2024年高考數學第一輪復習專題24 立體幾何基礎提分小題（解析版）

這是一份2024年高考數學第一輪復習專題24 立體幾何基礎提分小題（解析版），共23頁。
?第24講 立體幾何基礎提分小題
【考點預測】
1、表面積與體積計算公式
表面積
柱體

為直截面周長


椎體



臺體



球




體積
柱體


椎體


臺體


球


2、斜二測畫法
斜二測畫法的主要步驟如下:
(1)建立直角坐標系.在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的,建立直角坐標系.
(2)畫出斜坐標系.在畫直觀圖的紙上(平面上)畫出對應圖形.在已知圖形平行于軸的線段,在直觀圖中畫成平行于使(或),它們確定的平面表示水平平面.
(3)畫出對應圖形.在已知圖形平行于軸的線段,在直觀圖中畫成平行于軸的線段,且長度保持不變;在已知圖形平行于軸的線段,在直觀圖中畫成平行于軸,且長度變?yōu)樵瓉淼囊话?可簡化為“橫不變,縱減半”.
(4)擦去輔助線.圖畫好后,要擦去軸、軸及為畫圖添加的輔助線(虛線).被擋住的棱畫虛線.
注: 直觀圖和平面圖形的面積比為.
3、外接球與內切球
類型1：正方體或長方體外接球的球心在其體對角線的中點。
類型2：正棱柱或直棱柱(圓柱)的球心在上下底面外心連線中點處。
推論：垂面模型（一條直線垂直于一個平面）可補成直三菱柱或長方體。
公式：,（R為外接球半徑，r為底面外接圓半徑，h為棱錐的高，r可根據正弦定理
類型3：正棱錐（圓錐）模型(側棱相等，底面為正多邊形）的球心在其頂點與底面外心連線線段(或延長線）上。
半徑公式：（R為外接球半徑，r為底面外接圓半徑，h為棱錐的高，r可根據正弦定理
類型4：若棱錐的頂點可構成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點就是其外接球的球心。
類型5：錐體的內切球問題
三棱錐是任意三棱錐，求其的內切球半徑
方法：等體積法，即內切球球心與四個面構成的四個三棱錐的體積之和相等
第一步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積；
第二步：設內切球的半徑為，建立等式：

第三步：解出
【典例例題】
例1．（2023·江西上饒·高三校聯(lián)考階段練習）用一平面去截一長方體，則截面的形狀不可能是（????）
A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形
【答案】D
【解析】

如圖，用平面去截正方體時最多和六個面相交得六邊形，
因此截面的形狀可能有：三角形、四邊形、五邊形、六邊形，
不可能為七邊形，
故選:D.
例2．（2023·高三課時練習）圓臺的上、下底面半徑分別為5cm和12cm，高為24cm，則圓臺的母線長為（????）．
A．25cm B．30cm C．35cm D．36cm
【答案】A
【解析】如圖是圓臺的軸截面，圓臺的上、下底面半徑分別為5cm和12cm，高為24cm，

則該圓臺的母線長為：；
故選：A．
例3．（2023·吉林長春·高三?？茧A段練習）某全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為h（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地球看作是一個球心為O，半徑r為的球，其上點A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數.地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為?，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為（單位：km2），若，則S占地球表面積的百分比約為（????）
A．26% B．33% C．42% D．50%
【答案】B
【解析】設表示衛(wèi)星，過作截面，截地球得大圓，
過作圓的切線,線段交圓于點，

如圖，，
則又因為，
所以，
設地球表面積為，
所以，
故選:B.
例4．（2023·全國·高三專題練習）若水平放置的四邊形按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中，，，，則原四邊形中的長度為（????）

A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】過點作,垂足為.
因為，，，；
，所以原四邊形中的長度為2.
故選：B

例5．（2023·陜西西安·?？寄M預測）“李白斗酒詩百篇，長安市上酒家眠”，本詩句中的“斗”的本義是指盛酒的器具，后又作為計量糧食的工具，某數學興趣小組利用相關材料制作了一個如圖所示的正四棱臺來模擬“斗”，用它研究“斗”的相關幾何性質，已知該四棱臺的上、下底的邊長分別是2、4，高為1，則該四棱臺的表面積為（????）

A． B．32 C． D．
【答案】C
【解析】根據題意可知：該四棱臺的側面都是上底邊長為2，下底邊長為4的等腰梯形，
所以側面的斜高為，則，
上下底底面面積分別為，
所以該四棱臺的表面積為，
故選：.
例6．（2023·全國·高三專題練習）在正四棱錐中，，若正四棱錐的體積是8，則該四棱錐的側面積是（????）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【解析】如圖，連接AC，BD，記，連接OP，所以平面ABCD.

