?專(zhuān)題08 拋體運(yùn)動(dòng)

1.掌握平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，會(huì)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解方法分析平拋運(yùn)動(dòng).
2.會(huì)處理平拋運(yùn)動(dòng)中的臨界、極值問(wèn)題．

考點(diǎn)一　平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律及應(yīng)用
平拋運(yùn)動(dòng)
1．定義：將物體以一定的初速度沿水平方向拋出，物體只在重力作用下的運(yùn)動(dòng)．
2．性質(zhì)：平拋運(yùn)動(dòng)是加速度為g的勻變速曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線(xiàn)．
3．研究方法：化曲為直
(1)水平方向：勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)；
(2)豎直方向：自由落體運(yùn)動(dòng)．
4．基本規(guī)律
如圖，以?huà)伋鳇c(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以初速度v0方向(水平方向)為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向．




1．平拋運(yùn)動(dòng)物體的速度變化量
因?yàn)槠綊佭\(yùn)動(dòng)的加速度為恒定的重力加速度g，所以做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意相等時(shí)間間隔Δt內(nèi)的速度改變量Δv＝gΔt是相同的，方向恒為豎直向下，如圖所示．

2．兩個(gè)重要推論
(1)做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意時(shí)刻(任意位置處)，有tan θ＝2tan α.(如圖所示)
推導(dǎo)：
→tan θ＝2tan α
(2)做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度的反向延長(zhǎng)線(xiàn)一定通過(guò)水平位移的中點(diǎn)，如圖所示，即xB＝.

推導(dǎo)：→xB＝

【典例1】（2022·寧夏開(kāi)元學(xué)校高三考試）如圖所示，用平拋豎落儀做演示實(shí)驗(yàn)，A小球做平拋運(yùn)動(dòng)的同時(shí)B小球做自由落體運(yùn)動(dòng)，觀(guān)察到的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象是 （　?。?br />
A．兩小球同時(shí)到達(dá)地面
B．A小球先到達(dá)地面
C．B小球先到達(dá)地面
D．以上說(shuō)法都不正確
【答案】A
【解析】平拋運(yùn)動(dòng)在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，可知兩球同時(shí)落體，故A正確，BCD錯(cuò)誤。
故選A。
【典例2】（2022·廣東·惠來(lái)縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）一個(gè)人水平拋出一小球，球離手時(shí)的初速度為v0，落地時(shí)的速度是vt，空氣阻力忽略不計(jì)，下列哪個(gè)圖像正確表示了速度矢量變化的過(guò)程 （　??????。?br /> A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】小球水平拋出后，只受到重力作用.所以水平方向上速度不變，將保持勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)；豎直方向上在重力作用下速度逐漸增大，做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。所以任意兩個(gè)時(shí)刻的速度之差：水平分速度之差為零，豎直分速度之差為

沿著豎直方向向下。
故選B。
考點(diǎn)二　與斜面或圓弧面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng)
已知條件
情景示例
解題策略
已知速度方向
從斜面外平拋，垂直落在斜面上，如圖所示，即已知速度的方向垂直于斜面

