?專題29 圓的有關(guān)概念
【專題目錄】
技巧1：巧用圓的基本性質(zhì)解圓的五種關(guān)系
技巧2：垂徑定理的四種應(yīng)用技巧
技巧3：圓中常見的計(jì)算題型
【題型】一、 圓的周長與面積問題
【題型】二、利用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算
【題型】三、垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用
【題型】四、利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解
【題型】五、利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證
【題型】六、同弧或等弧所對的圓周角相等
【題型】七、直徑所對的圓周角是直角
【考綱要求】
1.理解圓的有關(guān)概念和性質(zhì)，了解圓心角、弧、弦之間的關(guān)系．
2.了解圓心角與圓周角的關(guān)系，掌握垂徑定理及推論.
【考點(diǎn)總結(jié)】一、 圓的有關(guān)概念及性質(zhì)
（1）圓:平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓,圓既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形.
（2）圓具有對稱性和旋轉(zhuǎn)不變性.
（3）不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓.
（4）圓上各點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑.
（5）圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧,大于半圓周的弧稱為優(yōu)弧,小于半圓周的弧稱為劣弧.
（6）連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦,經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.
（7）弧、弦、圓心角的關(guān)系
定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦也相等.?
推論：在同圓或等圓中,兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中如果有一組量相等,則它們所對應(yīng)的其余各組量也分別相等.?
【考點(diǎn)總結(jié)】二、垂徑定理
（1）定理：垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.?
（2）推論1：①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.?
② 弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對的兩條弧.?
③ 平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧.?
（3）推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等.?
注意:軸對稱性是圓的基本性質(zhì),垂徑定理及其推論就是根據(jù)圓的軸對稱性總結(jié)出來的,它們是證明線段相等、角相等、垂直關(guān)系、弧相等和一條弦是直徑的重要依據(jù).遇弦作弦心距是圓中常用的輔助線.
【考點(diǎn)總結(jié)】三、與圓有關(guān)的角及其性質(zhì)
（1）圓心角:頂點(diǎn)在圓心,角的兩邊和圓相交的角叫做圓心角.
圓周角:頂點(diǎn)在圓上且角的兩邊和圓相交的角叫做圓周角.
（2）圓周角定理
定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.?
推論：
① 同弧或等弧所對的圓周角相等.?
② 半圓(或直徑)所對的圓周角是直徑,90°的圓周角所對的弦是圓的直徑.?
③ 圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).?
【考點(diǎn)總結(jié)】四、圓周長、弧長計(jì)算
（1）半徑為R的圓周長：C=πd=2πR.?
（2）半徑為R的圓中,n°的圓心角所對的弧長為l,則l=.?
【考點(diǎn)總結(jié)】五、圓、扇形面積計(jì)算
（1）半徑為R的圓面積S=
（2）半徑為R的圓中,圓心角為n°的扇形面積為S扇=或S扇=.?
【考點(diǎn)總結(jié)】六、圓柱、圓錐的有關(guān)計(jì)算
（1）圓柱的側(cè)面展開圖是長方形,圓柱側(cè)面積S=2πRh,全面積S=2πRh+2πR2(R表示底面圓的半徑,h表示圓柱的高).?
（2）圓錐的側(cè)面展開圖是扇形,圓錐側(cè)面積S=πRl,全面積S=πRl+πR2(R表示底面圓的半徑,l表示圓錐的母線).?
（3）圓柱的體積=底面積×高,即V=Sh=πR2h.?圓錐的體積=×底面積×高,即V=πR2h.?
【考點(diǎn)總結(jié)】七、正多邊形與圓
（1）正多邊形:各邊相等,各角相等的多邊形叫做正多邊形.
（2）圓與正多邊形的有關(guān)概念:一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心,外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑;正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角,中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.
（3）正多邊形的內(nèi)角和=(n-2)·180°;
正多邊形的每個(gè)內(nèi)角=?;?
正多邊形的周長=邊長×邊數(shù);
正多邊形的面積=×周長×邊心距.
【技巧歸納】
技巧1：巧用圓的基本性質(zhì)解圓的五種關(guān)系
類型一：弦、弧之間的關(guān)系
1．如圖，在⊙O中，＝2，則下列結(jié)論正確的是(　　)

