? 第09講 萬(wàn)有引力定律
知識(shí)圖譜


萬(wàn)有引力定律的理解和基本計(jì)算


知識(shí)精講
知識(shí)點(diǎn)一：萬(wàn)有引力定律的理解和基本計(jì)算

1． 開(kāi)普勒定律
定律
圖示
內(nèi)容
開(kāi)普勒第一定律
（軌道定律）

所有行星分別在大小不同的軌道上同繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)。太陽(yáng)在這些橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上。
開(kāi)普勒第一定律
（面積定律）

對(duì)任意行星來(lái)說(shuō)，該行星與太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。
說(shuō)明：
開(kāi)普勒第一定律
（周期定律）

所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)軌道半長(zhǎng)軸的立方與公轉(zhuǎn)周期的二次方成正比。
，k值僅與中心天體有關(guān)，而與環(huán)繞天體無(wú)關(guān)；中心天體不同的系統(tǒng)中，k值不同。


2．月地檢驗(yàn)
（1）目的：驗(yàn)證天體之間的力與地球上物體所受的重力是同一種性質(zhì)的力。
（2）原理：假定上述猜想成立，即維持月球繞地球運(yùn)動(dòng)的力與使蘋(píng)果下落的力是同一種力，同樣遵從“平方反比”規(guī)律，那么由于，所以同一物體在月球軌道上受到的引力約為地面附近受到引力的。根據(jù)牛頓第二定律，物體在月球軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度（月球公轉(zhuǎn)的向心加速度）也應(yīng)該是地面附近下落時(shí)的加速度（自由落體加速度）的。
（3）驗(yàn)證
當(dāng)時(shí)已經(jīng)比較精確地測(cè)定月球與地球的距離r=384400km、月球的公轉(zhuǎn)周期為27.3天。
地面附近的重力加速度：；
月球運(yùn)行的向心加速度：
由此可得：，假設(shè)成立。
3．萬(wàn)有引力定律
（1）引力公式：
（2）適用條件適用于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)或均勻球體；r為兩質(zhì)點(diǎn)或球心間的距離；）
（3）引力常量：，1798年由英國(guó)物理學(xué)家卡文迪許利用扭秤裝置測(cè)出，自稱“能稱出地球質(zhì)量的人”。

4．利用萬(wàn)有引力定律推導(dǎo)開(kāi)普勒第三定律
行星繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)，萬(wàn)有引力提供向心力：
由此可得：
設(shè)，可得：，即為開(kāi)普勒第三定律表達(dá)式
k大小有中心天體質(zhì)量決定，與環(huán)繞天體無(wú)關(guān)，且不同環(huán)繞體系k值可能不同。
5．萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系
（1）在南北極：
（2）在赤道： （為自轉(zhuǎn)所需向心力）
（3）若不考慮地球自轉(zhuǎn)：




6．注意事項(xiàng)：同一個(gè)r在不同公式中所具有的含義不同。
萬(wàn)有引力定律公式：r是指兩個(gè)物體間的距離，對(duì)于相距很遠(yuǎn)因而可以看做質(zhì)點(diǎn)的物體，則是兩個(gè)球心的距離。
向心力公式：r是指橢圓軌道的曲率半徑，或圓軌道的半徑。
開(kāi)普勒第三定律：r是指橢圓軌道的半長(zhǎng)軸或圓形軌道的半徑。

三點(diǎn)剖析
1．理解萬(wàn)有引力定律的內(nèi)容并能利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算
2．理解萬(wàn)有引力和重力的關(guān)系

開(kāi)普勒定律
例題1、 關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，下列說(shuō)法符合史實(shí)的是（　　）
A.開(kāi)普勒在牛頓定律的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律
B.開(kāi)普勒在天文觀測(cè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，總結(jié)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律
C.開(kāi)普勒總結(jié)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，找出了行星按照這些規(guī)律運(yùn)動(dòng)的原因
D.開(kāi)普勒總結(jié)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律
例題2、 根據(jù)開(kāi)普勒定律可知：火星繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道是橢圓，太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上．下列說(shuō)法正確的是（　?。?br /> A.太陽(yáng)對(duì)火星的萬(wàn)有引力大小始終保持不變
B.太陽(yáng)對(duì)火星的萬(wàn)有引力大于火星對(duì)太陽(yáng)的萬(wàn)有引力
C.火星運(yùn)動(dòng)到近日點(diǎn)時(shí)的加速度最大
D.火星繞太陽(yáng)運(yùn)行的線速度大小始終保持不變
例題3、 開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)第三定律指出：行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道的半長(zhǎng)軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方成正比，即，k是一個(gè)對(duì)所有行星都相同的常量。將行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)按圓周運(yùn)動(dòng)處理，請(qǐng)你推導(dǎo)出太陽(yáng)系中該常量k的表達(dá)式。已知萬(wàn)有引力常量為G，太陽(yáng)的質(zhì)量為M太。
例題4、 地球公轉(zhuǎn)軌道的半徑在天文學(xué)上常用來(lái)作為長(zhǎng)度單位，叫做天文單位，用來(lái)量度太陽(yáng)系內(nèi)天體與太陽(yáng)的距離．已知木星公轉(zhuǎn)的軌道半徑約5.0天文單位，請(qǐng)估算木星公轉(zhuǎn)的周期約為多少地球年（ ）
A.3年
B.5年
C.11年
D.25年
隨練1、 如圖所示，海王星繞太陽(yáng)沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行的周期為T(mén)0，圖中P為近日點(diǎn)，Q為遠(yuǎn)日點(diǎn)，M、N為軌道短軸的兩個(gè)端點(diǎn)。若只考慮海王星和太陽(yáng)之間的相互作用，則海王星在從P經(jīng)M、Q到N的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中（ ）

A.從Q到N所用的時(shí)間等于
B.從Q到N階段，機(jī)械能逐漸變大
C.從P到Q階段，動(dòng)量的大小逐漸變小
D.從P到M階段，萬(wàn)有引力對(duì)它做正功
隨練2、 據(jù)報(bào)道，借助于人工智能，科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了開(kāi)普勒﹣90星系的第八顆行星即開(kāi)普勒﹣90i，開(kāi)普勒﹣90星系相當(dāng)于一個(gè)縮小的太陽(yáng)系，已知開(kāi)普勒﹣90i繞其恒星Trappist﹣1的公轉(zhuǎn)周期是地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)周期的p倍，恒星Trappist﹣1的質(zhì)量為太陽(yáng)質(zhì)量的q倍，根據(jù)以上信息，開(kāi)普勒﹣90i中心到其恒星Trappist﹣1中心的距離與地球中心到太陽(yáng)中心距離的比值為（ ）
A.
B.
C.
D.
隨練3、 哈雷彗星繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)的半長(zhǎng)軸是地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)半徑的18倍．哈雷彗星曾于1986年飛近地球．請(qǐng)根據(jù)開(kāi)普勒行第三定律估算，1986年之后．它再次飛近地球在哪一年？（ ）
A.2004年
B.2022年
C.2058
D.2062

萬(wàn)有引力定律的基本計(jì)算
例題1、 為了將天上的力和地上的力統(tǒng)一起來(lái)，牛頓進(jìn)行了著名的“月地檢驗(yàn)”．“月地檢驗(yàn)”比較的是（　?。?br /> A.月球表面上物體的重力加速度和地球公轉(zhuǎn)的向心加速度
B.月球表面上物體的重力加速度和地球表面上物體的重力加速度
C.月球公轉(zhuǎn)的向心加速度和地球公轉(zhuǎn)的向心加速度
D.月球公轉(zhuǎn)的向心加速度和地球表面上物體的重力加速度
例題2、[多選題] 對(duì)于萬(wàn)有引力定律的表述式，下面說(shuō)法中正確的是（ ）
A.公式中G為引力常量，它是由實(shí)驗(yàn)測(cè)得的，而不是人為規(guī)定的
B.當(dāng)m1與m2一定時(shí)，隨著r的減小，萬(wàn)有引力逐漸增大，當(dāng)r→0萬(wàn)有引力F→∞
C.m1與m2受到的引力大小總是相等的，方向相反，是一對(duì)平衡力
D.m1與m2受到的引力總是大小相等的，而與m1、m2是否相等無(wú)關(guān)
例題3、 有一質(zhì)量為M、半徑為R、密度均勻的球體，在距離球心O為2R的地方有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，現(xiàn)在從M中挖去一半徑為的球體（如圖），然后又在挖空部分填滿另外一種密度為原來(lái)2倍的物質(zhì)，如圖所示．則填充后的實(shí)心球體對(duì)m的萬(wàn)有引力為（ ）

