鄭州外國(guó)語學(xué)校2022-2023學(xué)年高一上期期中考試試卷數(shù)學(xué)一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.1-10題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)是符合題目要求的，11-12是多選題，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分）1. 若集合，，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】解對(duì)數(shù)不等式和分式不等式可求得集合，由交集定義可得結(jié)果.【詳解】由得：，則；由得：，即，解得：或，則或；.故選：D.2. 設(shè)，則“”是“”的（    ）.A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合充分性、必要性的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】由且且，故選：A．3. 令，，，則三個(gè)數(shù)的大小順序是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合臨界值可得大小關(guān)系.【詳解】，.故選：D.4. 已知，則（    ）A. 25 B. 5 C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，冪的運(yùn)算性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出．【詳解】因?yàn)?/span>，，即，所以．故選：C. 5. 函數(shù)的最小值為（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè)，將原函數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)的形式，再利用二次函數(shù)的值域求出原函數(shù)的值域即可【詳解】解：設(shè)，則則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用換元法求函數(shù)的值域，解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法，屬于基礎(chǔ)題6. 化簡(jiǎn)的值為（    ）A.  B.  C.  D. -1【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】解析：故選：A.7. 已知函數(shù)f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，當(dāng)x＝a時(shí)，f(x)取得最小值b，則函數(shù)g(x)＝a|x＋b|的圖象為(　　)A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)基本不等式可得到a＝2，b＝1，得到g(x)＝2|x＋1|，該函數(shù)圖象可看做y＝2|x|的圖像向左平移1個(gè)單位得到，從而求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>x∈(0,4)，所以x＋1＞1，所以f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2－5＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)函數(shù)有最小值1，所以a＝2，b＝1，此時(shí)g(x)＝2|x＋1|＝此函數(shù)圖象可以看作由函數(shù)y＝的圖象向左平移1個(gè)單位得到．結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象及選項(xiàng)可知A正確．故選A.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值和指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用基本不等式求出a＝2，b＝1是本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的邏輯推理能力和綜合分析能力，屬中檔題.8. 若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先判斷出真數(shù)部分對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合定義域可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，因?yàn)?/span>，故在上為減函數(shù)，而在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故為減函數(shù)，故，又在上滿足恒成立，故，故，故選：B.9. 若定義上的函數(shù)滿足：對(duì)任意有，若的最大值和最小值分別為，，則的值為（    ）A. 2022 B. 2018 C. 4036 D. 4044【答案】D【解析】【分析】由題設(shè)條件可得，令，則為上的奇函數(shù)，由可得的值.【詳解】任意有，取，則即，令，則，故，令，則，故，故為上的奇函數(shù)，故即，故，故選：D.10. 已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】判斷出函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，則可將化為，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，可得答案.【詳解】根據(jù)題意，，則，故為偶函數(shù)；且當(dāng)時(shí)，單調(diào)增函數(shù)，故即，則，所以或，解得或，故實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：D11. 已知函數(shù)，若（其中），則的可能取值有（    ）A.  B.  C. 2 D. 4【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得，根據(jù)基本不等式可求最小值.