(第1題)
A．AB>2CD
B．AB＝2CD
C．AB∠A.∴在B點(diǎn)射門比在A點(diǎn)射門好．∴選擇射門方式二較好．
點(diǎn)撥：本題運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將射門角度大小的問題，建模轉(zhuǎn)化到圓中，根據(jù)圓周角的相關(guān)結(jié)論來解決實(shí)際問題．
10．解：修建的這條水渠不會(huì)穿過公園．
理由：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D.
由題易得∠CBA＝45°，
∴∠BCD＝45°.
∴CD＝BD.
設(shè)CD＝x km，則BD＝x km.
(第10題)
由題易得∠CAB＝30°，
∴AC＝2CD＝2x km，
∴AD＝＝x(km)，
∴x＋x＝1.解得x＝，
即CD＝≈0.366(km)＝366 m＞350 m，
也就是說，以點(diǎn)C為圓心，350 m為半徑的圓與AB相離．
∴修建的這條水渠不會(huì)穿過公園．
【題型講解】
【題型】一、 圓的周長與面積問題
例1、如圖，的半徑為，分別以的直徑上的兩個(gè)四等分點(diǎn)，為圓心，為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【提示】把陰影部分進(jìn)行對稱平移，再根據(jù)半圓的面積公式計(jì)算即可.
【詳解】,
∴圖中陰影部分的面積為.故選B.
例2、圖案的地磚，要求灰、白兩種顏色面積大致相同，那么下面最符合要求的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】設(shè)正方形邊長為2a，依次表示出每個(gè)圖形灰色和白色區(qū)域的面積，比較即可得出結(jié)論．
【詳解】設(shè)正方形邊長為2a，則：
A、灰色區(qū)域面積=正方形面積－圓的面積= ，白色區(qū)域面積=圓面積=，兩者相差很大；
B、灰色區(qū)域面積=正方形面積－圓的面積= ，白色區(qū)域面積=圓面積=，兩者相差很大；
C、色區(qū)域面積=正方形面積－圓的面積= ，白色區(qū)域面積=圓面積=，兩者相差很大；
D、灰色區(qū)域面積=半圓的面積－正方形面積= ，白色區(qū)域面積=正方形面積－灰色區(qū)域面積=，兩者比較接近．
故選D．
【題型】二、利用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算
例3、如圖，⊙O的直徑CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OD＝3：5，則AB的長為（　?。?br />
A．8 B．12 C．16 D．2
【答案】C
【提示】連接OA，先根據(jù)⊙O的直徑CD＝20，OM：OD＝3：5求出OD及OM的長，再根據(jù)勾股定理可求出AM的長，進(jìn)而得出結(jié)論．
【詳解】連接OA，

∵⊙O的直徑CD＝20，OM：OD＝3：5，
∴OD＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴，
∴AB＝2AM＝16．
故選：C．
例4、如圖，點(diǎn)在上，，垂足為E．若，，則（ ）

A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【提示】連接OC，根據(jù)圓周角定理求得，在中可得，可得OC的長度，故CE長度可求得，即可求解．
【詳解】解：連接OC，

∵，
∴，
在中，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
∵，垂足為E，
∴，
故選：D．
【題型】三、垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用
例5、往直徑為的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，則水的最大深度為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【提示】過點(diǎn)O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，根據(jù)垂徑定理即可求得AD的長，又由⊙O的直徑為，求得OA的長，然后根據(jù)勾股定理，即可求得OD的長，進(jìn)而求得油的最大深度的長．
【詳解】解：過點(diǎn)O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，
由垂徑定理得：，
∵⊙O的直徑為，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴油的最大深度為，
故選：．

例6、我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何？”意思是：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大?。娩徣ヤ忂@木材，鋸口深寸，鋸道長尺（1尺寸）．問這根圓形木材的直徑是______寸．

【答案】26
【提示】根據(jù)題意可得，由垂徑定理可得尺寸，設(shè)半徑，則，在中，根據(jù)勾股定理可得：，解方程可得出木材半徑，即可得出木材直徑.
【詳解】解：由題可知，
為半徑，
尺寸，
設(shè)半徑，
，

