知識(shí)梳理
1．離散型隨機(jī)變量
一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量；可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量．
2．離散型隨機(jī)變量的分布列
一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，稱X取每一個(gè)值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n為X的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列．
3．離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；
②p1＋p2＋…＋pn＝1.
4．離散型隨機(jī)變量的均值與方差
一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為
(1)均值
則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq \i\su(i＝1,n,x)ipi為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望．它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．
(2)方差
稱D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq \i\su(i＝1,n, )(xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，并稱eq \r(D?X?)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ(X)，它們都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度．
5．均值與方差的性質(zhì)
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數(shù))．
常用結(jié)論
均值與方差的四個(gè)常用性質(zhì)
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數(shù)．
(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
(4)若X1，X2相互獨(dú)立，則E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機(jī)變量．( √ )
(2)在離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1.( × )
(3)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ )
(4)方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離均值的平均程度越小．( √ )
教材改編題
1．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下：
則p為( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,12)
答案 C
解析 由分布列的性質(zhì)知，
eq \f(1,12)＋eq \f(1,6)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)＋p＝1，
∴p＝1－eq \f(3,4)＝eq \f(1,4).
2．若隨機(jī)變量X滿足P(X＝c)＝1，其中c為常數(shù)，則D(X)的值為_(kāi)_______．
答案 0
解析 因?yàn)镻(X＝c)＝1，
所以E(X)＝c×1＝c，
所以D(X)＝(c－c)2×1＝0.
3．已知隨機(jī)變量X的分布列如下：
若Y＝2X＋3，則E(Y)的值為_(kāi)_______．
答案 eq \f(7,3)
解析 E(X)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,6)＝－eq \f(1,3)，
則E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－eq \f(2,3)＋3＝eq \f(7,3).
題型一 分布列的性質(zhì)
例1 (1)設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為
則q等于( )
A．1 B.eq \f(\r(2),2)或－eq \f(\r(2),2)
C．1＋eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(2),2)
答案 D
解析 由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋1－q＋q－q2＝1，,0≤1－q≤\f(1,2)，,0≤q－q2≤\f(1,2)，))
解得q＝eq \f(\r(2),2).
(2)(多選)設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)，則( )
A．a(chǎn)＝eq \f(1,15)
B．Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)

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