?第08講 圓周運(yùn)動
知識圖譜


圓周運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)問題


知識精講
一． 圓周運(yùn)動各物理量之間的關(guān)系


二．共軸轉(zhuǎn)動
如圖所示，A、B兩點(diǎn)在一個圓盤上，繞同一個軸O轉(zhuǎn)動時,它們屬于共軸轉(zhuǎn)動。

特點(diǎn)：繞同一轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動的各點(diǎn)角速度相等。根據(jù)圓周運(yùn)動公式可知：在一定的時， 與 成正比。由此可知上圖中：

三．皮帶傳動
如圖所示，A、B兩點(diǎn)分別是兩個輪子邊緣上的點(diǎn)，兩個輪子用皮帶連起來，并且皮帶不打滑。其中，提供動力的為主動輪，不提供動力的為從動輪。


1.特點(diǎn)
（1）和同一皮帶接觸的各點(diǎn)線速度大小相等。
（2）根據(jù)圓周運(yùn)動公式可知：在 一定的時， 與 成反比。
由此可知上圖中：
2.常見模型


四．齒輪傳動
如圖所示，齒輪傳動是指主動輪與從動輪的輪齒直接嚙合得轉(zhuǎn)動裝置。

1.特點(diǎn)
（1）兩個齒輪的輪齒嚙合點(diǎn)的線速度大小相等，但它們的轉(zhuǎn)動方向恰好相反。
（2）根據(jù)圓周運(yùn)動公式可知：在一定的時， 與成反比。
2.常見模型


三點(diǎn)剖析
一． 課程目標(biāo)
1． 理解圓周運(yùn)動各物理量之間的關(guān)系；
2． 熟悉幾種常見的傳動方式中物理量之間的關(guān)聯(lián)。

常見傳動方式的線速度、角速度及周期關(guān)系
例題1、如圖所示的皮帶傳動裝置中，輪B和C同軸，A、B、C分別是三個輪邊緣的質(zhì)點(diǎn)，且其半徑RA=RC=2RB，則三質(zhì)點(diǎn)的向心加速度之比aA：aB：aC等于（　　）

A.4：2：1
B.2：1：2
C.1：2：4
D.4：1：4
例題2、 如圖所示，甲、乙、丙三個輪子依靠摩擦傳動，相互之間不打滑，其半徑分別為r1、r2、r3．若甲輪的角速度為ω1，則丙輪的角速度為（ ）

A.
B.
C.
D.
例題3、 水平放置的三個不同材料制成的圓輪A、B、C，用不打滑皮帶相連，如圖所示（俯視圖），三圓輪的半徑之比為RA︰RB︰RC＝3︰2︰1，當(dāng)主動輪C勻速轉(zhuǎn)動時，在三輪的邊緣上分別放置一小物塊P（可視為質(zhì)點(diǎn)），P均恰能相對靜止在各輪的邊緣上，設(shè)小物塊P所受的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，小物塊P與輪A、B、C接觸面間的動摩擦因數(shù)分別為μA、μB，μC，A、B、C三輪轉(zhuǎn)動的角速度分別為ωA、ωB、ωC，則（ ）

A.μA︰μB︰μC＝2︰3︰6
B.μA︰μB︰μC＝6︰3︰2
C.ωA︰ωB︰ωC＝1︰2︰3
D.ωA︰ωB︰ωC＝6︰3︰2
例題4、 某新型自行車，采用如圖1所示的無鏈傳動系統(tǒng)，利用圓錐齒輪90°軸交，將動力傳至后軸，驅(qū)動后輪轉(zhuǎn)動，杜絕了傳統(tǒng)自行車“掉鏈子”問題。如圖2所示是圓錐齒輪90°軸交示意圖，其中A是圓錐齒輪轉(zhuǎn)軸上的點(diǎn)，B、C分別是兩個圓錐齒輪邊緣上的點(diǎn)，兩個圓錐齒輪中心軸到A、B、C三點(diǎn)的距離分別記為rA、rB和rC（rA≠rB≠rC）。下列有關(guān)物理量大小關(guān)系正確的是（ ）

A.B點(diǎn)與C點(diǎn)的角速度：ωB＝ωC
B.C點(diǎn)與A點(diǎn)的線速度：
C.B點(diǎn)與A點(diǎn)的線速度：
D.A點(diǎn)和C點(diǎn)的線速度：
例題5、 如圖所示，一個不透明的小球以角速度沿順時針方向勻速圓周運(yùn)動，圓的直徑MN與光屏PQ垂直，延長線交PQ于O點(diǎn)。以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以QP方向為正方向建立x軸。O時刻小球運(yùn)動到M點(diǎn)，平行光束沿垂直于PQ的方向照到光屏上，在O點(diǎn)顯示出小球的影。試求任意時刻t影的坐標(biāo)x。

隨練1、 如圖所示，一個球繞中心軸線OO′以角速度ω轉(zhuǎn)動，則（　?。?br />
A.若θ=30°，則vA：vB=1：2
B.若θ=30°，則vA：vB=2：1
C.A、B兩點(diǎn)的角速度相等
D.A、B兩點(diǎn)的線速度相等
隨練2、 如圖所示是自行車傳動結(jié)構(gòu)的示意圖，其中Ⅰ是半徑為r1的牙盤（大齒輪），Ⅱ是半徑為r2的飛輪（小齒輪），Ⅲ是半徑為r3的后輪，假設(shè)腳踏板的轉(zhuǎn)速為n（r／s），則自行車前進(jìn)的速度為（ ）

A.
B.
C.
D.

圓周運(yùn)動學(xué)公式的應(yīng)用
例題1、 如圖所示，一根長為L的輕桿OA，O端用鉸鏈喧固定，輕桿靠在一個高為h的物塊上，某時桿與水平方向的夾角為θ，物塊向右運(yùn)動的速度v，則此時A點(diǎn)速度為（ ）

A.
B.
C.
D.
例題2、 一個有一定厚度的圓盤，可以繞通過中心垂直于盤面的水平軸轉(zhuǎn)動，圓盤加速轉(zhuǎn)動時，角速度的增加量△ω與對應(yīng)時間△t的比值定義為角加速度β．我們用電磁打點(diǎn)計時器、米尺、游標(biāo)卡尺、紙帶、復(fù)寫紙來完成下述實驗：（打點(diǎn)計時器所接交流電的頻率為50Hz，A、B、C、D…為計數(shù)點(diǎn)，相鄰兩計數(shù)點(diǎn)間有四個點(diǎn)未畫出）

①如圖甲所示，將打點(diǎn)計時器固定在桌面上，將紙帶的一端穿過打點(diǎn)計時器的限位孔，然后固定在圓盤的側(cè)面，當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動時，紙帶可以卷在圓盤側(cè)面上；
②接通電源，打點(diǎn)計時器開始打點(diǎn)，啟動控制裝置使圓盤勻加速轉(zhuǎn)動；
③經(jīng)過一段時間，圓盤停止轉(zhuǎn)動和打點(diǎn)，取下紙帶，進(jìn)行測量．
（1）如圖乙所示，圓盤的直徑d為________cm；
（2）由圖丙可知，打下計數(shù)點(diǎn)D時，圓盤轉(zhuǎn)動的角速度為________rad／s．
（3）角加速度是角速度變化的快慢，則圓盤轉(zhuǎn)動的角加速度β大小為________rad／s2．
例題3、 一水平放置的圓盤繞豎直軸轉(zhuǎn)動，在圓盤上沿半徑開有一條寬度為的均勻狹縫．將激光器與傳感器上下對準(zhǔn)，使二者間連線與轉(zhuǎn)軸平行，分別置于；圓盤的上下兩側(cè)，且可以同步地沿圓盤半徑方向勻速移動，激光器接收到一個激光信號，并將其輸入計算機(jī)，經(jīng)處理后畫出相應(yīng)圖線．圖（）為該裝置示意圖，圖（）為所接收的光信號隨時間變化的圖線，橫坐標(biāo)表示時間，縱坐標(biāo)表示接收到的激光信號強(qiáng)度，圖中，
（1）利用圖（）中的數(shù)據(jù)求時圓盤轉(zhuǎn)動的角速度；
（2）說明激光器和傳感器沿半徑移動的方向；
（3）求圖（）中第三個激光信號的寬度．

例題4、 如圖所示為車站使用的水平傳送帶的模型，它的水平傳送帶的長度為L=8m，傳送帶的皮帶輪的半徑均為R=0.2m，傳送帶的上部距地面的高度為h=0.45m，現(xiàn)有一個旅行包（視為質(zhì)點(diǎn)）以速度v0=10m/s的初速度水平地滑上水平傳送帶．已知旅行包與皮帶之間的動摩擦因數(shù)為μ=0.6．皮帶輪與皮帶之間始終不打滑，g取10m/s2．討論下列問題：
（1）若傳送帶靜止，旅行包滑到B點(diǎn)時，人若沒有及時取下，旅行包將從B端滑落．則包的落地點(diǎn)距B端的水平距離為多少？
（2）設(shè)皮帶輪順時針勻速轉(zhuǎn)動，若皮帶輪的角速度ω1=40rad/s，旅行包落地點(diǎn)距B端的水平距離又為多少？
（3）設(shè)皮帶輪以不同的角速度順時針勻速轉(zhuǎn)動，畫出旅行包落地點(diǎn)距B端的水平距離s隨皮帶輪的角速度ω變化的圖象．（第（3）問要求作圖準(zhǔn)確，標(biāo)出相應(yīng)的坐標(biāo)數(shù)值，但不要求寫出計算步驟）

