2024年數(shù)學高考大一輪復習第八章 培優(yōu)課 §8.2　球的切、接問題（附答單獨案解析）

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§8.2　球的切、接問題 球的切、接問題，是歷年高考的熱點內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)．一般圍繞球與其他幾何體的內(nèi)切、外接命題，考查球的體積與表面積，其關(guān)鍵點是確定球心．題型一　定義法例1 (1)(2023·宣城模擬)在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝45°，則三棱錐P－ABC外接球的表面積是(　　)A．14π  B．16π  C．18π  D．20π(2)(2022·新高考全國Ⅱ)已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為3和4，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為(　　)A．100π   B．128πC．144π   D．192π聽課記錄：____________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可．跟蹤訓練1 已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為(　　)A.   B．2C.   D．3 題型二　補形法例2 (1)(2023·大慶模擬)在正方形ABCD中，E，F分別為線段AB，BC的中點，連接DE，DF，EF，將△ADE，△CDF，△BEF分別沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三點重合，得到三棱錐O－DEF，則該三棱錐的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r的比值為(　　)A. 2  B．4  C．2  D.聽課記錄：____________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)如圖，在多面體中，四邊形ABCD為矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通過添加一個三棱錐可以將該多面體補成一個直三棱柱，那么添加的三棱錐的體積為________，補形后的直三棱柱的外接球的表面積為________．聽課記錄：____________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 (1)補形法的解題策略①側(cè)面為直角三角形，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ秃驼拿骟w，可以還原到正方體或長方體中去求解；②直三棱錐補成三棱柱求解．(2)正方體與球的切、接問題的常用結(jié)論正方體的棱長為a，球的半徑為R，①若球為正方體的外接球，則2R＝a；②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝a.(3)若長方體的共頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝.跟蹤訓練2 (1)在三棱錐A－BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為，，，則三棱錐A－BCD的外接球的體積為(　　)A.π   B．2πC．3π   D．4π(2)棱長為a的正四面體的體積與其內(nèi)切球體積之比為________．題型三　截面法例3 (1)四棱錐P－ABCD的頂點都在球O的表面上，△PAD是等邊三角形，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，若AB＝2，BC＝3，則球O的表面積為(　　)A．12π  B．16π  C．20π  D．32π聽課記錄：____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ (2)如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一塊石材，測量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若將該石材切削、打磨，加工成幾個大小相同的健身手球，則一個加工所得的健身手球的最大體積及此時加工成的健身手球的個數(shù)分別為(　　) A.，4   B.，3C．6π，4   D.，3聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 (1)與球截面有關(guān)的解題策略①定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；②作截面：選準最佳角度作出截面，達到空間問題平面化的目的．(2)正四面體的外接球的半徑R＝a，內(nèi)切球的半徑r＝a，其半徑之比R∶r＝3∶1(a為該正四面體的棱長)．跟蹤訓練3 (1)(2022·淮北模擬)半球內(nèi)放三個半徑為的小球，三小球兩兩相切，并且與球面及半球底面的大圓面也相切，則該半球的半徑是(　　)A．1＋   B.＋C.＋   D.＋(2)(2021·天津)兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為1∶3，則這兩個圓錐的體積之和為(　　)A．3π  B．4π  C．9π  D．12π