在中，根據(jù)勾股定理可得：

解得：,
木材直徑為26寸；
故答案為：26.
【題型】四、利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解
例7、如圖，是的直徑，點(diǎn)，在上，，交于點(diǎn)．若．則的度數(shù)為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【提示】先根據(jù)圓周角定理得到∠，再根據(jù)等弧所對的弦相等，得到，∠，最后根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，得到∠CAD=，∠BAG=，即可求解．
【詳解】
解：∵是的直徑
∴∠
∵
∴
∴∠
∵
∴∠
∴∠
∴∠
故選：B．
例8、如圖，AB是⊙O的直徑，==，∠COD=34°，則∠AEO的度數(shù)是（ ）

A．51° B．56° C．68° D．78°
【答案】A
【解析】
如圖，在⊙ O中，

∵，
∴∠BOC=∠COE=∠DOE=34°，
∵AB是⊙ O的直徑，
∴∠BOC+∠COE+∠DOE+∠AOE=180°，
∴∠AOE=180°-34°-34°-34°=78°，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠A=.
故選A.
【題型】五、利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證
例9、如圖，是半圓的直徑，是半圓上不同于的兩點(diǎn)與相交于點(diǎn)是半圓所任圓的切線，與的延長線相交于點(diǎn)，
求證：；
若求平分．

【答案】證明見解析；證明見解析．
【提示】
利用證明利用為直徑，證明結(jié)合已知條件可得結(jié)論；
利用等腰三角形的性質(zhì)證明： 再證明 利用切線的性質(zhì)與直徑所對的圓周角是直角證明： 從而可得答案．
【詳解】
證明：


為直徑，


．
證明：



為半圓的切線，





平分．
例10、如圖，已知BC是⊙O的直徑，半徑OA⊥BC，點(diǎn)D在劣弧AC上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)C重合），BD與OA交于點(diǎn)E．設(shè)∠AED＝α，∠AOD＝β，則（　?。?br />
A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
【答案】D
【提示】根據(jù)直角三角形兩銳角互余性質(zhì)，用α表示∠CBD，進(jìn)而由圓心角與圓周角關(guān)系，用α表示∠COD，最后由角的和差關(guān)系得結(jié)果．
【詳解】解：∵OA⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BEO
＝90°﹣∠AED
＝90°﹣α，
∴∠COD＝2∠DBC
＝180°﹣2α，
∵∠AOD+∠COD＝90°，
∴β+180°﹣2α＝90°，
∴2α﹣β＝90°，
故選：D．

例11、如圖，點(diǎn)在圓上，若弦的長度等于圓半徑的倍，則的度數(shù)是( )．

A．22.5° B．30° C．45° D．60°
【答案】C
【提示】設(shè)圓心為，連接，如圖，先證明為等腰直角三角形得到，然后根據(jù)圓周角定理確定的度數(shù)．
【詳解】解：設(shè)圓心為，連接，如圖，
∵弦的長度等于圓半徑的倍，
即，
∴，
∴為等腰直角三角形， ，
∴°．
故選C．

【題型】六、同弧或等弧所對的圓周角相等
例12、如圖，四邊形的外接圓為⊙，，，，則的度數(shù)為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根據(jù)同弧所對的圓周角相等及等邊對等角，可得，根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得，利用角的和差運(yùn)算即可求解．
【詳解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：C．
例13、如圖，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，則的度數(shù)是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【提示】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理得到∠AOB＝∠AOC，再根據(jù)圓周角定理解答．
【詳解】連接OB，
∵點(diǎn)B是的中點(diǎn)，
∴∠AOB＝∠AOC＝60°，
由圓周角定理得，∠D＝∠AOB＝30°，
故選：A．