隨練1、 轉(zhuǎn)筆是一項以手指來轉(zhuǎn)動筆的休閑活動，深受廣大中學(xué)生的喜愛，其中也包含了許多的物理知識，如圖所示，假設(shè)某轉(zhuǎn)筆高手能讓筆繞其手上的某一點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動，下列有關(guān)該同學(xué)轉(zhuǎn)筆中涉及到的物理知識的敘述正確的是（ ）

A.筆桿上的點(diǎn)離O點(diǎn)越近的，線速度越小
B.筆桿上的點(diǎn)離O點(diǎn)越近的，角速度越小
C.筆桿上的點(diǎn)離O點(diǎn)越近的，周期越小
D.筆桿上的點(diǎn)離O點(diǎn)越近的，向心加速度越小
隨練2、 繩索套馬原是蒙古牧民的生產(chǎn)方式，近些年來逐漸演化為體育活動。套馬過程可簡化為如圖所示的物理模型，套馬者騎在馬背上以速度v追趕提前釋放的烈馬，同時揮動套馬圈使套馬圈圍繞套馬者在水平面內(nèi)做角速度為ω，半徑為r的勻速圓周運(yùn)動，追逐一段時間后套馬者和烈馬的距離s保持不變，待套馬圓周運(yùn)動烈馬正后方時，套馬者松開套馬圈，最終成功套住烈馬，已知運(yùn)動過程中，套馬者和烈馬進(jìn)行路線平行，松手后套馬圈在空中的運(yùn)動可以看成平拋運(yùn)動，重力加速度為g，下列說法正確的是（ ）

A.套馬圈平拋運(yùn)動的時間為
B.套馬圈平拋運(yùn)動的時間為
C.套馬圈平拋運(yùn)動的初速度為v＋rω
D.套馬圈平拋運(yùn)動的初速度為

圓周運(yùn)動的動力學(xué)分析


知識精講
一．向心加速度的推導(dǎo)
1．用矢量圖表示速度變化量
（1）曲線運(yùn)動速度的變化
和不在同一直線上時，仍可以代表兩矢量的箭頭端作出。
例如：平拋運(yùn)動中，以平拋，經(jīng)時間t（物體未落地），則矢量關(guān)系如圖所示。


做圓周運(yùn)動物體的速度變化量，如圖所示。

A
B
o



2．勻速圓周運(yùn)動的加速度的推導(dǎo)
如圖所示，質(zhì)點(diǎn)沿半徑為r的圓周做勻速圓周運(yùn)動，線速度的大小為v，設(shè)經(jīng)時間，質(zhì)點(diǎn)由A點(diǎn)沿圓周運(yùn)動到B點(diǎn)，線速度的變化量的大小為，由速度矢量三角形與相似可求得：（指弦長）
當(dāng)很小時，AB弦長與AB弧長近似相等，由線速度的定義式得，從而得，又因，故。

A
B
O




方向：在時間內(nèi)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)由A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)轉(zhuǎn)過的圓心角為，由速度矢量三角形可知，當(dāng)時，，速度的變化量的方向與線速度v的方向垂直，即加速度a的方向與線速度v的方向垂直且指向圓心。
3．非勻速圓周運(yùn)動的加速度
非勻速圓周運(yùn)動物體的加速度并不指向圓心，而是與半徑有一個夾角，我們可以把加速度a分解為沿半徑方向的和沿切線方向的，如圖所示，則描述速度方向改變的快慢，描述速度大小改變的快慢，其中就是向心加速度，仍滿足。



二．勻速圓周運(yùn)動的向心加速度和向心力
　　1．向心加速度：描述速度方向變化快慢的物理量，方向時刻指向圓心。
單位：
2．向心力：作用效果是產(chǎn)生向心加速度，只改變線速度方向，不改變線速度大小，方向時刻指向向圓心。
單位：N
線速度、角速度、周期之間的關(guān)系：

3．向心力的確定
（1）向心力的來源：向心力是幾個力的合力，或者某個力的分力。
（2）確定圓周運(yùn)動的軌道所在的平面，確定圓心的位置；
（3）分析物體的受力情況，找出所有的力沿半徑方向指向圓心的合力就是向心力。

三．常見圓周運(yùn)動的向心力來源圖示


四．兩類圓周運(yùn)動的具體分析
1．拱橋與凹橋模型



（1）凹橋最低點(diǎn)：，汽車處于超重狀態(tài)。
（2）拱橋最高的：，汽車處于失重狀態(tài)。若，則，汽車將脫離橋面做平拋運(yùn)動。
2．火車轉(zhuǎn)彎問題
若，車輪與內(nèi)外軌道均無擠壓，即。
（1）當(dāng)火車轉(zhuǎn)彎時，車輪對外側(cè)軌道有擠壓。
（2）當(dāng)火車轉(zhuǎn)彎時，車輪對內(nèi)側(cè)軌道有擠壓。




五．近心運(yùn)動和離心運(yùn)動
當(dāng)時，物體做勻速圓周運(yùn)動；
當(dāng)時，物體沿切線飛出；
當(dāng)時，物體做離心運(yùn)動；
當(dāng)時，物體做近心運(yùn)動。



三點(diǎn)剖析
一． 課程目標(biāo)
1．理解圓周運(yùn)動的基本動力學(xué)規(guī)律
2．學(xué)會分析常見圓周運(yùn)動的受力與運(yùn)動

常見模型的動力學(xué)分析
例題1、 兩根長度不同的細(xì)線下面分別懸掛兩個小球，細(xì)線上端固定在同一點(diǎn)，若兩個小球以相同的角速度，繞共同的豎直軸在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，則兩個擺球在運(yùn)動過程中，相對位置關(guān)系示意圖正確的是（ ）
A.
B.
C.
D.
例題2、 某校學(xué)生驗證向心力公式的實驗中，設(shè)計了如下實驗：
第1步：先用粉筆在地上畫一個直徑為2L的圓；
第2步：通過力傳感器，用繩子綁住質(zhì)量為m的小球，人站在圓內(nèi)，手拽住繩子離小球距離為L的位置，用力甩繩子，使繩子離小球近似水平，帶動小球做勻速圓周運(yùn)動，調(diào)整位置，讓轉(zhuǎn)動小球的手肘的延長線剛好通過地上的圓心，量出手拽住處距離地面的高度為h，記下力傳感器的讀數(shù)為F；
第3步：轉(zhuǎn)到某位置時，突然放手，讓小球自由拋出去；
第4步：另一個同學(xué)記下小球的落地點(diǎn)C，將通過拋出點(diǎn)A垂直于地面的豎直線在地面上的垂足B與落地點(diǎn)C連一條直線，這條直線近似記錄了小球做圓周運(yùn)動時在地面上的投影圓的運(yùn)動方向，量出BC間距離為S；
第5步：保持小球做圓周運(yùn)動半徑不變，改變小球做圓周運(yùn)動的速度，重復(fù)上述操作。
試回答：（用題中的m、L、h、S和重力加速度g表示）

（1）放手后，小球在空中運(yùn)動的時間t＝________。
（2）在誤差范圍內(nèi)，有F＝________。
（3）小球落地時的速度大小為v＝________。
例題3、 如圖所示，某同學(xué)用硬塑料管和一個質(zhì)量為m的鐵質(zhì)螺絲帽研究勻速圓周運(yùn)動，將螺絲帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持豎直并在水平方向做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動，則只要運(yùn)動角速度合適，螺絲帽恰好不下滑，假設(shè)螺絲帽與塑料管間的動摩擦因數(shù)為μ，認(rèn)為最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力．則在該同學(xué)手轉(zhuǎn)塑料管使螺絲帽恰好不下滑時，下述分析正確的是（ ）

A.螺絲帽受的重力與最大靜摩擦力平衡
B.螺絲帽受到桿的彈力方向水平向外，背離圓心
C.此時手轉(zhuǎn)動塑料管的角速度
D.若桿的轉(zhuǎn)動加快，螺絲帽有可能相對桿發(fā)生運(yùn)動
例題4、 用如圖所示的裝置來探究小球做圓周運(yùn)動所需向心力的大小F與質(zhì)量m、角速度ω和半徑r之間的關(guān)系．兩個變速輪塔通過皮帶連接，轉(zhuǎn)動手柄使長槽和短槽分別隨變速輪塔勻速轉(zhuǎn)動，槽內(nèi)的鋼球就做勻速圓周運(yùn)動．橫臂的擋板對鋼球的壓力提供向心力，鋼球?qū)醢宓姆醋饔昧νㄟ^橫臂的杠桿作用使彈簧測力筒下降，從而露出標(biāo)尺，標(biāo)尺上的紅白相間的等分格顯示出兩個鋼球所受向心力的比值．如圖是探究過程中某次實驗時裝置的狀態(tài)．


（1）在研究向心力的大小F與質(zhì)量m關(guān)系時，要保持________相同．
A．ω和r
B．ω和m
C．m和r
D．m和F
（2）圖中所示是在研究向心力的大小F與________的關(guān)系．
A．質(zhì)量m
B．半徑r
C．角速度ω
（3）若圖中標(biāo)尺上紅白相間的等分格顯示出兩個小球所受向心力的比值為1︰9，與皮帶連接的兩個變速輪塔的半徑之比為________．
A．1︰3
B．3︰1
C．1︰9
D．9︰1
（4）實驗得到的“向心力大小F與質(zhì)量m、角速度ω和半徑r”之間的關(guān)系表達(dá)式：________．
隨練1、 在“用圓錐擺驗證向心力的表達(dá)式”實驗中，如圖甲所示，懸點(diǎn)剛好與一個豎直的刻度尺零刻度線對齊。將畫著幾個同心圓的白紙置于水平桌面上，使鋼球靜止時剛好位于圓心。用手帶動鋼球，設(shè)法使它剛好沿紙上某個半徑為r的圓周運(yùn)動，鋼球的質(zhì)量為m，重力加速度為g。

