的概率為.【小問2詳解】依題意得，的可能取值為，則，，，，故的分布列為：則.21. 已知橢圓：的短軸長(zhǎng)為2，左右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，且軸，.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線（且）與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為?關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，若與的面積相等，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）短軸長(zhǎng)為2得，由橢圓定義和得，，由得，且，可得答案；（2）設(shè)，，，聯(lián)立直線和橢圓方程利用韋達(dá)定理，代入直線：，令得，從而得到、坐標(biāo)，求出的中點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程可得答案.【小問1詳解】因?yàn)槎梯S長(zhǎng)為2，所以，因?yàn)?/span> ，，所以，，又因?yàn)?/span>軸，所以，，且，解得，∴.【小問2詳解】，，，聯(lián)立直線和橢圓方程得，整理得，，，，直線：令，，，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由中點(diǎn)在上，可得，，，解得，，所以.22. 已知函數(shù).其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間：（2）當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且恒成立，求的最大值.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）2.【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，把代入導(dǎo)函數(shù)中對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）有兩個(gè)極值點(diǎn)即為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，令導(dǎo)函數(shù)等于零和，即可得方程，利用與韋達(dá)定理得到（或），再把代入原函數(shù)中進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得到，要使恒成立，代入化簡(jiǎn)即可得，求出的最小值，即可得到答案.【小問1詳解】對(duì)求導(dǎo)得當(dāng)時(shí)，當(dāng)，即，；當(dāng)，即，；故當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，由（1）知令，則的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解為故即（或）故不等式恒成立恒成立（*）由于，故，故（*）恒成立令則是上的增函數(shù)，，即最大值為.

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