取BC的中點E，連接.
因為正四棱錐的體積是8，所以，解得.
因為，所以在直角三角形中,，
則的面積為，
故該四棱錐的側面積是.
故選：C
例7．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）“陽馬”，是底面為矩形，且有一條側棱與底面垂直的四棱錐．《九章算術》總結了先秦時期數學成就，是我國古代內容極為豐富的數學巨著，對后世數學研究產生了廣泛而深遠的影響．書中有如下問題：“今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺．問積幾何？” 其意思為：“今有底面為矩形，一條側棱垂直于底面的四棱錐，它的底面長、寬分別為尺和尺，高為8尺，問它的體積是多少？”若以上的條件不變，則這個四棱錐的外接球的表面積為（????）平方尺.

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

如圖所示，這個四棱錐的外接球和長方體的外接球相同，所以外接球的半徑為，外接球的表面積.
故選：C.
例8．（2023·甘肅蘭州·高三蘭化一中?？茧A段練習）已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五個點，四邊形ABCD為梯形，AD//BC，AB=DC=AD=1，BC=PA=2，PD⊥平面ABCD，則球O的表面積為（????）
A．6π B．7π C．4π D．8π
【答案】B
【解析】如圖：

由題可知，四邊形為等腰梯形，取的中點，
連接，則
且，所以四邊形為平行四邊形
故
所以四邊形為菱形，
連接，因為且
所以四邊形為平行四邊形，即
，
所以到的距離相等，
故為球小圓的圓心.
取的中點，作，且
又因為平面
所以四邊形為矩形，
因為,
所以
在直角三角形中，球的半徑為：

故球的表面積為：
故選：B.
例9．（2023·山西太原·高三山西大附中?？茧A段練習）一個圓錐的側面展開圖是半徑為的半圓，則此圓錐的內切球的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設圓錐底面半徑為，則，解得：；
圓錐的軸截面是邊長為的正三角形，
此正三角形內切圓的半徑為，即圓錐內切球半徑，
圓錐內切球的表面積.
故選：C.
例10．（2023·全國·高三專題練習）長方體的三個相鄰面的面積分別是8，8，16，則該長方體外接球的體積為（????）
A．24π B．32π C．36π D．48π
【答案】C
【解析】設長方體的長、寬、高分別為、、，則，，，解得，，所以長方體外接球的半徑為，所以外接球的體積為.
故選：C.
例11．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）如果兩個球的表面積之比為4∶9，那么這兩個球的體積之比為（　?。?br /> A．2∶3 B．4∶9 C．8∶27 D．16∶81
【答案】C
【解析】設兩球的半徑分別為，則，∴，所以兩球的體積比為；
故選：C.
例12．（2023·全國·高三專題練習）在直三梭柱中，，且三梭柱的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】三棱柱的側棱垂直于底面，，，，
可將棱柱補成長方體，且長方體的長寬高分別為3,4,12.
長方體的對角線，即為球的直徑.
球的半徑，
球的表面積為.
故選：C．
【技能提升訓練】
一、單選題
1．（2023春·安徽·高三校聯(lián)考開學考試）已知圓錐的母線長為10，側面展開圖的圓心角為，則該圓錐的體積為（????）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】記圓錐的底面半徑為r，則，解得，
∴圓錐的高，
∴該圓錐的體積為．
故選：D．
2．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）若圓錐的側面展開圖為一個半圓面，則它的底面面積與側面面積之比是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設圓錐的底面圓的半徑為，扇形的半徑為，由題意可得，，
所以，該圓錐的側面積為，底面積為，
所以，該圓錐的底面面積與側面面積之比是.
故選：D.
3．（2023·高三課時練習）如圖，圓柱的高為2，底面周長為16，四邊形ACDE為該圓柱的軸截面，點B為半圓弧CD的中點，則在此圓柱的側面上，從A到B的路徑中，最短路徑的長度為（????）．

A． B． C．3 D．2
【答案】B
【解析】圓柱的側面展開圖如圖所示，由題得,
所以.
所以在此圓柱的側面上，從A到B的路徑中，最短路徑的長度為.
故選：B

4．（2023·河北唐山·高三開灤第二中學?？计谀┰诠畔ＥD數學家歐幾里得的著作《幾何原本》中，把軸截面為等腰直角三角形的圓錐稱為直角圓錐.在直角圓錐中，點與底面圓都在同一個球面上，若球的表面積為，則圓錐的側面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圓錐的軸截面為等腰直角三角形，如圖所示：

在直角圓錐中，點與底面圓都在同一個球面上，由，所以為球的直徑，
若球的表面積為，由，球的半徑，
則圓錐底面半徑，圓錐母線長，
所以圓錐的側面積為.
故選：A
5．（2023·全國·高三專題練習）如圖，是水平放置的△AOB的直觀圖，但部分圖象被茶漬覆蓋，已知為坐標原點，頂點、均在坐標軸上，且△AOB的面積為12，則的長度為（????）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】畫出△AOB的原圖為直角三角形，且，
因為，所以，
所以.
故選：B.

