中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)題型歸納與分層訓(xùn)練專題28 投影與視圖（2份打包，原卷版+解析版）

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?專題28 投影與視圖
【專題目錄】
技巧1：平行投影、中心投影、正投影間的關(guān)系
技巧2：投影規(guī)律在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用
技巧3：三視圖與實(shí)物的互相轉(zhuǎn)化
技巧4：根據(jù)物體的三視圖計(jì)算其表面積和體積
【題型】一、與平行投影有關(guān)的計(jì)算
【題型】二、與中心投影有關(guān)的計(jì)算
【題型】三、確定正投影的圖像
【題型】四、判斷幾何體的三視圖
【題型】五、畫(huà)三視圖
【題型】六、由三視圖還原原圖形
【題型】七、與三視圖有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題
【考綱要求】
1.了解平行投影和中心投影的含義及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用．
2.會(huì)判斷簡(jiǎn)單物體的三視圖．
3.能根據(jù)三視圖描述基本幾何體或?qū)嵨镌?，掌握?jiǎn)單幾何體表面展開(kāi)圖與折疊.
【考點(diǎn)總結(jié)】一、由立體圖形到視圖
1．視圖：當(dāng)我們從某一角度觀察一個(gè)物體時(shí)，所看到的圖象叫做物體的一個(gè)視圖．一個(gè)物體在三個(gè)投影面內(nèi)同時(shí)進(jìn)行正投影，在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；在側(cè)面內(nèi)得到由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖．
2．常見(jiàn)幾何體的三種視圖：
幾何體
主視圖
左視圖
俯視圖
圓柱
長(zhǎng)方形
長(zhǎng)方形
圓
圓錐
三角形
三角形
圓和圓心
球
圓
圓
圓
3．三視圖的畫(huà)法：
(1)長(zhǎng)對(duì)正；(2)高平齊；(3)寬相等．
【考點(diǎn)總結(jié)】二、由視圖到立體圖形
由視圖想象實(shí)物圖形時(shí)不像由實(shí)物到視圖那樣唯一確定，由一個(gè)視圖往往可以想象出多種物體．
由視圖描述實(shí)物時(shí)，需了解簡(jiǎn)單的、常見(jiàn)的、規(guī)則物體的視圖，能區(qū)分類似的物體視圖的聯(lián)系與區(qū)別．如主視圖是長(zhǎng)方形，可想象出是四棱柱、三棱柱、圓柱等．俯視圖是圓的可以是球、圓柱等．
【考點(diǎn)總結(jié)】三、物體的投影
1．平行投影：太陽(yáng)光線可以看成平行光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影．
平行投影與視圖之間的關(guān)系：當(dāng)投影線與投影面垂直時(shí)，這種投影叫做正投影．物體的正投影稱為物體的視圖．物體的三視圖實(shí)際上就是該物體在某一平行光線(垂直于投影面的平行光線)下的平行投影．
2．中心投影：探照燈、手電筒、路燈和臺(tái)燈的光線可以看成是從一點(diǎn)出發(fā)的光線，像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影．
【技巧歸納】
技巧1：平行投影、中心投影、正投影間的關(guān)系
類型一：利用平行投影與中心投影的定義判斷投影
1．如圖，下列判斷正確的是(　　)
(第1題)
A．圖①是在陽(yáng)光下的影子，圖②是在燈光下的影子
B．圖②是在陽(yáng)光下的影子，圖①是在燈光下的影子
C．圖①和圖②都是在陽(yáng)光下的影子
D．圖①和圖②都是在燈光下的影子
2．如圖，下面是北半球一天中四個(gè)不同時(shí)刻兩個(gè)建筑物的影子，將它們按時(shí)間先后順序進(jìn)行排列，正確的是(　　)
(第2題)
A．③④②① B．②④③①
C．③④①② D．③①②④
類型二：利用平行投影與中心投影的特征作圖
3．如圖，兩棵樹(shù)的影子是在太陽(yáng)光下形成的還是在燈光下形成的？畫(huà)出同一時(shí)刻旗桿的影子．(用線段表示)
(第3題)
4．如圖①②分別是兩棵樹(shù)及其影子的情形．
(第4題)
(1)哪個(gè)圖反映了陽(yáng)光下的情形？哪個(gè)圖反映了路燈下的情形？
(2)你是用什么方法判斷的？
(3)請(qǐng)分別畫(huà)出圖中表示小麗影子的線段．
類型三：正投影的識(shí)別與畫(huà)法
5．如圖，若投影線的方向如箭頭所示，則圖中物體的正投影是(　　)
(第5題)
　
6．一個(gè)正方體框架上面嵌有一根黑色的金屬絲EF，如圖所示．若正方體的面ABCD平行于投影面P，且垂直于投影面Q，畫(huà)出這個(gè)物體在兩個(gè)投影面上的正投影．
(第6題)
答案
1．B　點(diǎn)撥：圖①中影子的方向不同，是在燈光下的影子；圖②中影子的方向相同，且影長(zhǎng)與樹(shù)高成正比，是在陽(yáng)光下的影子．
2．C
3．解：如圖，過(guò)樹(shù)和影子的頂端分別畫(huà)兩條光線AA1，BB1.觀察可知，AA1∥BB1，故兩棵樹(shù)的影子是在太陽(yáng)光下形成的．
過(guò)旗桿的頂端C畫(huà)AA1(或BB1)的平行線CC1，交地面于點(diǎn)C1，連接旗桿底端O和點(diǎn)C1，則線段OC1即為同一時(shí)刻旗桿的影子．
點(diǎn)撥：根據(jù)物體和影子之間的關(guān)系可以判斷是平行投影，然后根據(jù)平行投影的特征即可完成題中的要求．