A.
B.
C.
D.
例題4、 假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。一礦井深度為d。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零。礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為（ ）
A.
B.
C.
D.
例題5、 2016年我國(guó)成功發(fā)射首顆微重力實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星——實(shí)踐十號(hào)，可以達(dá)到10－6g的微重力水平（10－6g其實(shí)指的是加速度），躋身世界先進(jìn)行列。在太空中不是應(yīng)該引力提供向心力而完全失重嗎？微重力的來(lái)源之一是“引潮力”。引潮力較為復(fù)雜，簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)是由于衛(wèi)星實(shí)驗(yàn)艙不能被看作質(zhì)點(diǎn)造成的，只有在衛(wèi)星的質(zhì)心位置引力才恰好等于向心力。假設(shè)衛(wèi)星實(shí)驗(yàn)艙中各點(diǎn)繞地球運(yùn)動(dòng)的角速度相同，請(qǐng)根據(jù)所學(xué)知識(shí)判斷下列說(shuō)法中正確的是（ ）

A.在衛(wèi)星質(zhì)心位置下方（靠近地心一側(cè)）的物體微重力方向向上（遠(yuǎn)離地心一側(cè)）
B.在衛(wèi)星質(zhì)心位置上方的物體微重力方向向上
C.處在衛(wèi)星質(zhì)心位置的物體所受合力為零
D.在衛(wèi)星質(zhì)心位置上方的物體所受引力大于向心力
隨練1、 許多科學(xué)家在經(jīng)典物理學(xué)發(fā)展中作出了重要貢獻(xiàn)，下列敘述中符合史實(shí)的是（ ）
A.哥白尼提出了日心說(shuō)并發(fā)現(xiàn)了行星沿橢圓軌道運(yùn)行的規(guī)律
B.開(kāi)普勒在前人研究的基礎(chǔ)上，提出了萬(wàn)有引力定律
C.牛頓提出了萬(wàn)有引力定律，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)出了萬(wàn)有引力常量
D.卡文迪許通過(guò)扭秤實(shí)驗(yàn)測(cè)出了萬(wàn)有引力常量
隨練2、 如圖所示，有一個(gè)質(zhì)量為M，半徑為R，密度均勻的大球體．從中挖去一個(gè)半徑為的小球體，并在空腔中心放置一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，則大球體的剩余部分對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力大小為（已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零）（　?。?br />
A.G
B.G
C.4G
D.0
隨練3、 為了檢驗(yàn)使蘋(píng)果落地的力與維持月球繞地球的力是同一種性質(zhì)的力，牛頓做了著名的月—地檢驗(yàn)試驗(yàn)。已知地球半徑R＝6.40×106m，月球繞地球運(yùn)行的軌道半徑r＝3.84×105 km，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期T＝27.3天，地球附近重力加速度g＝9.80m/s2。請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，通過(guò)計(jì)算推理說(shuō)明，使蘋(píng)果落地的力和維持月球繞地球運(yùn)動(dòng)的力是同一種性質(zhì)的力。

萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系
例題1、 關(guān)于重力和萬(wàn)有引力的關(guān)系，下列認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤的是（ ）
A.地面附近物體所受的重力就是萬(wàn)有引力
B.重力是由于地面附近的物體受到地球的吸引而產(chǎn)生的
C.在不太精確的計(jì)算中，可以認(rèn)為物體的重力等于萬(wàn)有引力
D.嚴(yán)格來(lái)說(shuō)重力并不等于萬(wàn)有引力，除兩極處物體的重力等于萬(wàn)有引力外，在地球其他各處的重力都略小于萬(wàn)有引力
例題2、 地球上極地處的重力加速度為a，赤道處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)的角速度為ω1。要使赤道上的物體“飄”起來(lái)，則地球自轉(zhuǎn)的角速度需達(dá)到ω2。則ω1與ω2的比值為（ ）
A.
B.
C.
D.
隨練1、 地球兩極的重力加速度為g0，赤道處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T(mén)，由于某種原因，假設(shè)地球自轉(zhuǎn)加快，赤道處的重力加速度變化了10%．求地球自轉(zhuǎn)加快后的周期．
隨練2、 設(shè)地球自轉(zhuǎn)周期為T(mén)，質(zhì)量為M，引力常量為G，假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，半徑為R．同一物體在南極和赤道水平面上靜止時(shí)所受到的支持力之比為（ ）
A.
B.
C.
D.

利用萬(wàn)有引力定律求解質(zhì)量和密度


知識(shí)精講
1．萬(wàn)有引力定律應(yīng)用的基本思路：
（1）萬(wàn)有引力提供向心力：
即；
（2）萬(wàn)有引力近似等于物體的重力：
即
從而得出（黃金代換）。
2．測(cè)天體的質(zhì)量和密度：
（1）思路：利用求解
①由得：
即只要測(cè)出環(huán)繞天體的和，就可以計(jì)算出中心天體的質(zhì)量。
②由ρ＝， 得：，R為中心天體的星體半徑。
當(dāng)r＝Ｒ時(shí)，即衛(wèi)星繞天體M表面運(yùn)行時(shí)，，由此可以測(cè)量天體的密度。
（2）思路：利用求解

即已知天體表面的重力加速度和形體半徑，就可以計(jì)算出該天體的質(zhì)量。
3．星體表面重力加速度、軌道重力加速度問(wèn)題
思路：利用求解
（1）星體表面重力加速度：
（2）距地面高h(yuǎn)的軌道重力加速度：
4．注意事項(xiàng)：在具體的應(yīng)用中，注意區(qū)分星體半徑和星體做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑。


三點(diǎn)剖析
1．掌握利用萬(wàn)有引力定律求解質(zhì)量和密度的方法
2．掌握重力加速度的影響因素和計(jì)算

利用萬(wàn)有引力定律求解天體質(zhì)量和密度
例題1、 利用引力常量G和下列某一組數(shù)據(jù)，不能計(jì)算出地球質(zhì)量的是（ ）
A.地球的半徑及重力加速度（不考慮地球自轉(zhuǎn)）
B.人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的速度及周期
C.月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及月球與地球間的距離
D.地球繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及地球與太陽(yáng)間的距離
例題2、 已知在地球表面上，赤道外的重力加速度大小為g1，兩極處的重力加速度大小為g2，地球自轉(zhuǎn)的角速度為ω，引力常量為G，地球可視為質(zhì)量分布均勻的球體，則地球的密度為（ ）
A.
B.
C.
D.
例題3、我國(guó)500m口徑射電望遠(yuǎn)鏡（天眼）發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318＋0253”，其自轉(zhuǎn)周期T＝5.19ms。假設(shè)星體為質(zhì)量均勻分布的球體，已知萬(wàn)有引力常量為6.67×10－11N?m2/kg2．以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值約為（ ）
A.5×104kg/m3
B.5×1012kg/m3
C.5×1015kg/m3
D.5×1018kg/m3
例題4、 宇航員站在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一小球．經(jīng)過(guò)時(shí)間t，小球落到星球表面，測(cè)得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L(zhǎng).若拋出時(shí)的初速度增大到3倍，則拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L(zhǎng).已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G，求該星球的質(zhì)量M.
隨練1、[多選題] 已知萬(wàn)有引力常量為G，利用下列數(shù)據(jù)可以計(jì)算出地球質(zhì)量的是（ ）
A.某衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T和角速度ω
B.某衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T和軌道半徑r
C.地球繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T和軌道半徑r
D.地球半徑R和地球表面的重力加速度g
隨練2、 據(jù)新聞報(bào)導(dǎo)，“天宮二號(hào)”將2016年秋季擇機(jī)發(fā)射，其繞地球運(yùn)行的軌道可近似看成是圓軌道．設(shè)每經(jīng)過(guò)時(shí)間t，“天宮二號(hào)”通過(guò)的弧長(zhǎng)為l，該弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓心角為θ弧度．已知引力常量為G，則地球的質(zhì)量是（ ）
A.
B.
C.
D.
隨練3、 對(duì)于環(huán)繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星說(shuō)，它們繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期會(huì)隨著軌道半徑的變化而變化，某同學(xué)根據(jù)測(cè)得的不同衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r與周期T關(guān)系作出如圖所示圖像，則可求得地球質(zhì)量為（已知引力常量為G）（ ）