【詳解】,因?yàn)?/span>，故，故，而，故即，而，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的可能取值為（均驗(yàn)證）.故選：BCD.12. 已知函數(shù)，若存在不相等的實(shí)數(shù)滿足且，則下列說法正確的是（    ）A.  B. C.  D. 的取值范圍為【答案】ABCD【解析】【分析】由已知等式可知與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，作出與的圖象，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方式可知A正確；由和可推導(dǎo)知BC正確；將化為，根據(jù)的范圍可求得取值范圍，知D正確.【詳解】由知：與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，作出與如下圖所示，對(duì)于A，由圖象知：若與有四個(gè)不同交點(diǎn)，則，即，A正確；對(duì)于B，，，則，B正確；對(duì)于C，，即，，則，C正確；對(duì)于D，由BC知：；由圖象知：，又對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則，D正確.故選：ABCD.二、填空題（本大題有4小題，每小題5分，共20分）13. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)單調(diào)性可確定每一段區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性及分段處函數(shù)值的大小關(guān)系，由此可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】在上單調(diào)遞增，，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14. 冪函數(shù)的圖像過點(diǎn),則的減區(qū)間為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，代入點(diǎn)，得到的值，得到的解析式和定義域，再寫出的解析式，研究其定義域和單調(diào)區(qū)間，從而求出的減區(qū)間.【詳解】設(shè)冪函數(shù)的解析式為代入點(diǎn)，得，所以所以冪函數(shù)為，定義域?yàn)?/span>，所以，則需要即其定義域?yàn)?/span>或，而的對(duì)稱軸為所以其單調(diào)減區(qū)間為所以的減區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題考查求冪函數(shù)的解析式，求具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于簡(jiǎn)單題.15. 已知，，若，，使得，則實(shí)數(shù)的最大值是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)恒成立和能成立的思想可知，根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可分別求得，由此可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】，，使得，；在上單調(diào)遞減，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，；，解得：，則實(shí)數(shù)的最大值為.故答案為：.16. 若函數(shù)在除去0的整數(shù)集合內(nèi)單增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求解，【詳解】已知，令得，則在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，由題意得，解得故答案為：三、解答題（本大題有6小題，共70分，其中第17題10分，第18-22題每題12分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17. （1）若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，求的范圍；（2）若函數(shù)的值域?yàn)?/span>，求的范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，分別在和的情況下進(jìn)行討論，從而求得結(jié)果；（2）將問題轉(zhuǎn)化為是的值域的子集的問題，分別在和的情況下根據(jù)包含關(guān)系構(gòu)造不等式求解即可.【詳解】（1）的定義域?yàn)?/span>，對(duì)恒成立；當(dāng)時(shí)，不等式變?yōu)?/span>，即，不合題意；當(dāng)時(shí)，若恒成立，則，解得：；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）設(shè)的值域?yàn)?/span>，的值域?yàn)?/span>，；當(dāng)時(shí)，，則，滿足題意；當(dāng)時(shí)，若，則，解得：；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.18. 已知是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)且為增函數(shù)，.（1）求的值；（2）解不等式；（3）若對(duì)所有、恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)定義可得，代入即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)單調(diào)性和定義域可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果；（3）根據(jù)單調(diào)性可將恒成立不等式化為對(duì)恒成立，令，分別在、和的情況下，根據(jù)，結(jié)合一次函數(shù)單調(diào)性可求得結(jié)果.【小問1詳解】為定義在上的奇函數(shù)，，，解得：.【小問2詳解】為定義在上的增函數(shù)，，解得：，不等式的解集為.