(第3題)
4．解：(1)題圖②反映了陽(yáng)光下的情形，題圖①反映了路燈下的情形．
(2)題圖①中過(guò)影子頂端與樹(shù)頂端的直線相交于一點(diǎn)，符合中心投影的特點(diǎn)，因此題圖①反映了路燈下的情形；題圖②中過(guò)影子頂端與樹(shù)頂端的直線平行，符合平行投影的特點(diǎn)，因此題圖②反映了陽(yáng)光下的情形．
(第4題)
(3)路燈下小麗的影子如圖①所示，表示影子的線段為AB；陽(yáng)光下小麗的影子如圖②所示，表示影子的線段為CD.
誤區(qū)診斷：平行投影和中心投影對(duì)應(yīng)的光線是不同的，形成平行投影的光源發(fā)出的光線是平行光線，而形成中心投影的光源發(fā)出的光線交于一點(diǎn)；同一時(shí)刻，平行投影下的影子的方向總是在同一方向，而中心投影下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向．
5．C　點(diǎn)撥：觀察圖中的兩個(gè)立體圖形，圓柱的正投影為長(zhǎng)方形，正方體的正投影為正方形，故選C.
6．解：畫(huà)出的正投影如圖所示．這個(gè)物體在投影面P上的正投影是正方形A1B1C1D1及線段E1F1；在投影面Q上的正投影是正方形C2D2G2H2.
點(diǎn)撥：當(dāng)物體的某個(gè)面(或某條邊)與投影面平行時(shí)，這個(gè)面(或這條邊)的正投影和這個(gè)面(或這條邊)相同；當(dāng)物體的某個(gè)面(或某條邊)與投影面垂直時(shí)，這個(gè)面(或這條邊)的正投影是一條線段(或一個(gè)點(diǎn))．
(第6題)
技巧2：投影規(guī)律在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用
角度一：平行投影的實(shí)際應(yīng)用
投影線不受限時(shí)的測(cè)量
1．甲、乙、丙三個(gè)學(xué)習(xí)小組于同一時(shí)刻在陽(yáng)光下對(duì)校園中一些物體進(jìn)行了測(cè)量，下面是他們通過(guò)測(cè)量得到的一些信息：
甲組：如圖①，測(cè)得一根直立于平地、長(zhǎng)為80 cm的竹竿的影長(zhǎng)為60 cm.
乙組：如圖②，測(cè)得學(xué)校旗桿的影長(zhǎng)為900 cm.
丙組：如圖③，測(cè)得校園景燈(燈罩視為圓柱體，燈桿粗細(xì)忽略不計(jì))的燈罩部分影長(zhǎng)HQ為90 cm，燈桿被陽(yáng)光照射到的部分PG長(zhǎng)為50 cm，未被照射到的部分KP長(zhǎng)為32 cm.
(第1題)
(1)請(qǐng)你根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度．
(2)請(qǐng)根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，解答下列問(wèn)題：
①求燈罩底面半徑MK的長(zhǎng)；
②求從正面看燈罩得到的圖形的面積和從上面看燈罩得到的圖形的面積．

投影線在特定條件時(shí)的測(cè)量
2．如圖，有甲、乙兩幢辦公樓，兩幢樓都為10層，由地面向上依次為1層至10層，每層的高度均為3 m，兩樓之間的距離為30 m．為了了解太陽(yáng)光與水平線的夾角為30°時(shí)，甲樓對(duì)乙樓采光的影響情況，請(qǐng)你求出甲樓樓頂B的影子E落在乙樓的第幾層．

