2023屆江西省臨川第一中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．已知全集，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先進(jìn)行補集運算得，再算并集即可.【詳解】，則.故選：C2．已知是虛數(shù)單位，若，則對應(yīng)的點在復(fù)平面的（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的除法運算求出即可作答.【詳解】由，得，所以對應(yīng)的點在復(fù)平面的第一象限.故選：A3．已知命題p：“，有成立”，則命題p的否定為（    ）A．，有成立 B．，有成立C．，有成立 D．，有成立【答案】B【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題即可得出結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題即可得命題p：“，有成立”的否定是“，有成立”，故選：B4．“冪函數(shù)在上為增函數(shù)”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（    ）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】要使函數(shù)是冪函數(shù)，且在上為增函數(shù)，求出，可得函數(shù)為奇函數(shù)，即充分性成立；函數(shù)為奇函數(shù)，求出，故必要性不成立，可得答案.【詳解】要使函數(shù)是冪函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則，解得：，當(dāng)時，，，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，即充分性成立；“函數(shù)為奇函數(shù)”，則，即，解得：，故必要性不成立，故選：A．5．對于任意實數(shù)a、b、c、d，下列命題中，真命題的個數(shù)為（    ）①若a＞b，c＞d，則a－c＞b－d；②若a＞b＞0，c＞d＞0，則ac＞bd；③若a＞b＞0，則；④若a＞b＞0，則．A．①② B．②③ C．①④ D．①③【答案】B【分析】根據(jù)作差法以及不等式性質(zhì)，可得答案.【詳解】對于①，，無法判斷是否大于零，當(dāng)時，則，故①錯誤；對于②，根據(jù)不等式性質(zhì)，同向同正可乘性，可得②正確；對于③，根據(jù)不等式性質(zhì)，正向可開方性，可得③正確；對于④，，，，則，故，可得④錯誤.故選：B.6．已知曲線在點處的切線的傾斜角為，則（    ）A． B． C． D．1【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線斜率，則可得，再利用和差公式與二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系切化弦化簡所求式子，得到含的式子，即可得結(jié)果.【詳解】解：因為，則則曲線在點處的切線的斜率為，又傾斜角為所以 則.故選：C.7．我國天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同（晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度），二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，周而復(fù)始.已知每年冬至的晷長為一丈三尺五寸，夏至的晷長為一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則說法不正確的是（    ）  A．相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量為十寸B．秋分的晷長為75寸C．立秋的晷長比立春的晷長長D．立冬的晷長為一丈五寸【答案】C【分析】由題意可知夏至到冬至的晷長構(gòu)成等差數(shù)列，其中寸，寸，公差為寸，可求出，利用等差數(shù)列知識即可判斷各選項.【詳解】由題意可知夏至到冬至的晷長構(gòu)成等差數(shù)列，其中寸，寸，公差為寸，則，解得（寸），同理可知由冬至到夏至的晷長構(gòu)成等差數(shù)列，首項，末項，公差（單位都為寸）.故選項A正確；春分的晷長為秋分的晷長為，所以正確；立冬的晷長為，即立冬的晷長為一丈五寸，正確；立春的晷長，立秋的晷長分別為，，，故錯誤.8．在中，分別為三邊所對的角.若且滿足關(guān)系式，則外接圓直徑為（    ）A． B．2 C．4 D．【答案】B【分析】由，推導(dǎo)出，由，推導(dǎo)出，再利用正弦定理即可求解外接圓的半徑，從而可解.【詳解】，，可得，又，，即.，根據(jù)正弦定理可得，， ，，，，.令外接圓的半徑為，根據(jù)正弦定理可得，即外接圓的直徑為.故選：B.9．定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時，，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有個零點，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】等價于與的圖象在有5個交點，利用已知可得是周期為4的函數(shù)，且圖象關(guān)于對稱，畫出的圖象結(jié)合圖象可得答案.【詳解】，又是偶函數(shù)，所以，則，所以的周期為4，由得的圖象關(guān)于對稱，當(dāng)時，，可得的大致圖象如下，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有個零點，等價于與的圖象在有5個交點，結(jié)合圖象，當(dāng)時與的圖象恰好有5個交點，當(dāng)時與的圖象有3個交點，不符合題意，可得，此時，可得，則實數(shù)的取值范圍是.故選：D.  