專題10 萬有引力定律及應(yīng)用1.理解開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律，并會(huì)用來解決相關(guān)問題.2.掌握計(jì)算天體質(zhì)量和密度的方法．考點(diǎn)一　開普勒定律定律內(nèi)容圖示或公式開普勒第一定律(軌道定律)所有行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上開普勒第二定律(面積定律)對(duì)任意一個(gè)行星來說，它與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等開普勒第三定律(周期定律)所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等＝k，k是一個(gè)與行星無關(guān)的常量                              1．行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道通常按圓軌道處理．2.由開普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在兩個(gè)位置的速度之比與到太陽的距離成反比，近日點(diǎn)速度最大，遠(yuǎn)日點(diǎn)速度最?。?/span>3．開普勒第三定律＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k值不同，且該定律只能用在同一中心天體的兩星體之間．【典例1】（2021·上海·上外浦東附中高一期末）在人類對(duì)行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律的認(rèn)識(shí)過程，開普勒作出了劃時(shí)代的貢獻(xiàn)。對(duì)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律的理解，下列說法中正確的是（     ）A．此定律不僅適用于行星繞太陽運(yùn)動(dòng)，也適用于宇宙中其他衛(wèi)星繞行星的運(yùn)動(dòng)B．牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律后，開普勒整理牛頓的觀測(cè)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)了行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律C．行星繞太陽做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，線速度方向時(shí)刻在變，但大小始終不變D．由開普勒第三定律，月亮繞地球運(yùn)動(dòng)的k值與人造衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的k不同【答案】A【解析】A．開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律不僅適用于行星繞太陽運(yùn)動(dòng)，還適用于宇宙中其他衛(wèi)星繞行星的運(yùn)動(dòng)，A正確；B．在開普勒發(fā)現(xiàn)了行星的運(yùn)行規(guī)律后，牛頓才發(fā)現(xiàn)萬有引力定律，開普勒整理第谷的觀測(cè)數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，B錯(cuò)誤；C．由開普勒第二定律可知，日星連線相同時(shí)間內(nèi)掃過面積相等，行星繞太陽在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線速度大小在變化，越靠近太陽，線速度越大，反之，則越小，C錯(cuò)誤；D．公式中的值由中心天體決定，只要是中心天體一樣，k值一樣，而月亮和人造衛(wèi)星都是繞地球運(yùn)動(dòng)，則k值相同，D錯(cuò)誤。故選A。【典例2】（2022·浙江寧波·高一期末）北京冬奧開幕式24節(jié)氣倒計(jì)時(shí)驚艷全球，如圖是地球沿橢圓軌道繞太陽運(yùn)行所處不同位置對(duì)應(yīng)的節(jié)氣，下列說法正確的是（　?。?/span>A．夏至?xí)r地球的運(yùn)行速度最大B．從冬至到春分的運(yùn)行時(shí)間為公轉(zhuǎn)周期的C．若用代表橢圓軌道的半長軸，代表公轉(zhuǎn)周期，則，地球和火星對(duì)應(yīng)的值是不同的D．太陽既在地球公轉(zhuǎn)軌道的焦點(diǎn)上，也在火星公轉(zhuǎn)軌道的焦點(diǎn)上【答案】D【解析】A．根據(jù)開普勒第二定律可知，地球與太陽中心連線在相同時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，根據(jù)可知近日點(diǎn)離太陽最近，近日點(diǎn)的運(yùn)行速度最大，遠(yuǎn)日點(diǎn)離太陽最遠(yuǎn)，遠(yuǎn)日點(diǎn)的運(yùn)行速度最小，故夏至?xí)r地球的運(yùn)行速度最小，A錯(cuò)誤；B．根據(jù)對(duì)稱性可知，從冬至到夏至的運(yùn)行時(shí)間為公轉(zhuǎn)周期的，由于從冬至到春分地球的運(yùn)行速度大于從春分到夏至地球的運(yùn)行速度，可知從冬至到春分的運(yùn)行時(shí)間小于從春分到夏至的運(yùn)行時(shí)間，故從冬至到春分的運(yùn)行時(shí)間小于公轉(zhuǎn)周期的，B錯(cuò)誤；C．