(第2題)
角度二：中心投影的實(shí)際應(yīng)用
3．如圖，一位同學(xué)身高1.6 m，晚上站在路燈下A處，他在地面上的影長(zhǎng)AB是2 m，當(dāng)他沿著影長(zhǎng)的方向移動(dòng)2 m站在B處時(shí)，影長(zhǎng)增加了0.5 m，求路燈的高度．
(第3題)
答案
1．解：(1)根據(jù)平行投影的性質(zhì)，得Rt△ABC∽R(shí)t△DEF.
∴＝，即＝.
解得DE＝1 200(cm)＝12 m．即學(xué)校旗桿的高度為12 m.
(2)①根據(jù)題意可知，
Rt△GPH∽R(shí)t△KPM∽R(shí)t△ABC，
∴＝＝，即＝＝.
解得GH＝37.5(cm)，MK＝24(cm)．
即燈罩底面半徑MK的長(zhǎng)為24 cm.
②∵
∴Rt△KPM≌Rt△K′LN.
∴LK′＝KP＝32 cm.
易知Rt△ABC∽R(shí)t△GLQ，∴＝，
即＝.
解得KK′＝56 cm.
∴從正面看燈罩得到的圖形面積為24×2×56＝2 688(cm2)，
從上面看燈罩得到的圖形面積為π×242＝576π(cm2)．
2．解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，則∠BEF＝30°，設(shè)EC＝h m.
在Rt△BFE中，EF＝AC＝30 m，AB＝10×3＝30(m)，
所以BF＝AB－AF＝AB－EC＝(30－h(huán))m.
因?yàn)椤螧EF＝30°，所以BE＝(60－2h)m.
由勾股定理得，BF2＋EF2＝BE2，
所以(30－h(huán))2＋302＝(60－2h)2.
解得h≈12.68.(h≈47.32不合題意，舍去)
因?yàn)?＜＜5，
所以甲樓樓頂B的影子E落在乙樓的第五層．
方法點(diǎn)撥：這道題是平行投影在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)求解．
3．解：設(shè)路燈高為x m.
由題意知，當(dāng)人在A點(diǎn)時(shí)，影長(zhǎng)AB＝2 m；當(dāng)人在B點(diǎn)時(shí)，影長(zhǎng)BC＝(2＋0.5)m.
易知＝，＝，則解得
即路燈的高度為8 m.
技巧3：三視圖與實(shí)物的互相轉(zhuǎn)化
角度一：判斷物體的三視圖
1．下列幾何體，主視圖和俯視圖都為矩形的是(　　)

2．【中考·麗水】由4個(gè)相同小立方體搭成的幾何體如圖所示，則它的主視圖是(　　)
(第2題)
　
角度二：畫(huà)物體的三視圖
3．觀察如圖所示的幾何體，畫(huà)出它的三視圖．
(第3題)
角度三：已知三視圖想象物體的形狀
4．【中考·河北】如圖所示的三視圖所對(duì)應(yīng)的幾何體是(　　)
(第4題)
　
5．請(qǐng)根據(jù)如圖所示物體的三視圖畫(huà)出該物體．
(第5題)
角度四：由三視圖確定小正方體的個(gè)數(shù)
6．已知由一些相同的小正方體組成的幾何體的三視圖如圖所示，那么組成該幾何體的小正方體有(　　)
(第6題)　　　　　　　　　　　　　　　　
A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)
7．用若干個(gè)相同的小立方塊搭成一個(gè)幾何體，使得它的主視圖和俯視圖如圖所示．這樣的幾何體只有一種嗎？它最少需要多少個(gè)小立方塊？最多需要多少個(gè)小立方塊？
(第7題)
答案
1．D　點(diǎn)撥：A中圓柱的主視圖為矩形，俯視圖為圓；B中圓錐的主視圖為三角形，俯視圖為帶圓心的圓；C中三棱柱的主視圖為矩形且中間有一條豎直的虛線，俯視圖為三角形；D中長(zhǎng)方體的主視圖和俯視圖都為矩形．故選D.
2．A
3．解：如圖所示．
(第3題)
方法點(diǎn)撥：畫(huà)三視圖時(shí)，要根據(jù)幾何體合理想象，看得見(jiàn)的輪廓線用實(shí)線畫(huà)，看不見(jiàn)的輪廓線用虛線畫(huà)．

(第5題)
4．B
5．解：如圖所示．
技巧點(diǎn)撥：該物體是一個(gè)長(zhǎng)方體切去了右上角后剩余的部分，還原物體時(shí)，還要根據(jù)實(shí)線和虛線確定切去部分的位置．
6．C
7．解：這樣的幾何體不是只有一種，最少需要10個(gè)小立方塊，最多需要16個(gè)小立方塊．
技巧4：根據(jù)物體的三視圖計(jì)算其表面積和體積
類型一：利用三視圖求幾何體的表面積
1．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖．
(1)寫(xiě)出此幾何體的名稱；
(2)求此幾何體的表面積S.
(第1題)
2．(1)圖①是一個(gè)組合體，圖②是它的兩種視圖，請(qǐng)?jiān)跈M線上填寫(xiě)出兩種視圖的名稱；
(2)根據(jù)兩種視圖中的尺寸(單位：cm)，計(jì)算這個(gè)組合體的表面積．(π取3.14)
(第2題)
類型二：利用三視圖求幾何體的體積
3．某糖果廠想要為兒童設(shè)計(jì)一種新型的裝糖果的不倒翁，請(qǐng)你根據(jù)包裝廠設(shè)計(jì)好的三視圖(如圖)的尺寸計(jì)算其體積．(球的體積公式：V＝πr3，其中r為球的半徑)
(第3題)
4．如圖是某工廠設(shè)計(jì)生產(chǎn)的某種手電筒的三視圖，利用圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)求該手電筒的表面積和體積．
(第4題)
答案
1．解：(1)圓錐．
(2)由題圖可知，圓錐高為8 cm，底面直徑為12 cm，易求得母線長(zhǎng)為10 cm.
∴S＝πr2＋πrl＝36π＋60π＝96π(cm2)．　
2．解：(1)主；俯　
(2)表面積＝2×(11×7＋11×2＋7×2)＋4×π×6≈301.36(cm2)．　
點(diǎn)撥：(1)找到從正面和上面看所得到的圖形即可得答案．(2)根據(jù)題目所給尺寸，計(jì)算出下面長(zhǎng)方體的表面積＋上面圓柱的側(cè)面積即可得解．
3．解：圓錐的高為：＝12(cm)，
則不倒翁的體積為：π×52×12＋×π×53＝100π＋＝(cm3)．
4．解：先求圓臺(tái)的表面積和體積．