①用秒表記錄運(yùn)動n圈的總時間為t，那么小球做圓周運(yùn)動中需要的向心力表達(dá)式為Fn＝________。
②通過刻度尺測得小球軌道平面距懸點(diǎn)的高度為h，那么小球做圓周運(yùn)動中外力提供的向心力表達(dá)式為F＝________；
③改變小球做圓周運(yùn)動的半徑，多次實驗，得到如圖乙所示的關(guān)系圖象，可以達(dá)到粗略驗證向心力表達(dá)式的目的，該圖線的斜率表達(dá)式為________。
隨練2、 向心力演示器如圖所示．轉(zhuǎn)動手柄，可使變速塔輪和及長槽和短槽隨之勻速轉(zhuǎn)動．皮帶分輥套在塔輪和上的不同圓盤上，可使兩個槽內(nèi)的小球分別以幾種不同的角速度做勻速圓周運(yùn)動．小球做圓周運(yùn)動的向心力由橫臂的擋板對小球的壓力提供，球?qū)醢宓姆醋饔昧?，通過橫臂的杠桿使彈簧測力套筒下降，從而露出標(biāo)尺，標(biāo)尺上露出的紅白相間等分格子的多少可以顯示出兩個球所受向心力的大小．現(xiàn)將小球分別放在兩邊的槽內(nèi)，為探究小球受到的向心力大小與角速度的關(guān)系，下列做法正確的是（ ）

A.在小球運(yùn)動半徑相等的情況下，用質(zhì)量不同的鋼球做實驗
B.在小球運(yùn)動半徑相等的情況下，用質(zhì)量相同的鋼球做實驗
C.在小球運(yùn)動半徑不等的情況下，用質(zhì)量不同的鋼球做實驗
D.在小球運(yùn)動半徑不等的情況下，用質(zhì)量相同的鋼球做實驗

圓周運(yùn)動的實例分析
例題1、[多選題] 火車轉(zhuǎn)彎可近似看成是做勻速圓周運(yùn)動。當(dāng)火車以規(guī)定速度通過時，內(nèi)外軌道均不受側(cè)向擠壓。現(xiàn)要降低火車轉(zhuǎn)彎時的規(guī)定速度，須對鐵路進(jìn)行改造，從理論上講以下措施可行的是（ ）
AC（考練38）
A.減小內(nèi)外軌的高度差
B.增加內(nèi)外軌的高度差
C.減小彎道半徑
D.增大彎道半徑
例題2、 國家的惠民政策使私家車數(shù)量快速增長，高級和一級公路的建設(shè)也正加速進(jìn)行。為了防止在公路彎道部分由于行車速度過大而發(fā)生側(cè)滑，常將彎道部分設(shè)計成外高內(nèi)低的斜面。如果某品牌汽車的質(zhì)量M＝104kg汽車行駛時彎道部分的半徑r＝20m，汽車輪胎與路面的動摩擦因數(shù)μ＝0.5，路面設(shè)計的傾角為θ，如圖所示。（已知sinθ＝0.6．cosθ＝0.8．重力加速度g取10m／s2）求為使汽車轉(zhuǎn)彎時不發(fā)生側(cè)滑，彎道部分汽車行駛的最大速度是多少？

例題3、 某物理小組的同學(xué)設(shè)計了一個測量玩具小車通過凹形橋最低點(diǎn)時速度的實驗。所用器材有：玩具小車m、壓力式托盤秤、凹形橋模擬器m橋（圓弧部分的半徑為R=0.20m）。

完成下列填空：
（1）將凹形橋模擬器靜置于托盤秤上，如圖（a）所示，托盤秤的示數(shù)m橋為1.00kg；
（2）將玩具小車靜置于凹形橋模擬器最低點(diǎn)時，托盤秤的示數(shù)如圖（b）所示，該示數(shù)m橋+m車為_____kg；
（3）將小車從凹形橋模擬器某一位置釋放，小車經(jīng)過最低點(diǎn)后滑向另一側(cè)，此過程中托盤秤的最大示數(shù)為m；多次從同一位置釋放小車，記錄各次的m值如下表所示：
序號
1
2
3
4
5
m（kg）
1.80
1.75
1.85
1.75
1.90


（4）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可求出小車m車經(jīng)過凹形橋最低點(diǎn)時對橋的壓力為_____N；小車通過最低點(diǎn)時的速度大小為_______m/s。（重力加速度大小取9.80m/s2 ，計算結(jié)果保留2位有效數(shù)字）
隨練1、 如圖所示，一個質(zhì)量為m的物體（體積可忽略）在半徑為R的光滑半球面頂點(diǎn)處以水平速度v0運(yùn)動。則下列結(jié)論中正確的是（ ）

A.若，則物體m對半球面頂點(diǎn)壓力為mg
B.若，則物體m對半球面頂點(diǎn)壓力小于mg
C.若v0＝0，則物體m對半球面頂點(diǎn)壓力小于mg
D.若，物體m在半球面頂點(diǎn)處于失重狀態(tài)
隨練2、 如圖，一個質(zhì)量為m＝0.6kg的小球，在左側(cè)平臺上運(yùn)行一段距離后從邊緣A點(diǎn)以m/s水平飛出，恰能沿圓弧切線從P點(diǎn)進(jìn)入固定在地面上的豎直的圓弧管道，并繼續(xù)滑行。已知圓弧管道口內(nèi)徑遠(yuǎn)小于圓弧半徑R，OP與豎直方向的夾角是θ＝37°，平臺到地面的高度差為h＝1.45m。若小球運(yùn)動到圓弧軌道最低點(diǎn)時的速度大小是v1＝10m/s。取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8．求：

（1）小球從A點(diǎn)運(yùn)動到P點(diǎn)所需的時間t；
（2）P點(diǎn)距地面的高度△h和圓弧半徑R；
（3）小球?qū)A弧軌道最低點(diǎn)的壓力FN大??；
（4）若通過最高點(diǎn)Q點(diǎn)時小球?qū)苌媳诘膲毫Υ笮?N，求小球經(jīng)過Q點(diǎn)時的速度v2大小。

圓周運(yùn)動的水平臨界問題


知識精講
一． 水平面內(nèi)圓周運(yùn)動的臨界問題
關(guān)于水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動的臨界問題，主要是臨界速度和臨界力的問題，常見的是與繩子的拉力，彈簧的拉力，接觸面的彈力，和摩擦力相關(guān)的問題。通過受力分析來確定臨界狀態(tài)和臨界條件，是較常用的解題方法。

二． 處理臨界問題的解題步驟
1． 判斷臨界狀態(tài)
如果題目中有“剛好，恰好，正好”，則說明題目中存在臨界點(diǎn)；如果題目中有“取值范圍，多長時間，多大距離”，說明物體運(yùn)動中存在“起止點(diǎn)”，而這些“起止點(diǎn)”往往也是臨界狀態(tài)；若題目中有“最大，最小，至少”等字眼，說明物體運(yùn)動中存在極值點(diǎn)，這個極值點(diǎn)也往往是臨界狀態(tài)。
2． 確定臨界條件
判斷物體運(yùn)動過程中存在臨界狀態(tài)之后，要通過分析弄清臨界狀態(tài)出現(xiàn)的條件，并以數(shù)學(xué)的形式表達(dá)出來。
3． 選擇臨界規(guī)律
當(dāng)確定物體運(yùn)動的臨界狀態(tài)和臨界條件后，要分別對于不同的運(yùn)動過程和現(xiàn)象，選擇相應(yīng)的物理規(guī)律，然后列方程求解。

三． 常見水平面內(nèi)圓周運(yùn)動的臨界問題
1．彈力和摩擦力提供向心力


2．由于彈力突變引發(fā)的臨界問題
在水平面上做圓周運(yùn)動的物體，當(dāng)角速度變化時，物體有遠(yuǎn)離或向著圓心運(yùn)動的（半徑有變化）趨勢。這時，要根據(jù)物體的受力情況，判斷物體受某個力是否存在，以及這個力存在時的方向（特別是一些接觸力，如靜摩擦力、繩的拉力等）。
舉例說明，如圖所示，一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角為θ＝30°，一條長度為L的繩（質(zhì)量不計），一端的位置固定在圓錐體的頂點(diǎn)O處，另一端拴著一個質(zhì)量為m的小物體（物體可看質(zhì)點(diǎn)），物體以速率v繞圓錐體的軸線做水平勻速圓周運(yùn)動。

（1）當(dāng)時，求繩對物體的拉力；
（2）當(dāng)時，求繩對物體的拉力。
解析：設(shè)小球剛好對錐面沒有壓力時的速率為，則有：

解得

（1） 當(dāng)時，，則：

（2）當(dāng)時，小球離開錐面，設(shè)繩與軸線夾角為，則

3．由于摩擦力突變引發(fā)的臨界問題
摩擦力突變引發(fā)的臨界問題也很常見，需要考慮摩擦力的大小、方向的變化。下面舉例說明。
如圖所示，細(xì)繩一端系著質(zhì)量M＝0.6kg的物體，靜止在水平面上，另一端通過光滑的小孔吊著質(zhì)量m＝0.3kg的物體，M的中與圓孔距離為0.2m，并知M和水平面的最大靜摩擦力為2N?，F(xiàn)使此平面繞中心軸線轉(zhuǎn)動，問角速度ω在什么范圍m會處于靜止?fàn)顟B(tài)？（g?。?br />
解析：要使m靜止，M也應(yīng)與平面相對靜止。而M與平面靜止時有兩個臨界狀態(tài)：
當(dāng)ω為所求范圍最小值時，M有向著圓心運(yùn)動的趨勢，水平面對M的靜摩擦力的方向
背離圓心，大小等于最大靜摩擦力2N；
此時，對M運(yùn)用牛頓第二定律：