根據(jù)開普勒第三定律可知，所有繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)的行星軌道半長軸的三次方與公轉(zhuǎn)周期的二次方成正比，則有其中與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，地球和火星都是繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)，故地球和火星對(duì)應(yīng)的值相同，C錯(cuò)誤；D．根據(jù)開普勒第一定律可知，所有行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽處于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，故太陽既在地球公轉(zhuǎn)軌道的焦點(diǎn)上，也在火星公轉(zhuǎn)軌道的焦點(diǎn)上，D正確。故選D。考點(diǎn)二　萬有引力定律1．內(nèi)容自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比、與它們之間距離r的二次方成反比．2．表達(dá)式F＝G，G為引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英國物理學(xué)家卡文迪什測(cè)定．3．適用條件(1)公式適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，當(dāng)兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，物體可視為質(zhì)點(diǎn)．(2)質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點(diǎn)，r是兩球心間的距離．                             1．萬有引力與重力的關(guān)系地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個(gè)效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向，如圖所示．(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R.(2)在兩極上：G＝mg0.(3)在一般位置：萬有引力G等于重力mg與向心力F向的矢量和．越靠近兩極，向心力越小，g值越大．由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較小，常認(rèn)為萬有引力近似等于重力，即＝mg.2．星體表面及上空的重力加速度(以地球?yàn)槔?/span>)(1)地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn))：mg＝G，得g＝.(2)地球上空的重力加速度g′地球上空距離地球中心r＝R＋h處的重力加速度為g′，mg′＝，得g′＝.所以＝.3．萬有引力的“兩點(diǎn)理解”和“兩個(gè)推論”(1)兩點(diǎn)理解①兩物體相互作用的萬有引力是一對(duì)作用力和反作用力．②地球上的物體(兩極除外)受到的重力只是萬有引力的一個(gè)分力．(2)星體內(nèi)部萬有引力的兩個(gè)推論①推論1：在勻質(zhì)球殼的空腔內(nèi)任意位置處，質(zhì)點(diǎn)受到球殼的萬有引力的合力為零，即∑F引＝0.②推論2：在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(diǎn)(m)受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M′)對(duì)它的萬有引力，即F＝G.【典例3】(2019·全國卷Ⅱ·14)2019年1月，我國嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功在月球背面軟著陸．在探測(cè)器“奔向”月球的過程中，用h表示探測(cè)器與地球表面的距離，F表示它所受的地球引力，能夠描述F隨h變化關(guān)系的圖像是(　　)【答案】D【解析】在嫦娥四號(hào)探測(cè)器“奔向”月球的過程中，根據(jù)萬有引力定律F＝G，可知隨著h的增大，探測(cè)器所受的地球引力逐漸減小，但不是均勻減小的，故能夠描述F隨h變化關(guān)系的圖像是D.【典例4】(2020·全國卷Ⅰ·15)火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的，半徑約為地球半徑的，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值約為(　　)A．0.2  B．0.4  C．2.0  D．2.5【答案】B【解析】萬有引力表達(dá)式為F＝G，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值為＝＝0.4，選項(xiàng)B正確．【典例5】　某類地天體可視為質(zhì)量分布均勻的球體，由于自轉(zhuǎn)的原因，其表面“赤道”處的重力加速度為g1，“極點(diǎn)”處的重力加速度為g2，若已知自轉(zhuǎn)周期為T，則該天體的半徑為(　　)A.   