?重難點(diǎn)02五種導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想（核心考點(diǎn)講與練）

題型一：函數(shù)與方程思想
一、單選題
1．（2022·廣西柳州·三模（理））若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則的最大值為（???????）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，結(jié)合題設(shè)可得，再根據(jù)目標(biāo)式構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值即可.
【詳解】由題設(shè)，，則，而，
所以處的切線方程為，
則，故，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，即遞增；當(dāng)時(shí)，，即遞減；
所以，故的最大值.
故選：A
2．（2022·浙江·寧波市鄞州高級中學(xué)高三開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)， 函數(shù)， 滿足， 則的最大值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)且，應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系求得，，進(jìn)而代換目標(biāo)式得到以為參數(shù)、為自變量的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，構(gòu)造函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，即可求最大值.
【詳解】令是的兩個(gè)零點(diǎn)，由題設(shè)若，
由根與系數(shù)關(guān)系有：，，
所以，
由且，即，
所以，
令，則，在上，
所以在上遞增，則.
綜上，，此時(shí)，
所以時(shí)，的最大值.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)的零點(diǎn)并注意，由根與系數(shù)關(guān)系用零點(diǎn)表示m、n，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為以為自變量的二次函數(shù)形式，根據(jù)其開口方向及其最值得到不等關(guān)系，最后構(gòu)造函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求不等式中關(guān)于表達(dá)式的值域.
二、多選題
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱之為“完美點(diǎn)”，下列函數(shù)的圖象中存在完美點(diǎn)的是（???????）
A．y=﹣2x B．y=x﹣6 C．y= D．y=x2﹣3x+4
【答案】AC
【分析】橫縱坐標(biāo)相等的函數(shù)即，與有交點(diǎn)即存在完美點(diǎn)，依次計(jì)算即可.
【詳解】橫縱坐標(biāo)相等的函數(shù)即，與有交點(diǎn)即存在完美點(diǎn)，
對于A,，解得，即存在完美點(diǎn)，
對于B,，無解，即不存在完美點(diǎn)，
對于C,，解得或，即存在完美點(diǎn)，
對于D,， ,即，解得，即不存在完美點(diǎn)，
故選：AC.
三、雙空題
4．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)（文））如圖，某城市公園內(nèi)有一矩形空地，，，現(xiàn)規(guī)劃在邊上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，且滿足，在△內(nèi)建造噴泉瀑布，在△內(nèi)種植花卉，其余區(qū)域鋪設(shè)草坪，并修建棧道作為觀光路線（不考慮寬度），則當(dāng)______時(shí)，棧道最短，此時(shí)_______．

【答案】???? ????
【分析】由題設(shè)有△△，設(shè)，根據(jù)圖形中邊角關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)可得，注意的范圍，進(jìn)而應(yīng)用換元法并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值.
【詳解】由題意， △△，
設(shè)，則．
在△中，得，則．
由于，解得.
令，，則．
令，則，
當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減；
所以，有最大值，則.
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：注意根據(jù)，的長度判斷對應(yīng)三角函數(shù)值的范圍.
四、解答題
5．（2021·全國·模擬預(yù)測）．
（Ⅰ）若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)有三個(gè)不相同的零點(diǎn)，求證：．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.
【分析】（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系及零點(diǎn)的性質(zhì)，即可求解；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，利用零點(diǎn)存在性定理及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得證．
【詳解】（Ⅰ）由題得定義域?yàn)?，?br /> ∵有兩個(gè)極值點(diǎn)，
∴在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)．
設(shè)函數(shù)，
則，
當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞增，
可得的最小值為，
∴．
（Ⅱ）證明：，
設(shè)的兩根為，，且，
∴，，
可得，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
當(dāng)時(shí)，
依題意有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
∴，，
構(gòu)造函數(shù)，
則，
當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，
且，，
，，
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理得，使；，使．令，，則，，
又，，，
∴．
6．（2021·河南平頂山·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)在處的切線與直線平行
（1）求實(shí)數(shù)的值，并求的極值；
（2）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，，求證：.
【答案】（1），極小值為；（2）證明見解析.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線的斜率求出的值，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可得到極值；
（2）令，，構(gòu)造函數(shù)，原題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，利用導(dǎo)數(shù)可得，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得，利用單調(diào)性，可得轉(zhuǎn)化為即可求證.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?br /> 由題意知，
，令，則，
當(dāng)時(shí)，；時(shí)，.
的極小值為
（2）由（1）知，由得，
即，
所以.
，不妨設(shè)
令，，
則原題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，
又，令，得；令，得，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又時(shí)，，，，
由圖象可知，，.
設(shè)，
則.
當(dāng)時(shí)，，則
在上單調(diào)遞減.
又
時(shí)，，得到，即，
又，，
又，則，且，在上單調(diào)遞增，
，即，即.
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某地打算修建一條公路，但設(shè)計(jì)路線正好經(jīng)過一個(gè)野生動物遷徙路線，為了保護(hù)野生動物，決定修建高架橋，為野生動物的遷徙提供安全通道.若高架橋的兩端及兩端的橋墩已建好，兩端的橋墩相距1200米，余下的工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)預(yù)測，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為500萬元，距離為x米的相鄰兩橋墩之間的橋面工程費(fèi)用為萬元，假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其它因素，記余下工程的費(fèi)用為y萬元.
(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)需新建多少個(gè)橋墩才能使y最??？并求出其最小值.參考數(shù)據(jù)：，
【答案】(1)
(2)需新建個(gè)橋墩才能使y最小，最小值為萬元.
【分析】（1）利用題中的已知條件設(shè)出需要建設(shè)橋墩的個(gè)數(shù)，進(jìn)而表示出工程的費(fèi)用即可；
（2）利用（1）的結(jié)果，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求出最值.
(1)由已知兩端的橋墩相距1200米，且相鄰兩橋墩相距x米，故需要建橋墩個(gè)，
則