【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題的關(guān)鍵點是等價于與的圖象在有5個交點，利用已知條件畫出它們的圖象，考查了學(xué)生的思維能力、運算能力.10．?dāng)?shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式多種多樣，我們稱離心率（其中）的橢圓為黃金橢圓，現(xiàn)有一個黃金橢圓方程為，若以原點為圓心，短軸長為直徑作為黃金橢圓上除頂點外任意一點，過作的兩條切線，切點分別為，直線與軸分別交于兩點，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意O、A、P、B四點在以OP為直徑的圓上，可設(shè)點P坐標(biāo)為，從而得出四點所在圓的方程為，利用兩圓方程之差求得切點A、B所在直線方程，進(jìn)而求得M、N兩點坐標(biāo)即可解決本題.【詳解】依題意有OAPB四點共圓，設(shè)點P坐標(biāo)為，則該圓的方程為：，將兩圓方程：與相減，得切點所在直線方程為，解得，因為，所以故選：A11．已知定義在上的函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為，若且當(dāng)時，，則不等式的解集為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，則原不等式可轉(zhuǎn)化為，由奇偶性和導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞增，由此列不等式組求解即可.【詳解】令則由得，所以為奇函數(shù)，又，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，解得，故選：A12．若函數(shù)在區(qū)間上有零點，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)為函數(shù)的零點，則，轉(zhuǎn)化為在直線上，根據(jù)表示點到原點的距離的平方，得到，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，設(shè)為函數(shù)在上的零點，則，即，即點在直線上，又表示點到原點的距離的平方，則，即，令，則，因為，所以，在單調(diào)遞增.所以最小值為.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：設(shè)零點有，換主元化為點在直線上，結(jié)合的幾何意義及點線距離公式得為關(guān)鍵. 二、填空題13．已知向量滿足，則          .【答案】6【分析】利用的坐標(biāo)求得，再根據(jù)向量數(shù)量積的運算律求解即可.【詳解】由可得，所以，解得，故答案為：14．已知為偶函數(shù)且，則等于     ．【答案】16【分析】利用奇偶函數(shù)的對稱性，再結(jié)合定積分運算法則求解【詳解】解：令，則，所以為奇函數(shù)，則，又因為為偶函數(shù)，且，則，則，故答案為：1615．如圖，將函數(shù)的圖象上所有點向右平移個單位長度，得到如圖所示的函數(shù)的圖象，若，則最小值為          .【答案】1【分析】根據(jù)函數(shù)圖象及平移關(guān)系求得，進(jìn)而可得，再利用均值不等式求最小值即可.【詳解】由題意可得，由函數(shù)圖象可得，，解得，將點代入得，解得，即，又因為，所以，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以最小值為，故答案為：116．已知菱形的各邊長為.如圖所示，將沿折起，使得點到達(dá)點的位置，連接，得到三棱錐，此時.若是線段的中點，點在三棱錐的外接球上運動，且始終保持則點的軌跡的面積為          .  【答案】【分析】取中點，由題可得平面，設(shè)點軌跡所在平面為，則軌跡為平面截三棱錐的外接球的截面圓，利用球的截面性質(zhì)求截面圓半徑即得.【詳解】取中點，連接，則，，平面，所以平面，又因為，則，作于，設(shè)點軌跡所在平面為，則平面經(jīng)過點，且，設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，的中心分別為，可知平面平面，且四點共面，由題可得，在Rt中，可得，又因為，則，易知到平面的距離，故平面截外接球所得截面圓的半徑為，所以截面圓的面積為.故答案為：.  【點睛】方法點睛：多面體與球切、接問題的求解方法利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解． 三、解答題17．已知數(shù)列的前n項和.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用 ，即可得的通項公式；（2）由題可知，利用分組求和法即得.【詳解】（1）因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為也滿足，綜上，；（2）由題可知，所以.18．如圖 ，在邊長為 的等邊 中，， 分別為邊 ， 的中點．將 沿 折起，使得 ，得到如圖 的四棱錐 ，連接 ，，且 與 交于點 ．(1)證明：；(2)設(shè)點 到平面 的距離為 ，點 到平面 的距離為 ，求 的值．【答案】(1)見解析(2) 【分析】（1）在圖1中，證明，，則在圖2中，有，得，然后證明，可得，即；（2）由，得，分別求出三角形與三角形的面積得答案．【詳解】（1）證明：在圖1中，為等邊三角形，且為邊的中點，，在中，，，，，、分別為邊、的中點，，在圖2中，有，．在中，，，在和中，，，．，即；（2），，則．是邊長為1的等邊三角形，．在中，，，則．，則．19．甲，乙兩位同學(xué)組隊去參加答題拿小豆的游戲，規(guī)則如下：甲同學(xué)先答2道題，至少答對一題后，乙同學(xué)才有機(jī)會答題，同樣也是兩次機(jī)會.每答對一道題得10粒小豆.已知甲每題答對的概率均為，乙第一題答對的概率為，第二題答對的概率為.若乙有機(jī)會答題的概率為.(1)求;(2)求甲，乙共同拿到小豆數(shù)量的分布列及期望.