2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)第七中學(xué)九年級(jí)上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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?2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)七中九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷
一.選擇題：（每小題2分，共20分）
1．（2分）下列方程中，是一元二次方程的是（　?。?br /> A．x3+2x＝0 B．x（x﹣3）＝0 C． D．y﹣x2＝4
2．（2分）已知線段a、b、c滿足，其中a＝4cm，b＝12cm（　?。?br /> A．9cm B．18cm C．24cm D．36cm
3．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原點(diǎn)O為位似中心，把△ABO放大，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（　?。?br /> A．（﹣3，﹣2） B．（﹣3，﹣2）或（3，2）
C．（﹣12，﹣8） D．（﹣12，﹣8）或（12，8）
4．（2分）將方程3x2﹣9x+2＝0配方成（x+m）2＝n的形式為（　?。?br /> A． B．
C． D．
5．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程mx2+2mx+4＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為（　?。?br /> A．0 B．4 C．0或4 D．0或﹣4
6．（2分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，DE，點(diǎn)N，DE的中點(diǎn)，連接MN（　?。?br />
A． B．2 C． D．2
7．（2分）若點(diǎn)A（﹣2，1）在反比例函數(shù)y＝的圖象上（　?。?br /> A． B．﹣ C．2 D．﹣2
8．（2分）菱形ABCD的邊長(zhǎng)為20，∠ABC＝60°，則菱形ABCD的面積為（　?。?br /> A．200 B．400 C．100 D．200
9．（2分）如圖，若直線l1∥l2∥l3，且DE：EF＝2：3，AC＝15，則BC＝（　?。?br />
A．5 B．6 C．9 D．10
10．（2分）如圖，點(diǎn)A為反比例函數(shù)上的一動(dòng)點(diǎn)，△AOB的面積為k，則函數(shù)y＝kx+1的圖象為（　?。?br />
A． B．
C． D．
二.填空題（每題3分，共24分）
11．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣3）x2+4x+1＝0有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是：　 ?。?br /> 12．（3分）若＝＝且a﹣b+c＝2，則a+b﹣c的值為 　 ?。?br /> 13．（3分）已知反比例函數(shù)y＝﹣（k是常數(shù)且k≠0）的圖象在第二、四象限，那么k的取值范圍是 　 ?。?br /> 14．（3分）某物流公司今年7月的營(yíng)業(yè)額為250萬(wàn)元，按計(jì)劃第三季度的總營(yíng)業(yè)額要達(dá)到910萬(wàn)元，求該物流公司8月、9月兩個(gè)月營(yíng)業(yè)額的月平均增長(zhǎng)率 　 　．
15．（3分）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“※”如下：a※b＝a2﹣ab，例如，5※3＝52﹣5×3＝10．若（2x﹣1）※（x+2）＝7，則x的值為 　 　．
16．（3分）菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，且BE＝DF，則AE+AF的最小值為 　 ?。?br />
17．（3分）如圖，四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，∠ABC＝45°，AC與BD交于點(diǎn)E，CD＝2，則△ABE的面積為 　 　．

18．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，連接AD，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)F，若AB＝1.5，BC＝2　 ?。?br />
三、解答題：
19．（20分）解方程：
（1）2x2+4x﹣3＝0；
（2）（x﹣3）2＝2（x﹣3）；
（3）（2x+3）2＝9（x﹣5）2；
（4）（x+2）?（x﹣1）＝70．
20．（8分）列一元二次方程解應(yīng)用題．
如圖，在一個(gè)長(zhǎng)為60米，寬為40米的矩形場(chǎng)地內(nèi)修筑兩條入口寬度相等均為x米的小路，每條小路的兩邊是互相平行的，且其中一條小路與矩形場(chǎng)地的一邊平行，剩余部分為綠化用地，如果綠化用地的面積為2204平方米．求：小路入口的寬度是多少米？

21．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且EA＝EC．求證：四邊形ABCD是菱形．

22．（8分）如圖，AD和BE都是△ABC的高，相交于F點(diǎn)
（1）求證：△CAB∽△CDE；
（2）若點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，CE＝6cm，BE＝8cm　 ?。?br />
23．（10分）某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為45元的某種服裝以65元售出，平均每天可售30件，為了盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每件降價(jià)1元，則每天可多售5件．
（1）若每件服裝降3元，則每天能賣出 　 　件，每件服裝的利潤(rùn)是 　 　元．
（2）如果每天要盈利800元，每件服裝應(yīng)降價(jià)多少元？
24．（10分）如圖，直線y＝kx+b與雙曲線相交于A（﹣3，1），B兩點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C（﹣4，0）．
（1）分別求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（2）連接OA，OB，求△AOB的面積；
（3）直接寫出當(dāng)x＜0時(shí)，關(guān)于x的不等式的解集．