所以y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，
(2)由（1）知

令，即，解得（舍）或
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
所以當(dāng)時(shí)，y有最小值，
且
又
（萬元）
所以需新建個(gè)橋墩才能使y最小，最小值為萬元.
題型二：數(shù)形結(jié)合思想
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，已知直線與曲線相切于兩點(diǎn)，函數(shù)，則對函數(shù)描述正確的是（???????）

A．有極小值點(diǎn)，沒有極大值點(diǎn) B．有極大值點(diǎn)，沒有極小值點(diǎn)
C．至少有兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn) D．至少有一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)
【答案】C
【分析】由題設(shè)，令與切點(diǎn)橫坐標(biāo)為且，由圖存在使，則有三個(gè)不同零點(diǎn)，結(jié)合圖象判斷的符號，進(jìn)而確定單調(diào)性，即可確定答案.
【詳解】由題設(shè)，，則，
又直線與曲線相切于兩點(diǎn)且橫坐標(biāo)為且，
所以的兩個(gè)零點(diǎn)為，由圖知：存在使，
綜上，有三個(gè)不同零點(diǎn)，
由圖：上，上，上，上，
所以在上遞減，上遞增，上遞減，上遞增.
故至少有兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn).
故選：C.
2．（2021·河南·西南大學(xué)附中高三期中（文））已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)當(dāng)時(shí)，滿足則的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，，，，所以，令，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，求出在時(shí)的值域，從而得到的取值范圍．
【詳解】由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，，，，
，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
又當(dāng)時(shí)，，且，
，
，
的取值范圍為，
故選：D．
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，函數(shù)的圖象上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作其切線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作其切線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作其切線，交于點(diǎn)，則的取值（???????）

A．與有關(guān)，且存在最大值 B．與有關(guān)，且存在最小值
C．與有關(guān)，但無最值 D．與無關(guān)，為定值
【答案】D
【分析】先證明一個(gè)結(jié)論：函數(shù)的圖象上任取一點(diǎn)，.
過點(diǎn)作其切線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于另兩個(gè)點(diǎn) ，則；利用該結(jié)論即可求出的橫坐標(biāo)關(guān)于的表達(dá)式，進(jìn)而求出直線與的方程，聯(lián)立直線與的方程，即可求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)，即可求出結(jié)果.
【詳解】先證函數(shù)的圖象上任取一點(diǎn)，.
過點(diǎn)作其切線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于另兩個(gè)點(diǎn) ，則.
證明:設(shè)過點(diǎn)的直線為，聯(lián)立得: ，得方程

則方程必有一根，于是方程可改寫為，其中，
當(dāng)與相切于點(diǎn)時(shí)，方程有重根，韋達(dá)定理知；
當(dāng)與相交于點(diǎn)時(shí)，方程有另兩個(gè)根，
韋達(dá)定理知.
故.