B.C.   D.【答案】C【解析】在“極點(diǎn)”處：mg2＝；在其表面“赤道”處：－mg1＝m()2R；解得：R＝，故選C.【典例6】某興趣小組想在地球建造從地表直達(dá)地心的隧道。若將地球視為質(zhì)量分布均勻的標(biāo)準(zhǔn)球體，質(zhì)量為M，半徑為R。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)內(nèi)部引力處處為零，萬有引力常量為G，忽略地球自轉(zhuǎn)。則沿該隧道從地表靜止釋放的物體，到達(dá)地心處的速度為（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】A【解析】如果物體在距地心為r處（），那么這個(gè)物體只會(huì)受到以地心為球心、以r為半徑的那部分球體的萬有引力，因?yàn)橘|(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)內(nèi)部引力處處為零。設(shè)物體的質(zhì)量為m，地球密度為ρ，以半徑為r的那部分球體的質(zhì)量為聯(lián)立可得物體所受的萬有引力由上可知物體所受萬有引力與距地心距離成正比，則該過程中萬有引力的平均值對(duì)該過程列動(dòng)能定理故A正確，BCD錯(cuò)誤。故選A。考點(diǎn)三　天體質(zhì)量和密度的計(jì)算應(yīng)用萬有引力定律估算天體的質(zhì)量、密度(1)利用天體表面重力加速度已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R.①由G＝mg，得天體質(zhì)量M＝.②天體密度ρ＝＝＝.(2)利用運(yùn)行天體(以已知周期為例)測(cè)出衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和周期T.①由G＝mr，得M＝.②若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝＝＝.③若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行，可認(rèn)為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝，故只要測(cè)出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T，就可估算出中心天體的密度．【典例7】宇航員在月球表面將一片羽毛和一個(gè)鐵錘從同一高度由靜止同時(shí)釋放，二者幾乎同時(shí)落地．若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落，經(jīng)時(shí)間t落到月球表面．已知引力常量為G，月球的半徑為R.求：(不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響)(1)月球表面的自由落體加速度大小g月；(2)月球的質(zhì)量M；(3)月球的密度ρ.【答案】(1)　(2)　(3)【解析】(1)月球表面附近的物體做自由落體運(yùn)動(dòng)，有h＝g月t2月球表面的自由落體加速度大小g月＝(2)不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，有G＝mg月得月球的質(zhì)量M＝(3)月球的密度ρ＝＝＝.【典例8】(2021·全國乙卷·18)科學(xué)家對(duì)銀河系中心附近的恒星S2進(jìn)行了多年的持續(xù)觀測(cè)，給出1994年到2002年間S2的位置如圖所示．科學(xué)家認(rèn)為S2的運(yùn)動(dòng)軌跡是半長軸約為1 000 AU(太陽到地球的距離為1 AU)的橢圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞．這項(xiàng)研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)．若認(rèn)為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設(shè)太陽的質(zhì)量為M，可以推測(cè)出該黑洞質(zhì)量約為(　　)A．4×104M   B．4×106MC．4×108M   D．4×1010M【答案】B一、單選題1.（2022·上海市建青實(shí)驗(yàn)學(xué)校模考）兩顆人造衛(wèi)星A、B繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們的半徑之比為1：8，則它們運(yùn)動(dòng)周期之比為（　?。?/span>A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【答案】D【解析】根據(jù)開普勒第三定律可知解得故選D。2.如圖所示，八大行星沿橢圓軌道繞太陽公轉(zhuǎn)，下列說法中正確的是（　?。?/span>A．太陽處在橢圓的中心B．火星繞太陽運(yùn)行過程中，速率不變C．土星比地球的公轉(zhuǎn)周期大D．地球和土星分別與太陽的連線在相同時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等【答案】C【解析】A．