A.
B.
C.
D.
隨練4、[多選題] 脈沖星的本質(zhì)是中子星，具有在地面實(shí)驗(yàn)室無(wú)法實(shí)現(xiàn)的極端物理性質(zhì)，是理想的天體物理實(shí)驗(yàn)室，對(duì)齊進(jìn)行研究，有希望得到許多重大物理學(xué)問(wèn)題的答案，譬如：脈沖星的自轉(zhuǎn)周期極其穩(wěn)定，準(zhǔn)確的時(shí)鐘信號(hào)為引力波探測(cè)、航天器導(dǎo)航等重大科學(xué)及技術(shù)應(yīng)用提供了理想工具。我國(guó)FAST天文望遠(yuǎn)鏡首次發(fā)現(xiàn)兩顆太空脈沖星；其中一顆星的自轉(zhuǎn)周期為T(mén)（實(shí)際測(cè)量為1.83s，距離地球1.6萬(wàn)光年），假設(shè)該星球恰好能維持自轉(zhuǎn)不瓦解；地球可視為球體，其自轉(zhuǎn)周期為T(mén)0；同一物體在地球赤道上用彈簧秤測(cè)得重力為兩極處的0.9倍，已知萬(wàn)有引力常量為G，則該脈沖星的平均密度ρ及其與地球的平均密度ρ0之比正確的是（ ）
A.
B.
C.
D.
隨練5、 一艘宇宙飛船飛近某一新發(fā)現(xiàn)的行星，并進(jìn)入靠近該行星表面的圓形軌道繞行數(shù)圈后，著陸在行星上，宇宙飛船上備有以下實(shí)驗(yàn)儀器：
A、彈簧測(cè)力計(jì)一個(gè)
B、精確秒表一只
C、天平一臺(tái)（附砝碼一套）
D、物體一個(gè)
為測(cè)定該行星的質(zhì)量M和半徑R，宇航員在繞行及著陸后各進(jìn)行一次測(cè)量，依據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)可以求出M和R（已知萬(wàn)有引力常量為G）。
（1）繞行時(shí)測(cè)量所用的儀器為_(kāi)_______（用儀器的字母序號(hào)表示），所測(cè)物理量為_(kāi)_______（填名稱及符號(hào)）
（2）著陸后用儀器測(cè)出物體重力F和物體質(zhì)量m，則該行星質(zhì)量M＝________，星球半徑R＝________。

利用萬(wàn)有引力定律求解重力加速度
例題1、 若有一星球密度與地球密度相同，此星球半徑是地球半徑的2倍，則星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的（ ）
A.0.25倍
B.0.5倍
C.2倍
D.8倍
例題2、 據(jù)報(bào)道，最近在太陽(yáng)系外發(fā)現(xiàn)了首顆“宜居”行星，其質(zhì)量約為地球質(zhì)量的6.4倍，一個(gè)在地球表面重量為600N的人在這個(gè)行星表面的重量將變?yōu)?60N，由此可推知，該行星的半徑與地球半徑之比約為（　　）
A.0.5
B.1
C.2
D.4
隨練1、 “暢想號(hào)”火星探測(cè)器首次實(shí)現(xiàn)火星軟著陸和火星表面巡視勘察，并開(kāi)展地質(zhì)構(gòu)造等科學(xué)探測(cè)．“暢想號(hào)”在地球表面的重力為G1，在火星表面的重力為G2；地球與火星均視為球體，其半徑分別為R1、R2；地球表面重力加速度為g．則（ ）
A.火星表面的重力加速度為
B.火星與地球的質(zhì)量之比為
C.衛(wèi)星分別繞火星表面與地球表面運(yùn)行的速率之比為
D.“暢想號(hào)”火星探測(cè)器環(huán)繞火星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為2π、
隨練2、[多選題] 一球形行星對(duì)其周圍物體的萬(wàn)有引力使物體產(chǎn)生的加速度用a表示，物體到球形行星表面的距離用h表示，a隨h變化的圖象如圖所示，圖中a1、h1、a2、h2及萬(wàn)有引力常量G均為己知．根據(jù)以上數(shù)據(jù)可以計(jì)算出（　?。?br />
A.該行星的半徑
B.該行星的質(zhì)量
C.該行星的自轉(zhuǎn)周期
D.該行星同步衛(wèi)星離行星表面的高度
隨練3、 據(jù)報(bào)道，目前我國(guó)正在研制“螢火二號(hào)”火星探測(cè)器．探測(cè)器升空后，先在近地軌道上以線速度v環(huán)繞地球飛行，再調(diào)整速度進(jìn)入地火轉(zhuǎn)移軌道，最后再一次調(diào)整速度以線速度v′在火星表面附近環(huán)繞飛行，若認(rèn)為地球和火星都是質(zhì)量分布均勻的球體，已知火星與地球的半徑之比為1：2，密度之比為5：7，設(shè)火星與地球表面重力加速度分別為g′和g，下列結(jié)論正確的是（ ）
A.g′：g=4：1
B.g′：g=10：7
C.v′：v=
D.v′：v=

宇宙中的雙星及多星模型


知識(shí)精講
1．雙星問(wèn)題
設(shè)雙星的兩子星的質(zhì)量分別為M 1、M 2，球心間距離L，軌道半徑r1?、r2?，周期T1、T2?，角速度ω1、ω2?，線速度v 1?、v2。
由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律得
M1：
M1：
M1
M2
r1
r2

“雙星”問(wèn)題的常用結(jié)論
（1）周期相同：?T1=T2?
（2）角速度相同：ω1?=ω2?（參考同軸轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題）
（3）向心力相同：Fn1=Fn2
（4）軌道半徑與雙星質(zhì)量成反比： 由 得：
（5）線速度與雙星質(zhì)量成反比：由 得：
（6）兩恒星的質(zhì)量之和：
由 和得： 和，
由于和，所以
2．三星問(wèn)題
（1）三顆質(zhì)量相等的行星，一顆行星位于中心位置不動(dòng)，另外兩顆行星圍繞它做圓周運(yùn)動(dòng)。這三顆行星始終位于同一直線上，中心行星受力平衡。運(yùn)轉(zhuǎn)的行星由其余兩顆行星的引力提供向心力：


兩行星轉(zhuǎn)動(dòng)的方向相同，周期、角速度、線速度的大小相等。
（2）如圖所示，三顆質(zhì)量相等的行星位于一正三角形的頂點(diǎn)處，都繞三角形的中心做圓周運(yùn)動(dòng)。每顆行星運(yùn)行所需向心力都由其余兩顆行星對(duì)其萬(wàn)有引力的合力來(lái)提供：


其中。
三顆行星轉(zhuǎn)動(dòng)的方向相同，周期、角速度、線速度的大小相等。

三點(diǎn)剖析
1．掌握雙星模型的特點(diǎn)和處理方法
2．理解常見(jiàn)的三星模型及其運(yùn)行規(guī)律

宇宙中的雙星模型
例題1、 宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們以二者連線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，而不至因?yàn)槿f(wàn)有引力的作用而吸引到一起。如圖所示，某雙星系統(tǒng)中A、B兩顆天體繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們的軌道半徑之比rA︰rB＝1︰2，則兩顆天體的（ ）