分解速度tan θ＝＝
從圓弧形軌道外平拋，恰好無(wú)碰撞地進(jìn)入圓弧形軌道，如圖所示，即已知速度方向沿該點(diǎn)圓弧的切線(xiàn)方向

分解速度tan θ＝＝
已知位移方向
從斜面上平拋又落到斜面上，如圖所示，已知位移的方向沿斜面向下

分解位移tan θ＝＝＝
在斜面外平拋，落在斜面上位移最小，如圖所示，已知位移方向垂直斜面

分解位移tan θ＝＝＝
利用位移關(guān)系
從圓心處拋出落到半徑為R的圓弧上，如圖所示，位移大小等于半徑R


從與圓心等高圓弧上拋出落到半徑為R的圓弧上，如圖所示，水平位移x與R的差的平方與豎直位移的平方之和等于半徑的平方




【典例3】2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)比賽項(xiàng)目“跳臺(tái)滑雪”被稱(chēng)為“勇者的游戲”，其滑道由助滑道、起跳區(qū)、著陸坡、停止區(qū)組成。如圖所示為某滑雪愛(ài)好者從助滑道上滑下，在起跳區(qū)末端（點(diǎn)正上方高處），第一次以速度水平飛出，經(jīng)過(guò)時(shí)間，落在著陸坡的中點(diǎn)處。已知長(zhǎng)為，若第二次該滑雪者在起跳區(qū)末端以的速度水平飛出（不計(jì)空氣阻力），則滑雪者（　?。?br />
A．在空中飛行時(shí)間變?yōu)?B．著陸點(diǎn)離點(diǎn)的距離大于
C．著陸時(shí)的速度方向與第一次相同 D．著陸時(shí)重力做功的瞬時(shí)功率是第一次的一半
【答案】B
【解析】A．滑雪者在空中做平拋運(yùn)動(dòng)，將滑雪者的運(yùn)動(dòng)分解為沿斜面和垂直斜面的分運(yùn)動(dòng)，如圖所示

設(shè)著陸坡的傾角為，第一次以速度水平飛出，滑雪者在垂直斜面方向做初速度大小為，加速度大小為的勻減速運(yùn)動(dòng)，則有

解得

或
（舍去）
第二次以速度水平飛出，滑雪者在垂直斜面方向有

解得

可得

B．第一次以速度水平飛出，水平方向有

第二次以速度水平飛出，設(shè)著陸點(diǎn)離點(diǎn)的距離為，水平方向有

可得

B正確；
C．設(shè)第一次著陸時(shí)的速度方向與水平方向的夾角為，則有

設(shè)第二次著陸時(shí)的速度方向與水平方向的夾角為，則有

可知兩次著陸時(shí)的速度方向不相同，C錯(cuò)誤；
D．第一次著陸時(shí)的重力做功的瞬時(shí)功率為

第一次著陸時(shí)的重力做功的瞬時(shí)功率為

D錯(cuò)誤。
故選B。
【典例4】（2022·山東·臨沭縣教育和體育局高三期中）如圖所示為一半圓形的坑，其中坑邊緣兩點(diǎn)A、B與圓心O等高且在同一豎直平面內(nèi)，在圓邊緣A點(diǎn)將一小球以速度水平拋出，小球落到C點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，第二次從A點(diǎn)以速度水平拋出，小球落到D點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，不計(jì)空氣阻力，則（　?。?br />
A．
B．
C．小球落到D點(diǎn)時(shí)，速度方向可能垂直圓弧
D．小球落到C點(diǎn)時(shí)，速度方向與豎直方向夾角為
【答案】A
【解析】AB．連接AC和AD，如圖


設(shè)AC和AD的在豎直方向上的長(zhǎng)度分別為hAC和hAD，根據(jù)圖像可知

且有
，
可得

設(shè)AC和AD的水平方向上的長(zhǎng)度分別為xAC和xAD，則有
，，
可得

A正確，B錯(cuò)誤；
C．連接OD，如圖所示

設(shè)

則有
，
可得

若速度方向垂直圓弧，則速度方向與水平方向的夾角也為θ，則有

則有

整理得

即

這說(shuō)明小球從A點(diǎn)拋出后速度方向沒(méi)有發(fā)生過(guò)改變，顯然這時(shí)不可能的，所以小球落到D點(diǎn)時(shí)，速度方向不可能垂直圓弧，C錯(cuò)誤；
D．小球落到C點(diǎn)時(shí)，設(shè)小球的位移偏轉(zhuǎn)角為α，即AC與水平方向的夾角為α，則有

可得

根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，設(shè)小球的速度偏轉(zhuǎn)角為β，即小球落到C點(diǎn)時(shí)速度方向與水平方向的夾角為β，滿(mǎn)足

說(shuō)明β一定大于45°，則速度與水平方向的夾角一定小于45°，D錯(cuò)誤。
故選A。
考點(diǎn)三　平拋運(yùn)動(dòng)的臨界和極值問(wèn)題
1．平拋運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題有兩種常見(jiàn)情形：(1)物體的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；(2)物體的速度方向恰好達(dá)到某一方向．
2．解題技巧：在題中找出有關(guān)臨界問(wèn)題的關(guān)鍵字，如“恰好不出界”、“剛好飛過(guò)壕溝”、“速度方向恰好與斜面平行”、“速度方向與圓周相切”等，然后利用平拋運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的位移規(guī)律或速度規(guī)律進(jìn)行解題．