由于函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，
設(shè)，連結(jié)，交于另一點(diǎn)，由對稱性，則，由上述結(jié)論，則，所以；

設(shè)，連結(jié)交于另一點(diǎn)由對稱性，則，由上述結(jié)論，則，所以
.
于是直線為，直線為，
聯(lián)立得: ，解得，
所以，故的取值與無關(guān)，為定值.
故選：D.
二、多選題
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，下列說法正確的有（???????）
A．函數(shù)是周期函數(shù) B．函數(shù)有唯一零點(diǎn)
C．函數(shù)有無數(shù)個(gè)極值點(diǎn) D．函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)
【答案】CD
【分析】根據(jù)不是周期函數(shù)，從而可判斷選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
令，，，
作出與的圖象，由圖象可判斷選項(xiàng)B；
作出與的圖象，由圖可判斷選項(xiàng)C；
通過圖象可判斷在不單調(diào)，從而可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】，
因?yàn)椴皇侵芷诤瘮?shù)，則不是周期函數(shù)，A錯(cuò)；
令，，，
令，則，
作出與的圖象，由圖可知，與的圖象至少有兩個(gè)交點(diǎn)，

至少有兩個(gè)零點(diǎn)，至少有兩個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；
作出與的圖象，由圖可知，有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)

有無數(shù)個(gè)極值點(diǎn)，即有無數(shù)個(gè)極值點(diǎn)，C正確；
因?yàn)樵谟辛泓c(diǎn)，所以在不單調(diào)，
在不單調(diào)，D正確；
故選：CD.
三、雙空題
5．（2022·湖南·長沙一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，則方程的根為________．若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
【答案】???? 或2；???? .
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，可得，可得一根，當(dāng)
時(shí)，直接求解可得.
（2）先運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，并作出函數(shù)的圖象，再根據(jù)圖象列出函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)所需要的條件，即可求得結(jié)果.
【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，
令，得，并且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，故當(dāng)時(shí)，有唯一根，
當(dāng)時(shí)，，令，解得（舍去）或2，
故當(dāng)時(shí)，的根為2，
綜上，根為或2；
（2）因?yàn)椋?br /> 當(dāng)時(shí)，由（1），則，
當(dāng)時(shí)，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且僅當(dāng)，且，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，則有或，
即或，

由圖象得，要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且，
則或或
解得實(shí)數(shù)的取值范圍是
故答案是：或2；.
6．（2022·廣東·金山中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)則函數(shù)的最小值為________；若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．
【答案】???? ????
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在每段上的最小值，比較大小即可；求出過點(diǎn)且與相切的直線的斜率，再由數(shù)形結(jié)合可得出與有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)的斜率取值范圍，即可得解.
【詳解】令，表示過定點(diǎn)，斜率為的動直線，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，
，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)圖象與直線，如圖所示，