A.質(zhì)量之比mA︰mB＝2︰1
B.角速度之比ωA︰ωB＝1︰2
C.線速度大小之比vA︰vB＝2︰1
D.向心力大小之比FA︰FB＝2︰1
例題2、[多選題] 人類第一次直接探測(cè)到來(lái)自雙中子星合并的引力波。根據(jù)科學(xué)家們復(fù)原的過(guò)程，在兩顆中子星合并前約100s時(shí)，它們相距約400km，繞二者連線上的某點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)動(dòng)12圈。將兩顆中子星都看作是質(zhì)量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬(wàn)有引力常量并利用牛頓力學(xué)知識(shí)，可以估算出這一時(shí)刻兩顆中子星（ ）
A.質(zhì)量之積
B.質(zhì)量之和
C.速率之和
D.各自的自轉(zhuǎn)角速度
例題3、 美國(guó)在2月11日宣布“探測(cè)到引力波的存在”。天文學(xué)家通過(guò)觀測(cè)雙星軌道參數(shù)的變化來(lái)間接驗(yàn)證引力波的存在，證實(shí)了GW150914是一個(gè)36倍太陽(yáng)質(zhì)量的黑洞和一個(gè)29倍太陽(yáng)質(zhì)量的黑洞并合事件。假設(shè)這兩個(gè)黑洞繞它們連線上的某點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，且這兩個(gè)黑洞的間距緩慢減小。若該黑洞系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各自質(zhì)量不變且不受其他星系的影響，則關(guān)于這兩個(gè)黑洞的運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.這兩個(gè)黑洞做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小始終相等
B.36倍太陽(yáng)質(zhì)量的黑洞軌道半徑比29倍太陽(yáng)質(zhì)量的黑洞軌道半徑小
C.這兩個(gè)黑洞運(yùn)行的線速度大小始終相等
D.隨兩個(gè)黑洞的間距緩慢減小，這兩個(gè)黑洞運(yùn)行的周期在增大
隨練1、 在天體運(yùn)動(dòng)中，將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星．它們?cè)谙嗷サ娜f(wàn)有引力作用下間距保持不變，并沿半徑不同的同心圓軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．如果雙星間距為，質(zhì)量分別為和，試計(jì)算：
（1）雙星的軌道半徑
（2）雙星的運(yùn)行周期
（3）雙星的線速度

隨練2、 據(jù)報(bào)道，一個(gè)國(guó)際研究小組借助于智利的天文望遠(yuǎn)鏡，觀測(cè)到了一組雙星系統(tǒng)，它們繞兩者連線上的某點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，假設(shè)此雙星系統(tǒng)中體積較小的成員能“吸食”另一顆體積較大星體的表面物質(zhì)，達(dá)到質(zhì)量轉(zhuǎn)移的目的，在演變過(guò)程中兩者球心之間的距離保持不變，雙星平均密度可視為相同。則在最初演變的過(guò)程中（ ）

A.它們間萬(wàn)有引力保持不變
B.它們做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度不變
C.體積較大的星體做圓周運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑變大，線速度變大
D.體積較大的星體做圓周運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑變小，線速度變大
隨練3、 12月17日是我國(guó)發(fā)射“悟空”探測(cè)衛(wèi)星二周年紀(jì)念日，一年來(lái)的觀測(cè)使人類對(duì)暗物質(zhì)的研究又進(jìn)了一步．宇宙空間中兩顆質(zhì)量相等的星球繞其連線中心轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，理論計(jì)算的周期與實(shí)際觀測(cè)周期不符，且=k（k＞1）；因此，科學(xué)家認(rèn)為，在兩星球之間存在暗物質(zhì)．假設(shè)以兩星球球心連線為直徑的球體空間中均勻分布著暗物質(zhì)，兩星球的質(zhì)量均為m；那么，暗物質(zhì)質(zhì)量為（　?。?br /> A.m
B.m
C.（k2﹣1）m
D.（2k2﹣1）m

宇宙中的多星模型
例題1、 如圖甲、乙、丙是位于同一直線上的離其它恒星較遠(yuǎn)的三顆恒星，甲、丙繞乙在半徑為R的圓軌道上運(yùn)行．若三顆星質(zhì)量均為M，萬(wàn)有引力常量為G，則（ ）

A.甲星所受合外力為
B.乙星所受合外力為
C.甲星和丙星的線速度相同
D.甲星和丙星的角速度相同
例題2、[多選題] 天文觀測(cè)中觀測(cè)到有三顆星位于邊長(zhǎng)為l的等邊三角形三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿等邊三角形的外接圓做周期為T(mén)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知引力常量為G，不計(jì)其他星體對(duì)它們的影響，關(guān)于這個(gè)三星系統(tǒng)，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A.三顆星的質(zhì)量可能不相等
B.某顆星的質(zhì)量為
C.它們的線速度大小均為
D.它們兩兩之間的萬(wàn)有引力大小為
隨練1、[多選題] 宇宙間存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，三角形邊長(zhǎng)為R，忽略其他星體對(duì)它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力量為G，則（ ）

A.每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為
B.每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為
C.每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為
D.每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度與三星的質(zhì)量無(wú)關(guān)
隨練2、[多選題] 宇宙空間由一種由三顆星體A、B、C組成的三星體系，它們分別位于等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)上，繞一個(gè)固定且共同的圓心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道如圖中實(shí)線所示，其軌道半徑rA＜rB＜rC．忽略其他星體對(duì)它們的作用，可知這三顆星體（ ）

A.線速度大小關(guān)系是vA＜vB＜vC
B.加速度大小關(guān)系是aA＞aB＞aC
C.質(zhì)量大小關(guān)系是mA＞mB＞mC
D.所受萬(wàn)有引力合力的大小關(guān)系是FA＞FB＞FC
隨練3、 宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對(duì)它們的引力作用．設(shè)每個(gè)星體的質(zhì)量均為m，四顆星穩(wěn)定地分布在邊長(zhǎng)為a的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，已知這四顆星均圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，引力常量為G，試求：
（1）星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r；
（2）若觀測(cè)到星體的半徑為R，則該星體對(duì)自身表面產(chǎn)生的重力加速度大?。ú挥?jì)其他星球的影響）；
（3）求星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的公轉(zhuǎn)周期T．


拓展
1、[多選題] 關(guān)于開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)的公式 =k，以下理解正確的是（ ）
A.k是一個(gè)與行星無(wú)關(guān)的常量
B.若地球繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)軌道的半長(zhǎng)軸為R地，周期為T(mén)地；月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)軌道的長(zhǎng)半軸為R月，周期為T(mén)月，則
C.T表示行星運(yùn)動(dòng)的自轉(zhuǎn)周期
D.T表示行星運(yùn)動(dòng)的公轉(zhuǎn)周期
2、 關(guān)于萬(wàn)有引力定律的建立，下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A.卡文迪許僅根據(jù)牛頓第三定律推出了行星與太陽(yáng)間引力大小跟行星與太陽(yáng)間距離的平方成反比的關(guān)系
B.“月﹣﹣地檢驗(yàn)”表明物體在地球上受到地球?qū)λ囊κ撬谠虑蛏鲜艿降脑虑驅(qū)λ囊Φ?0倍
C.引力常量G的大小是牛頓根據(jù)大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得出的
D.“月﹣﹣地檢驗(yàn)”表明地面物體所受到地球引力與月球所受地球引力遵從同樣的規(guī)律
3、 行星繞太陽(yáng)近似認(rèn)為做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)某行星質(zhì)量為m，速度為v，行星到太陽(yáng)的距離為r，行星繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)周期為T(mén)，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律、牛頓第二定律與牛頓第三定律，推導(dǎo)萬(wàn)有引力定律。
4、 由于地球的自轉(zhuǎn)，地球表面的物體會(huì)產(chǎn)生向心加速度，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.在地球表面各處的向心加速度都指向地心
B.赤道上物體的向心加速度最大
C.赤道和北極上物體的向心加速度一樣大
D.赤道和地球內(nèi)部物體的向心加速度一樣大
5、 （1）若已知地球半徑為，地球表面的重力加速度為，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為，且把月球繞地球的運(yùn)動(dòng)近似看做是勻速圓周運(yùn)動(dòng)．則月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為_(kāi)_____
（2）若某位宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度豎直向上拋出一個(gè)小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間，小球落回到拋出點(diǎn)．已知月球半徑為，萬(wàn)有引力常量為．則月球的密度為_(kāi)______
6、[多選題] 有一宇宙飛船到了某行星上(該行星沒(méi)有自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng))，以速度接近行星赤道表面勻速飛行，測(cè)出運(yùn)動(dòng)的周期為，已知引力常量為，則可得（ ）
A.該行星的半徑為
B.可以計(jì)算出行星的平均密度
C.無(wú)法測(cè)出該行星的質(zhì)量
D.該行星表面的重力加速度為
7、 10月16日，全球多國(guó)科學(xué)家同步舉行新聞發(fā)布會(huì)，宣布人類第一次利用激光干涉法直接探測(cè)到來(lái)自雙中子星合并（距地球約1.3億光年）的引力波，如圖為某雙星系統(tǒng)A、B 繞其連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的示意圖，若A星的軌道半徑大于B星的軌道半徑，雙星的總質(zhì)量為M，雙星間的距離為L(zhǎng)，其運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)，則（ ）