(第4題)
構(gòu)造如圖所示的三角形，OA＝OB，CD∥AB，AB＝6 cm，CD＝4 cm，EF＝CG＝5 cm，則梯形ABDC可表示圓臺(tái)的主視圖．
∴AE＝AB＝3 cm，EG＝CD＝2 cm，
∴AG＝AE－EG＝3－2＝1(cm)．
在Rt△ACG中，AC＝＝＝(cm)．
∵CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB.
∴＝＝，
即＝.解得OF＝10 cm.
∴OE＝OF＋EF＝10＋5＝15(cm)．
由＝＝，得OC＝2AC＝2cm.　
∴OA＝3 cm.
∴手電筒圓臺(tái)部分的表面積為S1＝π×＋(π××3－π××2)＝(9＋5)π(cm2)，
圓臺(tái)的體積為V1＝π××15－π××10＝π(cm3)．
又∵手電筒圓柱部分的表面積為S2＝π×＋π×4×12＝52π(cm2)，
圓柱的體積為V2＝π××12＝48π(cm3)，
∴該手電筒的表面積S＝S1＋S2＝(9＋5)π＋52π＝(61＋5)π(cm2)，
該手電筒的體積V＝V1＋V2＝π＋48π＝π(cm3)．
【題型講解】
【題型】一、與平行投影有關(guān)的計(jì)算
例1、和是直立在水平地面上的兩根立柱，米，某一時(shí)刻測(cè)得在陽(yáng)光下的投影米，同時(shí)，測(cè)量出在陽(yáng)光下的投影長(zhǎng)為6米，則的長(zhǎng)為（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【提示】根據(jù)在同一時(shí)刻，不同物體的物高和影長(zhǎng)成比例，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：如圖，在測(cè)量AB的投影時(shí)，同時(shí)測(cè)量出DE在陽(yáng)光下的投影長(zhǎng)EF為6m，
∵△ABC∽△DEF，AB=7m，BC=4m，EF=6m

∴，
∴，
∴DE=（m）
故選：B．
【題型】二、與中心投影有關(guān)的計(jì)算
例2、如圖，位似圖形由三角板與其在燈光照射下的中心投影組成，已知燈到三角板的距離與燈到墻的距離的比為，且三角板的一邊長(zhǎng)為，則投影三角形的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【提示】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得出相似比為2：5，則對(duì)應(yīng)邊的比為2：5，即可得出投影三角形的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)．
【詳解】由于三角板與其在燈光照射下的投影是位似圖形，且相似比為，三角板的一邊長(zhǎng)為，所以投影三角形的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)為.
故選A.
例3、如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2，2）是一個(gè)光源．木桿AB兩端的坐標(biāo)分別為（0，1），（3，1）．則木桿AB在x軸上的投影長(zhǎng)為（　　）

A．3 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【提示】利用中心投影，延長(zhǎng)PA、PB分別交x軸于A′、B′，作PE⊥x軸于E，交AB于D，如圖，證明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A'B'的長(zhǎng)．
【詳解】延長(zhǎng)PA、PB分別交x軸于A′、B′，作PE⊥x軸于E，交AB于D，如圖

∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．
∴PD＝1，PE＝2，AB＝3，
∵AB∥A′B′，
∴△PAB∽△PA′B′，
∴，即
∴A′B′＝6，
故選：C．
【題型】三、確定正投影的圖像
例3、把一個(gè)正六棱柱如圖擺放，光線由上向下照射此正六棱柱時(shí)的正投影是( )

