§10.7　二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布考試要求　1.理解二項(xiàng)分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡單的實(shí)際問題.2.借助正態(tài)曲線了解正態(tài)分布的概念，并進(jìn)行簡單應(yīng)用．知識梳理1．二項(xiàng)分布(1)伯努利試驗(yàn)只包含       可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)；將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為                  ．(2)二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝             ，k＝0,1,2，…，n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作          ．(3)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差①若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝       ，D(X)＝          ．②若X～B(n，p)，則E(X)＝      ，D(X)＝          ．2．超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝                    ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．3．正態(tài)分布(1)定義若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為              ．(2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線是單峰的，它關(guān)于直線       對稱；②曲線在       處達(dá)到峰值；③當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸．(3)3σ原則①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.(4)正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝       ，D(X)＝       .常用結(jié)論1．“二項(xiàng)分布”與“超幾何分布”的區(qū)別：有放回抽取問題對應(yīng)二項(xiàng)分布，不放回抽取問題對應(yīng)超幾何分布，當(dāng)總體容量很大時(shí)，超幾何分布可近似為二項(xiàng)分布來處理．2．超幾何分布有時(shí)也記為 X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝，D(X)＝.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写?/span>“√”或“×”)(1)兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布當(dāng)n＝1時(shí)的特殊情形．(　 　)(2)若X表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布．(　 　)(3)從裝有3個(gè)紅球、3個(gè)白球的盒中有放回地任取一個(gè)球，連取3次，則取到紅球的個(gè)數(shù)X服從超幾何分布．(　 　)(4)當(dāng)μ取定值時(shí)，正態(tài)曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“矮胖”．(　 　)教材改編題1．如果某一批玉米種子中，每粒發(fā)芽的概率均為，那么播下5粒這樣的種子，恰有2粒不發(fā)芽的概率是(　　)A.  B.  C.  D.2．某班有48名同學(xué)，一次考試后的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布N(80,102)，則理論上在80分到90分的人數(shù)約是(　　)A．32  B．16  C．8  D．203．在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，任取4件，X表示取到的次品的個(gè)數(shù)，則P(X＝1)＝________.題型一　二項(xiàng)分布例1　(1)(2023·海口模擬)某班50名學(xué)生通過直播軟件上網(wǎng)課，為了方便師生互動(dòng)，直播屏幕分為1個(gè)大窗口和5個(gè)小窗口，大窗口始終顯示老師講課的畫面，5個(gè)小窗口顯示5名不同學(xué)生的畫面．小窗口每5分鐘切換一次，即再次從全班隨機(jī)選擇5名學(xué)生的畫面顯示，且每次切換相互獨(dú)立．若一節(jié)課40分鐘，則該班甲同學(xué)一節(jié)課在直播屏幕上出現(xiàn)的時(shí)間的均值是(　　)A．10分鐘   B．5分鐘C．4分鐘   D．2分鐘聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·衡陽模擬)某地政府為鼓勵(lì)大學(xué)生創(chuàng)業(yè)，制定了一系列優(yōu)惠政策．已知?jiǎng)?chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲成功的概率為，項(xiàng)目成功后可獲得政府獎(jiǎng)金20萬元；創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙成功的概率為P0(0<P0<1)，項(xiàng)目成功后可獲得政府獎(jiǎng)金30萬元．項(xiàng)目沒有成功，則沒有獎(jiǎng)勵(lì)，每個(gè)項(xiàng)目有且只有一次實(shí)施機(jī)會，兩個(gè)項(xiàng)目的實(shí)施是否成功互不影響，項(xiàng)目成功后當(dāng)?shù)卣畠冬F(xiàn)獎(jiǎng)勵(lì)．①大學(xué)畢業(yè)生張某選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲，畢業(yè)生李某選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙，記他們獲得的獎(jiǎng)金累計(jì)為X(單位：萬元)，若X≤30的概率為.求P0的大?。?/span>②若兩位大學(xué)畢業(yè)生都選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲或創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙進(jìn)行創(chuàng)業(yè)，問：他們選擇何種創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目，累計(jì)得到的獎(jiǎng)金的均值更大？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　二項(xiàng)分布問題的解題關(guān)鍵(1)定型：①在每一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同．②各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的．③在每一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，即發(fā)生與不發(fā)生．(2)定參：確定二項(xiàng)分布中的兩個(gè)參數(shù)n和p，即試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)和試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率．跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知隨機(jī)變量X～B(n，p)，E(X)＝2，D(X)＝，則P(X≥2)等于(　　)A.  B.  C.  D.(2)某中學(xué)面向全校所有學(xué)生開展一項(xiàng)有關(guān)每天睡眠時(shí)間的問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果顯示，每天睡眠時(shí)間少于7小時(shí)的學(xué)生占40%，而每天睡眠時(shí)間不少于8小時(shí)的學(xué)生只有30%.現(xiàn)從所有問卷中隨機(jī)抽取4份問卷進(jìn)行回訪(視頻率為概率)．①求抽取到的問卷中至少有2份調(diào)查結(jié)果為睡眠時(shí)間不少于7小時(shí)的概率；②記抽取到的問卷中調(diào)查結(jié)果為睡眠時(shí)間少于7小時(shí)的問卷份數(shù)為X，求X的分布列及均值E(X)．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二　超幾何分布例2　2022年12月4日，神舟十四號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸，航天員順利出艙，神舟十四號載人飛行任務(wù)圓滿完成．為紀(jì)念中國航天事業(yè)成就，發(fā)揚(yáng)并傳承中國航天精神，某校高一年級組織2 000名學(xué)生進(jìn)行了航天知識競賽(滿分：100分)并進(jìn)行記錄，根據(jù)得分將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．(1)用頻率估計(jì)概率，從該校隨機(jī)抽取2名同學(xué)，求其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率；(2)從得分在[60,90]的學(xué)生中利用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法選出8名學(xué)生，若從中選出3人參加有關(guān)航天知識演講活動(dòng)，求選出的3人中競賽得分不低于70分的人數(shù)X的分布列及均值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)．超幾何分布的特征是：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的分布列．(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其本質(zhì)是古典概型．跟蹤訓(xùn)練2　為了適當(dāng)疏導(dǎo)電價(jià)矛盾，保障電力供應(yīng)，支持可再生能源發(fā)展，促進(jìn)節(jié)能減排，某省推出了省內(nèi)居民階梯電價(jià)的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)：以一個(gè)年度為計(jì)費(fèi)周期，月度滾動(dòng)使用．第一階梯：年用電量在2 160度以下(含2 160度)，執(zhí)行第一檔電價(jià)0.565 3元/度；第二階梯：年用電量在2 161度到4 200度內(nèi)(含4 200度)，超出2 160度的電量執(zhí)行第二檔電價(jià)0.615 3元/度；第三階梯：年用電量在4 200度以上，超出4 200度的電量執(zhí)行第三檔電價(jià)0.865 3元/度．某市的電力部門從本市的用戶中隨機(jī)抽取10戶，統(tǒng)計(jì)其同一年度的用電情況，列表如下：用戶編號12345678910年用電量/度1 0001 2601 4001 8242 1802 4232 8153 3254 4114 600 (1)計(jì)算表中編號為10的用戶該年應(yīng)交的電費(fèi)；(2)現(xiàn)要在這10戶中任意選取4戶，對其用電情況進(jìn)行進(jìn)一步分析，求取到第二階梯的戶數(shù)的分布列．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三　正態(tài)分布例3　(1)(多選)(2023·哈爾濱模擬)某市有甲、乙兩個(gè)工廠生產(chǎn)同一型號的汽車零件，零件的尺寸分別記為X，Y，已知X，Y均服從正態(tài)分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，其正態(tài)曲線如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是(　　)A．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值B．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值小于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值C．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性D．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性低于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性(2)(2022·合肥模擬)某市高三年級共有14 000人參加教學(xué)質(zhì)量檢測，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績ξ近似服從正態(tài)分布N(90，σ2)(試卷滿分150分)，且P(ξ≥100)＝0.3，據(jù)此可以估計(jì)，這次檢測數(shù)學(xué)成績在80到90分之間的學(xué)生人數(shù)約為(　　)A．2 800   B．4 200C．5 600   D．7 000聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________  思維升華　解決正態(tài)分布問題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)對稱軸為x＝μ.(2)標(biāo)準(zhǔn)差為σ.(3)分布區(qū)間．利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率．注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對稱軸才為x＝0.跟蹤訓(xùn)練3　(1)(2022·新高考全國Ⅱ)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，則P(X>2.5)＝________.(2)(2022·安慶模擬)某中學(xué)開展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)測評活動(dòng)，高一年級測評分值X近似服從正態(tài)分布，正態(tài)密度曲線如圖①所示．為了調(diào)查參加測評的學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法與習(xí)慣差異，該中學(xué)決定在分?jǐn)?shù)段[m，n)內(nèi)抽取學(xué)生，并確定m＝67，且P(m≤X≤n)＝0.818 6.在某班用簡單隨機(jī)抽樣的方法得到20名學(xué)生的分值分布莖葉圖如圖②所示．若該班抽取學(xué)生分?jǐn)?shù)在分?jǐn)?shù)段[m，n)內(nèi)的人數(shù)為k，則k＝________；這k名學(xué)生的平均分為________．(附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3)

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