當(dāng)ω為所求范圍最大值時，M有背離圓心運(yùn)動的趨勢，水平面對M的靜摩擦力的方向向著圓心，大小還等于最大靜摩擦力2N。
再對M運(yùn)用牛頓第二定律：

所以，題中所求ω的范圍是：。

三點(diǎn)剖析
一． 課程目標(biāo)
1．學(xué)會應(yīng)用受力分析解決水平面內(nèi)的臨界問題

由于彈力突變引起的臨界問題
例題1、 如圖所示，把一個質(zhì)量m＝1kg的物體通過兩根等長的細(xì)繩與豎直桿上A、B兩個固定點(diǎn)相連接，繩a、b長都是1m，AB長度是1.6m，直桿和球旋轉(zhuǎn)的角速度等于多少時，b繩上才有張力？（g＝10m/s2）

例題2、 如圖所示，在光滑水平桌面上有一光滑小孔O，一根輕繩穿過小孔，一端連接質(zhì)量為m＝1kg的小球A，另一端連接質(zhì)量為M＝4kg的重物B，已知g＝10m/s2，則：

（1）當(dāng)A球沿半徑r＝0.1m的圓周做勻速圓周運(yùn)動，其角速度ω1為多大時，B物體處于將要離開、而尚未離開地面的臨界狀態(tài)？
（2）當(dāng)小球A的角速度為ω2＝10rad/s時，物體B對地面的壓力為多大？
例題3、 用一根細(xì)線一端系一小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），另一端固定在一光滑錐頂上，如圖所示，設(shè)小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動的角速度為ω，細(xì)線的張力為FT，則FT隨ω2變化的圖象是下圖中的（ ）

A.
B.
C.
D.
例題4、 如圖所示，小球A可視為質(zhì)點(diǎn)，裝置靜止時輕質(zhì)細(xì)線AB水平，輕質(zhì)細(xì)線AC與豎直方向的夾角θ＝37°.已知小球的質(zhì)量為m，細(xì)線AC長L，B點(diǎn)距C點(diǎn)的水平和豎直距離相等。裝置BO'O能以任意角速度繞豎直軸O'O轉(zhuǎn)動，且小球始終在BO'O平面內(nèi)，那么在ω從零緩慢增大的過程中（ ）（g取10m/s2，sin370＝0.6，cos 37°＝0.8）

A.兩細(xì)線張力均增大
B.細(xì)線AB中張力一直變小，直到為零
C.細(xì)線AC中張力先不變，后增大
D.當(dāng)AB中張力為零時，角速度可能為
隨練1、[多選題] 如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動的水平圓盤上，沿半徑方向放著用細(xì)繩相連的質(zhì)量均為m的兩個物體A和B，它們分居圓心兩側(cè)，與圓心距離分別為，，與盤間的動摩擦因數(shù)相同，當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速加快到兩物體剛好要發(fā)生滑動時，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，則下列說法正確的是（ ）

A.此時繩子張力為
B.此時圓盤的角速度為
C.此時A所受摩擦力方向沿半徑指向圓外
D.此時燒斷繩子，A仍相對盤靜止，B將做離心運(yùn)動
隨練2、 如圖所示，輕繩上端固定在O點(diǎn)，下端系一小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），開始時在光滑的水平地面上，輕繩伸直且繩長大于O點(diǎn)離地面的高度。設(shè)小球繞豎直軸OO′做勻速圓周運(yùn)動的角速度為ω，輕繩的拉力大小為F，則下列四幅圖中，能正確反映F隨ω2變化規(guī)律的是（ ）

A.
B.
C.
D.

由于摩擦力突變引起的臨界問題
例題1、 A、B、C三個完全相同的物塊隨轉(zhuǎn)動的圓盤一起運(yùn)動，如圖所示，且物塊相對于圓盤靜止。當(dāng)圓盤的轉(zhuǎn)速逐漸增大時，哪個物塊最先離開原位置（ ）

A.A
B.B
C.C
D.同時離開
例題2、 如圖，在圓盤圓心處通過一個光滑小孔把質(zhì)量相等的兩物塊用輕繩連接，物塊A到轉(zhuǎn)軸的距離為R＝20cm，與圓盤的動摩擦因數(shù)為μ＝0.2，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力（已知π2＝g）則（ ）

A.物塊A一定會受圓盤的摩擦力
B.當(dāng)轉(zhuǎn)速n＝0.5r/s時，A不受摩擦力
C.A受摩擦力方向一定與線速度方向在一條直線上
D.當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速n＝1r/s時，摩擦力方向沿半徑背離圓心
例題3、[多選題] 如圖所示，在水平圓盤上，放著用細(xì)線相連的質(zhì)量均為m的兩個物體A和B，它們位于圓心同側(cè)的一條半徑上，與圓心距離RA＝r，RB＝2r，兩個物體與盤的動摩擦因數(shù)均為μ，現(xiàn)讓圓盤由靜止開始繞通過圓心的豎直軸轉(zhuǎn)動，并逐漸加快到兩物體剛好還未發(fā)生滑動，在這一過程中，下列說法正確的是（ ）

A.B所受摩擦力一直增大
B.A所受摩擦力先增大后減小再增大
C.此時繩子張力為
D.此時燒斷繩子，A仍相對盤靜止，B將做離心運(yùn)動
例題4、 如圖所示，一圓盤可以繞其豎直軸在水平面內(nèi)運(yùn)動，圓柱半徑為R，甲、乙兩物體的質(zhì)量分別為M和m（M＞m），它們與圓盤之間的最大靜摩擦力均為正壓力的μ倍，兩物體用長為L的輕繩連在一起，L＜R．若將甲物體放在轉(zhuǎn)軸位置上，甲、乙連線正好沿半徑方向拉直，要使兩物體與圓盤不發(fā)生相對滑動，則圓盤旋轉(zhuǎn)的角速度最大不得超過：（兩物體看作質(zhì)點(diǎn)）（ ）

A.
B.
C.
D.
隨練1、 如圖所示，一個豎直放置的圓錐筒可繞其中心軸轉(zhuǎn)動，筒內(nèi)壁粗糙，筒口半徑和筒高分別為和，筒內(nèi)壁點(diǎn)的高度為筒高的一半，內(nèi)壁上有一質(zhì)量為的小物塊，求：

（1）當(dāng)筒不轉(zhuǎn)動時，物塊靜止在筒壁點(diǎn)受到的摩擦力和支持力的大?。?br /> （2）當(dāng)物塊在點(diǎn)隨筒做勻速轉(zhuǎn)動，且其所受到的摩擦力為零時，筒轉(zhuǎn)動的角速度．
隨練2、 為確保彎道行車安全，汽車進(jìn)入彎道前必須減速。如圖所示，AB為進(jìn)入彎道前的平直公路，BC為水平圓弧形彎道。已知AB段的距離SAB＝14m，彎道半徑R＝24m。汽車到達(dá)A點(diǎn)時速度vA＝16m／s，汽車與路面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.6，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取g＝10m／s2．要確保汽車進(jìn)入彎道后不側(cè)滑。求汽車

（1）在彎道上行駛的最大速度；
（2）在AB段做勻減速運(yùn)動的最小加速度；
（3）為提高BC處轉(zhuǎn)彎的最大速度，請?zhí)岢龉方ㄔO(shè)時的合理建議。

圓周運(yùn)動的繩和桿臨界問題


知識精講
一．豎直平面內(nèi)的圓周問題
豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動是典型的變速圓周運(yùn)動，中學(xué)物理中常研究物體通過最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的兩種情況。下面將對這類臨界狀態(tài)問題進(jìn)行綜合分析。
1．輕繩類問題
繩或光滑圓軌道的內(nèi)側(cè)，如圖所示，它的特點(diǎn)是：在運(yùn)動到最高點(diǎn)時均沒有物體支撐著小球。下面討論小球（質(zhì)量為m）在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動（半徑為R）通過最高點(diǎn)時的情況：

（1）臨界條件
小球到達(dá)最高點(diǎn)時受到繩子的拉力恰好等于零，這時小球做圓周運(yùn)動所需要的向心力僅由小球的重力來提供。根據(jù)牛頓第二定律得，，臨界速度。
這個速度可理解為小球恰好通過最高點(diǎn)或恰好通不過最高點(diǎn)時的速度，也可認(rèn)為是小球通過最高點(diǎn)時的最小速度，通常叫臨界速度。
（2）小球能通過最高點(diǎn)的條件：
當(dāng)時，小球能通過最高點(diǎn)，這時繩子對球有作用力，為拉力；
當(dāng)時，小球剛好能通過最高點(diǎn)，此時繩子對球不產(chǎn)生作用力。
（3）小球不能通過最高點(diǎn)的條件：
當(dāng)時，小球不能通過最高點(diǎn)，實際上小球還沒有到達(dá)最高點(diǎn)就已經(jīng)脫離了軌道。（如圖）



2．輕桿類模型
桿和光滑管道，如圖所示，它的特點(diǎn)是：在運(yùn)動到最高點(diǎn)時有物體支撐著小球。下面討論小球（質(zhì)量為m）在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動（半徑為R）通過最高點(diǎn)時的情況：