關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)根，等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，的圖象在點(diǎn)處切線斜率為，
該切線過點(diǎn)時(shí)，滿足，解得，
的圖象過點(diǎn)的切線斜，
當(dāng)時(shí)，，的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為，該切線過點(diǎn)時(shí)，，
，解得，
的圖象過點(diǎn)的切線斜率為2，
由函數(shù)圖象知，當(dāng)動直線在直線與所夾不含軸的對頂角區(qū)域內(nèi)轉(zhuǎn)動（不含邊界直線）時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)的取值范圍是．
故答案為：；
四、填空題
7．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，，若關(guān)于x的方程在區(qū)間上恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而設(shè)，然后先通過導(dǎo)數(shù)的方法探討函數(shù)的圖象和性質(zhì)，再討論關(guān)于t的方程的根的分布，最后求得答案.
【詳解】問題即在區(qū)間上恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.
設(shè)，，則時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且.如示意圖：
?????
由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，于是問題關(guān)于t的的方程即在上有2個(gè)不等實(shí)根.
設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)為，易知.
于是，.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題較難，首先直接處理較為麻煩，因此對原方程進(jìn)行恒等變形，進(jìn)而采用“換元法”降低試題的難度.另外，我們經(jīng)常采用“數(shù)形結(jié)合法”進(jìn)行輔助解題，這樣更加形象和直觀.
題型三：分類與整合思想
一、多選題
1．（2022·重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中常數(shù)，，則下列說法正確的有（???????）
A．函數(shù)的定義域?yàn)?br /> B．當(dāng)，時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)
C．不存在實(shí)數(shù)和m，使得函數(shù)恰好只有一個(gè)極值點(diǎn)
D．若，則“”是“函數(shù)是增函數(shù)”的充分不必要條件
【答案】BC
【分析】A判斷時(shí)的定義域情況即可；B利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，判斷是否有兩個(gè)變號零點(diǎn)即可；C、D對求導(dǎo)，構(gòu)造結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)討論和m，應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理判斷變號零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，進(jìn)而判斷極值點(diǎn)個(gè)數(shù)及單調(diào)性.
【詳解】A：當(dāng)時(shí)定義域?yàn)?，錯(cuò)誤；
B：且定義域?yàn)椋瑒t，
而在上遞減，上遞增，且，，
所以在上各有一個(gè)變號零點(diǎn)，則有兩個(gè)極值點(diǎn)，正確；
C：，則，
令，則圖象開口向上，對稱軸且，
要使有極值點(diǎn)，必有變號零點(diǎn)，則，所以或，
當(dāng)時(shí)，則定義域?yàn)?，又?br /> 此時(shí)則，故在上遞增，又，即，無極值點(diǎn)；
此時(shí)則，則在遞減，遞增，
故、各有一個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)變號零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，則定義域?yàn)?，且，?br /> 則在上遞增，又，即，無極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，?br /> 此時(shí)則，故在上遞減，遞增，
又，，趨向正無窮趨于正無窮，故在、各有一個(gè)變號零點(diǎn)，即有兩個(gè)變號零點(diǎn)；
此時(shí)則，則在遞增，又，即，無極值點(diǎn)；
綜上，不存在實(shí)數(shù)和m，使得函數(shù)恰好只有一個(gè)極值點(diǎn)，正確；
D：結(jié)合C分析：當(dāng)且時(shí)有，則在上恒正，即，此時(shí)是增函數(shù)；
當(dāng)且時(shí)有，則在，各有一個(gè)零點(diǎn)，易得有兩個(gè)變號零點(diǎn)，此時(shí)不單調(diào)，
命題的充分性不成立，錯(cuò)誤.
故選：BC
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：C、D首先對求導(dǎo)，構(gòu)造，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)討論參數(shù)判斷變號零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及單調(diào)性.
二、解答題
2．（2022·四川南充·三模（理））已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，，若，求證：對于任意，函數(shù)有唯一零點(diǎn)．
【分析】（1）求導(dǎo)，通過討論的范圍研究導(dǎo)函數(shù)的符號變化，進(jìn)而研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，再次求導(dǎo)研究.的單調(diào)性，再利用放縮法進(jìn)行轉(zhuǎn)化求證.
(1)解：的定義域?yàn)椋?br /> 且，
當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由得，，
所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，
①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
即時(shí)，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，
即時(shí)，
由得，
所以在、單調(diào)遞減，
在單調(diào)遞增；
綜上所述：
①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，
在單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
③時(shí)，在單調(diào)遞減；
④當(dāng)時(shí)，在、
單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
(2)解：當(dāng)時(shí)，，