25．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，6），點(diǎn)B在線段AO上，且AB=2BO，若點(diǎn)P在x軸的正半軸上，連接BP，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥PB．
?
（1）如圖1，點(diǎn)E是射線PQ上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EC⊥x軸
①點(diǎn)B的坐標(biāo) 　 ??；
②求證：△BOP∽△PCE；
（2）在（1）的條件下，如圖2（8，0）．過(guò)點(diǎn)A作DA⊥y軸，且和CE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，則點(diǎn)P的坐標(biāo) 　 ??；
（3）如圖3，若∠BPO＝60°，點(diǎn)E在直線PQ上，垂足為點(diǎn)C，若以點(diǎn)E，P，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo) 　 ?。?br />





2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)七中九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一.選擇題：（每小題2分，共20分）
1．【答案】B
【解答】解：A．x3+2x＝8，未知數(shù)最高次數(shù)是3，不符合題意；
B．x（x﹣3）＝6是一元二次方程；
C．是分式方程，不符合題意；
D．y﹣x2＝4含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程．
故選：B．
2．【答案】D
【解答】解：∵a：b＝b：c，a＝4cm，
∴b2＝ac＝5c＝144，
解得c＝36，
故選：D．
3．【答案】D
【解答】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，B（﹣6，
點(diǎn)B'的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（﹣6×2，﹣4×4）或（﹣6×（﹣2），即點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（﹣12，4），
故選：D．
4．【答案】A
【解答】解：3x2﹣2x+2＝0，
x7﹣3x+＝0，
x2﹣6x＝﹣，
x5﹣3x+（）2＝﹣+（）3，
（x﹣）7＝，
故選：A．
5．【答案】B
【解答】解：∵mx2+2mx+6＝0是一元二次方程，
∴m≠0，
∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝6m2﹣16m＝0，
解得m＝4或m＝4，
∴m＝4．
故選：B．
6．【答案】C
【解答】解：連接AM，延長(zhǎng)AM交CD于G，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，
∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，
∵M(jìn)為DE的中點(diǎn)，
∴ME＝MD，
在△AEM和GDM中，
，
∴△AEM≌△GDM（AAS），
∴AM＝MG，AE＝DG＝CD，
∴CG＝CD＝8，
∵點(diǎn)N為AF的中點(diǎn)，
∴MN＝FG，
∵F為BC的中點(diǎn)，
∴CF＝BC＝7，
∴FG＝＝2，
∴MN＝，
故選：C．

7．【答案】D
【解答】解：把A（﹣2，1）代入反比例函數(shù)y＝，
解得：k＝﹣2，
故選：D．
8．【答案】D
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC＝AB，OB＝，
∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為20，
∴AB＝AC＝20，
∴BO＝10，
∴BD＝20，
∴菱形ABCD的面積＝AC?BD＝＝200．
故選：D．