【典例5】如圖所示，窗子上、下沿間的高度H＝1.6 m，豎直墻的厚度d ＝0.4 m，某人在距離墻壁L＝1.4 m、距窗子上沿h ＝0.2 m 處的 P點(diǎn)，將可視為質(zhì)點(diǎn)的小物件以垂直于墻壁的速度v水平拋出，要求小物件能直接穿過(guò)窗口并落在水平地面上，不計(jì)空氣阻力，g＝10 m/s2.則可以實(shí)現(xiàn)上述要求的速度大小是(　　)

A．2 m/s B．4 m/s
C．8 m/s D．10 m/s
【答案】B
【解析】小物件做平拋運(yùn)動(dòng)，恰好擦著窗子上沿右側(cè)墻邊緣穿過(guò)時(shí)速度v最大．此時(shí)有：L＝vmaxt1, h＝gt12，
代入數(shù)據(jù)解得：vmax＝7 m/s，
小物件恰好擦著窗口下沿左側(cè)墻邊緣穿過(guò)時(shí)速度v最小，
則有：L＋d＝vmint2，H＋h＝gt22，
代入數(shù)據(jù)解得：vmin＝3 m/s，故v的取值范圍是3 m/s≤v≤7 m/s，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤．
【典例6】某科技比賽中，參賽者設(shè)計(jì)了一個(gè)軌道模型，如圖所示．模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高點(diǎn)距離水平地面2 m，右端出口水平．現(xiàn)讓小球在最高點(diǎn)由靜止釋放，忽略阻力作用，為使小球飛得最遠(yuǎn)，右端出口距離桌面的高度應(yīng)設(shè)計(jì)為(　　)

A．0 B．0.1 m
C．0.2 m D．0.3 m
【答案】C
【解析】小球從最高點(diǎn)到右端出口，滿(mǎn)足機(jī)械能守恒，有mg(H－h(huán))＝mv2，從右端出口飛出后小球做平拋運(yùn)動(dòng)，有x＝vt，h＝gt2，聯(lián)立解得x＝2，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)知，當(dāng)H－h(huán)＝h時(shí)，x最大，即h＝1 m時(shí)，小球飛得最遠(yuǎn)，此時(shí)右端出口距離桌面高度為Δh＝1 m－0.8 m＝0.2 m，故C正確．
考點(diǎn)四　斜拋運(yùn)動(dòng)
1．定義：將物體以初速度v0斜向上方或斜向下方拋出，物體只在重力作用下的運(yùn)動(dòng)．
2．性質(zhì)：斜拋運(yùn)動(dòng)是加速度為g的勻變速曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線(xiàn)．
3．研究方法：運(yùn)動(dòng)的合成與分解
(1)水平方向：勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)；
(2)豎直方向：勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．
4．基本規(guī)律
以斜拋運(yùn)動(dòng)的拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，水平向右為x軸的正方向，豎直向上為y軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy.

初速度可以分解為v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ.
在水平方向，物體的位移和速度分別為
x＝v0xt＝(v0cos θ)t①
vx＝v0x＝v0cos θ②
在豎直方向，物體的位移和速度分別為
y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2③
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt④

(1)斜拋運(yùn)動(dòng)中的極值
在最高點(diǎn)，vy＝0，由④式得到t＝⑤
將⑤式代入③式得物體的射高ym＝⑥
物體落回與拋出點(diǎn)同一高度時(shí)，有y＝0，
由③式得總時(shí)間t總＝⑦
將⑦式代入①式得物體的射程xm＝
當(dāng)θ＝45°時(shí)，sin 2θ最大，射程最大．
所以對(duì)于給定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上拋出時(shí)，射程最大．
(2)逆向思維法處理斜拋問(wèn)題
對(duì)斜上拋運(yùn)動(dòng)從拋出點(diǎn)到最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，可逆過(guò)程分析，看成平拋運(yùn)動(dòng)，分析完整的斜上拋運(yùn)動(dòng)，還可根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求解某些問(wèn)題．