【小問3詳解】對(duì)恒成立，，為定義在上的增函數(shù)，，，即對(duì)恒成立，設(shè)；當(dāng)時(shí)，恒成立，滿足題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，解得：；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得：；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.19. 設(shè)函數(shù).（1）解方程；（2）設(shè)不等式的解集為，求函數(shù)的值域.【答案】（1）或    （2）【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)，由解得可得答案； （2）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式求出，化簡(jiǎn)，令，轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)拋物線的性質(zhì)和的范圍可得答案.【小問1詳解】，由得，解得或，所以或.所以方程的解是或；【小問2詳解】由得，即，解得，，，令，所以，則為開口向上對(duì)稱軸為的拋物線，因?yàn)?/span>，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?/span>.20. 定義在R上的函數(shù)f（x）＞0，對(duì)任意x，y∈R都有f（x+y）＝f（x） f（y）成立，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1．（1）求f（0）的值；（2）求證f（x）在R上是增函數(shù)；（3）若f（k?3x）f（3x﹣9x﹣2）＜1對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）f（0）＝1；（2）見解析；（3）k＜【解析】【分析】（1）利用賦值法求f（0）的值；（2）根據(jù)增函數(shù)定義進(jìn)行證明，其中利用條件“當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1”比較大小是解題關(guān)鍵；（3）先根據(jù)單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式得32x﹣（1+k）?3x+2＞0，再分離變量轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)函數(shù)y=3x+最值,最后根據(jù)基本不等式求函數(shù)最值，即得結(jié)果.【詳解】（1）令x＝0，y＝1，則f（0+1）＝f（0）f（1），所以f（1）＝f（0）f（1），∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，∴f（1）＞1，∴f（0）＝1；（2）設(shè)x1＜x2，則x2﹣x1＞0，∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，∴f（x2﹣x1）＞1∴f（x2）＝f（x2﹣x1+x1）＝f（x2﹣x1）f（x1）＞f（x1），∴f（x）在R上是增函數(shù)；（3）∵f（x）在R上是增函數(shù)，f（k?3x） f（3x﹣9x﹣2）＝f（k ?3x+3x﹣9x﹣2）＜f（0），∴32x﹣（1+k）?3x+2＞0對(duì)任意x∈R成立．∴1+k＜3x+，∵3x＞0，∴3x+≥.∴k＜．【點(diǎn)睛】本題考查賦值法求函數(shù)值、利用函數(shù)單調(diào)性定義證明不等式、利用函數(shù)單調(diào)性解不等式以及利用基本不等式求最值，考查綜合分析求解與論證能力，屬較難題.21. 2013年9月22日，為應(yīng)對(duì)臺(tái)風(fēng)“天兔”侵襲，我校食堂做好了充分準(zhǔn)備，儲(chǔ)備了至少三天的食物，食物在儲(chǔ)藏時(shí)，有些易于保存，而有些卻需要適當(dāng)處理，如牛奶等，它們的保鮮時(shí)間會(huì)因儲(chǔ)藏時(shí)溫度的不同而不同，假定保鮮時(shí)間與儲(chǔ)藏溫度間的關(guān)系為指數(shù)型函數(shù)（且），若牛奶放在0℃的冰箱中，保鮮時(shí)間約為192時(shí)，放在22℃的廚房中，保鮮時(shí)間約為42時(shí).（1）寫出保鮮時(shí)間（單位：時(shí)）關(guān)于儲(chǔ)藏溫度（單位：℃）的函數(shù)解析式；（2）請(qǐng)運(yùn)用（1）的結(jié)論計(jì)算，若我校購買的牛奶至少要儲(chǔ)藏三天，則儲(chǔ)藏時(shí)的溫度最高約為多少？（精確到整數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）；（2）14℃.【解析】【分析】（1）運(yùn)用代入法進(jìn)行求解即可；（2）由（1）的函數(shù)解析式，根據(jù)題意得到不等式，利用換底公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）設(shè)（且），則有，，.（2）依題意有，若我校購買的牛奶至少要儲(chǔ)藏三天，則儲(chǔ)藏時(shí)的溫度最高約為14℃.22. 已知函數(shù)，且，其中為奇函數(shù)，為偶函數(shù).（1）求解析式：（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性定義，解出奇函數(shù)和偶函數(shù)的表達(dá)式即可；（2）代入到中，分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題來解．【詳解】解：（1）為定義在上的偶函數(shù)，為定義在上的奇函數(shù)，，，又由，，，；（2）不等式在，上恒成立，化簡(jiǎn)為，，，，令，則．則原式可化為，，恒成立．顯然當(dāng)時(shí)，取得最大值，．【點(diǎn)睛】本題以指數(shù)型函數(shù)為載體，考查了函數(shù)求表達(dá)式以及不等式恒成立等知識(shí)點(diǎn)，合理地利用函數(shù)的基本性質(zhì)，再結(jié)合換元法和基本不等式的技巧，是解決本題的關(guān)鍵．

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