根據(jù)開普勒第一定律可知，太陽處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，故A錯(cuò)誤；B．根據(jù)開普勒第二定律可知，火星繞太陽運(yùn)行過程中，在離太陽較近的位置運(yùn)行速率較大，在離太陽較遠(yuǎn)的位置運(yùn)行速率較小，故B錯(cuò)誤；C．由圖可知土星軌道的半長軸比地球軌道的半長軸長，根據(jù)開普勒第三定律可知土星比地球的公轉(zhuǎn)周期大，故C正確；D．根據(jù)開普勒第二定律可知，同一顆行星與太陽連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，而地球和土星不是同一顆行星，二者分別與太陽的連線在相同時(shí)間內(nèi)掃過的面積不等，故D錯(cuò)誤。故選C。3.可以看成質(zhì)點(diǎn)的兩個(gè)均勻球體，它們之間的萬有引力大小為F。若它們的質(zhì)量不變，距離增大到原來的2倍，則它們之間的萬有引力大小變?yōu)椋ā　。?/span>A．2F B． C． D．F【答案】B【解析】由萬有引力公式可知，兩球體的質(zhì)量不變，距離增大到原來的2倍時(shí)，它們之間的萬有引力大小變?yōu)?/span>。故選B。4.發(fā)現(xiàn)萬有引力定律和測(cè)出引力常量的科學(xué)家分別是（　?。?/span>A．牛頓、卡文迪許 B．開普勒、卡文迪許C．開普勒、庫侖 D．牛頓、庫侖【答案】A【解析】牛頓根據(jù)行星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律推導(dǎo)出了萬有引力定律。經(jīng)100多年后，由英國物理學(xué)家卡文迪許在實(shí)驗(yàn)室里利用扭秤裝置巧妙的測(cè)量出了幾個(gè)鉛球間的引力，從而第一次較為準(zhǔn)確的得到萬有引力常量，A正確，BCD錯(cuò)誤。故選A。5．（2022·江蘇南通一模）有一質(zhì)量為M、半徑為R的密度均勻球體，在距離球心O為3R的地方有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)。先從M中挖去一半徑為的球體，如圖所示，則剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力大小為（　?。?/span>A． B．C． D．【答案】C【解析】半徑為R密度均勻完整球體對(duì)距離球心O為3R的地方有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)萬有引力為挖去部分的質(zhì)量為挖去部分產(chǎn)生的萬有引力為剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力大小為解得故選C。6．（2022·北京市順義區(qū)第一中學(xué)高三階段練習(xí)）牛頓在發(fā)現(xiàn)萬有引力定律時(shí)曾用月球的運(yùn)動(dòng)來檢驗(yàn)，物理學(xué)史上稱為著名的“月地檢驗(yàn)”。已經(jīng)知道地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球中心與地球中心距離是地球半徑的k倍，根據(jù)萬有引力定律，可以求得月球受到萬有引力產(chǎn)生的加速度為。又根據(jù)月球繞地球運(yùn)動(dòng)周期為T，可求得月球的向心加速度為，兩者數(shù)據(jù)代入后結(jié)果相等萬有引力定律得到驗(yàn)證，以下說法正確的是（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】B【解析】由萬有引力即題意可知，在地球表面有 月球圍繞地球運(yùn)動(dòng)，有 月球繞地球運(yùn)動(dòng)周期為T，由向心加速度計(jì)算公式可得 故選B。7．（2022·湖南一模）2021年10月16日凌晨，“神舟十三號(hào)”乘組從酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心出發(fā)，開始了太空之旅，之后在中國空間站在軌駐留了6個(gè)月。“蛟龍?zhí)?/span>”載人深潛器是我國首臺(tái)自主設(shè)計(jì)、自主集成研制的作業(yè)型深海載人潛水器，對(duì)于我國開發(fā)利用深海的資源有著重要的意義。若地球半徑為，把地球看成質(zhì)量分布均勻的球體，不計(jì)地球自轉(zhuǎn)的影響，已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，則“蛟龍?zhí)?/span>”下潛深度為時(shí)的重力加速度大小與“神舟十三號(hào)”距地面高時(shí)的加速度大小之比為（　?。?/span>A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)地球的密度為，在地球表面，重力和地球的萬有引力大小相等則由于地球的質(zhì)量為因此重力加速度的表達(dá)式可轉(zhuǎn)換為根據(jù)題意有，質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，故在深度為d的地球內(nèi)部，受到地球的萬有引力即為半徑等于（）的球體在其表面產(chǎn)生的萬有引力，故“蛟龍?zhí)?/span>”的重力加速度所以有根據(jù)萬有引力提供向心力，有“神舟十三號(hào)”所在處的加速度為所以則故C正確。