（1）臨界條件
由于硬桿的支撐作用，小球恰能到達(dá)最高點(diǎn)的臨界速度是： ；
此時，硬桿對物體的支持力恰等于小球的重力mg。
（2）如上圖所示的小球通過最高點(diǎn)時，硬桿對小球的彈力情況為：
當(dāng) 時，硬桿對小球有豎直向上的支持力FN，其大小等于小球的重力，即FN＝mg；
當(dāng)時，桿對小球的支持力豎直向上，大小隨速度的增加而減小，其取值范圍為；
當(dāng)時，F(xiàn)N＝0，這時小球的重力恰好提供小球做圓周運(yùn)動的向心力。
當(dāng)時，硬桿對小球有指向圓心（即方向向下）的拉力，其大小隨速度的增大而增大。
（3）其他桿問題
如果是帶電小球，且空間存在電磁場，臨界條件則是重力、電場力或洛侖茲力的合力為向心力，此時臨界速度，需要具體問題具體分析。
二．豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動的求解思路
1. 定模型：首先判斷是輕繩模型還是輕桿模型，兩種模型過最高點(diǎn)的臨界條件不同。在最高點(diǎn)繩模型中小球的最小速度是；而輕桿模型中小球在最高點(diǎn)時的最小速度為零。
2. 確定臨界點(diǎn)：對輕繩模型來說是能否通過最高點(diǎn)的臨界點(diǎn)，而對輕桿模型來說是FN表現(xiàn)為支持力還是拉力的臨界點(diǎn)（）（因為輕繩不能有支撐力，桿可有支撐力）。
3. 研究狀態(tài)：通常情況下豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動只涉及最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的運(yùn)動情況。
4. 受力分析：對物體在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)時進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列出方程，。
5. 過程分析：應(yīng)用動能定理或機(jī)械能守恒定律將初、末兩個狀態(tài)聯(lián)系起來列方程。

三點(diǎn)剖析
一． 課程目標(biāo)
1．學(xué)會分析輕繩、輕桿、管道在豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動的臨界問題

圓周運(yùn)動中繩的臨界問題
例題1、[多選題] 質(zhì)量為M的支架（包含底座）上有一水平細(xì)軸，軸上套有一長為L的輕質(zhì)細(xì)線，繩的另一端拴一質(zhì)量為m（可視為質(zhì)點(diǎn)）的小球，如圖?，F(xiàn)使小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動，已知小球在運(yùn)動過程中底座恰好不離開地面、且始終保持靜止。忽略一切阻力，重力加速度為g。則（ ）

A.小球運(yùn)動到最高點(diǎn)時底座對地壓力最大
B.小球運(yùn)動過程中地面對底座始終無摩擦力
C.小球運(yùn)動至右邊與O點(diǎn)等高時，地面對底座的摩擦力向左
D.小球運(yùn)動到最高點(diǎn)時細(xì)線拉力大小為Mg
例題2、 如圖所示，小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕細(xì)一端，繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動。當(dāng)球某次運(yùn)動到最低點(diǎn)時，繩突然斷掉，球飛行水平距離d后落地。已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為，重力加速度為g。忽略手的運(yùn)動半徑和空氣阻力。

（1）若想小球在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動，其通過最高點(diǎn)的速度v1至少應(yīng)為多少？
（2）求繩斷時球的速度大小v2和球落地時的速度大小v3。
（3）輕繩能承受的最大拉力多大？
隨練1、 雜技演員表演的“水流星”如圖所示。細(xì)長繩一端系著盛了水的容器。以繩的另一端為圓心，使容器在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動。N為圓周的最高點(diǎn)，M為圓周的最低點(diǎn)。若“水流星”通過最高點(diǎn)時沒有水流出，則其在最高點(diǎn)的速度至少為（ ）

A.
B.
C.
D.
隨練2、 如圖所示，長為l的懸線固定在O點(diǎn)，在O點(diǎn)正下方的C點(diǎn)處有一釘子。把一端懸掛的小球拉到跟懸點(diǎn)在同一水平面上無初速度釋放，小球擺到懸點(diǎn)正下方懸線碰到釘子時，此時小球（ ）

A.線速度突然增大
B.向心加速度突然增大
C.角速度保持不變
D.懸線拉力保持不變
隨練3、 如圖1所示，在某星球表面輕繩約束下的質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，小球在最低點(diǎn)與最高點(diǎn)所受輕繩的拉力之差為△F，假設(shè)星球是均勻球體，其半徑為R，已知萬有引力常量為G．不計一切阻力．

（1）求星球表面重力加速度；
（2）求該星球的密度；
（3）如圖2所示．在該星球表面上，某小球以大小為v0的初速度平拋，恰好能擊中傾角為θ的斜面，且位移最短．試求該小球平拋的時間．

圓周運(yùn)動中桿的臨界問題
例題1、 質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)的圓管軌道內(nèi)運(yùn)動，小球的直徑略小于圓管的直徑，如圖所示。已知小球以速度v通過最高點(diǎn)時對圓管的外壁的壓力大小恰好為mg，則小球以速度通過圓管的最高點(diǎn)時（ ）

A.小球?qū)A管的內(nèi)、外壁均無壓力
B.小球?qū)A管的外壁壓力等于
C.小球?qū)A管的內(nèi)壁壓力等于
D.小球?qū)A管的內(nèi)壁壓力等于mg
例題2、 如圖所示，ABC為豎直平面內(nèi)的金屬半圓環(huán)，AC連線水平，AB為固定在A、B兩點(diǎn)間的直的金屬棒，在直棒上和圓環(huán)的BC部分分別套著兩個相同的小環(huán)M、N，現(xiàn)讓半圓環(huán)繞對稱軸以角速度ω做勻速轉(zhuǎn)動，半圓環(huán)的半徑為R，小圓環(huán)的質(zhì)量均為m，棒和半圓環(huán)均光滑，已知重力加速度為g，小環(huán)可視為質(zhì)點(diǎn)，則M、N兩環(huán)做圓周運(yùn)動的線速度之比為（ ）

A.
B.
C.
D.
例題3、 如圖，V形細(xì)桿AOB能繞其對稱軸OO′轉(zhuǎn)動，OO′沿豎直方向，V形桿的兩臂與轉(zhuǎn)軸間的夾角均為α＝45°。兩質(zhì)量均為m＝0.1kg的小環(huán)，分別套在V形桿的兩臂上，并用長為L＝1.2m、能承受最大拉力Fmax＝4.5N的輕質(zhì)細(xì)線連接。環(huán)與臂間的最大靜摩擦力等于兩者間彈力的0.2倍。當(dāng)桿以角速度ω轉(zhuǎn)動時，細(xì)線始終處于水平狀態(tài)，取g＝10m／s2。

（1）求桿轉(zhuǎn)動角速度ω的最小值；
（2）將桿的角速度從（1）問中求得的最小值開始緩慢增大，直到細(xì)線斷裂，寫出此過程中細(xì)線拉力隨角速度變化的函數(shù)關(guān)系式。
例題4、 如圖所示，在水平面內(nèi)有一平臺可繞豎直的中心軸以角速度ω=3.14rad/s旋轉(zhuǎn)。在平臺內(nèi)沿半徑方向開兩個溝槽，質(zhì)量為0.01kg的小球A放置在粗糙的溝槽內(nèi)，球與溝槽的動摩擦因數(shù)為0.5；質(zhì)量為0.04kg的小球B放置在另一光滑的溝槽內(nèi)。長度為1m的細(xì)線繞過平臺的中心軸，其兩端與兩球相連。設(shè)平臺中心軸是半徑可忽略的細(xì)軸，且光滑，球A始終相對圓盤保持靜止。（g=3.142m/s2．最大靜摩擦力等于滑動摩擦力）求：
（1）球A到軸O的距離多大時，小球A恰好不受摩擦力？
（2）球A到軸O的最大距離為多少？

隨練1、 如圖所示，長為L的輕桿，一端固定在水平轉(zhuǎn)軸O上，另一端固定一個質(zhì)量為m的小球．現(xiàn)讓桿繞轉(zhuǎn)軸O在豎直平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動，角速度為ω，重力加速度為g．某時刻桿對球的作用力方向恰好與桿垂直，則此時桿與水平面的夾角θ滿足（ ）

A.
B.
C.
D.
隨練2、 如圖所示，長為0.4m的輕質(zhì)細(xì)桿，一端固定有一個質(zhì)量為1kg的小球，另一端由電動機(jī)帶動，使桿繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，小球的速率為1m／s．g取10m／s2，下列說法正確的是（ ）

A.小球通過最高點(diǎn)時，對桿的拉力大小是12.5N
B.小球通過最高點(diǎn)時，對桿的壓力大小是7.5N
C.小球通過最低點(diǎn)時，對桿的拉力大小是7.5N
D.小球通過最低點(diǎn)時，對桿的壓力大小是12.5N

拓展
1、 如圖所示，當(dāng)時鐘正常工作時，時針、分針和秒針轉(zhuǎn)動的角速度之比為（ ）

A.1︰12︰720
B.1︰60︰86400
C.1︰60︰3600
D.1︰60︰43200
2、 某品牌的機(jī)械鼠標(biāo)內(nèi)部構(gòu)如圖所示，機(jī)械鼠標(biāo)中的定位球的直徑是
2.0cm，某次操作中將鼠標(biāo)沿直線勻速移動12cm需要1s，則定位球的角速度為（ ）

A.
B.
C.6 rad/s
D.12 rad/s
3、 未來的星際航行中，宇航員長期處于零重力狀態(tài)，為緩解這種狀態(tài)帶來的不適，有人設(shè)想在未來的航天器上加裝一段圓柱形“旋轉(zhuǎn)艙”，如圖所示，當(dāng)旋轉(zhuǎn)艙繞其軸線勻速旋轉(zhuǎn)時，宇航員站在旋轉(zhuǎn)艙內(nèi)圓柱形側(cè)壁上，可以受到與他站在地球表面時相同大小的支持力。為達(dá)到上述目的，下列說法正確的是（ ）