，
令，則．
則在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減．
所以
所以
在單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，由
得
當(dāng)時(shí)，
由
得
存在唯一，使得函數(shù)．
所以對于任意，函數(shù)有唯一零點(diǎn)．
3．（2022·云南·二模（文））已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，，常數(shù)a是實(shí)數(shù).
(1)設(shè)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)，都有，求a的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先求出，再求導(dǎo)得到，即可求出切線方程；
（2）令，求導(dǎo)后令，通過得到在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，符合題意，當(dāng)時(shí)，說明，使，不合題意，即可求解.
(1)設(shè)，則，
∴，，
∴，
∴曲線在點(diǎn)處的切線方程頭，即．
∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
(2)設(shè),
則．
設(shè)，則．
∴函數(shù)在單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，．
∴，故在單調(diào)遞增．
又∵，故對任意都成立．
即當(dāng)時(shí)，，都有,即．
當(dāng)時(shí)，，
，
∴，使．
∵函數(shù)在單調(diào)遞增，
∴，都有．
∴在單調(diào)遞減．
∴，使，即，使，與，都有矛盾．
綜上所述，a的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后令，通過得到的單調(diào)性，求得的最小值，再討論當(dāng)時(shí)，得到在單調(diào)遞增，符合題意，當(dāng)時(shí)，說明，使，不合題意，即可求解.
4．（2022·湖南師大附中二模）已知函數(shù).
(1)若，比較與的大??；
(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【答案】(1)
(2)當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)可求得，再分和兩種情況討論，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理，從而可得出結(jié)論.
(1)解：當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br /> 所以；
(2)解：，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，
所以，
即，
①若，即，則，在上遞增，
因?yàn)椋瑒t為的唯一零點(diǎn)；
②若，即，則，
因?yàn)椋?，則在內(nèi)僅有個(gè)零點(diǎn)，記為n，
因?yàn)椋?br /> 設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，
所以在內(nèi)單調(diào)遞增，
從而，即，
所以在內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)，記為m，
于是，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減，
因?yàn)椋?，則，，
故在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，
因?yàn)椋?br /> 則在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，
因?yàn)椋?br /> 則在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，
所以在內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn).
綜上所述，當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn).
【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)的問題，考查了二次求導(dǎo)，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力及分類討論思想，屬于難題.
5．（2022·河北唐山·二模）已知函數(shù)，，曲線和在原點(diǎn)處有相同的切線l．
(1)求b的值以及l(fā)的方程；
(2)判斷函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由．
【答案】(1)，的方程：.
(2)在上有1個(gè)零點(diǎn)，理由見解析.
【分析】（1）根據(jù)曲線和在原點(diǎn)處有相同的切線l，則可知斜率相等，進(jìn)一步求出b的值以及l(fā)的方程；
（2）函數(shù)零點(diǎn)即是圖象與軸的交點(diǎn)，需要用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)，其中要進(jìn)行二次求導(dǎo)，運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理說明函數(shù)的零點(diǎn)情況.
(1)依題意得： ，.
，
，的方程：.
(2)當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)無零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，
令
則，顯然在上單調(diào)遞增，
又，，所以存在使得，
因此可得時(shí)，，單調(diào)遞減；
時(shí)，，單調(diào)遞增；又，
所以存在，使得，
即時(shí)，，，單調(diào)遞減；
時(shí)，，，單調(diào)遞增；
又，，所以在上有一個(gè)零點(diǎn).
綜上，在上有1個(gè)零點(diǎn).
【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義、函數(shù)的零點(diǎn)、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理，知識考查較為綜合，對學(xué)生是一個(gè)挑戰(zhàn)，屬于難題.
6．（2022·湖北·武漢市武鋼三中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析(2)
【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)后對a分類討論，解不等式得出函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可；
（2）由題意轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，記，利用導(dǎo)數(shù)可得，再利用導(dǎo)數(shù)及零點(diǎn)的性質(zhì)求出即可得解.
(1)
①當(dāng)時(shí)，時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)，即時(shí)，在上遞減；
②當(dāng)時(shí)，令，得或，函數(shù)遞增；
令，得，函數(shù)遞減
③當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在R上遞增
④當(dāng)時(shí)，令，得或，函數(shù)遞增；
令，
得，函數(shù)遞減.
(2)不等式在上恒成立，
即對任意的恒成立，
對任意的恒成立
記，則，
記，則，易知在上恒成立，
在上單調(diào)遞增，且，
存在，使得，且當(dāng)時(shí)，即，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，即，故在上單調(diào)遞增，
，即，
又，故，即，
令
在上恒成立，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，且值域?yàn)椋?br />
.
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求出函數(shù)后，需要再次利用導(dǎo)數(shù)及零點(diǎn)存在性定理，確定的單調(diào)性及極值是解題的關(guān)鍵，需要較強(qiáng)的運(yùn)算及思維能力，當(dāng)?shù)玫胶?，再根?jù)零點(diǎn)的定義及函數(shù)單調(diào)性求出，屬于難題.
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若存在唯一極值點(diǎn)，且極值為0，求a的值；
(2)討論函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【答案】(1)
(2)當(dāng)或時(shí)，在上無零點(diǎn)；
當(dāng)或時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn)．
【分析】（1）求出，分、兩種情況討論的單調(diào)性，然后可得答案；
（2）分類討論在區(qū)間上的單調(diào)性，每種情況下結(jié)合的函數(shù)值的符號判斷其零點(diǎn)個(gè)數(shù).
(1)（1）由已知，可得．
①當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，
此時(shí)不存在極值點(diǎn)，不符合題意；
②當(dāng)時(shí)，則由得或（舍）．
∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
∴存在唯一極大值點(diǎn)．
∴，解得
(2)（1）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增．
∵，，
由零點(diǎn)存在性定理知函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn).
（2）當(dāng)時(shí)，，由（1）知在上單調(diào)遞增，
∵，，
由零點(diǎn)存在性定理知函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).
（3）當(dāng)時(shí)，，知在上單增，在上單減，
①當(dāng)時(shí)，∵，，，
由零點(diǎn)存在性定理知函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).
②當(dāng)時(shí)，∵，，，
由零點(diǎn)存在性定理知函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).
③當(dāng)時(shí)，∵，，，
由零點(diǎn)存在性定理知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn).
（4）當(dāng)時(shí)，，由（1）知在上單調(diào)遞減，
∵，，
由零點(diǎn)存在性定理知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn).
綜上，當(dāng)或時(shí)，在上無零點(diǎn)；
當(dāng)或時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是要掌握分類討論的思想，利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值的符號討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
題型四：轉(zhuǎn)化與劃歸思想
一、單選題
1．（2022·廣西南寧·二模（理））設(shè)大于1的兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b滿足，則正整數(shù)n的最大值為（???????）．
A．7 B．9 C．11 D．12
【答案】B
【分析】將已知條件變形為，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值即可.
【詳解】解：易知等價(jià)于．
令，則．
令得．
當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)．
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則有最大值．
令，則．
當(dāng)時(shí)不符合，舍去，所以．
則，．
當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則有最小值．
若成立，只需，
即，即．
兩邊取自然對數(shù)可得．
當(dāng)時(shí)等式成立；當(dāng)時(shí)有．
令，本題即求的最大的正整數(shù)．
恒成立，則在上單調(diào)遞減．
因?yàn)?，，?br /> 所以的最大正整數(shù)為9．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，同時(shí)也考查轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，對解題能力有一定的挑戰(zhàn)性，是難題.
2．（2022·山東·夏津第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知不等式恰有2個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】原不等式等價(jià)于，，設(shè)，，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)結(jié)合圖象可求.
【詳解】原不等式等價(jià)于，，
設(shè)，，所以，得．
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，
又，且時(shí)，，
因此與的圖象如下，