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
根據(jù)平行投影特點(diǎn)以及圖中正六棱柱的擺放位置即可求解．
把一個(gè)正六棱柱如圖擺放，光線由上向下照射此正六棱柱時(shí)的正投影是正六邊形．
例4、如圖，光線由上向下照射正五棱柱時(shí)的正投影是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根據(jù)正投影特點(diǎn)以及圖中正五棱柱的擺放位置即可求解．
【詳解】光線由上向下照射正五棱柱時(shí)的正投影與俯視圖一致．故選C．
【題型】四、判斷幾何體的三視圖
例4、如圖所示的圓錐，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A．該圓錐的主視圖是軸對(duì)稱圖形
B．該圓錐的主視圖是中心對(duì)稱圖形
C．該圓錐的主視圖既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形
D．該圓錐的主視圖既不是軸對(duì)稱圖形，又不是中心對(duì)稱圖形
【答案】A
【提示】首先判斷出圓錐的主視圖，再根據(jù)主視圖的形狀判斷是軸對(duì)稱圖形，還是中心對(duì)稱圖形，從而可得答案．
【詳解】解：圓錐的主視圖是一個(gè)等腰三角形，
所以該圓錐的主視圖是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故A正確，
該圓錐的主視圖是中心對(duì)稱圖形，故B錯(cuò)誤，
該圓錐的主視圖既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故C錯(cuò)誤，
該圓錐的主視圖既不是軸對(duì)稱圖形，又不是中心對(duì)稱圖形，故D錯(cuò)誤，
故選A．
例5、下列哪個(gè)圖形，主視圖、左視圖和俯視圖相同的是（ ）

A．圓錐 B．圓柱 C．三棱柱 D．正方體
【答案】D
【提示】分別得出圓錐體、圓柱體、三棱柱、正方體的三視圖的形狀，再判斷即可．
【詳解】解：圓錐的主視圖、左視圖都是等腰三角形，而俯視圖是圓，因此選項(xiàng)A不符合題意；
圓柱體的主視圖、左視圖都是矩形，而俯視圖是圓形，因此選項(xiàng)B不符合題意；
三棱柱主視圖、左視圖都是矩形，而俯視圖是三角形，因此選項(xiàng)C不符合題意；
正方體的三視圖都是形狀、大小相同的正方形，因此選項(xiàng)D符合題意；
故選：D．
【題型】五、畫(huà)三視圖
例6、如圖的兩個(gè)幾何體分別由7個(gè)和6個(gè)相同的小正方體搭成，比較兩個(gè)幾何體的三視圖，正確的是（ ）

A．僅主視圖不同 B．僅俯視圖不同
C．僅左視圖不同 D．主視圖、左視圖和俯視圖都相同
【答案】D
【提示】分別畫(huà)出所給兩個(gè)幾何體的三視圖，然后比較即可得答案．
【詳解】第一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示：

第二個(gè)幾何體的三視圖如圖所示：

觀察可知這兩個(gè)幾何體的主視圖、左視圖和俯視圖都相同，
故選D．
例7、下列圖是由5個(gè)大小相同的小立方體搭成的幾何體，主視圖和左視圖相同的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【答案】D
【提示】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案．
【詳解】
解：A、主視圖是第一層三個(gè)小正方形，第二層左邊一個(gè)小正方形，左視圖是第一層兩個(gè)小正方形，第二層左邊一個(gè)小正方形，故A錯(cuò)誤；
B、主視圖是第一層三個(gè)小正方形，第二層中間一個(gè)小正方形，左視圖是第一層兩個(gè)小正方形，第二層左邊一個(gè)小正方形，故B錯(cuò)誤；
C、主視圖是第一層兩個(gè)小正方形，第二層右邊一個(gè)小正方形，左視圖是第一層兩個(gè)小正方形，第二層左邊一個(gè)小正方形，故C錯(cuò)誤；
D、主視圖是第一層兩個(gè)小正方形，第二層左邊一個(gè)小正方形，左視圖是第一層兩個(gè)小正方形，第二層右邊一個(gè)小正方形，故D正確；
故選D．
【題型】六、由三視圖還原原圖形
例8、已知某物體的三視圖如圖所示，那么與它對(duì)應(yīng)的物體是　　

A． B． C． D．
【答案】B
【提示】本題可利用排除法解答.從俯視圖看出這個(gè)幾何體上面一個(gè)是圓，直徑與下面的矩形的寬相等，故可排除A，C，D.
【詳解】從上面物體的三視圖看出這是一個(gè)圓柱體，故排除A選項(xiàng)，從俯視圖看出是一個(gè)底面直徑與長(zhǎng)方體的寬相等的圓柱體，故C、D選項(xiàng)不符合題意，
故選B．
例9、如圖，是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【提示】結(jié)合三視圖確定各圖形的位置后即可確定正確的選項(xiàng)．
【詳解】解：結(jié)合三個(gè)視圖發(fā)現(xiàn)，這個(gè)幾何體是長(zhǎng)方體和圓錐的組合圖形．
故選：B．
【題型】七、與三視圖有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題
例10、如圖是一個(gè)幾體何的三視圖（圖中尺寸單位：cm），則這個(gè)幾何體的側(cè)面積為（　　）