A.旋轉(zhuǎn)艙的半徑越大，轉(zhuǎn)動的角速度就應(yīng)越大
B.旋轉(zhuǎn)艙的半徑越大，轉(zhuǎn)動的角速度就應(yīng)越小
C.宇航員質(zhì)量越大，旋轉(zhuǎn)艙的角速度就應(yīng)越大
D.宇航員質(zhì)量越大，旋轉(zhuǎn)艙的角速度就應(yīng)越小
4、 如圖是自行車傳動機(jī)構(gòu)的示意圖，其中Ⅰ是半徑為R1的大鏈輪，Ⅱ是半徑為R2的小飛輪，Ⅲ是半徑為R3的后輪，假設(shè)腳踏板的轉(zhuǎn)速為n（單位：r/s），則自行車后輪邊緣的線速度為（ ）

A.
B.
C.
D.
5、[多選題] 如圖所示，M、N是兩個共軸圓筒的橫截面，外筒半徑為R，內(nèi)筒半徑比R小很多，可以忽略不計，筒的兩端是封閉的，兩筒之間抽成真空。兩筒以相同的角速度ω繞其中心軸線（圖中垂直于紙面）做勻速轉(zhuǎn)動。設(shè)從M筒內(nèi)部可以通過窄縫S（與M筒的軸線平行）不斷地向外射出兩種不同速率v1和v2的微粒，從S處射出時的初速度的方向都是沿筒的半徑方向，微粒到達(dá)N筒后就附著在N筒上。如果R、v1和v2都不變，而ω取某一合適的值，則（ ）

A.有可能使微粒落在N筒上的位置都在a處一條與S縫平行的窄條上
B.有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一處如b處一條與S縫平行的窄條上
C.有可能使微粒落在N筒上的位置分別在某兩處如b處和c處與S縫平行的窄條上
D.只要時間足夠長，N筒上將到處都落有微粒
6、 如圖所示，半圓形光滑圓環(huán)，豎直放置，環(huán)繞y軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動，一小球套在環(huán)上，若小球可在環(huán)上任意位置相對環(huán)靜止，圓的方程為x2＋y2＝a2（a為常量），則下列ω的值正確的是（ ）

A.
B.
C.
D.
7、 如圖所示，“旋轉(zhuǎn)秋千”中座椅（可視為質(zhì)點(diǎn)）通過輕質(zhì)纜繩懸掛在旋轉(zhuǎn)圓盤上。當(dāng)旋轉(zhuǎn)圓盤以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動時，不計空氣阻力，纜繩延長線與豎直中心軸相交于O點(diǎn)，夾角為θ，O點(diǎn)到座椅的豎直高度為h，則當(dāng)ω增大時（ ）

A.h不變
B.θ減小
C.ω2h不變
D.ω2h增大
8、[多選題] 如圖所示，兩個相同的小球A，B用長度分別為l1，l2的細(xì)線（l1＜l2）懸于在天花板的O1，O2點(diǎn)，兩球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，兩根細(xì)線與豎直軸夾角均為θ．設(shè)A，B兩球的線速度分別為vA，vB，角速度分別為ωA，ωB加速度分別為aA，aB，兩根細(xì)線的拉力分別為FA，F(xiàn)B，則（ ）

A.vA＞vB
B.ωA＞ωB
C.aA＝aB
D.FA＜FB
9、[多選題] 質(zhì)量為m的物體沿著半徑為R的半球金屬球殼滑到最低點(diǎn)時的速度大小為v，如圖所示，若物體與球殼之間的摩擦因數(shù)為μ，則物體在最低點(diǎn)時的（ ）

A.向心加速度為
B.向心力為
C.對球殼的壓力為
D.受到的摩擦力為
10、 汽車在水平地面上轉(zhuǎn)彎，地面對車的摩擦力已達(dá)到最大值．當(dāng)汽車的速率加大到原來的二倍時，若使車在地面轉(zhuǎn)彎時仍不打滑，汽車的轉(zhuǎn)彎半徑應(yīng)（ ）
A.增大到原來的二倍
B.減小到原來的一半
C.減小到原來的四分之一
D.增大到原來的四倍
11、[多選題] 兩根長度不同的細(xì)線下面分別懸掛著小球，細(xì)線上端固定在同一點(diǎn)，若兩個小球以相同的角速度，繞共同的豎直軸在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，球運(yùn)動情況如下圖示，圖A中兩根系球的繩與豎直線夾角相同，圖B中兩球運(yùn)動軌跡在同一水平面內(nèi)，圖C中兩球做圓周運(yùn)動半徑相同，圖D中下面的圓半徑小一些，則關(guān)于兩個小球在運(yùn)動過程情況不可能的是（ ）
A.
B.
C.
D.
12、[多選題] 如圖，兩個質(zhì)量均為m的小木塊a和b（可視為質(zhì)點(diǎn)）放在水平圓盤上，a與轉(zhuǎn)軸OO′的距離為L，b與轉(zhuǎn)軸的距離為2L．木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g．若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動，用ω表示圓盤轉(zhuǎn)動的角速度，下列說法正確的是（ ）

A.a、b所受的摩擦力始終相等
B.b一定比a先開始滑動
C.是b開始滑動的臨界角速度
D.當(dāng)時，a所受摩擦力的大小為kmg
13、[多選題] 如圖所示，A、B、C三個物體放在水平圓臺上，與圓臺的動摩擦因數(shù)均為μ，A的質(zhì)量為2m，B、C的質(zhì)量均為m，A、B離軸的距離為R，C離軸的距離為2R，當(dāng)圓臺勻速旋轉(zhuǎn)時（A、B、C都沒有相對滑動），則（ ）

A.物體A的向心力比物體B的向心力大
B.物體B受到的摩擦力比物體C受到的摩擦力小
C.當(dāng)圓臺轉(zhuǎn)速增大時，A將最先滑動
D.當(dāng)圓臺轉(zhuǎn)速增大時，C將最先滑動
14、 如圖，豎直環(huán)半徑為，固定在木板上，木板放在水平地面上，的左右兩側(cè)各有一擋板固定在地上，不能左右運(yùn)動，在環(huán)的最低點(diǎn)靜放有一小球，、、的質(zhì)量均為，現(xiàn)給小球一水平向右的瞬時速度，小球會在環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動，為保證小球能通過環(huán)的最高點(diǎn)，且不會使環(huán)在豎直方向上跳起（不計小球與環(huán)的摩擦阻力），小球在最高點(diǎn)的瞬時速度必須滿足（ ）

A.最大值
B.最大值
C.最大值
D.最大值
15、[多選題] 如圖所示，輕桿長為3L，在桿的A、B兩端分別固定質(zhì)量均為m的球A和球B，桿上距球A為L處的點(diǎn)O裝在光滑的水平轉(zhuǎn)動軸上，外界給予系統(tǒng)一定的能量后，桿和球在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動。在轉(zhuǎn)動的過程中，忽略空氣的阻力，若球B運(yùn)動到最高點(diǎn)時，球B隊桿恰好無作用力，則下列說法正確的是（ ）

A.球B在最高點(diǎn)時速度為零
B.此時球A的速度大小為
C.球B轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)時，桿對水平軸的作用力為1.5mg
D.球B轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)時，桿對水平軸的作用力為3mg
16、 如圖所示，輕桿長2l，中點(diǎn)裝在水平軸O點(diǎn)，兩端分別固定著小球A和B，A球質(zhì)量為m，B球的質(zhì)量為2m，兩者一起在豎直平面內(nèi)繞轉(zhuǎn)O軸做圓周運(yùn)動，已知重力加速度取g。

（1）若A球在最高點(diǎn)時，桿A端恰好不受力，求此時O軸的受力大小和方向；
（2）若B球到最高點(diǎn)時的速度等于第（1）問中A球到達(dá)最高點(diǎn)時的速度，則B球運(yùn)動到最高點(diǎn)時，O軸的受力大小和方向又如何？
（3）在桿的轉(zhuǎn)速逐漸變化的過程中，能否出現(xiàn)O軸不受力的情況？若不能，請說明理由；若能，則求出此時A、B球的速度大小。

答案解析

圓周運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)問題


常見傳動方式的線速度、角速度及周期關(guān)系
例題1、
【答案】 C
【解析】 由于B輪和A輪是皮帶傳動，皮帶傳動的特點(diǎn)是兩輪與皮帶接觸點(diǎn)的線速度的大小與皮帶的線速度大小相同，
故vA=vB，
∴vB：vA=1：1
由于C輪和B輪共軸，故兩輪角速度相同，
即ωC=ωB，
故ωC：ωB=1：1
由角速度和線速度的關(guān)系式v=ωR可得
vC：vB=RC：RB=2：1
∴vA：vB：vC=1：1：2
又因為RA=RC=2RB
根據(jù)a= 得：
aA：aB：aC=1：2：4
故選C．
例題2、
【答案】 D
【解析】 由甲、乙、丙三個輪子依靠摩擦傳動，相互之間不打滑知三者線速度相同，其半徑分別為r1、r2、r3
則ω1r1＝ω2r2＝ω3r3
故。
例題3、
【答案】 A
【解析】 小物塊P水平方向只受最大靜摩擦力，提供向心力，所以向心加速度a＝μg，而，ABC三輪邊緣的線速度大小相同，所以∝，
所以μA︰μB︰μC＝2︰3︰6；
由v＝Rω可知，∝，
所以ωA︰ωB︰ωC＝2︰3︰6．
例題4、
【答案】 B
【解析】 A、由圖可知，B與C點(diǎn)屬于齒輪傳動，兩點(diǎn)的速度是相等的，由于rB≠rC，則ωB≠ωC；故A錯誤；
BCD、由圖可知，A與B點(diǎn)屬于同軸傳動，具有相等的角速度，即ωB＝ωA；由v＝ωr，所以：，或：．故B正確，CD錯誤。
例題5、
【答案】 Rsinωt
【解析】 設(shè)0－t時間內(nèi)小球所經(jīng)的弧所對的圓心角為θ，
有θ＝ωt①，
根據(jù)幾何關(guān)系得：x＝Rsinθ②，
①②聯(lián)立得：x＝Rsinωt。
答：任意時刻t影的坐標(biāo)x為Rsinωt。