當(dāng)時(shí)，顯然不滿足條件，
當(dāng)時(shí)，只需要滿足，即，解得．
故選：D．
3．（2022·湖南·長郡中學(xué)高三階段練習(xí)）若不等式對任意，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線上的點(diǎn)的距離最小值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求上斜率為1的切線上切點(diǎn)坐標(biāo)，再應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求最小距離，即可得m的范圍.
【詳解】設(shè)，則T的幾何意義是直線上的點(diǎn)與曲線上的點(diǎn)的距離，
將直線平移到與面線相切時(shí)，切點(diǎn)Q到直線的距離最小．
而，令，則，可得，
此時(shí)，Q到直線的距離，故，
所以．
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將題設(shè)不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為求直線與曲線上點(diǎn)的最小距離且，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義、點(diǎn)線距離公式求m的范圍.
二、多選題
4．（2022·廣東廣州·二模）我們常用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，如，表示十進(jìn)制的數(shù)要用10個(gè)數(shù)碼．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而電子計(jì)算機(jī)用的數(shù)是二進(jìn)制數(shù)，只需兩個(gè)數(shù)碼0和1，如四位二進(jìn)制的數(shù)，等于十進(jìn)制的數(shù)13．把m位n進(jìn)制中的最大數(shù)記為，其中m，，為十進(jìn)制的數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（???????）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)問題背景的介紹，可以得到m位n進(jìn)制中的最大數(shù)的書寫方法，進(jìn)而得到選項(xiàng)中最大數(shù)的式子，再進(jìn)行大小比較即可.
【詳解】對于A：即是：，A正確；
對于B：即是：
即是：，B正確；
對于C、D：
，即是：

