1.通過實例分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬間變化率的過程，了解導數(shù)概念的實際背景，知道導數(shù)是關于瞬間變化率的數(shù)學表達，體會導數(shù)的內(nèi)涵與思想；2.體會極限思想；3.通過函數(shù)圖象直接理解導數(shù)的幾何意義。
據(jù)導數(shù)的幾何意義，會求曲線上某點處的切線方程．
正確理解曲線“過某點”和“在某點”處的切線，并會求其方程.
培養(yǎng)學生數(shù)學抽象及直觀想象的核心素養(yǎng)，提升數(shù)學運算核心素養(yǎng).
1.導數(shù)（瞬時變化率）定義：如果當 無限趨近于 0 時，平均變化率 無限趨近于一個確定的值，即 有極限，則稱_________________________，并把這個確定的值叫做______________________(也稱為__________ ) ,記作______或______. 用極限符號表示這個定義，就是__________________________________
y ＝ f (x) 在x ＝ x0處可導
y＝f (x)在x＝x0處的導數(shù)
2.求函數(shù) y＝f (x)在 x＝x0 處導數(shù)的步驟
問題1 設函數(shù)y＝f (x)的圖象如圖，點 ，點 則 在 上的平均變化率為
結(jié)合直線斜率的定義可知：函數(shù)在點P0到點P之間的平均變化率即為割線P0P的斜率.
新知探究點：導數(shù)的幾何意義
觀察右圖，當點 P 沿著曲線 趨近于點 P0 時，割線 P0 P 的變化趨勢是什么？
我們發(fā)現(xiàn)，當點P(x, f (x))沿著曲線y＝f (x)無限趨近于點P0(x0, f (x0))時，割線P0P無限趨近于一個確定的位置，這個確定的位置的直線P0T 稱為曲線y＝f (x)在點 P0 處的切線.
在曲線y＝f (x)上任取一點P(x, f (x))
追問1：此處的切線定義與初中學過的圓的切線定義有什么不同？
初中學過的圓的切線是從直線和圓的公共點個數(shù)的角度定義的.
此處的切線定義是以逼近的方式對切線作出的定義；
追問2：通過逼近方式對切線作出的定義，是否適用于圓的切線呢？
追問3：導數(shù)f ′(x0)的幾何意義是什么？
切線P0T 的斜率k0
函數(shù) y＝f (x) 在x= x0處的導數(shù) f ′(x0)
曲線 y＝f (x)在點P0(x0, f (x0))處切線的斜率k0
導數(shù)f ′(x0)的幾何意義
追問4：你能求出曲線y=f (x)在點M(x0, f (x0))處的切線方程是什么嗎？
例1 求曲線 f (x)=x2 +1在點P(1,2)處的切線方程．
解決切線問題的關鍵: 利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率k0=f ′(x0).
求曲線在某點處的切線方程的步驟
例2 如圖是高臺跳水運動中運動員的重心相對于水面的高度隨時間變化的函數(shù)h(t)=-4.9t2+4.8t +11的圖象. 根據(jù)圖象，請描述、比較曲線h(t)在t=t0, t1, t2附近的變化情況.
解: (1)當t=t0時, 曲線h(t)在t=t0處的切線l0平行于t軸, h'(t0)=0. 這時, 在t=t0附近曲線比較平坦, 幾乎沒有升降.
(2)當t=t1時, 曲線h(t)在t=t1處的切線l1的斜率h'(1)0. 這時, 曲線在t=t3附近上升, 即函數(shù)h(t)在t=t1附近單調(diào)遞增.
從圖中可以看出, 直線l3的傾斜程度大于直線l4的傾斜程度, 這說明曲線h(t)在t=t3附近比在t=t4附近遞增快.
在t0, t1, t2 附近的曲線
在t=t0, t1, t2處的切線
斜率的正負：增減趨勢
例5 下圖中是人體血管中藥物濃度c=f(t) (單位: mg/mL)隨時間t (單位:min)變化的函數(shù)圖象. 根據(jù)圖象，估計t=0.2, 0.4, 0.6, 0.8 min時，血管中藥物濃度的瞬時變化率(精確到0.1).
血管中藥物濃度的瞬時變化率, 就是藥物濃度.函數(shù)f (t)在此時刻的導數(shù),從圖象上看,它表示曲線在該點處的切線的斜率.
　　　　
下表給出了藥物濃度瞬時變化率的估計值，
從求函數(shù)y=f(x)在x=x0處導數(shù)的過程可以看到，當x=x0時，f ′(x0) 是一個唯一確定的數(shù). 這樣，當x變化時，y=f ′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y=f(x)的導函數(shù)(derived functin) ( 簡稱導數(shù)). y=f(x)的導函數(shù)有時也記作y′，即
（3）函數(shù)在點 x0 處的導數(shù) f ′(x0)就是導函數(shù) f ′(x) 在 x = x0 處的函數(shù)值，這也是 求函數(shù)在點 x0 處的導數(shù)的方法之一。
問題3：函數(shù)在點x =x0處的導數(shù)f ′(x0)、導函數(shù) y = f ′(x)、導數(shù)之間有什么區(qū)別與聯(lián)系呢？
（1）函數(shù)在一點x0處的導數(shù) f ′(x0) ，就是在該點的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數(shù)，不是變數(shù)。
（2）函數(shù)的導數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點x而言的， 就是函數(shù) f (x)的導函數(shù) f ′(x)，它是一個變量。
問題4 如何求函數(shù)y=f (x)的導數(shù)?
2. 函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是( ). (A) f '(1)>f '(2)>f '(3)>0 (B) f '(1)

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5.1 導數(shù)的概念及其意義

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第二冊

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