隨練1、
【答案】 C
【解析】 共軸轉(zhuǎn)動的各點(diǎn)角速度相等，故A、B兩點(diǎn)的角速度相等；
A點(diǎn)的轉(zhuǎn)動半徑為Rcos30°=R，B點(diǎn)的轉(zhuǎn)動半徑為R，根據(jù)v=rω公式，線速度之比為：
vA：vB=RA：RB=：2=：4；
故ABD錯誤，C正確；
故選：C．
隨練2、
【答案】 C
【解析】 轉(zhuǎn)速為單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)，因為轉(zhuǎn)動一圈，對圓心轉(zhuǎn)的角度為2π，所以ω＝2πn rad／s，因為要測量自行車前進(jìn)的速度，即車輪III邊緣上的線速度的大小，根據(jù)題意知：輪I和輪II邊緣上的線速度的大小相等，據(jù)v＝Rω可知：r1ω1＝R2ω2，已知ω1＝2πn，則輪II的角速度．因為輪II和輪III共軸，所以轉(zhuǎn)動的ω相等即ω3＝ω2，根據(jù)v＝Rω可知，。

圓周運(yùn)動學(xué)公式的應(yīng)用
例題1、
【答案】 C
【解析】 如圖所示

根據(jù)運(yùn)動的合成與分解可知，接觸點(diǎn)B的實際運(yùn)動為合運(yùn)動，可將B點(diǎn)運(yùn)動的速度vB＝v沿垂直于桿和沿桿的方向分解成v2和v1，其中v2＝vBsinθ＝vsinθ為B點(diǎn)做圓周運(yùn)動的線速度，v1＝vBcosθ為B點(diǎn)沿桿運(yùn)動的速度。當(dāng)桿與水平方向夾角為θ時，，
由于B點(diǎn)的線速度為v2＝vsinθ＝OBω，所以，所以A的線速度，故C正確。
例題2、
【答案】 （1）4.00
（2）1.945
（3）29.5
【解析】 （1）由圖可知，圓盤的直徑d＝6.00－2.00cm＝4.00cm．
（2）D點(diǎn)的瞬時速度，則圓盤轉(zhuǎn)動的角速度．
（3）根據(jù)Δx＝aT2，運(yùn)用逐差法得，，
角加速度，，可知．
例題3、
【答案】 （1）（2）激光器和探測器沿半徑由中心向邊緣移動（3）
【解析】 （1）由圖可知，轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動周期，角速度
（2）激光器和探測器沿半徑由中心向邊緣移動，理由是：由于脈沖寬度在逐漸變小，表明光信號能通過狹縫的時間逐漸減少，即圓盤上對應(yīng)探測器所在位置的線速度逐漸增大，因此激光器和探測器沿半徑由中心向邊緣移動
（3）設(shè)狹縫寬度為，激光器沿半徑方向運(yùn)動的速度為，激光器所在處離軸為，該處圓盤的線速度為，則，又，可得，，，所以．
例題4、
【答案】 （1）包的落地點(diǎn)距B端的水平距離為0.6m
（2）旅行包落地點(diǎn)距B端的水平距離又為2.4m
（3）
【解析】 （1）旅行包做勻減速運(yùn)動，有：a=μg=6m/s2
旅行包到達(dá)B端速度為：
包的落地點(diǎn)距B端的水平距離為：
（2）當(dāng)ω1=40rad/s時，皮帶速度為：v1=ω1R=8m/s
當(dāng)旅行包的速度也為v1=8m/s時，在皮帶上運(yùn)動了位移為：
以后旅行包做勻速直線運(yùn)動，所以旅行包到達(dá)B端的速度也為：v1=8m/s
包的落地點(diǎn)距B端的水平距離為：
（3）如圖所示，

隨練1、
【答案】 A D
【解析】 筆上各點(diǎn)同軸轉(zhuǎn)動角速度相同
A、筆桿上的點(diǎn)離O點(diǎn)越近的，半徑越小，根據(jù)v＝ωr可知，線速度越小，故A正確；
B、筆上各點(diǎn)同軸轉(zhuǎn)動，角速度相同，故B錯誤；
C、根據(jù)可知，周期相同，故C錯誤；
D、根據(jù)a＝ω2r可知，筆桿上的點(diǎn)離O點(diǎn)越近的，半徑越小，向心加速度越小，故D正確．
隨練2、
【答案】 C
【解析】 A、平拋運(yùn)動水平方向做勻速直線，水平位移，套馬圈相對于烈馬的水平速度v0＝rω，則套馬圈做平拋運(yùn)動的時間為，故AB錯誤；
C、依據(jù)題意可知，套馬圈轉(zhuǎn)到烈馬正后方時，運(yùn)動速度與烈馬同向，則套馬圈平拋運(yùn)動的初速度v′＝v＋rω，故C正確，D錯誤。

圓周運(yùn)動的動力學(xué)分析


常見模型的動力學(xué)分析
例題1、
【答案】 B
【解析】 暫無解析
例題2、
【答案】 （1）
（2）
（3）
【解析】 （1）小球飛出后做平拋運(yùn)動，根據(jù)得，小球在空中運(yùn)動的時間。
（2）繩子的拉力等于小球做圓周運(yùn)動的向心力，小球的線速度，則拉力。
（3）落地時的豎直分速度，根據(jù)平行四邊形定則知，小球落地的速度。
例題3、
【答案】 A
【解析】 A、螺絲帽受到豎直向下的重力、水平方向的彈力和豎直向上的最大靜摩擦力，螺絲帽在豎直方向上沒有加速度，根據(jù)牛頓第二定律得知，螺絲帽的重力與最大靜摩擦力平衡。故A正確。
B、螺絲帽做勻速圓周運(yùn)動，由彈力提供向心力，所以彈力方向水平向里，指向圓心。故B錯誤。
C、根據(jù)牛頓第二定律得：N＝mω2r，fm＝mg，又fm＝μN(yùn)，聯(lián)立得到．故C錯誤。
D、若桿的轉(zhuǎn)動加快，角速度ω增大，螺絲帽受到的彈力N增大，最大靜摩擦力增大，螺絲帽不可能相對桿發(fā)生運(yùn)動。故D錯誤。
例題4、
【答案】 （1）A
（2）C
（3）B
（4）F＝mω2r
【解析】 在研究向心力的大小F與質(zhì)量m、角速度ω和半徑r之間的關(guān)系時，需先控制某些量不變，研究另外兩個物理量的關(guān)系，該方法為控制變量法．
（1）根據(jù)控制變量法的原理可知，在研究向心力的大小F與質(zhì)量m關(guān)系時，要保持其他的物理量不變，其中包括角速度與半徑，即保持角速度與半徑相同．
（2）圖中所示兩球的質(zhì)量相同，轉(zhuǎn)動的半徑相同，則研究的是向心力與角速度的關(guān)系．
（3）根據(jù)F＝mω2r，兩球的向心力之比為1︰9，半徑和質(zhì)量相等，則轉(zhuǎn)動的角速度之比為1︰3，因為靠皮帶傳動，變速輪塔的線速度大小相等，根據(jù)v＝rω，知與皮帶連接的變速輪塔對應(yīng)的半徑之比為3︰1．
（4）實驗得到的“向心力大小F與質(zhì)量m、角速度ω和半徑r”之間的關(guān)系為向心力與質(zhì)量成正比，與角速度的平方成正比，與運(yùn)動的半徑成正比，表達(dá)式是F＝mω2r．
隨練1、
【答案】 ①
②
③
【解析】 ①根據(jù)向心力公式：，而，
得：；
②如圖由幾何關(guān)系可得：；
③由上面分析得：，
整理得：
故斜率表達(dá)式為：。

隨練2、
【答案】 B
【解析】 根據(jù)，可知若研究小球受到的向心力大小與角速度的關(guān)系，需控制小球的質(zhì)量和半徑不變，故B正確．

圓周運(yùn)動的實例分析
例題1、[多選題]
【答案】 A C
【解析】 暫無解析
例題2、
【答案】 20m／s
【解析】 （1）受力分析如圖所示，

豎直方向：FNcosθ＝mg＋Ffsinθ；
水平方向：
又Ff＝μFN，
可得
代入數(shù)據(jù)可得：v＝20m／s。
答：為使汽車轉(zhuǎn)彎時不發(fā)生側(cè)滑，彎道部分汽車行駛的最大速度是20m／s
例題3、
【答案】 1.40 ， 7.9（7.9±0.1） ， 1.4（1.4±0.1）
【解析】 暫無解析
隨練1、
【答案】 D
【解析】 A、在頂點(diǎn)，若，根據(jù)牛頓第二定律得，，解得支持力N＝0，則物體m對半球面頂點(diǎn)的壓力為零，故A錯誤。
B、若，則物體會脫離半球面，故B錯誤。
C、若v0＝0，則物體m對半球面頂點(diǎn)壓力等于mg，故C錯誤。
D、若，由于合力方向向下，加速度方向向下，物體處于失重狀態(tài)，故D正確。
隨練2、
【答案】 （1）0.5s
（2）0.2m；1m
（3）66N
（4）5m/s
【解析】 （1）對P點(diǎn)的速度矢量分解，有：
代入數(shù)據(jù)得：t＝0.5s；
（2）豎直方向小球做自由落體運(yùn)動，由：
由幾何關(guān)系，P點(diǎn)高度：h2＝h－h(huán)1＝0.2m
有幾何關(guān)系：
代入數(shù)據(jù)得：R＝1m；
（3）在最低點(diǎn)，支持力與重力的和提供小球的向心力，得：
代入數(shù)據(jù)得：FN1＝66N
由牛頓第三定律得小球?qū)A弧軌道最低點(diǎn)的壓力：FN1′＝FN1＝66N；
（4）由，
代入數(shù)據(jù)得：v2＝5m/s．

