專題05 二次根式 【專題目錄】技巧1：巧用二次根式求字母或代數式的值技巧2：常見二次根式化簡求值的九種技巧【題型】一、二次根式有意義的條件【題型】二、利用二次根式的性質化簡【題型】三、二次根式的乘除運算【題型】四、最簡二次根式【題型】五、同類二次根式【題型】六、二次根式的加減【題型】七、二次根式乘除混合運算【考綱要求】1、掌握二次根式有意義的條件和基本性質()2＝a(a≥0)，能用二次根式的性質＝|a|來化簡根式．2、能識別最簡二次根式、同類二次根式．能根據運算法則進行二次根式的加減乘除運算以及混合運算.【考點總結】一、二次根式二次根式 概念二次根式的概念形如(a≥0)的式子.二次根式有意義的條件要使二次根式有意義，則a≥0.最簡二次根式①被開方數的因數是整數，因式是整式（分母中不含根號）；②被開方數中不含能開得盡方的因數或因式性質雙重非負性①被開方數是非負數，即a≥0；②二次根式的值是非負數，即≥0.兩個重要性質①()2＝a(a≥0)；②＝|a|＝；【考點總結】二、二次根式的運算二次根式運算二次根式的加減法合并同類二次根式：在二次根式的加減運算中，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，若有同類二次根式，可把同類二次根式合并成一個二次根式．二次根式的乘除法(1)二次根式的乘法：·=(a≥0，b≥0)；(2)二次根式的除法：  = (a≥0，b＞0)．二次根式的混合運算運算順序與實數的運算順序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里面的（或先去括號）．【注意】1、化簡二次根式的步驟（易錯點）（1）把被開方數分解因式(或因數) ；（2）把各因式(或因數)積的算術平方根化為每個因式(或因數)的算術平方根的積；（3）如果因式中有平方式(或平方數)，應用關系式()2＝a(a≥0)把這個因式(或因數)開出來，將二次根式化簡。2、二次根式運算中的注意事項（1）一般將最后結果化為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式。（2）二次根式的加減：先將二次根式化為最簡二次根式，再把被開方數相同的二次根式（即同類二次根式）進行合并。（合并方法為：將系數相加減，二次根式部分不變），不能合并的直接抄下來。【技巧歸納】技巧1：巧用二次根式求字母或代數式的值【類型】一、利用二次根式的定義判定二次根式1．下列式子中為二次根式的是(　　)A.　　　　　B.        C.           D.(x＜0)【類型】二、利用二次根式有意義的條件求字母的取值范圍2．無論x取何實數，代數式都有意義，化簡式子＋.【類型】三、利用最簡二次根式的定義識別最簡二次根式3．把下列各式化成最簡二次根式．(1)；　(2)(a≥0，b≥0)；(3)(mn＞0)；　(4)(x≠y)．【類型】四、利用被開方數相同的最簡二次根式的條件求字母的值4．如果最簡根式和是被開方數相同的最簡二次根式，那么(　　)A．a＝0，b＝2  B．a＝2，b＝0C．a＝－1，b＝1  D．a＝1，b＝－25．如果最簡二次根式與在二次根式加減運算中可以合并，求使有意義的x的取值范圍． 技巧2：常見二次根式化簡求值的九種技巧【類型】一、估算法1．若將三個數－，，表示在數軸上，則其中被如圖所示的墨汁覆蓋的數是________．【類型】二、公式法2．計算：(5＋)×(5－2)．【類型】三、拆項法3．計算：.[提示：＋4＋3＝(＋)＋3(＋)]【類型】四、換元法4．已知n＝＋1，求＋的值．【類型】五、整體代入法5．已知x＝，y＝，求＋－4的值．【類型】六、因式分解法6．計算：.【類型】七、配方法7．若a，b為實數，且b＝＋＋15，試求－的值．【類型】八、輔元法8．已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求的值．[來源:學§科§【類型】九、先判后算法9．已知a＋b＝－6，ab＝5，求b＋a的值．【題型講解】【題型】一、二次根式有意義的條件例1、函數的自變量的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【題型】二、利用二次根式的性質化簡例2、化簡的結果是（）A．－2 B．2 C． D．4【題型】三、二次根式的乘除運算例3、計算的結果正確的是（    ）．A．1 B． C．5 D．9【題型】四、最簡二次根式例4、下列各式是最簡二次根式的是（   ）A． B． C． D．【題型】五、同類二次根式例5、下列各式中與是同類二次根式的是A． B． C． D．【題型】六、二次根式的加減例6、計算（    ）A． B． C．3 D．【題型】七、二次根式乘除混合運算例7、下列各式不成立的是（  ）A． B．C． D．二次根式（達標訓練）一、單選題1．（2021·黑龍江·遜克縣教師進修學校一模）下列各式中與 是同類二次根式的是(   )A． B． C． D．2．（2022·上海金山·二模）在下列二次根式中，最簡二次根式的是（    ）A． B． C． D．3．（2022·黑龍江綏化·三模）函數的自變量的取值范圍是（    ）A． B． C．且 D．且4．（2022·河北·順平縣腰山鎮(zhèn)第一初級中學一模）下列各式正確的是（　　）A．＝±4 B．＝3 C．＝﹣8 D．4﹣4＝5．（2022·重慶·模擬預測）估算的結果最接近的整數是（ 　 ）．A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題6．（2022·廣東順德德勝學校三模）二次根式中，字母m的取值范圍是 _____________．7．（2022·重慶·二模）計算：（3.14﹣π）0﹣|4|＝_____．三、解答題8．（2022·山東臨沂·模擬預測）計算：．9．（2021·山東青島·二模）若矩形的周長是cm，一邊長是cm，求它的面積． 二次根式（提升測評） 一、單選題1．（2022·上海崇明·二模）如果最簡二次根式與是同類二次根式，那么x的值是（    ）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·上海普陀·二模）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（    ）A． B． C． D．3．（2022·廣東番禺中學三模）若，則等于（    ）A．1 B．5 C． D．4．（2022·河北·一模）已知，則代數式的值為（    ）A． B． C． D．5．（2022·重慶南開中學三模）估計的值在（    ）A．4和5之間 B．5和6之間C．6和7之間 D．7和8之間6．（2022·貴州遵義·二模）已知a，b均為正數，且，，是一個三角形的三邊的長，則這個三角形的面積是（   ）A． B． C． D．二、填空題7．（2022·浙江·瑞安市安陽鎮(zhèn)濱江中學三模）當時，代數式的值為_______．8．（2022·四川廣安·二模）如圖所示，化簡的結果是___________．三、解答題9．（2022·廣東·佛山市南海外國語學校三模）先化簡，再求值：，其中，．10．（2022·湖北·鄂州市教學研究室一模）若三個實數x，y，z滿足，且，則有：（結論不需要證明）例如：根據以上閱讀，請解決下列問題：【基礎訓練】(1)求的值；【能力提升】(2)設，求S的整數部分．【拓展升華】(3)已知，其中，且．當取得最小值時，求x的取值范圍．
 

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