【題型】七、直徑所對的圓周角是直角
例14、如圖，是圓上一點(diǎn)，是直徑，，，點(diǎn)在圓上且平分弧，則的長為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【提示】由是圓O的直徑，可得∠A=∠D=90°，又在圓上且平分弧，則∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理求出BC長，從而可求DC的長.
【詳解】
解：∵是圓O的直徑，
∴∠A=∠D=90°.
又在圓上且平分弧，
∴∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.
在Rt△ABC中，，，根據(jù)勾股定理，得BC==2.
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴CD==.
故選:D.
例15、如圖，AB是半圓的直徑，C、D是半圓上的兩點(diǎn)，∠ADC＝106°，則∠CAB等于（　?。?br />
A．10° B．14° C．16° D．26°
【答案】C
【提示】連接BD，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，則可計(jì)算出∠BDC＝16°，然后根據(jù)圓周角定理得到∠CAB的度數(shù)．
【詳解】解：連接BD，如圖，
∵AB是半圓的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°，
∴∠CAB＝∠BDC＝16°．
故選：C．

圓的有關(guān)概念（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）
一、單選題
1．如圖，點(diǎn)，，在上，，，連接交于點(diǎn)，則的度數(shù)是（????）

A．108° B．109° C．110° D．112°
【答案】B
【分析】連接，由已知條件求得，由，得，繼而求得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)，即可求得．
【詳解】如解圖，連接，，

∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角定理，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，等邊對等角，熟悉以上知識是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，四個(gè)邊長為1的小正方形拼成一個(gè)大正方形，A、B、O是小正方形頂點(diǎn)，⊙O的半徑為1，P是⊙O上的點(diǎn)，且位于右上方的小正方形內(nèi)，則sin∠APB等于（????）

A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】由圖，與為同弧所對的角，根據(jù)同圓內(nèi)，同弧所對的圓周角與圓心角的關(guān)系即可求得答案．
【詳解】解：A、B、O是小正方形頂點(diǎn)，
，
（同圓內(nèi)，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半），
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了同圓內(nèi)，同弧所對的圓周角與圓心角的一半及特殊角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵熟悉特殊角的正弦值及同圓內(nèi)，同弧所對的圓周角與圓心角的一半的性質(zhì)．
3．如圖，CD是圓O的直徑，AB是圓O的弦，且AB=10，若CD⊥AB于點(diǎn)E，則AE的長為（????）

A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】由垂徑定理可得，直徑CD垂直平分AB，即AE=AB．
【詳解】解：∵AB是圓O的弦，CD⊥AB
∴AE=AB=5．
故答案為B．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，垂徑定理是垂直與弦的直徑平分這條弦.
4．如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為點(diǎn)E，連接AC，∠CAB=22.5°，AB=12，則CD的長為（　　）

A．3 B．6 C．6 D．6
【答案】C
【分析】連接OC，求出∠COB=45°，根據(jù)垂徑定理求出CD=2CE，根據(jù)勾股定理求出CE即可．
【詳解】解：連接OC，

則OC=AB=×12=6，
∵OA=OC，∠CAB=22.5°，
∴∠CAB=∠ACO=22.5°，
∴∠COB=∠CAB+∠ACO=45°，
∵AB⊥CD，AB為直徑，
∴CD=2CE，∠CEO=90°，
∴∠OCE=∠COB=45°，
∴OE=CE，
∵CE2+OE2=OC2，
∴2CE2=62，
解得：CE=3，
即CD=2CE=6，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的外角性質(zhì)，垂徑定理等知識點(diǎn)，能求出CE=OE是解此題的關(guān)鍵．
5．如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，則下列結(jié)論不一定成立的是（????）

A．AE＝BE B．OE＝DE C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)垂徑定理即可判斷．
【詳解】解：是的直徑，弦于點(diǎn)，
，， ．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于點(diǎn)C，連接OA，OB，BC，若，則∠AOB的度數(shù)是（????）

A．40° B．50° C．60° D．80°
【答案】D
【分析】根據(jù)圓周角定理得出∠AOC= 40°，進(jìn)而利用垂徑定理即可得出∠AOB = 80°．
【詳解】解：∠ABC=20°，
∠AOC=40°，
AB是的弦， OC⊥AB，
∠AOC=∠BOC=40°，
∠AOB=80°．
故選D
【點(diǎn)睛】此題考查垂徑定理、圓周角定理，關(guān)鍵是根據(jù)圓周角定理得出∠AOC = 40°．
7．如圖，為的直徑，為的弦，為優(yōu)弧的中點(diǎn)，，垂足為，，，則的半徑為（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如圖，連接，延長交于點(diǎn)設(shè)的半徑為證明，推出，在中，根據(jù)，構(gòu)建方程求解．
【詳解】解：如圖，連接，延長交于點(diǎn)T，設(shè)的半徑為，