6．（2023·全國·高三專題練習）如圖，梯形是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中，，，則原圖形的面積為（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題得,
所以.
故選：B．

7．（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預測）已知一個圓柱體積為，底面半徑為，則與此圓柱同底且體積相同的圓錐的側面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設圓錐的高為，所以圓錐的體積為，所以，
所以圓錐的母線，
得圓錐的側面積為，
故選：B.
8．（2023春·江蘇常州·高三校聯(lián)考開學考試）已知正三棱柱與以的外接圓為底面的圓柱的體積相等，則正三棱柱與圓柱的側面積的比值為（????）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】設的邊長為，外接圓半徑為，，
由正弦定理得，則，，
設圓柱的高為，V圓柱，，
正三棱柱的側面積S棱柱，圓柱的側面積S圓柱，
正三棱柱與圓柱的側面積的比值為
故選：D.
9．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習）中國某些地方舉行婚禮時要在吉利方位放一張桌子，桌子上放一個裝滿糧食的升斗，斗面用紅紙糊住，斗內再插一桿秤、一把尺子，寓意為糧食滿園、稱心如意、十全十美．下圖為一種婚慶升斗的規(guī)格，把該升斗看作一個正四棱臺，忽略其壁厚，則該升斗的容積約為（????）（參考數據：，參考公式：）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意，正四棱臺中，設棱臺的高為，則，
故.
故選：B
10．（2023·河南·高三安陽一中校聯(lián)考階段練習）若棱長均相等的正三棱柱的體積為，且該三棱柱的各個頂點均在球O的表面上，則球O的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設該正三棱柱棱長為，底面三角形的外接圓半徑為，則，則底面三角形的外接圓的半徑為.
設三棱柱的外接球半徑為，則.
故選：D
11．（2023·福建·統(tǒng)考一模）在正四棱臺中，，且各頂點都在同一球面上，則該球體的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖所示的正四棱臺，，取上下兩個底面的中心，連接，，，過點作底面的垂線與相交于點，
因為四棱臺為正四棱臺，所以外接球的球心一定在上，在上取一點為球心，連接，則，設，

因為，所以，
，
在中，，即，
在中，，即，
解得，所以，
故選：A.
12．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）已知側棱長為的正四棱錐各頂點都在同一球面上．若該球的表面積為，則該正四棱錐的體積為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設四棱錐為 ，底面 的中心為O，

設外接球的半徑為R，底面正方形的邊長為2a，四棱錐的高為 ，則 ， ，
當外接球的球心在錐內時為 ，在 中， ，
即…① ，在 中， ，即 …②，
聯(lián)立①②，解得 （舍）；
當外接球的球心在錐外時為 ，在 中，，
即…③，在 中， ，即 …④，
聯(lián)立③④解得 ，四棱錐的體積 ；
故選：D.
13．（2023·全國·高三專題練習）一個正方體的頂點都在同一個球的球面上，該正方體的棱長為a，則球的表面積是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】正方體的對角線是球的直徑，所以，則，
所以球的表面積
故選：D.
14．（2023·全國·高三專題練習）已知四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，若四棱錐P-ABCD外接球的表面積為，則四棱錐P-ABCD的體積為（????）
A．3 B．2 C． D．1
【答案】D
【解析】設四棱錐P-ABCD外接球的半徑為R，則，即．
由題意，易知，得，
設，得，解得，
所以四棱錐P-ABCD的體積為．
故選：D
15．（2023·黑龍江哈爾濱·高三?？茧A段練習）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．
故選：A．

