§10.4　隨機(jī)事件與概率考試要求　1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別.2.理解事件間的關(guān)系與運(yùn)算.3.掌握古典概型及其計(jì)算公式，能計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率．知識(shí)梳理1．樣本空間和隨機(jī)事件(1)樣本點(diǎn)和有限樣本空間①樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的          稱為樣本點(diǎn)，常用ω表示．全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的          ，常用Ω表示．②有限樣本空間：如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．(2)隨機(jī)事件 ①定義：將樣本空間Ω的       稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件．②表示：一般用大寫字母A，B，C，…表示．③隨機(jī)事件的極端情形：             、             ．2．兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算 含義符號(hào)表示包含關(guān)系若A發(fā)生，則B一定發(fā)生 相等關(guān)系B?A且A?B 并事件(和事件)  A∪B或A＋B交事件(積事件)A與B同時(shí)發(fā)生 互斥(互不相容)A與B不能同時(shí)發(fā)生A∩B＝?互為對(duì)立A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生  3．古典概型的特征(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有         ；(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性        ．4．古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P(A)＝     ＝.其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．5．概率的性質(zhì)性質(zhì)1：對(duì)任意的事件A，都有P(A)≥0；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝          ；性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝         ；性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由該性質(zhì)可得，對(duì)于任意事件A，因?yàn)?/span>??A?Ω，所以0≤P(A)≤1；性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有P(A∪B)＝               ．6．頻率與概率(1)頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸         事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．(2)頻率穩(wěn)定性的作用可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A)．常用結(jié)論1．當(dāng)隨機(jī)事件A，B互斥時(shí)，不一定對(duì)立；當(dāng)隨機(jī)事件A，B對(duì)立時(shí)，一定互斥，即兩事件互斥是對(duì)立的必要不充分條件．2．若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的．(　 　)(2)兩個(gè)事件的和事件發(fā)生是指這兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生．(　 　)(3)從－3，－2，－1,0,1,2中任取一個(gè)數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同．(　 　)(4)若A∪B是必然事件，則A與B是對(duì)立事件．(　 　)教材改編題1．一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(　　)A．至少有一次中靶B．兩次都中靶C．只有一次中靶D．兩次都不中靶2．從某班學(xué)生中任意找出一人，如果該同學(xué)的身高小于160 cm的概率為0.2，該同學(xué)的身高在[160,175](單位：cm)內(nèi)的概率為0.5，那么該同學(xué)的身高超過(guò)175 cm的概率為(　　)A．0.2  B．0.3  C．0.7  D．0.83．(2022·全國(guó)乙卷)從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為________．題型一　隨機(jī)事件命題點(diǎn)1　隨機(jī)事件間關(guān)系的判斷例1　(1)(多選)對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件A＝{兩彈都擊中飛機(jī)}，事件B＝{兩彈都沒(méi)擊中飛機(jī)}，事件C＝{恰有一彈擊中飛機(jī)}，事件D＝{至少有一彈擊中飛機(jī)}，則下列關(guān)系正確的是(　　)A．A∩D＝?   B．B∩D＝?C．A∪C＝D   D．A∪B＝B∪D(2)從裝有十個(gè)紅球和十個(gè)白球的罐子里任取兩球，下列情況中是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件的是(　　)A．至少有一個(gè)紅球；至少有一個(gè)白球B．恰有一個(gè)紅球；都是白球C．至少有一個(gè)紅球；都是白球D．至多有一個(gè)紅球；都是紅球聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)2　利用互斥、對(duì)立事件求概率例2　某商場(chǎng)進(jìn)行有獎(jiǎng)銷售，購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得.1 000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開(kāi)獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；(3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　事件關(guān)系的運(yùn)算策略進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析．