§10.6　離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征考試要求　1.理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念.2.理解并會求離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征．知識梳理1．離散型隨機(jī)變量一般地，對于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個樣本點(diǎn)ω，都有      的實(shí)數(shù)X(ω)與之對應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量；可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列．3．離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)(1)pi      0，i＝1,2，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pn＝      .4．離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望)與方差一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn (1)均值(數(shù)學(xué)期望)稱E(X)＝            ＝ipi為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱期望．它反映了隨機(jī)變量取值的         ．(2)方差稱D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝            為隨機(jī)變量X的方差，并稱為隨機(jī)變量X的            ，記為σ(X)，它們都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的            ．5．均值(數(shù)學(xué)期望)與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝         .(2)D(aX＋b)＝        (a，b為常數(shù))． 常用結(jié)論1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數(shù)．2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2.4．若X1，X2相互獨(dú)立，則E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写?/span>“√”或“×”)(1)在離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個值的概率之和可以小于1.(　 　)(2)離散型隨機(jī)變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的．(　 　)(3)如果隨機(jī)變量X的分布列由下表給出，X25P0.30.7則它服從兩點(diǎn)分布．(　 　)(4)方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量的偏離程度越?。?/span>(　 　)教材改編題1．甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，則{ξ＝3}表示(　　)A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局二次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次2．已知X的分布列為X－101P 設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為(　　)A.  B．4  C．－1  D．13．若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01P 則X的方差D(X)＝________.題型一　分布列的性質(zhì)例1　(1)若隨機(jī)變量X的分布列為X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1 則當(dāng)P(X<a)＝0.8時，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A．(－∞，2]   B．[1,2]C．(1,2]   D．(1,2)(2)(2022·桂林模擬)若隨機(jī)變量X的分布列為X－101Pac 則P(|X|＝1)等于(　　)A.  B.  C.  D.聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用“概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的值．(2)利用“在某個范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確．跟蹤訓(xùn)練1　(1)設(shè)X是一個離散型隨機(jī)變量，其分布列為X－101P2－3qq2則q的值為(　　)A．1   B.±C.－   D.＋(2)設(shè)隨機(jī)變量X滿足P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，則k＝________； P(X≥2)＝________. 題型二　離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征例2　(1)(多選)已知隨機(jī)變量X的分布列為X－101Pm3m 下列結(jié)論正確的有(　　)A．m＝   B．E(X)＝C．E(2X－1)＝   D．D(X)＝(2)(多選)(2023·鄭州模擬)甲、乙、丙三人參加2022年冬奧會北京、延慶、張家口三個賽區(qū)的志愿服務(wù)活動，若每人只能選擇一個賽區(qū)，且選擇其中任何一個賽區(qū)是等可能的．記X為三人選中的賽區(qū)個數(shù)，Y為三人沒有選中的賽區(qū)個數(shù)，則(　　)A．E(X)＝E(Y)   B．E(X)≠E(Y)C．D(X)＝D(Y)   D．D(X)≠D(Y)聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　求離散型隨機(jī)變量ξ的均值與方差的步驟(1)理解ξ的意義，寫出ξ的所有可能取值．(2)求ξ取每個值的概率．(3)寫出ξ的分布列．(4)由均值、方差的定義求E(ξ)，D(ξ)．跟蹤訓(xùn)練2　(1)(2022·懷化模擬)已知ξ的分布列如表所示．ξ012P？！？ 其中，盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此計(jì)算，下列各式中：①E(ξ)＝1；②D(ξ)>1；③P(ξ＝0)≤，正確的個數(shù)是(　　)A．0  B．1  C．2  D．3(2)學(xué)習(xí)強(qiáng)國新開通一項(xiàng)“爭上游答題”欄目，其規(guī)則是比賽兩局，首局勝利積3分，第二局勝利積2分，失敗均積1分，某人每局比賽勝利的概率為，設(shè)他參加一次答題活動得分為ξ，則D(ξ)＝________.  題型三　均值與方差中的決策問題例3　(12分)(2021·新高考全國Ⅰ)某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列； [切入點(diǎn)：X的取值情況](2)為使累計(jì)得分的均值最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由. [關(guān)鍵點(diǎn)：均值大小比較]思維升華　隨機(jī)變量的均值和方差從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．跟蹤訓(xùn)練3　某班體育課組織籃球投籃考核，考核分為定點(diǎn)投籃與三步上籃兩個項(xiàng)目．每個學(xué)生在每個項(xiàng)目投籃5次，以規(guī)范動作投中3次為考核合格，定點(diǎn)投籃考核合格得4分，否則得0分；三步上籃考核合格得6分，否則得0分．現(xiàn)將該班學(xué)生分為兩組，一組先進(jìn)行定點(diǎn)投籃考核，一組先進(jìn)行三步上籃考核，若先考核的項(xiàng)目不合格，則無需進(jìn)行下一個項(xiàng)目，直接判定為考核不合格；若先考核的項(xiàng)目合格，則進(jìn)入下一個項(xiàng)目進(jìn)行考核，無論第二個項(xiàng)目考核是否合格都結(jié)束考核．已知小明定點(diǎn)投籃考核合格的概率為0.8，三步上籃考核合格的概率為0.7，且每個項(xiàng)目考核合格的概率與考核次序無關(guān)．(1)若小明先進(jìn)行定點(diǎn)投籃考核，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；(2)為使累計(jì)得分的均值最大，小明應(yīng)選擇先進(jìn)行哪個項(xiàng)目的考核？并說明理由．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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