，即是：

構(gòu)造函數(shù)：，求導(dǎo)得：

，，單調(diào)遞增；
，，單調(diào)遞減；

代入得：
即是：，
，D正確.
故選：ABD
【點(diǎn)睛】本題考查背景知識的從特殊到一般的轉(zhuǎn)化過程，對獲取信息從而抽象成數(shù)學(xué)問題的能力有一定的要求，隨后需要用數(shù)列求和得出需要的結(jié)果，再從構(gòu)造函數(shù)的角度考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，
運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行大小比較，對學(xué)生來說是一個(gè)挑戰(zhàn)，屬難題.
5．（2022·江蘇·高三階段練習(xí)）若正整數(shù)只有1為公約數(shù)，則稱互質(zhì).對于正整數(shù)，是小于或等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：，，，則（?????）
A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增
C． D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，則.
【答案】AC
【分析】根據(jù)定義結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和錯(cuò)位相減求和，依次判斷各選項(xiàng)即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榕c互質(zhì)的數(shù)為1，2，4，5，7，8，10，11，…，，，共有
個(gè)，所以，則數(shù)列為等比數(shù)列，故A正確；
因?yàn)?，所以?shù)列不是單調(diào)遞增數(shù)列，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)?為質(zhì)數(shù)，所以與不互質(zhì)的數(shù)為7，14，21，…，，共有個(gè)，
所以，故C正確；
因?yàn)?，所?br /> 設(shè)，則
所以，
所以，從而數(shù)列的前項(xiàng)和為，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
三、填空題
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，則__________．
【答案】3
【分析】根據(jù)已知條件進(jìn)行同構(gòu)，研究同構(gòu)函數(shù)單調(diào)性得到再轉(zhuǎn)化求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br /> 所以，
令，則，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，即，
所以．
故答案為：3
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值集合是_________．
【答案】
【分析】通過同構(gòu)與換元的轉(zhuǎn)化，將原題轉(zhuǎn)化為求恒成立時(shí)的取值集合，通過觀察可知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，所以，得到，再驗(yàn)證對恒成立的充分性即可.
【詳解】因?yàn)閷愠闪ⅲ?br /> 兩邊同時(shí)除以得，即，
所以，令，，
則對恒成立，
令，則，
顯然，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，
所以，得，
下面驗(yàn)證對恒成立的充分性，
當(dāng)時(shí)，，，
令，得，此時(shí)單調(diào)遞減，
令，得，此時(shí)單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，即是恒成立的充要條件.
所以.
故答案為：
四、解答題
8．（2022·山西晉中·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.
(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞減；
(2).
【分析】（1）首先求其定義域，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求其單調(diào)區(qū)間；
（2）對函數(shù)求導(dǎo)并將其表示成二次函數(shù)與另一個(gè)函數(shù)乘積形式，分段討論函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)極大值點(diǎn)求得的取值范圍.
(1)函數(shù)的定義域?yàn)?br /> 當(dāng)時(shí)， ，
，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
綜上所述，
當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞減.
(2)