A.A的質(zhì)量一定大于B的質(zhì)量
B.A的線速度一定大于B的線速度
C.L一定，M越大，T越大
D.M一定，L越小，T越大
8、[多選題] 10月16日，南京紫金山天文臺(tái)對(duì)外發(fā)布一項(xiàng)重大發(fā)現(xiàn)，我國(guó)南極巡天望遠(yuǎn)鏡追蹤探測(cè)到首例引力波事件光學(xué)信號(hào)，關(guān)于引力波，早在1916年愛(ài)因斯坦基于廣義相對(duì)論預(yù)言了其存在，1974年拉塞爾豪爾斯和約瑟夫泰勒發(fā)現(xiàn)豪爾斯－泰勒脈沖雙星，這雙星系統(tǒng)在相互公轉(zhuǎn)時(shí)，由于不斷發(fā)射引力波而失去能量，因此逐漸相互靠近，這現(xiàn)象為引力波的存在提供了首個(gè)間接證據(jù)，上述敘述中，若不變考慮豪爾斯－泰勒脈沖雙星之列的變化，則關(guān)于豪爾斯－泰勒脈沖雙星的下列說(shuō)法正確的是（ ）

A.脈沖雙星逐漸靠近的過(guò)程中，它們相互公轉(zhuǎn)的周期不變
B.脈沖雙星逐漸靠近的過(guò)程中，它們相互公轉(zhuǎn)的周期逐漸變小
C.脈沖雙星逐漸靠近的過(guò)程中，它們各自做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑逐漸減小，但半徑的比值保持不變
D.若測(cè)出脈沖雙星相互公轉(zhuǎn)的周期，就可以求出雙星的總質(zhì)量
9、 太空中存在一些離其它恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對(duì)它們的引力作用.已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行.設(shè)這三個(gè)星體的質(zhì)量均為M，并設(shè)兩種系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期相同，則下列說(shuō)法不正確的是（ ）


A.直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的角速度相同
B.此三星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期為
C.三角形三星系統(tǒng)中星體間的距離為
D.三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為

答案解析

萬(wàn)有引力定律的理解和基本計(jì)算


開(kāi)普勒定律
例題1、
【答案】 B
【解析】 開(kāi)普勒在他的導(dǎo)師第谷天文觀測(cè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，總結(jié)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，但并未找出了行星按照這些規(guī)律運(yùn)動(dòng)的原因；牛頓在開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出萬(wàn)有引力定律，故ACD錯(cuò)誤，B正確．
例題2、
【答案】 C
【解析】 A、根據(jù)F=G，由于太陽(yáng)與火星的間距不斷變化，故太陽(yáng)對(duì)火星的萬(wàn)有引力大小不斷變化，故A錯(cuò)誤；
B、根據(jù)牛頓第三定律，太陽(yáng)對(duì)火星的萬(wàn)有引力大等于火星對(duì)太陽(yáng)的萬(wàn)有引力，故B錯(cuò)誤；
C、根據(jù)a=，火星運(yùn)動(dòng)到近日點(diǎn)時(shí)的加速度最大，故C正確；
D、根據(jù)開(kāi)普勒定律中的面積定律，火星繞太陽(yáng)運(yùn)行的線速度大小始終變化，近日點(diǎn)速度最大，遠(yuǎn)日點(diǎn)速度最小，故D錯(cuò)誤
例題3、
【答案】 見(jiàn)解析
【解析】 因行星繞太陽(yáng)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，于是軌道的半長(zhǎng)軸a即為軌道半徑r。根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律有
①
于是有②
即
故：太陽(yáng)系中該常量k的表達(dá)式是。
例題4、
【答案】 C
【解析】 根據(jù)開(kāi)普勒第三定律，有：，
故．
隨練1、
【答案】 C
【解析】 A、海王星在QN段的速度大小小于NP段的速度大小，則NP段的時(shí)間小于QN段的時(shí)間，所以Q到N所用的時(shí)間大于，故A錯(cuò)誤；
B、從Q到N的過(guò)程中，由于只有萬(wàn)有引力做功，機(jī)械能守恒，故B錯(cuò)誤；
C、從P到Q階段，萬(wàn)有引力做負(fù)功，速率減小，則動(dòng)量的大小逐漸減小，故C正確；
D、根據(jù)萬(wàn)有引力方向與速度方向的關(guān)系知，從P到M階段，萬(wàn)有引力對(duì)它做負(fù)功，故D錯(cuò)誤。
隨練2、
【答案】 D
【解析】 由得：

根據(jù)題意有：

故ABC錯(cuò)誤，D正確。
隨練3、
【答案】 D
【解析】 已知地球軌道半徑的半長(zhǎng)軸為，公轉(zhuǎn)周期年．設(shè)哈雷慧星軌道半徑的半長(zhǎng)軸．公轉(zhuǎn)周期．由開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)第三定律得：
代入數(shù)據(jù)，則年．下次飛近地球?qū)⒃谀辏蔇正確，ABC錯(cuò)誤．