，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解答該題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，該題屬于中考?？碱}型．
8．已知點(diǎn)在線段上（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），過點(diǎn)的圓記為圓，過點(diǎn)的圓記為圓，過點(diǎn)的圓記為圓，則下列說法中正確的是（????）
A．圓可以經(jīng)過點(diǎn) B．點(diǎn)可以在圓的內(nèi)部
C．點(diǎn)可以在圓的內(nèi)部 D．點(diǎn)可以在圓內(nèi)部
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，畫出符合題意的示意圖，然后求解．
【詳解】解：∵點(diǎn)在線段上（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），過點(diǎn)的圓記為圓，∴點(diǎn)可以在圓的內(nèi)部，故A錯(cuò)誤，B正確；∵過點(diǎn)的圓記為圓，∴點(diǎn)可以在圓的外部，故C錯(cuò)誤；∵過點(diǎn)的圓記為圓，∴點(diǎn)可以在圓的外部，故D錯(cuò)誤．
故選B．


【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，畫出適當(dāng)?shù)妮o助圖形，采用數(shù)形結(jié)合的方法，更有助于解題.
9．如圖，為的直徑，點(diǎn)C為上的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作的切線，交直徑的延長線于點(diǎn)D；若，則的度數(shù)是（ ）

A．23° B．44° C．46° D．57°
【答案】B
【分析】連接，由切線的性質(zhì)可得由圓周角定理可求得的度數(shù)，再由直角三角形兩銳角互余即可求得答案．
【詳解】解：連接，如圖，

為的切線，
，
，
，
．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理等，正確添加輔助線，熟練運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
10．如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BDC＝130°，則∠BOC的度數(shù)為（　?。?br />
A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】D
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出，再根據(jù)圓周角定理即可求出的度數(shù)．
【詳解】∵四邊形內(nèi)接于，
∴，而，
∴，
∴．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．
11．在平面內(nèi)與點(diǎn)的距離為1cm的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（????）
A．無數(shù)個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
【答案】A
【分析】根據(jù)在平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)組成的圖形為圓進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵在平面內(nèi)與點(diǎn)的距離為1cm的點(diǎn)在以P為圓心，以1cm長為半徑的圓上，
∴在平面內(nèi)與點(diǎn)的距離為1cm的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為無數(shù)個(gè)，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的定義，熟知圓的定義是解題的關(guān)鍵．

二、填空題
12．如圖，ΔABC 是⊙O 的內(nèi)接正三角形，已知⊙O 的半徑為 6，則圖中陰影部分的面積是_____．

【答案】12π
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=60°，根據(jù)圓周角定理求出∠BOC，根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．
【詳解】解：∵△ABC為正三角形，
∴∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°，
∴S陰==12π，
故答案為：12π．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式是解題關(guān)鍵．

三、解答題
13．等腰△ABC中，，以AB為直徑作圓交BC于點(diǎn)D，請僅用無刻度的直尺．根據(jù)下列條件分別在圖1、圖2中畫一條弦，使這條弦的長度等于弦BD．（保留作圖痕跡，不寫作法，用虛線表示畫圖過程，實(shí)線表示畫圖結(jié)果）
（1）如圖1，；
（2）如圖2，

【答案】見解析
【分析】（1）如圖1，連結(jié)AD，由于AB為直徑，則，由于，所以AD平分，即，于是得到；
（2）如圖2，延長CA交圓于E，連結(jié)BE、DE，與（1）一樣得到，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知，所以，所以．
【詳解】解：（1）如圖1，DE為所作：