當(dāng)事件是由互斥事件組成時(shí)，運(yùn)用互斥事件的概率加法公式．跟蹤訓(xùn)練1　(1)(多選)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：Ci＝“點(diǎn)數(shù)為i”，其中i＝1,2,3,4,5,6；D1＝“點(diǎn)數(shù)不大于2”，D2＝“點(diǎn)數(shù)不小于2”，D3＝“點(diǎn)數(shù)大于5”；E＝“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”；F＝“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”．下列結(jié)論正確的是(　　)A．C1與C2對(duì)立   B．D1與D2不互斥C．D3?F   D．E?(D1∩D2)(2)某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示．一次購(gòu)物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時(shí)間(分鐘/人)11.522.53 已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過(guò)8件的顧客占55%.①確定x，y的值，并估計(jì)顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值；②估計(jì)一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二　古典概型例3　(1)(2023·南通質(zhì)檢)我國(guó)數(shù)學(xué)家張益唐在“孿生素?cái)?shù)”研究方面取得突破，孿生素?cái)?shù)也稱為孿生質(zhì)數(shù)，就是指兩個(gè)相差2的素?cái)?shù)，例如5和7.在大于3且不超過(guò)20的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù)，恰好是一組孿生素?cái)?shù)的概率為(　　)A.  B.  C.  D.(2)在一次比賽中某隊(duì)共有甲、乙、丙等5位選手參加，賽前用抽簽的方法決定出場(chǎng)順序，則乙、丙都不與甲相鄰出場(chǎng)的概率是(　　)A.  B.  C.  D.聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________ 思維升華　利用公式法求解古典概型問(wèn)題的步驟跟蹤訓(xùn)練2　(1)(2022·全國(guó)甲卷)從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無(wú)放回地隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為(　　)A.  B.  C.  D.(2)(2022·宜賓質(zhì)檢)2022年冬奧會(huì)在北京、延慶、張家口三個(gè)區(qū)域布置賽場(chǎng)，北京承辦所有冰上項(xiàng)目，延慶和張家口承辦所有雪上項(xiàng)目．組委會(huì)招聘了包括甲在內(nèi)的4名志愿者，準(zhǔn)備分配到上述3個(gè)賽場(chǎng)參與賽后維護(hù)服務(wù)工作，要求每個(gè)賽場(chǎng)至少分到一名志愿者，則志愿者甲正好分到北京賽場(chǎng)的概率為 ________.題型三　概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題例4　北京冬奧會(huì)順利閉幕后，某學(xué)校團(tuán)委組織了一次“奧運(yùn)會(huì)”知識(shí)講座活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后隨機(jī)抽取120名學(xué)生對(duì)講座情況進(jìn)行調(diào)查，其中男生與女生的人數(shù)之比為1∶1，抽取的學(xué)生中男生有40名對(duì)講座活動(dòng)滿意，女生中有30名對(duì)講座活動(dòng)不滿意．(1)完成下面2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α＝0.10的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否推斷對(duì)講座活動(dòng)是否滿意與性別有關(guān)？ 滿意不滿意合計(jì)男生   女生   合計(jì)  120 (2)從被調(diào)查的對(duì)講座活動(dòng)滿意的學(xué)生中，利用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取7名學(xué)生，再在這7名學(xué)生中抽取3名學(xué)生談?wù)勛约郝?tīng)講座的心得體會(huì)，求其中恰好抽中2名男生與1名女生的概率．參考數(shù)據(jù)：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　求解古典概型的綜合問(wèn)題的步驟(1)將題目條件中的相關(guān)知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件；(2)判斷事件是否為古典概型；(3)選用合適的方法確定樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)；(4)代入古典概型的概率公式求解．跟蹤訓(xùn)練3　從參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中抽出40名，將其成績(jī)(均為整數(shù))整理后畫出頻率分布直方圖如圖所示，觀察圖形，回答下列問(wèn)題．(1)成績(jī)?cè)?/span>[80,90)這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？(2)估計(jì)這次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)；(不要求寫過(guò)程)(3)從成績(jī)是80分以上(包括80分)的學(xué)生中選2人，求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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