萬(wàn)有引力定律的基本計(jì)算
例題1、
【答案】 D
【解析】 牛頓將行星的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)假想成圓周運(yùn)動(dòng)，行星運(yùn)動(dòng)的向心力是太陽(yáng)的萬(wàn)有引力提供的，根據(jù)牛頓第二定律得出與萬(wàn)有引力與行星運(yùn)動(dòng)太陽(yáng)和行星的質(zhì)量、周期和半徑的關(guān)系，又根據(jù)開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)第三定律得，聯(lián)立得到，萬(wàn)有引力與行星太陽(yáng)的質(zhì)量、軌道半徑的關(guān)系．根據(jù)牛頓第三定律，研究行星對(duì)太陽(yáng)的引力與太陽(yáng)的引力大小相等，得到萬(wàn)有引力與行星質(zhì)量、軌道半徑的關(guān)系，再聯(lián)立得到萬(wàn)有引力定律．
為了將天上的力和地上的力統(tǒng)一起來(lái)，牛頓進(jìn)行了著名的“月地檢驗(yàn)”．其設(shè)想為：地球表面的物體受到的萬(wàn)有引力提供地球表面物體的重力，所以：
mg=；即：g=
同理，繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的月亮：
即：a=
所以只要比較月球公轉(zhuǎn)的向心加速度和地球表面上物體的重力加速度與月球的軌道半徑與地球的半徑之間的關(guān)系，即可驗(yàn)證萬(wàn)有引力定律是否成立．
由以上的分析可知，選項(xiàng)ABC錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確故選：D
例題2、[多選題]
【答案】 A D
【解析】 A、公式，中G為引力常數(shù)，由卡文迪許通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得。故A正確；
B、當(dāng)m1與m2一定時(shí)，隨著r的減小，萬(wàn)有引力逐漸增大，公式中從數(shù)學(xué)角度講：當(dāng)r趨近于零時(shí)其值是趨于無(wú)窮大，然而這是物理公式，所以r不可能為零。萬(wàn)有引力公式只適合于兩個(gè)可以看作質(zhì)點(diǎn)的物體，即，物體（原子）的自身半徑相對(duì)兩者的間距可以忽略時(shí)適用。而當(dāng)距離無(wú)窮小時(shí)，相臨的兩個(gè)原子的半徑遠(yuǎn)大于這個(gè)距離，它們不再適用萬(wàn)有引力公式，故B錯(cuò)誤。
CD、m1、m2之間的萬(wàn)有引力是屬于相互作用力，所以總是大小相等，與m1、m2的質(zhì)量是否相等無(wú)關(guān)，卻與它們的質(zhì)量乘積有關(guān)。故C錯(cuò)誤，D正確。
例題3、
【答案】 A
【解析】 沒(méi)挖去前，球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的萬(wàn)有引力，
根據(jù)，可知挖去部分的質(zhì)量是球體質(zhì)量的，則挖去部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的引力，
則剩下部分對(duì)m的萬(wàn)有引力。
若挖去的小球中填滿原來(lái)球的密度的2倍的物質(zhì)，該物質(zhì)的質(zhì)量為，
則該物質(zhì)對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的萬(wàn)有引力，
所以質(zhì)點(diǎn)所受的萬(wàn)有引力．故A正確，BCD錯(cuò)誤。
例題4、
【答案】 A
【解析】 暫無(wú)解析
例題5、
【答案】 B
【解析】 暫無(wú)解析
隨練1、
【答案】 D
【解析】 A、哥白尼提出了日心說(shuō)，開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)了行星沿橢圓軌道運(yùn)行的規(guī)律。故A錯(cuò)誤。
B、牛頓在前人研究的基礎(chǔ)上，提出萬(wàn)有引力定律。故B錯(cuò)誤。
C、牛頓提出了萬(wàn)有引力定律，卡文迪許通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)出了萬(wàn)有引力常量。故C錯(cuò)誤，D正確。
隨練2、
【答案】 B
【解析】 采用割補(bǔ)法，先將空腔填滿；填入的球的球心與物體重合，填入球上各個(gè)部分對(duì)物體m的引力的矢量和為零；均勻球殼對(duì)內(nèi)部的質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力的合力為零，根據(jù)萬(wàn)有引力定律，有： ，解得：　
隨練3、
【答案】 見(jiàn)解析
【解析】 （1）理論分析：若使蘋(píng)果落地的力與維持月球繞地球運(yùn)動(dòng)的力是同一種性質(zhì)的力，則同樣遵從平方反比律，即。已知地球半徑R＝6.40×10m，月球繞地球運(yùn)行的軌道半徑r＝3.84×10km，所以r＝60R。月球在其軌道上所受的力將只有它在地球表面所受重力的，則月球在繞地軌道運(yùn)行時(shí)因地球吸引而具有的加速度。
（2）天文觀測(cè)：T＝27.3天，月球繞地運(yùn)行的向心加速度，故。
理論分析中的與天文觀中的符合的很好，可見(jiàn)，使蘋(píng)果落地的力與維持月球繞地球運(yùn)動(dòng)的力是同一種性質(zhì)的力。

萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系
例題1、
【答案】 A
【解析】 A．萬(wàn)有引力是由于物體具有質(zhì)量而在物體之間產(chǎn)生的一種相互作用．任何兩個(gè)物體之間都存在這種吸引作用．物體之間的這種吸引作用普遍存在于宇宙萬(wàn)物之間，稱為萬(wàn)有引力．重力，就是由于地面附近的物體受到地球的萬(wàn)有引力而產(chǎn)生的，重力只是萬(wàn)有引力的一個(gè)分力． 故A錯(cuò)誤．
B．重力是由于地面附近的物體受到地球的吸引而產(chǎn)生的，故B正確．
C．在不太精確的計(jì)算中，可以認(rèn)為物體的重力等于萬(wàn)有引力，故C正確．
D．嚴(yán)格來(lái)說(shuō)重力并不等于萬(wàn)有引力，除兩極處物體的重力等于萬(wàn)有引力外，在地球其他各處的重力都略小于萬(wàn)有引力，故D正確．
例題2、
【答案】 C
【解析】 物體所受的萬(wàn)有引力為F，物體在極地處時(shí)：F＝ma；赤道上隨地球自轉(zhuǎn)時(shí)，有F－mg＝ω12R；物體“飄”起來(lái)時(shí)只受萬(wàn)有引力，故F＝mω22R
解得，
隨練1、
【答案】
【解析】 物體在地球兩極時(shí)：
赤道處：
假設(shè)地球自轉(zhuǎn)加快，隨地自轉(zhuǎn)的向心力增大，赤道處的重力加速度減小，為：
g′=（1﹣10%）g=0.9g
自轉(zhuǎn)加快后，有：
聯(lián)立得：
解得：
答：地球自轉(zhuǎn)加快后的周期為．
隨練2、
【答案】 A
【解析】 在赤道上：G，可得①
在南極：②
由①②式可得：。

利用萬(wàn)有引力定律求解質(zhì)量和密度


利用萬(wàn)有引力定律求解天體質(zhì)量和密度
例題1、
【答案】 D
【解析】 A、根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力=mg，可以計(jì)算出地球的質(zhì)量，A正確；
B、根據(jù)v=可計(jì)算出衛(wèi)星的軌道半徑r，萬(wàn)有引力提供向心力，則可求出地球質(zhì)量，B正確；
C、根據(jù)可求出地球的質(zhì)量，C正確；
D、可根據(jù)則計(jì)算出太陽(yáng)的質(zhì)量，但無(wú)法計(jì)算地球的質(zhì)量，D錯(cuò)誤．
本題問(wèn)的是不能計(jì)算出地球質(zhì)量的是，所以選D．
例題2、
【答案】 D
【解析】 在地球兩極①
在地球赤道②
聯(lián)立①②得
由①得地球質(zhì)量
地球的密度，故D正確，ABC錯(cuò)誤。
例題3、
【答案】 C
【解析】 設(shè)位于該星體赤道處的小塊物質(zhì)質(zhì)量為m，物體受到的星體的萬(wàn)有引力恰好提供向心力，這時(shí)星體不瓦解且有最小密度，
由萬(wàn)有引力定律結(jié)合牛頓第二定律得：
球體的體積為：
密度為：
代入數(shù)據(jù)解得：．故C正確、ABD錯(cuò)誤；
例題4、
【答案】
【解析】 設(shè)拋出點(diǎn)的高度為h，第一次拋出時(shí)水平射程為x；當(dāng)初速度變?yōu)樵瓉?lái)3倍時(shí)，水平射程為3x，如圖所示
由幾何關(guān)系可知：L2＝h2＋x2①
（L）2＝h2＋（3x）2②
（ ①②聯(lián)立，得： L）
設(shè)該星球表面的重力加速度為g，則豎直方向h＝gt2③
又因?yàn)棰?br /> 由③④聯(lián)立，得

隨練1、[多選題]
【答案】 B D
【解析】 A、衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，解得，因?yàn)檐壍腊霃轿粗?，所以地球質(zhì)量求不出來(lái)，故A錯(cuò)誤；
B、衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，解得：，故B正確；
C、地球繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T和軌道半徑r，中心天體是太陽(yáng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力只能求出中心天體的質(zhì)量，地球是環(huán)繞天體質(zhì)量被約掉，故地球質(zhì)量求不出來(lái)，故C錯(cuò)誤；
D、根據(jù)地球表面物體的重力等于萬(wàn)有引力，得地球質(zhì)量，故D正確；
隨練2、
【答案】 D
【解析】 “天宮二號(hào)”通過(guò)的弧長(zhǎng)為l，該弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓心角為θ弧度，所以其軌道半徑：
t時(shí)間內(nèi)“天宮二號(hào)”通過(guò)的弧長(zhǎng)是l，所以線速度：
“天宮二號(hào)”做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是由萬(wàn)有引力提供，則：