A．48πcm2 B．24πcm2 C．12πcm2 D．9πcm2
【答案】B
【提示】先判斷這個(gè)幾何體為圓錐，同時(shí)得到圓錐的母線長(zhǎng)為8，底面圓的直徑為6，然后利用扇形的面積公式計(jì)算這個(gè)圓錐的側(cè)面積．
【詳解】
解：由三視圖得這個(gè)幾何體為圓錐，圓錐的母線長(zhǎng)為8，底面圓的直徑為6，
所以這個(gè)幾何體的側(cè)面積＝×π×6×8＝24π（cm2）．
故選：B．
例11、如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)計(jì)算這個(gè)幾何體的表面積是（　?。?br />
A．20π B．18π C．16π D．14π
【答案】B
【提示】由幾何體的三視圖可得出原幾何體為圓錐和圓柱組合體，根據(jù)圖中給定數(shù)據(jù)求出表面積即可．
【詳解】由幾何體的三視圖可得出原幾何體為圓錐和圓柱組合體，且底面半徑為，
∴這個(gè)幾何體的表面積
=底面圓的面積+圓柱的側(cè)面積+圓錐的側(cè)面積

=22π+222π+32π=18π，
故選：B．
投影與視圖（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）
一、單選題
1．如圖所示的幾何體的左視圖是（????）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】左視圖是從物體的左邊觀察得到的圖形，結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】由圖可知，該幾何體左視圖為完整長(zhǎng)方形，右側(cè)有突出正方形．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單立體圖形的三視圖，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握左視圖的定義．
2．如圖是一個(gè)空心圓柱體，其主視圖是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】找到從前面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中．
【詳解】解：從前面觀察物體可以發(fā)現(xiàn)：它的主視圖應(yīng)為矩形，
又因?yàn)樵搸缀误w為空心圓柱體，故中間的兩條棱在主視圖中應(yīng)為虛線，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識(shí)，主視圖是從物體的正面看得到的視圖；注意看得到的棱畫(huà)實(shí)線，看不到的棱畫(huà)虛線．
3．下面是一天中四個(gè)不同時(shí)刻兩個(gè)建筑物的影子：將它們按時(shí)間先后順序進(jìn)行排列，正確的是（????）

A．④③②① B．③④①② C．②④③① D．①②③④
【答案】D
【分析】太陽(yáng)從東邊升起，西邊落下，則建筑物的影子先向西，再向北偏西、北偏東，最后向東，于是根據(jù)此變換規(guī)律可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【詳解】解：按時(shí)間先后順序排列為①②③④．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽(yáng)光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物體與投影面平行時(shí)的投影是全等的．
4．如圖是由一個(gè)圓柱體和一個(gè)長(zhǎng)方體組成的幾何體，其左視圖是（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】找到從左面看所得到的圖形即可．
【詳解】解：從左面可看到一個(gè)長(zhǎng)方形和上面一個(gè)長(zhǎng)方形，且兩個(gè)長(zhǎng)方形等長(zhǎng)．
∴左視圖是：

故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識(shí)，掌握左視圖是從物體的左面看得到的視圖是解本題的關(guān)鍵．
5．如圖是一種“工”型液壓機(jī)的配件，它的左視圖是（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】左視圖是從物體左面看，所得到的圖形．
【詳解】解：從物體左面看，是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的內(nèi)部有兩條橫向的實(shí)線．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關(guān)鍵．注意所有看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在三視圖中．
6．四個(gè)幾何體中，左視圖不是四邊形的個(gè)數(shù)為（　　）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)從左邊看到的圖形進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：∵左視圖是從左邊看到的圖形，圓柱的左視圖是矩形，圓錐的左視圖是等腰三角形，球的左視圖是圓，正方體的左視圖是正方形，
∴左視圖不是四邊形的幾何體是圓錐和球共2個(gè)．
故選B．
【點(diǎn)睛】此題考查了左視圖，熟練掌握左視圖的定義是解題的關(guān)鍵．
7．下面是由幾個(gè)小正方體搭成的幾何體，則這個(gè)幾何體的左視圖為（????）．

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)幾何體的三視圖的定義以及性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：根據(jù)幾何體的左視圖的定義以及性質(zhì)得，
這個(gè)幾何體的左視圖為：

故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖；掌握幾何體三視圖的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．如圖所示幾何體的主視圖是（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)主視圖的定義即可得出答案．
【詳解】從正面看，共有兩行，第一行有一個(gè)小正方形，第二行有三個(gè)小正方形，在下方，只有選項(xiàng)A符合
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三視圖，比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三視圖的畫(huà)法．

二、填空題
9．校園內(nèi)一棵松樹(shù)在一天不同時(shí)刻的影子如圖所示，按時(shí)間的順序排列，第一個(gè)序號(hào)是__________．

【答案】②
【分析】根據(jù)影子的方向，可以判斷出太陽(yáng)光的方向，再根據(jù)太陽(yáng)東升西落，判斷出太陽(yáng)所在的方向，進(jìn)而得出時(shí)間.
【詳解】解：圖①根據(jù)影子的方向即可求出太陽(yáng)光在南西靠近南的方向上，圖②根據(jù)影子可以判斷太陽(yáng)光在東側(cè)，圖③根據(jù)影子的方向可以判斷太陽(yáng)光在在西南方向靠近西的方向上，圖④根據(jù)影子可以判斷東南方向靠近東的方向上.
按照時(shí)間順序應(yīng)為：②④①③
∴第一個(gè)序號(hào)應(yīng)該是②
故答案為：②.
【點(diǎn)睛】本題考查的是根據(jù)樹(shù)的影子判斷時(shí)間，理解方位角的概念是解題的關(guān)鍵.

