§12.3　離散型隨機變量及其分布列、均值與方差考試要求　1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，認識分布列刻畫隨機現(xiàn)象的重要性，會求某些取有限個值的離散型隨機變量的分布列.2.了解超幾何分布，并能進行簡單應用.3.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念．會求簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能利用離散型隨機變量的均值、方差概念解決一些簡單問題．知識梳理1．離散型隨機變量的分布列(1)隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量．所有取值可以________________的隨機變量稱為離散型隨機變量．(2)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則稱表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn 為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，具有如下性質(zhì)：①pi≥0，i＝1,2，…，n；②i＝1.離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的____________．2．兩點分布如果隨機變量X的分布列為X01P1－pp 其中0<p<1，則稱離散型隨機變量X服從________________．其中p＝P(X＝1)，稱為成功概率．3．超幾何分布一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱隨機變量X服從超幾何分布．其分布列為 X01…mP… 4.離散型隨機變量的均值與方差一般地，若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn (1)均值稱E(X)＝________________________________________________為隨機變量X的均值或數(shù)學期望．它反映了離散型隨機變量取值的__________．(2)方差稱D(X)＝______________________________為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，并稱其算術(shù)平方根________________為隨機變量X的標準差．5．均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝________________.(2)D(aX＋b)＝____________.(a，b為常數(shù))常用結(jié)論1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數(shù)．2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2.4．超幾何分布有時也記為 X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝，D(X)＝.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)在離散型隨機變量的分布列中，隨機變量取各個值的概率之和可以小于1.(　　)(2)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　)(3)如果隨機變量X的分布列由下表給出，X25P0.30.7 則它服從兩點分布．(　　)(4)方差或標準差越小，則隨機變量的偏離程度越?。?/span>(　　)教材改編題1．甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，則{ξ＝3}表示(　　)A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局二次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次2．已知X的分布列為X－101P 設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為(　　)A.  B．4  C．－1  D．13．若離散型隨機變量X的分布列為X01P 則X的方差D(X)＝________.題型一　分布列的性質(zhì)例1 (1)若隨機變量X的分布列為X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1 則當P(X<a)＝0.8時，實數(shù)a的取值范圍是(　　)A．(－∞，2]   B．[1,2]C．(1,2]   D．(1,2)聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________  (2)(2022·銀川模擬)若隨機變量X的分布列為X－101Pac 則P(|X|＝1)等于(　　)A.  B.  C.  D.聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 離散型隨機變量分布列的性質(zhì)的應用(1)利用“概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的值．(2)利用“在某個范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確．跟蹤訓練1 (1)設(shè)X是一個離散型隨機變量，其分布列為X－101P2－3qq2 則q的值為(　　)A．1   B.±C.－   D.＋(2)設(shè)隨機變量X滿足P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，則k＝________； P(X≥2)＝________. 題型二　離散型隨機變量的均值、方差例2 (1)已知隨機變量X的分布列為X－101Pm3m 下列選項不正確的是(　　)A．m＝   B．E(X)＝C．E(2X－1)＝   D．D(X)＝聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2023·成都模擬)甲、乙、丙三人參加2022年冬奧會北京、延慶、張家口三個賽區(qū)的志愿服務活動，若每人只能選擇一個賽區(qū)，且選擇其中任何一個賽區(qū)是等可能的．記X為三人選中的賽區(qū)個數(shù)，Y為三人沒有選中的賽區(qū)個數(shù)，則下列命題中正確的是(　　)①E(X)＝E(Y)；②E(X)≠E(Y)；③D(X)＝D(Y)；④D(X)≠D(Y)．A．①③   B．②④C．①④   D．②③聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 求離散型隨機變量ξ的均值與方差的步驟(1)理解ξ的意義，寫出ξ的所有可能取值．(2)求ξ取每個值的概率．(3)寫出ξ的分布列．(4)由均值、方差的定義求E(ξ)，D(ξ)．跟蹤訓練2 (1)(2022·懷化模擬)已知ξ的分布列如表所示．ξ012P？！？ 其中，盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此計算，下列各式中：①E(ξ)＝1；②D(ξ)>1；③P(ξ＝0)≤，正確的個數(shù)是(　　)A．0  B．1  C．2  D．3(2)學習強國新開通一項“爭上游答題”欄目，其規(guī)則是比賽兩局，首局勝利積3分，第二局勝利積2分，失敗均積1分，某人每局比賽勝利的概率為，設(shè)他參加一次答題活動得分為ξ，則D(ξ)＝________. 題型三　超幾何分布例3 2022年12月4日，神舟十四號載人飛船返回艙在東風著陸場預定區(qū)域成功著陸，航天員順利出艙，神舟十四號載人飛行任務圓滿完成．為紀念中國航天事業(yè)成就，發(fā)揚并傳承中國航天精神，某校高一年級組織2 000名學生進行了航天知識競賽(滿分：100分)并進行記錄，根據(jù)得分將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．(1)用頻率估計概率，從該校隨機抽取2名同學，求其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率；(2)從得分在[60,90]的學生中利用分層抽樣的方法選出8名學生，若從中選出3人參加有關(guān)航天知識演講活動，求選出的3人中競賽得分不低于70分的人數(shù)X的分布列及均值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 (1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)．超幾何分布的特征是：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的分布列．(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其本質(zhì)是古典概型．跟蹤訓練3 為了適當疏導電價矛盾，保障電力供應，支持可再生能源發(fā)展，促進節(jié)能減排，某省推出了省內(nèi)居民階梯電價的計算標準：以一個年度為計費周期，月度滾動使用．第一階梯：年用電量在2 160度以下(含2 160度)，執(zhí)行第一檔電價0.565 3元/度；第二階梯：年用電量在2 161度到4 200度內(nèi)(含4 200度)，超出2 160度的電量執(zhí)行第二檔電價0.615 3元/度；第三階梯：年用電量在4 200度以上，超出4 200度的電量執(zhí)行第三檔電價0.865 3元/度．某市的電力部門從本市的用戶中隨機抽取10戶，統(tǒng)計其同一年度的用電情況，列表如下：用戶編號12345678910年用電量/度1 0001 2601 4001 8242 1802 4232 8153 3254 4114 600 (1)計算表中編號為10的用戶該年應交的電費；(2)現(xiàn)要在這10戶中任意選取4戶，對其用電情況進行進一步分析，求取到第二階梯的戶數(shù)的分布列．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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