所以：
隨練3、
【答案】 B
【解析】 由萬(wàn)有引力提供向心力有：，
得：，
由圖可知：，
所以地球的質(zhì)量為：，故B正確、ACD錯(cuò)誤。
隨練4、[多選題]
【答案】 A C
【解析】 AB、星球恰好能維持自轉(zhuǎn)不瓦解時(shí)，萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力，即，又，聯(lián)立解得，A正確，B錯(cuò)誤；
CD、設(shè)地球質(zhì)量為M0，半徑為R0，由于兩極處物體的重力P等于地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力，即…①，
在赤道上，地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力和彈簧秤對(duì)物體的拉力的合力提供向心力，則有…②，
聯(lián)立①②解得：，地球平均密度為：，則C正確，D錯(cuò)誤。
隨練5、
【答案】 （1）B；周期T
（2）；
【解析】 （1）由重力等于萬(wàn)有引力

萬(wàn)有引力等于向心
由以上兩式解得
①
②
由牛頓第二定律
F＝mg③
因而需要用秒表測(cè)量繞行時(shí)周期T，用天平測(cè)量質(zhì)量m，用彈簧秤測(cè)量重力F；
由②③得
由①③得。

利用萬(wàn)有引力定律求解重力加速度
例題1、
【答案】 C
【解析】 根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力，列出等式：
得，其中M是任一天體的質(zhì)量，R是天體半徑
根據(jù)密度與質(zhì)量的關(guān)系得：
聯(lián)立得
根據(jù)題意知星球半徑是地球半徑的2倍，所以星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍
例題2、
【答案】 C
【解析】 在忽略地球自轉(zhuǎn)的情況下，萬(wàn)有引力等于物體的重力，即：
G地=
同樣在行星表面有：
G行=
以上二式相比可得：
=×=
==2
故該行星的半徑與地球的半徑之比約為2．故C正確，
故選：C．
隨練1、
【答案】 B
【解析】 A、設(shè)探測(cè)器的質(zhì)量m=，火星表面的重力加速度：g2==，故A錯(cuò)誤。
B、根據(jù)mg=G得M=，火星與地球的質(zhì)量之比：==，故B正確。
C、第一宇宙速度：v==，火星與地球的第一宇宙速度之比：=，故C錯(cuò)誤。
D、根據(jù)周期公式T=2π，再根據(jù)g=，“暢想號(hào)”火星探測(cè)器繞火星表面勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=2π=2π，故D錯(cuò)誤。
隨練2、[多選題]
【答案】 A B
【解析】 A、球形行星對(duì)其周圍質(zhì)量為m的物體的萬(wàn)有引力：
所以：，
聯(lián)立可得：R=故A正確；
B、將R=代入加速度的表達(dá)式即可求出該行星的質(zhì)量．故B正確；
C、由題目以及相關(guān)的公式的物理量都與該行星轉(zhuǎn)動(dòng)的自轉(zhuǎn)周期無(wú)關(guān)，所以不能求出該行星的自轉(zhuǎn)周期．故C錯(cuò)誤；
D、由于不能求出該行星的自轉(zhuǎn)周期，所以也不能求出該行星同步衛(wèi)星離行星表面的高度．故D錯(cuò)誤．
故選：AB
隨練3、
【答案】 C
【解析】 AB、在星球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力，
所以
所以，故AB錯(cuò)誤．
CD、探測(cè)器繞地球表面運(yùn)行和繞月球表面運(yùn)行都是由萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力，
根據(jù)牛頓第二定律有：，得 ①，M為中心體質(zhì)量，R為中心體半徑．
M=ρ?②
由①②得：v=
已知地球和火星的半徑之比為1：2，密度之比為5：7，
所以探測(cè)器繞地球表面運(yùn)行和繞月球表面運(yùn)行線速度大小之比為：
故C正確、D錯(cuò)誤．
故選：C．

宇宙中的雙星及多星模型


宇宙中的雙星模型
例題1、
【答案】 A
【解析】 雙星都繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由兩者之間的萬(wàn)有引力提供向心力，角速度相等，設(shè)為ω．根據(jù)牛頓第二定律，有：
對(duì)A星：①
對(duì)B星：②
故：mA︰mB＝rB︰rA＝2︰1。
根據(jù)雙星的條件有：角速度之比ωA︰ωB＝1︰1
由v＝ωr得：線速度大小之比vA︰vB＝rA︰rB＝1︰2
向心力大小之比FA︰FB＝1︰1，故A正確，BCD錯(cuò)誤。
例題2、[多選題]
【答案】 B C
【解析】 AB、設(shè)兩顆星的質(zhì)量分別為m1、m2，軌道半徑分別為r1、r2，相距L＝400km＝4×105m，
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力可知：
，
，
整理可得：，解得質(zhì)量之和，其中周期，故A錯(cuò)誤、B正確；
CD、由于，則角速度為：，這是公轉(zhuǎn)角速度，不是自轉(zhuǎn)角速度，
根據(jù)v＝rω可知：v1＝r1ω，v2＝r2ω，
解得：v1＋v2＝（r1＋r2）ω＝Lω＝9.6π×106m／s，故C正確，D錯(cuò)誤。
例題3、
【答案】 B
【解析】 暫無(wú)解析
隨練1、
【答案】 （1） （2）
（3），
【解析】 因?yàn)殡p星受到同樣大小的萬(wàn)有引力作用，且保持距離不變，繞同一圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以具有周期、頻率和角速度均相同；而軌道半徑、線速度不同的特點(diǎn)
（1）根據(jù)萬(wàn)有引力定律
可得：
（2）同理，還有
所以，周期為
（3）根據(jù)線速度公式，
隨練2、
【答案】 B C
【解析】 A、設(shè)體積較小的星體質(zhì)量為m1，軌道半徑為r1，體積大的星體質(zhì)量為m2，軌道半徑為r2．雙星間的距離為L(zhǎng)．轉(zhuǎn)移的質(zhì)量為△m。
萬(wàn)有引力：，結(jié)合二項(xiàng)式定理可知，二者的質(zhì)量越接近，萬(wàn)有引力越大。故A錯(cuò)誤；
BCD、對(duì)m1：…①
對(duì)m2：…②
由①②得：，總質(zhì)量m1＋m2不變，兩者距離L不變，則角速度ω不變。
由②得：，ω、L、m1均不變，△m增大，則r2 增大，即體積較大星體圓周運(yùn)動(dòng)軌跡半徑變大。
由v＝ωr2得線速度v也增大。故bC正確。D錯(cuò)誤。
隨練3、
【答案】 A
【解析】 雙星均繞它們的連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)它們之間的距離為L(zhǎng)，萬(wàn)有引力提供向心力得：

解得：．
根據(jù)觀測(cè)結(jié)果，星體的運(yùn)動(dòng)周期=k
這種差異是由雙星內(nèi)均勻分布的暗物質(zhì)引起的，均勻分布在球體內(nèi)的暗物質(zhì)對(duì)雙星系統(tǒng)的作用與一質(zhì)量等于球內(nèi)暗物質(zhì)的總質(zhì)量m'，位于中點(diǎn)O處的質(zhì)點(diǎn)的作用相同．
則有：
解得：
所以：．故A正確，BCD錯(cuò)誤．
故選：A