【典例7】（2022·江蘇·寶應(yīng)中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖所示，從地面上同一位置拋出兩小球A、B，A球質(zhì)量大于B球質(zhì)量，分別落在地面上的M、N點(diǎn)，兩球運(yùn)動(dòng)的最大高度相同，空氣阻力不計(jì)，下列說(shuō)法正確的是（　?。?br />
A．B的加速度比A的大
B．B的飛行時(shí)間比A的長(zhǎng)
C．B在最高點(diǎn)的速度可能等于A(yíng)在最高點(diǎn)的速度
D．B在落地時(shí)速度比A在落地時(shí)的大
【答案】D
【解析】A．兩球做斜拋運(yùn)動(dòng)，加速度均等于重力加速度，故A錯(cuò)誤；
B．因?yàn)閮汕蜻\(yùn)動(dòng)的最大高度相同，根據(jù)可知兩球拋出時(shí)的豎直分速度大小相同，再根據(jù)可知兩球的飛行時(shí)間相同，故B錯(cuò)誤；
C．兩球在最高點(diǎn)時(shí)的速度等于斜拋運(yùn)動(dòng)的水平分速度，而B(niǎo)的水平位移比A的水平位移大，根據(jù)可知B在最高點(diǎn)的速度一定大于A(yíng)在最高點(diǎn)的速度，故C錯(cuò)誤；
D．根據(jù)速度的合成可知小球落地時(shí)的速度大小為

根據(jù)前面分析可知
，
所以落地時(shí)

故D正確。
故選D。

一、單選題
1.（2022·河南·濮陽(yáng)一高模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，斜面傾角為，在斜面上方某點(diǎn)處，先讓小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）自由下落，從釋放到落到斜面上所用時(shí)間為，再讓小球在該點(diǎn)水平拋出，小球剛好能垂直打在斜面上，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，不計(jì)空氣阻力，則為（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)小球拋出的初速度為，則打到斜面上時(shí)，速度沿豎直方向的分速度

水平位移

拋出點(diǎn)離斜面的高度

又

解得



D正確
故選D。
2．（2021·甘肅·莊浪縣陽(yáng)川中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖所示，用線(xiàn)懸掛的圓環(huán)鏈由直徑為5 cm的圓環(huán)連接而成，槍管水平放置，槍管跟環(huán)5在同一水平面上，且兩者相距100 m，子彈初速度為1000 m/s。若在開(kāi)槍的同時(shí)燒斷懸線(xiàn)，子彈應(yīng)穿過(guò)第幾個(gè)環(huán)（　　）

A．5 B．4
C．3 D．2
【答案】A
【解析】子彈射出槍口后做平拋運(yùn)動(dòng)，平拋運(yùn)動(dòng)在豎直方向上的分運(yùn)動(dòng)為自由落體運(yùn)動(dòng)，剛開(kāi)始槍口與第5個(gè)環(huán)心處在同一水平線(xiàn)面上，若在開(kāi)槍的同時(shí)燒斷懸線(xiàn)，子彈與第五環(huán)在豎直方向上的運(yùn)動(dòng)情況相同，所以子彈能穿過(guò)第五環(huán)。A正確，BCD錯(cuò)誤。
故選A。
3．（2021·北京四中高三期中）如圖所示，在同一豎直面內(nèi)，小球a、b從高度不同的兩點(diǎn)，分別以初速度va和vb沿水平方向拋出，經(jīng)過(guò)時(shí)間ta和tb后落到與兩拋出點(diǎn)水平距離相等的P點(diǎn)。若不計(jì)空氣阻力，下列關(guān)系式中正確的是（　　）

A．va＞vb B．ta＞tb
C．va＝vb D．ta＜tb
【答案】B
【解析】BD．平拋運(yùn)動(dòng)的豎直方向上為自由落體運(yùn)動(dòng)

得

a小球下落高度大，所以空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間長(zhǎng)
ta>tb
故B正確，D錯(cuò)誤；
AC．平拋運(yùn)動(dòng)的水平方向?yàn)閯蛩僦本€(xiàn)運(yùn)動(dòng)

兩小球運(yùn)動(dòng)水平位移x相同，ta>tb，可得
va

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