【答案】(1)(2)分布列見解析， 【分析】（1）用對立事件求概率公式進(jìn)行求解；（2）求出的可能取值，及對應(yīng)的概率，從而求出分布列，計算出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由已知得，當(dāng)甲至少答對1題后，乙才有機(jī)會答題.所以乙有機(jī)會答題的概率為，解得；（2）X的可能取值為0，10，20，30，40；所以X的分布列為：X010203040P.20．已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且過點.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點是雙曲線上異于的兩個不同點，且，證明：直線過定點，并求出定點坐標(biāo).【答案】(1)(2)證明見解析，定點 【分析】（1）由雙曲線漸近線方程和點坐標(biāo)求解即可；（2）由可得，設(shè)（斜率存在），與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出的關(guān)系即可求解，注意討論斜率不存在的情況.【詳解】（1）因為雙曲線與已知雙曲線有相同的漸近線，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入點坐標(biāo)，得，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，  設(shè)，聯(lián)立與雙曲線，化簡得，，即，則有，又，因為，所以所以，所以，化簡得，即所以，且均滿足，當(dāng)時，直線的方程為，直線過定點，與已知矛盾，當(dāng)時，直線的方程為，過定點（ii）當(dāng)直線斜率不存在時，由對稱性不妨設(shè)直線，與雙曲線方程聯(lián)立解得，此時也過點，.綜上，直線過定點【點睛】解決直線與圓錐曲線相交（過定點、定值）問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點為 ，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于或的一元二次方程；（3）寫出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為，形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性，(2)若，當(dāng)時，恒成立時，求的最大值.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)答案見解析(2)3 【分析】（1）求導(dǎo)，討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可；（2）分離參數(shù)，當(dāng)時恒成立即可，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理，即可求解最值得解.【詳解】（1）由可得.當(dāng)時，恒成立，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，令得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；綜上所述，當(dāng)時，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時，成立，當(dāng)時，恒成立即，設(shè)，則，令，則，設(shè)，當(dāng)時，，故；當(dāng)時，，故，綜上有，故，故為增函數(shù)，又，因為，故，所以，故存在唯一零點使得，故當(dāng)時單調(diào)遞減當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故，又，即，所以設(shè)，則，故為增函數(shù)，又，所以，所以，故要且為正整數(shù)則的最大值為3.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)范圍的問題的解題常用方法：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.22．以等邊三角形的每個頂點為圓心，以其邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形被稱為勒洛三角形，如圖，在極坐標(biāo)系中，曲邊三角形為勒洛三角形，且，以極點為直角坐標(biāo)原點，極軸為軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.  (1)求所在圓的直角坐標(biāo)方程；(2)已知點的直角坐標(biāo)為，曲線和圓相交于兩點，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意求得的直角坐標(biāo)與，從而得到所在圓的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為，將曲線的參數(shù)方程帶入圓，并根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，求解即可.【詳解】（1）因為，則，所以點P的直角坐標(biāo)是，，所以所在圓的直角坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)對應(yīng)的參數(shù)分別為，將代入，得：，所以，因為，所以由的幾何意義得：.23．已知函數(shù)．(1)設(shè)的最小值為，求；(2)若正數(shù)滿足，證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析. 【分析】（1）利用絕對值三角不等式即得；（2）由題可知，利用基本不等式可得，進(jìn)而即得.【詳解】（1）∵，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以的最小值為1，即；（2）由，相加整理得，，當(dāng)且僅當(dāng)等號成立，由（1）得，所以不等式兩邊同時除以得，，所以． 

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