§8.3　空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系考試要求　1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題．知識梳理1．四個公理公理1：如果一條直線上的________在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．公理2：過______________________________的三點，有且只有一個平面．公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們______________________________過該點的公共直線．公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相________．2．空間中直線與直線的位置關(guān)系3．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系 圖形語言符號語言公共點直線與平面相交 ____個平行 ____個在平面內(nèi) ____個平面與平面平行 ____個相交 ____個 4.等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角________________．5．異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，我們把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)范圍：____________.常用結(jié)論1．過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線．2．分別在兩個平行平面內(nèi)的直線平行或異面．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)沒有公共點的兩條直線是異面直線．(　　)(2)直線與平面的位置關(guān)系有平行、垂直兩種．(　　)(3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．(　　)(4)兩兩相交的三條直線共面．(　　)教材改編題1.如圖是某正方體的平面展開圖，則在這個正方體中，下列說法正確的是(　　) A．BM與ED平行B．CN與BM成30°角C．CN與BE是異面直線D．DM與BN是異面直線2．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b(　　)A．一定是異面直線B．一定是相交直線C．不可能是平行直線D．不可能是相交直線3.如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則(1)當(dāng)AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為菱形；(2)當(dāng)AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為正方形．題型一　平面基本性質(zhì)的應(yīng)用例1 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F分別是AB，AA1的中點，連接D1F，CE.求證：(1)E，C，D1，F四點共面；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)CE，D1F，DA三線共點．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 共面、共線、共點問題的證明(1)共面：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)．(2)共線：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上．(3)共點：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點．跟蹤訓(xùn)練1 (1)如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必經(jīng)過(　　) A．點A   B．點BC．點C但不過點M   D．點C和點M(2)如圖所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G，H分別為FA，FD的中點．①證明：四邊形BCHG是平行四邊形；②C，D，F，E四點是否共面？為什么？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 題型二　空間位置關(guān)系的判斷命題點1　空間位置關(guān)系的判斷例2 (1)(2023·龍巖模擬)若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是(　　)A．異面或平行   B．異面或相交C．異面   D．相交、平行或異面聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)下列推斷中，正確的有________．①M∈α，M∈β，α∩β＝l?M∈l；②A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB；③l?α，A∈l?A?α；④A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α，β重合．聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點2　異面直線所成的角例3 (1)如圖，圓柱的軸截面ABCD為正方形，E為弧BC的中點，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為(　　)A.   B.C.   D.聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·長春模擬)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為BC，A1B1的中點，則異面直線PQ與A1C1所成角的正弦值為(　　)A.  B.  C.  D.聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 (1)點、直線、平面位置關(guān)系的判定，注意構(gòu)造幾何體(長方體、正方體)模型來判斷，常借助正方體為模型．(2)求異面直線所成角的方法方法解讀平移法將異面直線中的某一條平移，使其與另一條相交，一般采用圖中已有的平行線或者作平行線， 形成三角形求解補形法在該幾何體的某側(cè)補接上同樣一個幾何體，在這兩個幾何體中找異面直線相應(yīng)的位置，形成三角形求解 跟蹤訓(xùn)練2 (1)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，以下四個結(jié)論正確的是(　　) ①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．A．①③   B．①④C．②③   D．③④(2)(2023·莆田模擬)若正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面邊長為1，高為，則直線AE1和EF所成的角大小為(　　)A.  B.  C.  D.(3)平面α過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為(　　)A.  B.  C.  D. 題型三　空間幾何體的切割(截面)問題例4 (1)正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，E，F分別是AB，AD，B1C1，C1D1的中點，則正方體過P，Q，E，F的截面圖形的形狀是(　　)A．正方形   B．平行四邊形C．正五邊形   D．正六邊形聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)如圖，圓錐VO的母線長為l，軸截面VAB的頂角∠AVB＝150°，則過此圓錐的頂點作該圓錐的任意截面VCD，則△VCD面積的最大值是________，此時∠VCD＝________.聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 (1)作截面應(yīng)遵循的三個原則：①在同一平面上的兩點可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線．(2)作交線的方法有如下兩種：①利用公理3作交線；②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線．跟蹤訓(xùn)練3 (1)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別在B1B和C1C上(異于端點)，則過三點A，F，E的平面被正方體截得的圖形(截面)不可能是(　　)A．矩形   B．菱形C．正方形   D．梯形(2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中點，平面α經(jīng)過直線BD且與直線C1E平行，若正方體的棱長為2，則平面α截正方體所得的多邊形的面積為________．

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