故選C。8．（2022·江蘇省昆山中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）中國新聞網(wǎng)宣布：在摩洛哥墜落的隕石被證實(shí)來自火星。某同學(xué)想根據(jù)平時(shí)收集的部分火星資料（如圖所示）計(jì)算出火星的密度，再與這顆隕石的密度進(jìn)行比較。下列計(jì)算火星密度的公式錯(cuò)誤的是（引力常量G已知，忽略火星自轉(zhuǎn)的影響）（　?。?/span>A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)近地衛(wèi)星的質(zhì)量為，火星的質(zhì)量為，對(duì)近地衛(wèi)星，火星的萬有引力提供其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則有可得可得火星的密度為將代入上式可得又火星對(duì)近地衛(wèi)星的萬有引力近似等于近地衛(wèi)星的重力，則有解得因此火星的密度為ACD正確，B錯(cuò)誤。故錯(cuò)誤的選B。9．（2022·安徽·阜陽市第三中學(xué)高三階段練習(xí)）2021年10月27日，我國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用“快舟一號(hào)”甲運(yùn)載火箭，成功將“吉林一號(hào)”高分02F衛(wèi)星送入預(yù)定軌道。衛(wèi)星入軌后，將在自然資源調(diào)查、生態(tài)環(huán)境監(jiān)測(cè)、城市綜合治理以及防災(zāi)減災(zāi)等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，推動(dòng)社會(huì)發(fā)展和進(jìn)步！該衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行的周期為T，運(yùn)行軌道離地球表面的高度為h，地球的半徑為R，引力常量為G，則地球的質(zhì)量可表示為（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)解得地球的質(zhì)量故選B。10．（2022·江西·臨川一中高三階段練習(xí)）火星探測(cè)器的發(fā)射時(shí)間要求很苛刻，必須在每次地球和火星相距最近之前幾個(gè)月發(fā)射。設(shè)地球環(huán)繞太陽的運(yùn)動(dòng)周期為T，軌道半徑為；火星環(huán)繞太陽的軌道半徑為，火星的半徑為R，萬有引力常量為G。下列結(jié)論正確的有（　?。?/span>A．太陽質(zhì)量為B．火星的公轉(zhuǎn)周期為C．火星表面的重力加速度為D．從火星與地球相距最近開始計(jì)時(shí)到火星與地球第一次相距最遠(yuǎn)的時(shí)間為【答案】B【解析】A．設(shè)太陽質(zhì)量為，根據(jù)萬有引力提供向心力可得解得A錯(cuò)誤；B．設(shè)火星公轉(zhuǎn)周期為，根據(jù)開普勒第三定律得解得B正確；C．根據(jù)題意無法求出火星的質(zhì)量，所以無法求出火星表面的重力加速度，C錯(cuò)誤；D．地球繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)角速度火星繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)的角速度設(shè)地球和火星相距最近到第一次相距最遠(yuǎn)時(shí)間為，則結(jié)合B選項(xiàng)，聯(lián)立解得D錯(cuò)誤；故選B。二、多選題11．（2022·山東·德州市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）在萬有引力定律的學(xué)習(xí)中，月—地檢驗(yàn)的內(nèi)容是這樣說的：地球繞太陽運(yùn)動(dòng)，月球繞地球運(yùn)動(dòng)，它們之間的作用力是同一種性質(zhì)的力嗎？這種力與地球?qū)渖咸O果（如圖所示）的吸引力也是同一種性質(zhì)的力嗎？假設(shè)地球與月球間的作用力與太陽與行星間的作用力是同一種力，它們的表達(dá)式也應(yīng)該滿足。根據(jù)牛頓第二定律，月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度（式中m地是地球質(zhì)量，r是地球中心與月球中心的距離）。進(jìn)一步，假設(shè)地球?qū)μO果的吸引力也是同一種力，同理可知，蘋果的自由落體加速度（式中m地是地球質(zhì)量，R是地球中心與蘋果間的距離）。由以上兩式可得。由于月球與地球中心的距離r約為地球半徑R的60倍，所以。下列哪些數(shù)據(jù)能通過計(jì)算驗(yàn)證前面的假設(shè)。（　?。?/span>A．月球的質(zhì)量7.342×1022kgB．自由落體加速度g為9.8m/s2C．月球公轉(zhuǎn)周期為27.3d，約2.36×106sD．月球中心距離地球中心的距離為3.8×108m【答案】BCD【解析】根據(jù)題意可知，對(duì)月球在運(yùn)算中需要月球公轉(zhuǎn)周期、月球中心距離地球中心的距離。對(duì)于地表需要自由落體加速度g，不需要月球質(zhì)量。故選BCD。12．（2022·河南焦作一模）我國“天問一號(hào)”攜帶的“祝融號(hào)”火星車成功著陸火星。