三、解答題
10．下圖是一個(gè)幾何體的三視圖，其中俯視圖為正三角形．

(1)這個(gè)幾何體的名稱為_(kāi)_____．
(2)求該幾何體的左視圖中的值．
【答案】(1)正三棱柱
(2)

【分析】（1）根據(jù)俯視圖為正三角形和棱柱的概念解答即可；
（2）由條件可知所求的的值是等邊三角形的高，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）這個(gè)幾何體的名稱為正三棱柱；
故答案為正三棱柱．
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于．

∵是正三角形，
∴，
∴，
∴，
∴左視圖中的值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖和等邊三角形的相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題型，正確理解題意、熟練掌握基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

投影與視圖（提升測(cè)評(píng)）

一、單選題
1．如圖所示的是由6個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方體組成的幾何體，其俯視圖的面積是（????）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】首先根據(jù)組合體畫(huà)出它的俯視圖，再求俯視圖的面積即可求得．
【詳解】解：該組合體的俯視圖為：

故該組合體的俯視圖的面積為：
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了組合體的俯視圖，熟練掌握和運(yùn)用畫(huà)組合體的俯視圖的方法是解決本題的關(guān)鍵．
2．如圖是一個(gè)正五棱柱，它的俯視圖是（????）

A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：從上往下看，除了看到三條棱之外，還有兩條隱藏的棱，
所以俯視圖為，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查三視圖，，俯視圖指的是從上往下看到的圖形，注意看得到的線用實(shí)線，看不到的線用虛線．
3．如圖是由6個(gè)完全相同的小正方體組成的立體圖形，它的俯視圖是（???）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案．
【詳解】從上面看,底層左邊是一個(gè)小正方形，中層是三個(gè)小正方形，上層的右邊是一個(gè)小正方形，
如圖所示：．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握從上面看得到的圖形是俯視圖．
4．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)計(jì)算這個(gè)幾何體的側(cè)面積是（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由幾何體的三視圖可得出原幾何體為圓錐，根據(jù)圖中給定數(shù)據(jù)求出母線l的長(zhǎng)度，再套用側(cè)面積公式即可得出結(jié)論．
【詳解】解：由三視圖可知，原幾何體為圓錐，
∵
∴
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三視圖求側(cè)面積，掌握三視圖以及圓錐的側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵．
5．在同一時(shí)刻的陽(yáng)光下，小明的影子比小強(qiáng)的影子長(zhǎng)，那么在同一路燈下（　　）
A．小明的影子比小強(qiáng)的影子長(zhǎng) B．小明的影子和小強(qiáng)的影子一樣長(zhǎng)
C．小明的影子比小強(qiáng)的影子短 D．無(wú)法判斷誰(shuí)的影子長(zhǎng)
【答案】D
【分析】根據(jù)中心投影和平行投影的特點(diǎn)即可進(jìn)行作答．
【詳解】在同一時(shí)刻的陽(yáng)光下，此時(shí)屬于平行投影，小明的影子比小強(qiáng)的影子長(zhǎng)，

∴小明的身高比小強(qiáng)高，
在同一路燈下,此時(shí)屬于中心投影，影子的長(zhǎng)度不僅與二人的身高相關(guān)，還有他們所處的位置相關(guān)，
兩人由于離路燈的遠(yuǎn)近不同，影子的長(zhǎng)度也就不同，
∴無(wú)法判斷誰(shuí)的影子長(zhǎng)，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了中心投影和平行投影的知識(shí)．熟知離路燈的距離不同，影子的長(zhǎng)度就不同是解本題的關(guān)鍵．
6．圖2是圖1中長(zhǎng)方體的三視圖，用S表示面積，則（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由主視圖和左視圖的寬為c，結(jié)合兩者的面積得出俯視圖的長(zhǎng)和寬，從而得出答案．
【詳解】解：∵，，
∴俯視圖的長(zhǎng)為 ，寬為，
∴．
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，整式乘法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，以及幾何體的長(zhǎng)、寬、高．
7．由n個(gè)相同的小正方體堆成的一個(gè)幾何體，其主視圖和俯視圖如圖所示，則n的最大值是(　　　　??)．