（2）如圖2，DE為所作：

【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是作圖中的復(fù)雜作圖，利用知識點(diǎn)：同圓或等圓中，同弧（或等?。┧鶎A周角相等，相等的圓周角所對的弧也相等；圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；等腰三角形底邊中線、底邊上的高線、頂角的角平分線互相重合；掌握作圖的一般方法是解此題的關(guān)鍵．
14．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于E，連接AC，OC，BC．

（1）求證：∠1=∠2；
（2）若，求⊙O的半徑的長．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓的性質(zhì)，同弧的圓周角相等，又因?yàn)椤鰽OC是等腰三角形，即可求證．
（2）根據(jù)勾股定理，求出各邊之間的關(guān)系，即可確定半徑．
【詳解】（1）證明：
∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，

=．
∴∠A=∠2．
又∵OA=OC，
∴∠1=∠A．
∴∠1＝∠2．
（2）∵AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，CD=6
∴∠CEO＝90o，CE＝ED＝3．
設(shè)⊙O的半徑是R，EB=2，則OE=R-2
∵在Rt△OEC中，
解得：
∴⊙O的半徑是．
【點(diǎn)睛】本題考查垂弦定理、圓心角、圓周角的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練運(yùn)用垂徑定理和圓周角的性質(zhì)進(jìn)行推理證明和計(jì)算．

圓的有關(guān)概念（提升測評）
一、單選題
1．如圖，AB為的直徑，點(diǎn)C，D在上．若，則的度數(shù)是（????）

A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【分析】連接AC，由AB是圓的直徑可得∠ACB=90°，由∠BCD=100°可得∠ACD=10°，再由圓周角定理可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，連接AC，

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠BCD=100°，
∴∠ACD=10°，
∵∠AOD與∠ACD都對著，
∴∠AOD=2∠ACD=2×10°=20°．
故選∶B．
【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟記圓周角定理．
2．如圖，在半徑為R的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D為弧AC的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E，已知∠A＝36°，則∠AED的度數(shù)為（????）

A．36° B．56° C．63° D．72°
【答案】C
【分析】由AB是⊙O的直徑，可得∠ACB＝90°，根據(jù)已知條件可得∠ABC的度數(shù)，由D為弧AC的中點(diǎn)，可得，即可得出，再根據(jù)三角形外角定理∠AED＝∠A＋∠ABD代入計(jì)算即可得出答案．
【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝36°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣36°＝54°，
∵D為弧AC的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴∠AED＝∠A＋∠ABD＝36°＋27°＝63°．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，弧、弦，圓心角之間的關(guān)系，熟練掌握圓周角定理，弧、弦，圓心角之間的關(guān)系進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．
3．如圖，點(diǎn)，，，在上，且，若，則的度數(shù)為（????）

A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】C
【分析】如圖所示，連接，先根據(jù)弧與圓心角的關(guān)系得到，則，由此利用圓周角定理求解即可．
【詳解】解：如圖所示，連接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故選C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，弧與圓心角的關(guān)系，正確求出是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，AB是的弦，半徑于點(diǎn)D，，點(diǎn)P在圓周上，則等于（　?。?br />
A．27° B．30° C．32° D．36°
【答案】A
【分析】由垂徑定理得到，根據(jù)圓周角定理得到，由半徑于點(diǎn)推出是直角三角形，即可求得，即可得到．
【詳解】解：半徑于點(diǎn)，
，
，
∴是直角三角形，
，
．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，已知是的直徑，弦，垂足為，且，，則的半徑長為（????）

A．2 B． C．4 D．10
【答案】B
【分析】根據(jù)垂徑定理得出，根據(jù)圓周角定理得出，中，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，

∵是的直徑，弦，，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
6．是的直徑，弦，則（????）

A．π B．2π C． D．4π
【答案】C
【分析】先求出，再根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)得，及，然后根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而得出，同理求出，，最后根據(jù)得出結(jié)論．
【詳解】解：∵，
∴.
∵，過圓心O，，
∴，.
∴.
在中，，
∴，
根據(jù)勾股定理，得，
解得（負(fù)數(shù)舍去），
∴，
同理，，
∴，
∴.
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，扇形的面積等，將求不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，是的直徑，弦，若，則的度數(shù)為（????）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】由OA=OC，得∠C=∠A=25°，再由三角形外角性質(zhì)得∠AOD=50°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解．
【詳解】解：∵是的直徑，
∴OA=OC，
∴∠C=∠A=25°，
∴∠AOD=∠C+∠A=50°，
∵OADE，
∴∠D=∠AOD=50°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，本題屬基礎(chǔ)題目，難度不大．
8．如圖，反比例函數(shù)的一個(gè)分支與 有兩個(gè)交點(diǎn)，且平分這個(gè)圓，以下說法正確的是（????????）