如圖所示，“天問一號(hào)”首先在I軌道上繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，選定好著陸地點(diǎn)后在B點(diǎn)實(shí)施變軌進(jìn)入軌道II，隨后在近火點(diǎn)A時(shí)實(shí)施降軌進(jìn)入軌道III（軌道半徑可看成火星半徑R），隨后軟著陸在火星表面。已知“天問一號(hào)”在II軌道上的周期為T，II軌道半長軸為a，則（     ）A．“天問一號(hào)”在III軌道上的周期B．“天問一號(hào)”在III軌道上的線速度C．火星的質(zhì)量D．火星表面重力加速度【答案】CD【解析】A．由開普勒第三定律可知“天問一號(hào)”在III軌道上的周期A錯(cuò)誤；B．由圓周運(yùn)動(dòng)公式可知，“天問一號(hào)”在III軌道上的線速度B錯(cuò)誤；C．由解得火星的質(zhì)量C正確；D．由解得火星表面重力加速度D正確。故選CD。三、解答題13．（2021·全國·高三專題練習(xí)）兩個(gè)質(zhì)量分別是m1、m2的人造地球衛(wèi)星，分別繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若它們的軌道半徑分別是R1和R2，則它們的運(yùn)行周期之比是多少?【答案】【解析】所有人造衛(wèi)星在繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，都遵守開普勒第三定律。因此，對(duì)這兩個(gè)衛(wèi)星有所以它們的運(yùn)行周期之比14．（2021·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為M的勻質(zhì)實(shí)心球，半徑為R。如果通過球心挖去一個(gè)直徑為R的小實(shí)心球，然后置于相距為d的地方，試計(jì)算空心球與小實(shí)心球之間的萬有引力。【答案】【解析】實(shí)心球挖去一個(gè)半徑為的小實(shí)心球后，質(zhì)量分布不均勻。因此挖去小實(shí)心球剩余的部分，不能看成質(zhì)量集中于球心的質(zhì)點(diǎn)，直接求空心球和小實(shí)心球之間的萬有引力很困難。假設(shè)用與挖去的小實(shí)心球完全相同的球填補(bǔ)挖去的位置，則空心球變成一個(gè)實(shí)心球，可看作質(zhì)量集中于球心的質(zhì)點(diǎn)，則大、小實(shí)心球之間的萬有引力為F＝G小實(shí)心球的質(zhì)量為m＝ρ·π＝ρ·πR3＝M代入上式得F＝G填入的小實(shí)心球與挖去的小實(shí)心球之間的萬有引力為F1＝G＝·＝設(shè)空心球與小實(shí)心球之間的萬有引力為F2，則有F＝F1＋F2因此，空心球與小實(shí)心球之間的萬有引力為F2＝F－F1＝－15．（2021·河北·滄縣中學(xué)高三階段練習(xí)）2021年2月10日19時(shí)52分我國首次火星探測(cè)任務(wù)“天問一號(hào)”探測(cè)器實(shí)施近火捕獲制動(dòng)，成功實(shí)現(xiàn)環(huán)繞火星運(yùn)動(dòng)，成為我國第一顆人造火星衛(wèi)星。在“天問一號(hào)”環(huán)繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，周期為T，軌道半徑為r，已知火星的半徑為R，引力常量為G，不考慮火星的自轉(zhuǎn)。求：（1）火星的密度；（2）火星表面的重力加速度g的大小。【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)“天問一號(hào)”的質(zhì)量為m，其繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬有引力提供向心力，有解得火星質(zhì)量火星半徑為R，則其體積為火星密度為（2）忽略火星自轉(zhuǎn)，火星表面質(zhì)量為的物體，其所受萬有引力等于重力，有解得火星表面的重力加速度為16．（2022·上海·模擬預(yù)測(cè)）2021 年 5 月 15 日，“天問一號(hào)”著陸巡視器帶著“祝融號(hào)”火星車成功著陸于火星，我國首次火星探測(cè)任務(wù)著陸火星取得圓滿成功，圖為“祝融號(hào)”火星車和“天問一號(hào)”著陸巡視器。（本題結(jié)果保留一位有效數(shù)字） (1)“天問一號(hào)”需要完成 9 分鐘減速軟著陸，若其在“降落傘減速”階段，垂直速度由396m/s 減至 61m/s，用時(shí) 168s。計(jì)算此階段減速的平均加速度。 (2)若火星質(zhì)量為地球質(zhì)量的 0.11 倍，火星半徑為地球半徑的 0.53 倍，地球表面重力加速度g = 10m/s2，估算火星表面重力加速度大小。 (3)“天問一號(hào)”質(zhì)量約為 5.3 噸，請(qǐng)估算“天問一號(hào)”在“降落傘減速”階段受到的平均空氣阻力。【答案】(1)2m/s2，方向與運(yùn)動(dòng)方向相反；(2)4 m/s2；(3)3×104N【解析】(1)減速階段的平均加速度方向與速度方向相反；(2)根據(jù)可得 則(3)根據(jù)牛頓第二定律可得解得F=3×104N   
 

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