令，
當(dāng)時(shí)，由（1）知，為函數(shù)的極大值點(diǎn)，成立；
當(dāng)時(shí)，的圖象開口向上，
，方程有兩根，設(shè)為，且，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
為函數(shù)的極大值點(diǎn)，成立；
當(dāng)或時(shí)，的圖象開口向下，
對稱軸，，，
方程有兩正根，設(shè)為，且，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
令，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
為函數(shù)的極大值點(diǎn)，成立；
當(dāng)時(shí)，的圖象開口向下，，對稱軸，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
為函數(shù)的極大值點(diǎn)，成立；
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，
不是函數(shù)的極值點(diǎn)，舍去；
當(dāng)即時(shí)，的圖象開口向下，
，方程有兩根，設(shè)為，且，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
為函數(shù)的極小值點(diǎn)，舍去；
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】本題用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性以及極值問題時(shí)應(yīng)注意如下幾方面：
(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域；
(2)不能隨意將函數(shù)的2個(gè)獨(dú)立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集形式；
(3)可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號不同；
(4)本題研究極值點(diǎn)的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化成和兩個(gè)函數(shù)；
(5)利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；
(6)若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值．
9．（2022·江西·臨川一中高三期中（文））設(shè)m為實(shí)數(shù)，函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，證明：.（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）
【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)證明見解析
【分析】（1）首先求出定義域，再對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系求解即可；
（2）首先把代入化簡方程，然后根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得出兩根的取值范圍，利用換元法得出兩根的表達(dá)式，接著運(yùn)用分析法從構(gòu)造函數(shù)的角度，利用函數(shù)的單調(diào)性，極值和最值情況證明不等式.
(1)，
令解得：；令解得：
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增.
(2)證明：，
令，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則的極大值為：，
，不妨設(shè)，則 ，故，
令，所以，
要證，只要證：，
只要證：，
令，
設(shè)，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∵，
則存在，使得，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
在上恒成立，
即證得：.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)問題，零點(diǎn)存在性定理，用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題以及用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立問題，對分析問題和解決問題的能力有一定的要求，學(xué)生應(yīng)從基礎(chǔ)入手，層層深入，各個(gè)擊破.
10．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）若，且直線與曲線相切.
(1)求的值；
(2)證明：當(dāng)，不等式對于恒成立.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)為，則有，解之即可的解；
（2）要證當(dāng)，不等式對于恒成立，只需證當(dāng)，不等式對于恒成立，令，只需證明即可，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得證.
(1)解：設(shè)切點(diǎn)為，，
則，解得：，
；
(2)
證明：要證當(dāng)，不等式對于恒成立，
只需證當(dāng)，不等式對于恒成立，
令，
令，
，
令，
則，
所以函數(shù)在上遞增，
所以，
所以，
故，
，
則，
所以函數(shù)在上遞增，
所以，
所以，
所以函數(shù)在上遞增，
即函數(shù)在上遞增，
又，
所以，所以在上遞增，
又因?yàn)?，故恒成立?br /> 即當(dāng)，不等式對于恒成立.
【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，還考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，考查了放縮及轉(zhuǎn)換思想，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力、計(jì)算能力及邏輯推理能力，難度很大.
題型五：特殊與一般思想
一、單選題
1．（2020·全國·高三專題練習(xí)（文））若曲線在處的切線也是的切線，則（???????）
A．-1 B．-2
C．2 D．
【答案】B
【分析】求出曲線在處的切線，設(shè)切線與曲線切于點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)坐標(biāo)，確定值．
【詳解】由得，，又
∴曲線在處的切線方程為
設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)
由得，
∴，，即
∴，解得
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，注意區(qū)分函數(shù)在某點(diǎn)處的切線與過某點(diǎn)的切線．過某點(diǎn)的切線問題一般設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線方程（或切線斜率），利用所過點(diǎn)求出切點(diǎn)坐標(biāo)，得出結(jié)論
2．（2020·全國·高三專題練習(xí)）已知，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】C
【分析】A選項(xiàng)令，進(jìn)行驗(yàn)證即可；B選項(xiàng)令，通過驗(yàn)證結(jié)論成立；C選項(xiàng)當(dāng)時(shí)，舉反例時(shí)，不滿足條件；D選項(xiàng)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)存在極值進(jìn)行判斷．
【詳解】當(dāng)，則，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 此時(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，
由得，，
則當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)函數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)函數(shù)遞減，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值同時(shí)也是最小值，
則對，；故A正確，
當(dāng)，則，則，
故，，，故B正確．
當(dāng)時(shí)，，滿足，但，
故，，不成立，故C錯(cuò)誤．
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
由，則，即，
即，函數(shù)都存在極值點(diǎn)，又，即，成立，故D正確，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假判斷，利用特殊值法和排除法是解決本題的關(guān)鍵．難度較大．
3．（2020·全國·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為，則的值為（???????）
A．2 B．1 C．0 D．?2
【答案】A
【解析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并計(jì)算和的值.
【詳解】因?yàn)?，所以，所?br /> ，
，
所以．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，重點(diǎn)考察計(jì)算，化簡，變形能力，屬于中檔題型.
二、填空題
4．（2020·全國·高三專題練習(xí)）有如下結(jié)論：若無窮等比數(shù)列的公比滿足，則它的各項(xiàng)和．已知函數(shù)?(?)=?2?2?,0???213?(??22),?>2，則的圖象與軸圍成的所有圖形的面積之和為__．
【答案】4
【解析】由已知可得,函數(shù)與軸圍成的所有圖形的面積構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為，公比為的無窮等比數(shù)列,代入公式求解即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，與軸圍成的封閉圖形面積為：；
當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象與軸圍成的封閉圖形長擴(kuò)大2倍，高縮小到,故面積為：；
同理，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象與軸圍成的封閉圖形面積為：；
依次類推可得,函數(shù)的圖象與軸圍成的所有圖形的面積構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為，公比為的無窮等比數(shù)列，
根據(jù)題中的公式得,函數(shù)的圖象與軸圍成的所有圖形的面積之和.
故答案為：4
【點(diǎn)睛】本題考查利用定積分求函數(shù)與軸圍成的封閉圖形的面積和無窮等比數(shù)列的求和公式;通過計(jì)算,得出函數(shù)的圖象與軸圍成的所有圖形的面積構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為，公比為的無窮等比數(shù)列是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.





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