16．（2023春·河南·高三商丘市回民中學校聯(lián)考開學考試）如圖，青銅器的上半部分可以近似看作圓柱體，下半部分可以近似看作兩個圓臺的組合體，已知，則該青銅器的表面積為（????）（假設上、下底面圓是封閉的）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為，，
所以該青銅器的表面積.
故選：A.
二、多選題
17．（2023·浙江杭州·高三浙江省桐廬中學期末）下列命題正確的是（????）
A．兩個面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺
B．棱柱的側棱都相等，側面都是平行四邊形
C．用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形
D．棱柱的面中，至少有兩個面互相平行
【答案】BD
【解析】對A，棱臺指一個棱錐被平行于它的底面的一個平面所截后，截面與底面之間的幾何形體，其側棱延長線需要交于一點，故A錯誤；
對B，棱柱的側棱都相等，側面都是平行四邊形，故B正確；
對C，用平面截圓柱得到的截面也可能是橢圓，故C錯誤；
對D，棱柱的面中，至少上下兩個面互相平行，故D正確；
故選：BD
三、填空題
18．（2023·高三課時練習）一個正方體的展開圖如圖所示，為原正方體的頂點，則在原來的正方體中，與的位置關系為______．

【答案】異面直線
【解析】由正方體的展開圖復原正方體的直觀圖如圖：

則在原來的正方體中，與的位置關系為異面直線，
故答案為：異面直線
19．（2023·高三課時練習）已知一個正三棱錐的底面邊長為3，側棱長為，則該正三棱錐的高為______．
【答案】3
【解析】如圖，正三棱錐中，底面是邊長為3的等邊三角形，
側棱長為，

設O為的中心，
取中點D，連結，則O在上，為三棱錐的高，
則，，
故，
∴正三棱錐的高為3，
故答案為：3
20．（2023·高三課時練習）若△OAB的斜二測直觀圖為如圖所示的，則原△OAB的面積為______．

【答案】6
【解析】因為，，，
所以，，
所以的面積為，
故答案為：6
21．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，梯形ABCD是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中，，，則原圖形的面積為______．

【答案】
【解析】因為，， ，
所以，，
所以．
故答案為：．

22．（2023·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學?？计谀┮阎忮F的所有頂點都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，，則球O的體積是___________.
【答案】
【解析】根據余弦定理得，故，
根據正弦定理得，故，其中為三角形外接圓半徑，
設為三棱錐外接球的半徑，則，故，
則球的表面積.
故答案為：

23．（2023·全國·高三專題練習）已知三棱錐中， 面， 則三棱錐的外接球的體積為___________.
【答案】
【解析】

由題可知,該三棱錐在長方體中，且三棱錐的四個頂點為長方體的四個頂點，
所以三棱錐的外接球即為長方體的外接球，
由圖可知長方體的長寬高分別為，
所以體對角線長，
所以外接球的體積等于.
故答案為:.
24．（2023·高三課時練習）已知某球體的體積與其表面積的數值相等，則此球體的半徑為_________．
【答案】
【解析】假設球體的半徑為，由已知條件球體的體積與其表面積數值相等，
得，解得.
故答案為：
25．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，是同一球面上的四個點，其中是正三角形，平面，，，則該球的表面積為______.
【答案】
【解析】由題意，的外接圓直徑，且的外接圓直徑，與外接球直徑構成勾股定理，所以外接球直徑滿足.
故外接球表面積.

故答案為：
26．（2023·全國·高三專題練習）已知長方體的三條棱長分別為1，，，則該長方體外接球的表面積為___．（結果用含的式子表示）
【答案】
【解析】由題意得，長方體的體對角線即為外接球直徑，設外接球半徑為，則，則外接球的表面積為.
故答案為：.
27．（2023·全國·高三專題練習）已知直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若，則此球的表面積為_________．
【答案】
【解析】設的外心分別為 ,連接，可知外接球的球心為的中點，連接
在，由正弦定理可得的外接圓的半徑 ,在直角三角形 中，外接球的半徑 ,所以外接球的表面積為
故答案為：

28．（2023·江蘇南京·高三南京師范大學附屬中學江寧分校校聯(lián)考期末）已知正四棱臺的上、下底面的頂點都在一個半徑為3的球面上,上、下底面正方形的外接圓半徑分別為1和2,圓臺的兩底面在球心的同側,則此正四棱臺的體積為_____．
【答案】
【解析】解:由題知,正四棱臺的上、下底面的頂點都在一個半徑為3的球面上,
取正四棱臺上底面一點為,正方形中心為,
下底面一點為,正方形中心為,
正四棱臺外接球球心為,
連接如圖所示:

記正四棱臺高,,
在直角三角形中,,
所以有,解得,
在直角三角形中,,
所以有,
解得,即,
因為四棱臺上、下底面正方形的外接圓半徑分別為1和2,
所以四棱臺上、下底面正方形的邊長分別為:,,
所以,,
故正四棱臺體積為:.
故答案為: