第八章8.2　一元線性回歸模型及其應(yīng)用8.2.1　一元線性回歸模型　8.2.2　一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)A級(jí) 必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)一·2023陜西漢中模擬]如圖所示,已知兩個(gè)線性相關(guān)的變量x,y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:x681012y6532其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為x+10.3,則=(　　)A.-0.7 B.0.7 C.-0.5 D.-22.[探究點(diǎn)二]紅鈴蟲(chóng)是棉花的主要害蟲(chóng)之一,一只紅鈴蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān).現(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù),用4種模型分別進(jìn)行擬合.由此得到相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程并進(jìn)行殘差分析,進(jìn)一步得到如圖4幅殘差圖,根據(jù)殘差圖,擬合效果最好的模型是(　　)A.模型一 B.模型二 C.模型三 D.模型四3.[探究點(diǎn)二]關(guān)于殘差圖的描述錯(cuò)誤的是(　　)A.殘差圖的橫坐標(biāo)可以是樣本編號(hào)B.殘差圖的橫坐標(biāo)也可以是解釋變量或響應(yīng)變量C.殘差分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄R2越小D.殘差分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄殘差平方和越小4.[探究點(diǎn)三·2023山東濱州模擬]下列結(jié)論正確的是　　　　　. ①對(duì)兩個(gè)變量x,y進(jìn)行回歸分析,若所有樣本點(diǎn)都在直線y=-2x+1上,則r=1;②對(duì)兩個(gè)變量x,y進(jìn)行回歸分析,以模型y=cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí),為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程,設(shè)z=ln y,將其變換后得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程=0.3x+4,則c,k的值分別是e4和0.3;③某人投籃一次命中的概率為,某次練習(xí)他進(jìn)行了20次投籃,每次投籃命中與否互相之間沒(méi)有影響,設(shè)本次練習(xí)他投籃命中的次數(shù)為隨機(jī)變量X,則當(dāng)P(X=k)(k=0,1,2,3,…,20)取得最大值時(shí),X=6;④已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,則a1+2a2+…+7a7=-14.5.[探究點(diǎn)一]某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷,得到如下數(shù)據(jù):單價(jià)x/元88.28.48.68.89銷量y/件908483807568(1)已知y與x線性相關(guān),求銷量y關(guān)于單價(jià)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程x+,其中=-20,;(2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中,銷量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是4元/件,為使工廠獲得最大利潤(rùn),該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元?(利潤(rùn)=銷售收入-成本)    6.[探究點(diǎn)二]在一段時(shí)間內(nèi),某網(wǎng)店一種商品的銷售價(jià)格x(單位:元)和日銷售量y(單位:件)之間的一組數(shù)據(jù)如下表:價(jià)格x/元2220181614日銷售量y/件3741435056求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并用R2說(shuō)明擬合效果.參考數(shù)據(jù):xiyi=3 992,=1 660.參考公式:,R2=1-.           B級(jí) 關(guān)鍵能力提升練7.研究表明蟋蟀鳴叫的頻率x(每分鐘鳴叫的次數(shù))與氣溫y(單位:℃)存在著較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.某地觀測(cè)人員根據(jù)如表的觀測(cè)數(shù)據(jù),建立了y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程=0.27x+,則下列說(shuō)法不正確的是(　　)x/(次數(shù)/分鐘)2030405060y/℃2527.52932.536A.的值是19.2B.變量x,y正相關(guān)C.若x的值增加1,則y的值約增加0.27D.當(dāng)蟋蟀以52次/分鐘的頻率鳴叫時(shí),該地當(dāng)時(shí)的氣溫預(yù)測(cè)值為33.5 ℃8.(多選題)下列說(shuō)法正確的是(　　)A.經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)()B.若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)程度越強(qiáng),則樣本相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1C.在殘差圖中,殘差分布的水平帶狀區(qū)域越窄,說(shuō)明模型的擬合精度越高D.在線性回歸模型中,決定系數(shù)R2越接近于1,說(shuō)明回歸模型的擬合效果越好9.已知蝗蟲(chóng)的產(chǎn)卵量y與溫度x的關(guān)系可以用模型y=c1擬合,設(shè)z=ln y,其變換后得到一組數(shù)據(jù):x2023252730z22.4334.6由上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程=0.2x+,則c1=(　　)A.-2 B.e-2 C.3 D.e310.某品牌服裝專賣(mài)店為了解保暖襯衣的銷售量y(單位:件)與平均氣溫x(單位:℃)之間的關(guān)系,隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了連續(xù)四旬的銷售量與當(dāng)旬平均氣溫,其數(shù)據(jù)如下表:時(shí)間二月上旬二月中旬二月下旬三月上旬旬平均氣溫x/℃381217旬銷售量y/件55m3324由表中數(shù)據(jù)算出經(jīng)驗(yàn)回歸方程x+中的=-2,=10,=38.(1)表中數(shù)據(jù)m=　　　　　. (2)氣象部門(mén)預(yù)測(cè)三月中旬的平均氣溫約為22 ℃,據(jù)此估計(jì),該品牌的保暖襯衣在三月中旬的銷售量約為　　　　　件. 11.某車間為了規(guī)定工時(shí)定額,需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間,為此進(jìn)行了四次試驗(yàn),得到的數(shù)據(jù)如下:零件的個(gè)數(shù)x1245加工的時(shí)間y/小時(shí)2356已知零件的個(gè)數(shù)x與加工的時(shí)間y具有線性相關(guān)關(guān)系.(1)求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;注:(2)試預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要多少時(shí)間.12.流感每年在世界各地均有傳播,在我國(guó)北方通常呈冬春季流行,南方有冬春季和夏季兩個(gè)流行高峰.某幼兒園將去年春季該園患流感小朋友按照年齡與人數(shù)統(tǒng)計(jì),得到如下數(shù)據(jù):年齡x23456患病人數(shù)y2222171410(1)已知y與x線性相關(guān),求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(2)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)r(計(jì)算結(jié)果精確到0.01),并回答是否可以認(rèn)為該幼兒園去年春季患流感人數(shù)與年齡負(fù)相關(guān)很強(qiáng).(若|r|∈[0.75,1],則x,y相關(guān)性很強(qiáng);若|r|∈[0.3,0.75),則x,y相關(guān)性一般;若|r|∈[0,0.25],則x,y相關(guān)性較弱)參考數(shù)據(jù):≈5.477.參考公式:,樣本相關(guān)系數(shù)r=.               13.某醫(yī)療科研團(tuán)隊(duì)攻堅(jiān)克難研發(fā)出一種新型防疫產(chǎn)品,該產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成,每件產(chǎn)品的非原料成本y(單位:元)與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量x(單位:千件)有關(guān),根據(jù)已經(jīng)生產(chǎn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖.觀察散點(diǎn)圖,兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系,現(xiàn)考慮用函數(shù)y=a+對(duì)兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行擬合.參考數(shù)據(jù)如下其中ui=:yiuiyi0.410.168 11.49230620 858.44173.850.39(1)求y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并求y關(guān)于u的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01).(2)該產(chǎn)品采取訂單生產(chǎn)模式(根據(jù)訂單數(shù)量進(jìn)行生產(chǎn),即產(chǎn)品全部售出).根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研數(shù)據(jù),若該產(chǎn)品單價(jià)定為80元,則簽訂9千件訂單的概率為0.7,簽訂10千件訂單的概率為0.3;若單價(jià)定為70元,則簽訂10千件訂單的概率為0.3,簽訂11千件訂單的概率為0.7.已知每件產(chǎn)品的原料成本為30元,根據(jù)(1)的結(jié)果,要想獲得更高利潤(rùn),產(chǎn)品單價(jià)應(yīng)選擇80元還是70元?請(qǐng)說(shuō)明理由.參考公式:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其經(jīng)驗(yàn)回歸方程v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,相關(guān)系數(shù)r=.            C級(jí) 學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練14.[2023遼寧鞍山模擬]某IT公司在1月份至6月份的5G經(jīng)濟(jì)收入y(單位:百萬(wàn)元)關(guān)于月份x的數(shù)據(jù)如下表所示,并根據(jù)數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖.月份x123456收入y/百萬(wàn)元6.68.616.121.633.041.0(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=ax+b與y=cedx(a,b,c,d均為常數(shù))哪一個(gè)更適宜作為5G經(jīng)濟(jì)收入y關(guān)于月份x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型;(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果及表中的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并預(yù)測(cè)該公司7月份的5G經(jīng)濟(jì)收入;(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)(3)從前6個(gè)月的收入中抽取2個(gè),記收入超過(guò)2 000萬(wàn)元的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù):(xi-)2(xi-)(yi-)(xi-)(ui-)e1.52e2.663.5021.152.8517.5125.356.734.5714.30其中,u=ln y,ui=ln yi(i=1,2,3,4,5,6).參考公式:對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(xi,vi)(i=1,2,3,…,n),其經(jīng)驗(yàn)回歸直線x+的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為.            
參考答案8.2　一元線性回歸模型及其應(yīng)用8.2.1　一元線性回歸模型8.2.2　一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì) 1.A　由表格中數(shù)據(jù)可得=9,=4,則=-0.7.故選A.2.D　當(dāng)殘差比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域時(shí),說(shuō)明選用的模型比較合適,這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄,說(shuō)明擬合效果越好,對(duì)比4個(gè)殘差圖,可知模型四的圖對(duì)應(yīng)的帶狀區(qū)域的寬度最窄.3.C　殘差分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄,說(shuō)明模型擬合精度越高,則殘差平方和越小,此時(shí)R2的值越大,故描述錯(cuò)誤的是選項(xiàng)C.4.②④　對(duì)于①,對(duì)兩個(gè)變量x,y進(jìn)行回歸分析,若所有樣本點(diǎn)都在直線y=-2x+1上,則r=-1,故①錯(cuò)誤;對(duì)于②,由=0.3x+4及z=ln y,得=e0.3x+4=e4·e0.3x,故c=e4,k=0.3,故②正確;對(duì)于③,依題意可知,X~B20,,P(X=k)=k1-20-k,假設(shè)P(X=k)最大,則即整理得∴解得6≤k≤7,∴P(X=k)(k=0,1,2,3,…,20)取得最大值時(shí)X=6或X=7,故③錯(cuò)誤;對(duì)于④,由(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,兩邊對(duì)x求導(dǎo),得7(1-2x)6·(-2)=a1+2a2x+3a3x2+…+7a7x6,令x=1,得-14=a1+2a2+…+7a7,故④正確.5.解(1)因?yàn)?/span>×(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5,×(90+84+83+80+75+68)=80,所以=80+20×8.5=250.所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=-20x+250.(2)設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為L(單位:元),依題意得L=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20x2+330x-1 000=-20+361.25.當(dāng)且僅當(dāng)x==8.25時(shí),L取得最大值.故當(dāng)單價(jià)定為8.25元時(shí),工廠可獲得最大利潤(rùn).6.解作出散點(diǎn)圖(圖略),觀察散點(diǎn)圖可知這些點(diǎn)散布在一條直線的附近,故可知x與y線性相關(guān).因?yàn)?/span>=18,=45.4.所以=-2.35,=45.4-(-2.35)×18=87.7.所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=-2.35x+87.7.yi-與yi-的值如下表:yi-10.3-2.4-0.11.2yi--8.4-4.4-2.44.610.6計(jì)算得(yi-)2=8.3,(yi-)2=229.2,所以R2=1-≈0.964.因?yàn)?.964很接近于1,所以該模型的擬合效果比較好.7.D　由題意,得×(20+30+40+50+60)=40,×(25+27.5+29+32.5+36)=30,則-0.27=30-0.27×40=19.2,故A正確;由經(jīng)驗(yàn)回歸方程可知,變量x,y呈正相關(guān)關(guān)系,故B正確;若x的值增加1,則y的值約增加0.27,故C正確;當(dāng)x=52時(shí),=0.27×52+19.2=33.24,故D錯(cuò)誤.8.ACD　對(duì)于A,經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)(),故A正確;對(duì)于B,由樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越趨近于1,相關(guān)程度越強(qiáng)可知,若兩個(gè)變量負(fù)線性相關(guān),其線性相關(guān)程度越強(qiáng),則樣本相關(guān)系數(shù)r的值越接近于-1,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,因?yàn)樵跉埐顖D中,殘差分布的水平帶狀區(qū)域越窄,說(shuō)明模型的擬合精度越高,故C正確;對(duì)于D,因?yàn)樵诰€性回歸模型中,決定系數(shù)R2越接近于1,說(shuō)明線性回歸模型的擬合效果越好,故D正確.9.B　由已知可得,×(20+23+25+27+30)=25,×(2+2.4+3+3+4.6)=3,則=3-0.2×25=-2.z=ln y=ln(c1)=c2x+ln c1,則lnc1=-2,即c1=e-2.10.(1)40　(2)14　(1)由(55+m+33+24)=38,解得m=40.(2)由,得=58.故=-2x+58.當(dāng)x=22時(shí),=14.故三月中旬的銷售量約為14件.11.解(1)由表中數(shù)據(jù)得xiyi=58,=3,=4,=46,∴=1,=4-3=1.∴=x+1.(2)將x=10代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程=x+1中,得=11,∴預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要11小時(shí).12.解(1)由題意可得=4,=17,==-3.2,=17+3.2×4=29.8.故y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=-3.2x+29.8.(2)r=≈-0.97,由r<0,可知x,y負(fù)相關(guān).又因?yàn)?/span>|r|∈[0.75,1],所以x,y相關(guān)性很強(qiáng).因此,可以認(rèn)為該幼兒園去年春季患流感人數(shù)與年齡負(fù)相關(guān)很強(qiáng).13.解(1)令u=,先建立y關(guān)于u的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.因?yàn)?/span>=51,所以=100.所以=51-100×0.41=10.所以=10+100u.所以y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=10+.y關(guān)于u的樣本相關(guān)系數(shù)為r==≈0.96.(2)(方法一)(ⅰ)若產(chǎn)品單價(jià)為80元,記企業(yè)利潤(rùn)為X(單位:元).當(dāng)訂單為9千件時(shí),每件產(chǎn)品的成本為10++30=(元),企業(yè)的利潤(rùn)為80-40+×9 000=260 000(元).當(dāng)訂單為10千件時(shí),每件產(chǎn)品的成本為10++30=50(元),企業(yè)的利潤(rùn)為(80-50)×10 000=300 000(元).所以企業(yè)利潤(rùn)X的分布列為X260 000300 000P0.70.3E(X)=260000×0.7+300000×0.3=272000.(ⅱ)若產(chǎn)品單價(jià)為70元,記企業(yè)利潤(rùn)為Y(單位:元).當(dāng)訂單為10千件時(shí),每件產(chǎn)品的成本為10++30=50(元),企業(yè)的利潤(rùn)為(70-50)×10000=200000(元).當(dāng)訂單為11千件時(shí),每件產(chǎn)品的成本為10++30=(元),企業(yè)的利潤(rùn)為70-40+×11000=230000(元).所以企業(yè)利潤(rùn)Y的分布列為Y200000230000P0.30.7E(Y)=200000×0.3+230000×0.7=221000.所以E(X)>E(Y),故企業(yè)要想獲得更高利潤(rùn),產(chǎn)品單價(jià)應(yīng)選擇80元.(方法二)(ⅰ)若產(chǎn)品單價(jià)為80元,記企業(yè)的產(chǎn)量為X(單位:千件),其分布列為X910P0.70.3所以E(X)=9×0.7+10×0.3=9.3,企業(yè)的利潤(rùn)為80-40+×9300=272000(元).(ⅱ)若產(chǎn)品單價(jià)為70元,記企業(yè)的產(chǎn)量為Y(單位:千件),其分布列為Y1011P0.30.7所以E(Y)=10×0.3+11×0.7=10.7,企業(yè)的利潤(rùn)為70-40+×10700=221000(元).因?yàn)?72000>221000,所以企業(yè)要想獲得更高利潤(rùn),產(chǎn)品單價(jià)應(yīng)選擇80元.14.解(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=cedx更適宜作為5G經(jīng)濟(jì)收入y關(guān)于月份x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型.(2)由(1)得y=cedx,則兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)得lny=lnc+dx,設(shè)u=lny,則u=lnc+dx.∵=3.50,=2.85,∴≈0.38,∴≈2.85-0.38×3.50=1.52,∴=1.52+0.38x,∴=e1.52+0.38x.令x=7,則=e1.52+0.38×7=e1.52×e2.66≈4.57×14.30≈65.35,故預(yù)測(cè)該公司7月份的5G經(jīng)濟(jì)收入大約為65.35百萬(wàn)元.(3)前6個(gè)月的收入中,收入超過(guò)2 000萬(wàn)元的有3個(gè),∴隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,∴P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,故X的分布列為X012P∴E(X)=0×+1×+2×=1. 

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這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊(cè)8.2 一元線性回歸模型及其應(yīng)用練習(xí)題，共10頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊(cè)第八章 成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.2 一元線性回歸模型及其應(yīng)用當(dāng)堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)題：

這是一份人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊(cè)第八章 成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.2 一元線性回歸模型及其應(yīng)用當(dāng)堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)題，共16頁(yè)。試卷主要包含了27B，已知x、y的取值如下表所示，4B等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊(cè)電子課本

8.2 一元線性回歸模型及其應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第三冊(cè)

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