A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】D
【分析】結(jié)合主視圖，俯視圖，逐行確認(rèn)小正方體個(gè)數(shù)，最后計(jì)算即可.
【詳解】解：由俯視圖可知最少有8個(gè)小正方體，
∵有主視圖可知最左邊最多有3個(gè)小正方體，中間最多有個(gè)小正方體，最右邊最多有個(gè)小正方體，
∴n的最大值為6+6+9=21.
故選：D
【點(diǎn)睛】此題主要考查了由三視圖判斷幾何體，側(cè)重對(duì)空間想象考查.一般依據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”來(lái)確定其立體圖形.
8．如圖，是由27個(gè)相同的小立方塊搭成的幾何體，它的三個(gè)視圖是的正方形，若拿掉若干個(gè)小立方塊（幾何體不倒掉），其三個(gè)視圖仍都為的正方形，則最多能拿掉小立方塊的個(gè)數(shù)為（????）

A．9 B．10 C．12 D．15
【答案】C
【分析】拿掉若干個(gè)小立方塊后保證幾何體不倒掉，且三個(gè)視圖仍都為33的正方形，所以最底下一層必須有9個(gè)小立方塊，這樣能保證俯視圖仍為33的正方形，為保證主視圖與左視圖也為33的正方形，所以上面兩層必須保留底面上一條對(duì)角線方向的三個(gè)立方塊，即可得到最多能拿掉小立方塊的個(gè)數(shù).
【詳解】根據(jù)題意，拿掉若干個(gè)小立方塊后，三個(gè)視圖仍都為33的正方形，
則最多能拿掉小立方塊的個(gè)數(shù)為6?+6?=?12個(gè)，
故選：C.
【點(diǎn)睛】此題考查簡(jiǎn)單組合體的三視圖，空間想象能力，能依據(jù)立體圖形想象出拿掉小立方塊后的三視圖是解題的關(guān)鍵.

二、填空題
9．用小正方體搭一個(gè)幾何體，使它的主視圖和俯視圖如圖所示，俯視圖中小正方體中的字母表示在該位置小正方體的個(gè)數(shù)，則這個(gè)幾何體至少有_______個(gè)小正方體組成，至多又是______個(gè)．

【答案】???? 9???? 11
【分析】對(duì)俯視圖各位置標(biāo)號(hào)，如圖，觀察俯視圖，可知幾何體類似九宮格，a位置對(duì)應(yīng)主視圖中最右列，只能是3個(gè)正方體；b，c位置對(duì)應(yīng)主視圖中間列，只能是1個(gè)正方體。俯視圖中的d，e，f位置不確定，三個(gè)位置中至少有一個(gè)是2個(gè)小正方體，其他位置為1到2個(gè)，即可求解．
【詳解】解：對(duì)俯視圖各位置標(biāo)號(hào)，

觀察俯視圖，可知幾何體類似九宮格，a位置對(duì)應(yīng)主視圖中最右列，只能是3個(gè)正方體；b，c位置對(duì)應(yīng)主視圖中間列，只能是1個(gè)正方體，俯視圖中的d，e，f位置不確定，三個(gè)位置中至少有一個(gè)是2個(gè)小正方體，其他位置為1到2個(gè)。
所以至少為9個(gè)，至多為11個(gè).
故答案為：9；11．
【點(diǎn)睛】本題考查三視圖，熟練掌握由三視圖還原幾何體是解題的關(guān)鍵．

三、解答題
10．學(xué)習(xí)投影后，小明、小穎利用燈光下自己的影子長(zhǎng)度來(lái)測(cè)量一路燈的高度，并探究影子長(zhǎng)度的變化規(guī)律．如圖，在同一時(shí)間，身高為的小明的影子長(zhǎng)是，而小穎剛好在路燈燈泡的正下方點(diǎn)，并測(cè)得．

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出形成影子的光線，并確定路燈燈泡所在的位置；
(2)求路燈燈泡的垂直高度；
(3)如果小明沿線段向小穎（點(diǎn)走去，當(dāng)小明走到中點(diǎn)處時(shí)，求其影子的長(zhǎng)；當(dāng)小明繼續(xù)走剩下路程的到處時(shí)，求其影子的長(zhǎng)；當(dāng)小明繼續(xù)走剩下路程的到處，按此規(guī)律繼續(xù)走下去，當(dāng)小明走剩下路程的到處時(shí)，其影子的長(zhǎng)為 ．（直接用的代數(shù)式表示）
【答案】(1)見(jiàn)解析；
(2)；
(3)．

【分析】（1）確定燈泡的位置，可以利用光線可逆可以畫(huà)出；
（2）要求垂直高度可以把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成相似三角形的問(wèn)題，圖中，由它們對(duì)應(yīng)成比例可以求出；
（3）的方法和（2）一樣也是利用三角形相似，對(duì)應(yīng)相等成比例可以求出，然后找出規(guī)律．
【詳解】（1）解：如圖

（2），，
，
，
，
，，
，
m．
（3）同理，
，
設(shè)長(zhǎng)為，則，
解得：，即．
同理，
解得，
，
可得，
故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用及中心投影，只要是把實(shí)際問(wèn)題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊成比例解題．