9．【答案】C
【解答】解：∵直線l1∥l2∥l5，且DE：EF＝2：3，
∴＝＝，
∴＝，
∴BC＝AC＝，
故選：C．
10．【答案】B
【解答】解：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
∵A點(diǎn)在第二象限且在函數(shù)y＝﹣的圖象上，
∴xy＝﹣2，
∴S△ABO＝|xy|＝，即k＝1．
∴一次函數(shù)y＝kx+1的解析式為：y＝x+4，
∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），7）的直線．
故選：B．
二.填空題（每題3分，共24分）
11．【答案】m≤7且m≠3．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（m﹣3）x2+5x+1＝0有實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝16﹣7（m﹣3）×1≥2且m﹣3≠0，
解得：m≤5且m≠3．
故答案為：m≤7且m≠2．
12．【答案】．
【解答】解：設(shè)a＝2k，b＝3k，（k≠8），
∵a﹣b+c＝2，
∴2k﹣2k+4k＝2，
解得：k＝，
∴a＝，b＝2，
∴a+b﹣c＝+6﹣＝．
故答案為：．
13．【答案】k＞0．
【解答】解：∵反比例函數(shù)（k是常數(shù)、四象限，
∴﹣k＜0，
解得：k＞0，
故答案為：k＞2．
14．【答案】20%．
【解答】解：設(shè)月營(yíng)業(yè)額的月平均增長(zhǎng)率為x，則，
250+250（1+x）+250（1+x）5＝910，
解得：，（不符合實(shí)際，
答：月營(yíng)業(yè)額的月平均增長(zhǎng)率為20%．
故答案為：20%．
15．【答案】4或﹣．
【解答】解：由題意可得：
（2x﹣1）3﹣（2x﹣1）（x+8）＝7，
整理，得：2x6﹣7x﹣4＝3，
（x﹣4）（2x+6）＝0，
∴x1＝6，x2＝﹣，
即x的值為4或﹣，
故答案為：4或﹣．
16．【答案】．
【解答】解：如圖，在BC的下方作∠CBT＝30°，連接ET，
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝60°，∠ADF＝，AB＝AD＝5，
在△BET和△DFA中，
，
∴△BET≌△DFA（SAS），
∴ET＝AF，
∴AE+AF＝AE+TE，
∵∠ABT＝∠ABC+∠CBT＝60°+30°＝90°，
∵AB＝AD＝4，BT＝AD，
∴AB＝BT＝4，
∴AT＝＝，
∵AE+TE≥AT，
即AE+TE≥，
∴AE+AF的最小值為．
故答案為：．

17．【答案】．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，

∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，
∴AC＝BC＝AB＝7，
∵∠ADC＝90°，CD＝2，
∴AD＝，
∵，
∴DF＝，
∴AF＝，
∴CF＝，
∵DF∥BC，
∴△DEF∽△BEC，
∴，即，
∴EF＝，
∴AE＝，
∴．
故答案為：．
18．【答案】．
【解答】解：∵D為BC邊的中點(diǎn)，BC＝2，
∴BD＝1．
∵在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，
∴．
∵BE⊥AD于點(diǎn)E，
∴，
∴BF＝，
∵AB＝1.6，，
∴，
過(guò)點(diǎn)D作DG∥BF交AC于點(diǎn)G，如圖所示，設(shè) ，
∵DG∥BF，
∴△CGD∽△CBE，
∴，
∴，
∵EF∥DG，
∴△AEF∽△AGD，
∴，即 ＝，
解得 ，
∴．
故答案為：．