宇宙中的多星模型
例題1、
【答案】 D
【解析】 A、甲星受到乙星和丙星的萬(wàn)有引力，其所受的合外力F合=G+G=．故A錯(cuò)誤；
B、乙星受到甲星和丙星的萬(wàn)有引力，由于三星質(zhì)量相等，距乙星半徑相同，故乙星所受萬(wàn)有引力的合力為0，故B錯(cuò)誤；
CD、甲丙兩星所受的合力大小相等，靠萬(wàn)有引力的合力提供向心力，知道甲星和丙星的角速度相同，由于軌道半徑相等，根據(jù)v=Rω知，線速度大小相等，但是線速度的方向不同．故C錯(cuò)誤，D正確．
故選：D．
例題2、[多選題]
【答案】 B D
【解析】 ABD、軌道半徑等于等邊三角形外接圓的半徑，r=。
根據(jù)題意可知其中任意兩顆星對(duì)第三顆星的合力指向圓心，所以這兩顆星對(duì)第三顆星的萬(wàn)有引力等大，由于這兩顆星到第三顆星的距離相同，故這兩顆星的質(zhì)量相同，所以三顆星的質(zhì)量一定相同，設(shè)為m，則F合=2Fcos30°=
星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，合力提高向心力，故：
F合=m，
解得：m=，
它們兩兩之間的萬(wàn)有引力：F=，故A錯(cuò)誤，B正確，D正確；
C、根據(jù)F合=m得：線速度大小為：v=，故C錯(cuò)誤。
隨練1、[多選題]
【答案】 A B C
【解析】 A、任意兩個(gè)星星之間的萬(wàn)有引力
每一顆星星受到的合力，，由幾何關(guān)系知：它們的軌道半徑①
合力提供它們的向心力：②
聯(lián)立①②，解得：，故A正確。
B、角速度，故B正確。
C、由，故C正確；
D、任意兩個(gè)星星之間的萬(wàn)有引力
每一顆星星受到的合力就是其向心力，，故向心加速度與質(zhì)量有關(guān)，故D錯(cuò)誤。
隨練2、[多選題]
【答案】 A C D
【解析】 A．三星系統(tǒng)是一種相對(duì)穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，它們做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度是相等的，由v=ωr，結(jié)合rA＜rB＜rC．可知，線速度大小關(guān)系是vA＜vB＜vC．故A錯(cuò)誤；
B．由a=ω2r，結(jié)合rA＜rB＜rC．可知加速度大小關(guān)系是aA＜aB＜aC．故B錯(cuò)誤；
C．以A為研究對(duì)象，則受力如圖：

由于向心力指向圓心，由矢量關(guān)系可知，B對(duì)A的引力大于C對(duì)A的引力，結(jié)合萬(wàn)有引力定律的表達(dá)式：

可知B的質(zhì)量大于C的質(zhì)量．
同理若以C為研究對(duì)象，可得A的質(zhì)量大于B的質(zhì)量，即質(zhì)量大小關(guān)系是mA＞mB＞mC．故C正確．
D．由于，mA＞mB＞mC， 結(jié)合萬(wàn)有引力定律可知A與B之間的引力大于A與C之間的引力，又大于B與C之間的引力．由題可知，A、B、C受到的兩個(gè)萬(wàn)有引力之間的夾角都是相等的，根據(jù)兩個(gè)分力的角度一定時(shí)，兩個(gè)力的大小越大，合力越大可知FA＞FB＞FC．故D正確．
隨練3、
【答案】 （1）（2）（3）
【解析】 （1）由星體均圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)可知，星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑
（2）由萬(wàn)有引力的定律可知
則星體表面的重力加速度
（3）星體在其他三個(gè)星體的萬(wàn)有引力作用下圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力定律和向心力公式得：




解得周期．
故（1）星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r為；
（2）若觀測(cè)到星體的半徑為R，則該星體對(duì)自身表面產(chǎn)生的重力加速度大小為；
（3）求星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的公轉(zhuǎn)周期T為．

拓展
1、[多選題]
【答案】 A D
【解析】 A、k是一個(gè)與行星無(wú)關(guān)的常量，與恒星的質(zhì)量有關(guān)，故A正確．
B、公式=k中的k是與中心天體質(zhì)量有關(guān)的，中心天體不一樣，k值不一樣．地球公轉(zhuǎn)的中心天體是太陽(yáng)，月球公轉(zhuǎn)的中心天體是地球，k值是不一樣的．故B錯(cuò)誤．
C、T代表行星運(yùn)動(dòng)的公轉(zhuǎn)周期，故C錯(cuò)誤，D正確．
2、
【答案】 D
【解析】 解：A、牛頓探究天體間的作用力，得到表明行星間引力與距離的平方成反比，并進(jìn)一步擴(kuò)展為萬(wàn)有引力定律，并不是卡文迪許提出的，故A錯(cuò)誤；
B、“月﹣地檢驗(yàn)”表明物體在地球上受到的引力是在月球上的6倍，故B錯(cuò)誤；
C、牛頓發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力定律，但是沒(méi)有測(cè)得引力常量G的大小，G大小是卡文迪許測(cè)得的，故C錯(cuò)誤；
D、萬(wàn)有引力定律建立后，經(jīng)歷過(guò)“月﹣地檢驗(yàn)”，表明地面物體所受地球引力與月球所受地球引力遵從同樣的規(guī)律，故D正確；
故選：D．
3、
【答案】 見(jiàn)解析
【解析】 行星繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為：

行星的線速度：
由以上兩式得：
不同行星的公轉(zhuǎn)周期是不同的，F(xiàn)與r的關(guān)系式中T應(yīng)消去，
根據(jù)開(kāi)普勒第三定律：

代入上式可得：
說(shuō)明F∝
根據(jù)牛頓第三定律，行星對(duì)太陽(yáng)的引力F′應(yīng)該與太陽(yáng)的質(zhì)量成正比，與行星和太陽(yáng)之間的距離二次方成反比，即：F∝
F∝
寫(xiě)成等式就是：。
4、
【答案】 B
【解析】 A、除兩極外，在地球表面各處一起繞地軸轉(zhuǎn)動(dòng)，向心加速度方向都是指向地軸且平行于赤道平面，故A錯(cuò)誤；
BCD、地球自轉(zhuǎn)時(shí)，各點(diǎn)繞地軸轉(zhuǎn)動(dòng)，具有相同的角速度，根據(jù)a＝rω2，知到地軸的距離越大，向心加速度越大，所以在赤道處的向心加速度最大，兩極向心加速度最小，故B正確，C錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤。
5、
【答案】 （1）（2）
【解析】 （1）設(shè)地球的質(zhì)量為，月球的質(zhì)量為，由萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力，有：
在地球表面附近有：，解得月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為；
（2）小球做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，則由，得月球表面的重力加速度，在月球表面上，得月球的質(zhì)量；月球的密度
6、[多選題]
【答案】 A B D
【解析】 根據(jù)題意有可得，和，選項(xiàng)AD正確，C錯(cuò)誤；已知行星的質(zhì)量和半徑可以計(jì)算出其平均密度，所以選項(xiàng)B正確．本題答案為ABD．
7、
【答案】 B
【解析】 A、雙星同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度相等，雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，所以向心力相等，故：
mArAω2＝mBrBω2，
因?yàn)閞B＜rA，所以mB＞mA，即B的質(zhì)量一定大于A的質(zhì)量，故A錯(cuò)誤；
B、根據(jù)v＝rω，因?yàn)閞B＜rA，故vA＞vB，故B正確；
CD、根據(jù)牛頓第二定律，有：
，
，
其中：rA＋rB＝L，
聯(lián)立解得：
故L一定，M越大，T越?。籑一定，L越大，T越大，故C、D錯(cuò)誤。
8、[多選題]
【答案】 B C
【解析】 AB、設(shè)脈沖雙星的質(zhì)量，及軌道半徑分別為 m1、m2、r1、r2，間距為L(zhǎng)＝r2＋r1．由于，得，．則雙星總質(zhì)量，整理得，由于總質(zhì)量不變，脈沖雙星逐漸靠近的過(guò)程中L變小，則ω變大，由可知周期逐漸變小，故A錯(cuò)誤，B正確；
C、由，可得，故C正確；
D、由上以分析可知，要想知道雙星總質(zhì)量，需要知道周期T和雙星間距L，故D錯(cuò)誤。
9、
【答案】 D
【解析】 ABC都正確；
D選項(xiàng)的答案為：
故選D

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