A．劣弧等于
B．反比例函數(shù)的這個(gè)分支平分圓的周長
C．反比例函數(shù)的這個(gè)分支平分圓的面積
D．反比例函數(shù)圖象必過圓心
【答案】B
【分析】由題意可知，兩點(diǎn)連線為圓的直徑，弧為半圓，所對圓心角為，由此可對各項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【詳解】A．，兩點(diǎn)連線為圓的直徑，弧為半圓，所對圓心角為，不是，故這個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．反比例函數(shù)的這個(gè)分支平分，即反比例函數(shù)的這個(gè)分支把的周長平分，故這個(gè)選項(xiàng)正確；
C．反比例函數(shù)的這個(gè)分支能平分周長，所以，兩點(diǎn)連線為圓的直徑，這個(gè)分支就不能把的面積平分，故這個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．反比例函數(shù)的這個(gè)分支不可能過圓心，否則無法平分圓，故這個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，分別討論可判斷正誤．
9．如圖所示，量角器的圓心O在矩形ABCD的邊AD上，直徑經(jīng)過點(diǎn)C，則∠OCB的度數(shù)為（????）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC∥AD，即可根據(jù)平行線的性質(zhì)求解．
【詳解】解：如圖，

∵∠AOE＝40°，∠AOE＝∠DOC，
∴∠DOC＝40°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，
∴∠OCB＝∠DOC＝40°，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，熟記矩形的對邊平行是解題的關(guān)鍵．
10．如圖，一塊直角三角板的角的頂點(diǎn)落在上，兩邊分別交于兩點(diǎn)，連結(jié)，則的度數(shù)是（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)圓周角定理解決問題即可．
【詳解】解：，
，
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，解決問題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理，屬于中考?？碱}型．
11．下列說法正確的是（????）
A．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直
B．相等的圓心角所對的弧相等
C．若，則
D．一組數(shù)據(jù)，，，的中位數(shù)、眾數(shù)都是
【答案】D
【分析】根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的說法可以判斷是否正確，從而可以解答本題．
【詳解】解：在平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
若，則，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
一組數(shù)據(jù)3，2，5，3按照從小到大排列是2，3，3，5，故這組數(shù)的中位數(shù)、眾數(shù)都是3，故選項(xiàng)D正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查垂線、眾數(shù)、中位數(shù)、與圓有關(guān)的知識，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說法是否正確．

二、填空題
12．如圖，的半徑為2，，，則弦的長為___________．

【答案】
【分析】連接，，由圓周角定理知，又因?yàn)?，，由銳角三角函數(shù)知，所以．
【詳解】解：如圖，連接，
，
，
，，
，
．
故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，連接運(yùn)用垂徑定理，特殊角的三角函數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．

三、解答題
13．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形．平分，連接．

(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)

【分析】（1）根據(jù)平分，可得，再根據(jù)，可得，從而得到，即可．
（2）根據(jù)圓的內(nèi)切四邊形，對角互補(bǔ)，求出，再利用垂徑定理，可得，可得到，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
，
，
∴，
，
，
平分，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理．
14．如圖，外接于，延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．

(1)求證：．
(2)若，，求的半徑．
【答案】(1)見解析
(2)的半徑為2

【分析】（1）連接，由圓周角定理可得，利用直角三角形的性質(zhì)及余角的定義可證得，進(jìn)而可證明結(jié)論；
（2）利用直角三角形的性質(zhì)可得，即可得，再利用勾股定理可求解的長，進(jìn)而可求解．
【詳解】（1）證明：連接，

∵是的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴，
∴的半徑為2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)等知識的綜合運(yùn)用，作合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．


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