三、解答題：
19．【答案】（1），；
（2）x1＝5，x2＝3；
（3）x1＝18，；
（4）x1＝﹣9，x2＝8．
【解答】解：（1）2x2+2x﹣3＝0，
a＝4，b＝4，
Δ＝b2﹣2ac＝42﹣4×2×（﹣3）＝40＞5，
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
解得：，；
（2）（x﹣3）2＝8（x﹣3），
解：（x﹣3）8﹣2（x﹣3）＝2，
（x﹣3﹣2）（x﹣7）＝0，
解得：x1＝5，x2＝3；
（3）（5x+3）2＝5（x﹣5）2，
解：（6x+3）2﹣3（x﹣5）2＝6，
（2x+3﹣2x+15）（2x+3+5x﹣15）＝0，
即（﹣x+18）（5x﹣12）＝5，
解得：x1＝18，；
（4）（x+2）?（x﹣1）＝70，
解：x6+2x﹣x﹣2﹣70＝4，
x2+x﹣72＝0，
（x+7）（x﹣8）＝0，
解得：x6＝﹣9，x2＝4．
20．【答案】小路入口的寬度是2米．
【解答】解：設(shè)小路入口的寬度是x米，則（60﹣x）（40﹣x）＝2204，
解得：x1＝2，x7＝98（不符合實(shí)際，舍去）．
答：小路入口的寬度是2米．
21．【答案】證明見解析．
【解答】證明：在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE＝∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBD，
∴∠CDE＝∠CBD，
∴BC＝CD，
又∵AD＝CD，
∴BC＝AD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AD＝CD，
∴平行四邊形ABCD是菱形．
22．【答案】（1）見解析；
（2）cm．
【解答】（1）證明：∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCE，
∴，即，
又∵∠C＝∠C，
∴△CAB～△CDE；
（2）解：∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，AD⊥BC，
∴AB＝AC，
在Rt△BEC中，
∵CE＝6cm，BE＝8cm，
∴（cm），
∴（cm），
∵△ACD∽△BCE，
∴，
∴（cm），
∴（cm），
∴cm．
故答案為：cm．
23．【答案】（1）45，17；
（2）每件服裝應(yīng)降價(jià)10元，每天能盈利800元．
【解答】解：（1）∵每件降價(jià)1元，則每天可多售5件，
∴每件服裝降6元，則每天可多售3×5＝15件，
每件服裝的利潤(rùn)是為：（65﹣6）﹣45＝17元，
故答案為：45，17；
（2）設(shè)每件服裝應(yīng)降價(jià)x元，每天能盈利800元，
則：（65﹣x﹣45）（30+5x）＝800，
解得：x1＝3，x2＝10，
∵要盡快減少庫(kù)存，
∴x＝10，
故：每件服裝應(yīng)降價(jià)10元，每天能盈利800元．
24．【答案】（1）一次函數(shù)的解析式為y＝x+4，反比例的解析式為y＝﹣（x＜0）；
（2）4；
（3）x＜﹣3或﹣1＜x＜0．
【解答】解：（1）將A（﹣3，1），2）代入y＝kx+b，
得，
解得：，
∴一次函數(shù)的解析式為y＝x+4，
將A（﹣3，5）代入，
得m＝﹣3，
∴反比例的解析式為y＝﹣（x＜0）；
（2）∵直線AC的解析式為y＝x+4與y軸交點(diǎn)D，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，4），
由，解得或，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，7），
∴△AOB的面積＝S△AOD﹣S△BOD＝＝3；
（3）觀察圖象，當(dāng)x＜0時(shí)的解集是x＜﹣3或﹣7＜x＜0．
25．【答案】（1）①（0，2）；
②見解析過(guò)程；
（2）（，0）或（2，0）；
（3）（，2）或 （，）或 （0，﹣）或 （﹣，﹣2）．
【解答】（1）解：①∵點(diǎn)A（0，6），
∴OA＝7，
∵AB＝2BO，
∴BO＝2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2），
故答案為：（0，3）；
②證明：∵PQ⊥PB，EC⊥OC，
∴∠ECP＝∠BPE＝∠POB＝90°，
∴∠OPB+∠EPC＝90°，∠EPC+∠CEP＝90°，
∴∠OPB＝∠PEC，
∴△BOP∽△PCE；
（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C'作C'G⊥OC于G，

∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（8，0），
∴OC＝2，
設(shè)OP＝x，則PC＝8﹣x，
∵AF∥OP，
∴△FBA∽△PBO，
∴＝2，
∴AF＝7x，
∵∠EPC+∠OPB＝90°，∠EPC'+∠C'PF＝90°，
∴∠C'PF＝∠OPB，
∵∠OPB＝∠F，
∴∠F＝∠C'PF，
∴C'F＝C'P＝PC＝8﹣x，
∴AC'＝8﹣5x，
∴C'D＝3x，
∴PG＝PC﹣CG＝8﹣7x，
在Rt△PC'G中，
∵C'P2＝PG2+C'G7，
∴（8﹣x）2＝（5﹣4x）2+32，
∴x1＝或x2＝7，
∴P（，6）或（2，
故答案為：（，0）或（2；
（3）解：如圖，

∵OB＝7，∠POB＝90°，
∴∠PBO＝30°，
∴OP＝OB?tan30°＝，PB＝2OP＝，
∵∠BPQ＝90°，
∴∠QPC＝30°，
∵∠PBQ＝∠ECP＝90°，
∴當(dāng)∠PE1B＝30°時(shí)，以點(diǎn)E，P，
∴PE6＝BP＝4，
∴E2C＝PE8＝2，PC＝E4C＝2，
∴OC＝，
∴E4（，2）；
當(dāng)∠PBE2＝30°時(shí)，以點(diǎn)E，P，
同法可得E6（，）；
當(dāng)∠PE6B＝30°時(shí)，以點(diǎn)E，P，
同法可得E3（0，﹣）；
當(dāng)∠PBE4＝30°時(shí)，以點(diǎn)E，P，
同法可得E4（﹣，﹣2），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)E坐標(biāo)為：（，2）或 （，）或 （0，﹣）或 （﹣，﹣2）．