圓周運(yùn)動的水平臨界問題


由于彈力突變引起的臨界問題
例題1、
【答案】
【解析】 抓住臨界條件，當(dāng)b繩剛好伸直還無張力時的角速度為球旋轉(zhuǎn)的最小角速度．
已知a、b繩長均為1m，如圖所示即AC＝BC＝1m，．

在△AOC中，得，．
設(shè)小球做圓周運(yùn)動的軌道半徑為r，小球做圓周運(yùn)動的軌道半徑．
．
b繩被拉直但無張力時，小球所受的重力mg與a繩拉力FTa的合力F提供向心力，其受力分析如圖所示，由圖可知，小球的向心力為：．根據(jù)牛頓第二定律得：．計算得出直桿和球的角速度為．
當(dāng)直桿和球的角速度時，b中才有張力．
例題2、
【答案】 （1）
（2）B對地面的壓力為30N，方向豎直向下
【解析】 （1）當(dāng)B對地面恰好無壓力時，有：Mg＝FT′，
拉力FT′提供小球A所需向心力，則：FT′＝mrω12
則有：．
（2）對小球A來說，小球受到的重力和支持力平衡．因此繩子的拉力提供向心力，則：
FT＝mrω2＝1×0.1×102N＝10N，
將FT＝10N代入可得：FN＝（4×10－10）N＝30N
由牛頓第三定律可知，B對地面的壓力為30 N，方向豎直向下．
例題3、
【答案】 C
【解析】 設(shè)繩長為L，錐面與豎直方向夾角為θ，當(dāng)ω＝0時，小球靜止，受重力mg、支持力N和繩的拉力FT而平衡，F(xiàn)T＝mgcosθ≠0，所以A項、B項都不正確；
ω增大時，F(xiàn)T增大，N減小，當(dāng)N＝0時，角速度為ω0。
當(dāng)ω＜ω0時，由牛頓第二定律得，
FTsinθ－Ncosθ＝mω2Lsinθ，
FTcosθ＋Nsinθ＝mg，
解得FT＝mω2Lsin2θ＋mgcosθ；
當(dāng)ω＞ω0時，小球離開錐子，繩與豎直方向夾角變大，設(shè)為β，由牛頓第二定律得
FTsinβ＝mω2Lsinβ，
所以FT＝mLω2，此時圖象的反向延長線經(jīng)過原點(diǎn)。
可知FT－ω2圖線的斜率變大，所以C項正確，D錯誤。
例題4、
【答案】 C D
【解析】 當(dāng)靜止時，受力分析如右圖，由平衡條件

TAB＝mgtan37°＝0.75mg，，
若AB中的拉力為0，當(dāng)ω最小時繩AC與豎直方向夾角θ1＝37°，受力分析如右圖，mgtanθ1＝m（lsinθ1）ωmin2，得．

當(dāng)ω最大時繩AC與豎直方向夾角θ2＝53°，mgtanθ2＝mωmax2lsinθ2，得．所以ω取值范圍為．繩子AB的拉力都是0．由以上的分析可知，開始時AB是拉力不為0，當(dāng)轉(zhuǎn)速在時，AB的拉力為0，角速度再增大時，AB的拉力又會增大，故AB錯誤；當(dāng)繩子AC與豎直方向之間的夾角不變時，AC繩子的拉力在豎直方向的分力始終等于重力，所以繩子的拉力繩子等于1.25mg；當(dāng)轉(zhuǎn)速大于后，繩子與豎直方向之間的夾角增大，拉力開始增大；當(dāng)轉(zhuǎn)速大于后，繩子與豎直方向之間的夾角不變，AC上豎直方向的拉力不變當(dāng)水平方向的拉力增大，AC的拉力繼續(xù)增大；故C正確；由開始時的分析可知，當(dāng)ω取值范圍為．繩子AB的拉力都是0．故D正確．
隨練1、[多選題]
【答案】 B C
【解析】 ABC．兩物塊A和B隨著圓盤轉(zhuǎn)動時，合外力提供向心力，則，B的半徑比A的半徑大，所以B所需向心力大，繩子拉力相等，所以當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速加快到兩物體剛好還未發(fā)生滑動時，B的靜摩擦力方向指向圓心，A的最大靜摩擦力方向指向圓外，有相對圓盤沿半徑指向圓內(nèi)的運(yùn)動趨勢，根據(jù)牛頓第二定律得：
，
，
解得：，，故A錯誤，BC正確．
D．此時燒斷繩子，A的最大靜摩擦力不足以提供向心力，則A做離心運(yùn)動，故D錯誤．
隨練2、
【答案】 D
【解析】 當(dāng)小球與地面間的支持力為零時，根據(jù)牛頓第二定律得，，
解得，
當(dāng)ω＜ω0時，小球與地面間有支持力，有：Fsinθ＝mLsinθω2，即F＝mLω2，F(xiàn)與ω2成正比，
當(dāng)ω＞ω0時，小球離開地面，有：Fsinα＝mLsinαω2，即F＝mLω2，F(xiàn)與ω2成正比。故D正確，A、B、C錯誤。

由于摩擦力突變引起的臨界問題
例題1、
【答案】 A
【解析】 物體A做勻速圓周運(yùn)動，相對于圓盤的運(yùn)動趨勢方向沿圓心與A的連線向外，受到的靜摩擦力指向圓心，提供向心力，三個物體的角速度相同，設(shè)角速度為ω，則三個物體受到的靜摩擦力分別為：，，，由圖可知，A的半徑最大，所以A需要的向心力最大，由于它們與地面間的最大靜摩擦力相同，故增大轉(zhuǎn)速時，A最選發(fā)生滑動，A正確．
例題2、
【答案】 D
【解析】 要使A物塊相對靜止，則繩子的拉力一直為mg，即繩子的拉力不變，當(dāng)摩擦力為零時，重力提供向心力：，代入數(shù)據(jù)解得：，故AB錯誤；A受摩擦力方向與半徑在一條直線上，指向圓心或背離圓心，故C錯誤；當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速n＝1r/s時，即，有沿半徑向內(nèi)運(yùn)動的趨勢，所以摩擦力方向沿半徑背離圓心，故D正確。所以D正確，ABC錯誤。
例題3、[多選題]
【答案】 C D
【解析】 AB、剛開始轉(zhuǎn)到時，AB都靠靜摩擦力提供向心力，根據(jù)向心力公式F＝mω2r可知，B先達(dá)到最大靜摩擦力，角速度繼續(xù)增大，繩中出現(xiàn)拉力，當(dāng)A所受摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力時，開始滑動，所以B受到的摩擦力方向一直向左，大小是先增大后不變，A所受的摩擦力一直增大，故AB錯誤。
C、當(dāng)兩物塊剛好還沒發(fā)生相對滑動時，有：μmg－T＝mrω2，μmg＋T＝m?2rω2，解得，故C正確。
D、燒斷繩子后，A的最大靜摩擦力大于向心力，A仍相對盤靜止，B的最大靜摩擦力小于向心力，B做離心運(yùn)動，故D正確。
例題4、
【答案】 D
【解析】 當(dāng)繩子的拉力等于甲的最大靜摩擦力時，角速度達(dá)到最大，有T＋μmg＝mLω2，T＝μMg．所以，故D正確。
隨練1、
【答案】 （1）；
（2）
【解析】 （1）設(shè)圓錐母線與水平方向的夾角為，當(dāng)筒不轉(zhuǎn)動時，物塊靜止在筒壁點(diǎn)時受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡；
由平衡條件得，摩擦力的大?。?br /> ．
支持力的大?。?br /> ．

（2）當(dāng)物塊在點(diǎn)隨筒做勻速轉(zhuǎn)動，且其所受到的摩擦力為零時，物塊在筒壁點(diǎn)時受到的重力和支持力作用，它們的合力提供向心力，設(shè)筒轉(zhuǎn)動的角速度為有：．
由幾何關(guān)系得，聯(lián)立計算得出．

隨練2、
【答案】 （1）12m／s
（2）4m／s2
（3）BC彎道路面建成外高內(nèi)低，增大地面摩擦因數(shù)，使BC彎道的軌道半徑變大
【解析】 （1）在BC彎道，由牛頓第二定律得：

代入數(shù)據(jù)解得：vmax＝12m／s
（2）汽車勻減速至B處，速度減為12m／s時，加速度最小，由運(yùn)動學(xué)公式得：

代入數(shù)據(jù)解得：amin＝4m／s2
（3）BC彎道路面建成外高內(nèi)低，增大地面摩擦因數(shù)，使BC彎道的軌道半徑變大。

圓周運(yùn)動的繩和桿臨界問題


圓周運(yùn)動中繩的臨界問題
例題1、[多選題]
【答案】 C D
【解析】 A、小球運(yùn)動到最高點(diǎn)時，底座對地面的壓力恰好為零，可知球運(yùn)動到最高點(diǎn)時底座對地壓力最小，故A錯誤。
B、當(dāng)繩子的方向處于水平時，應(yīng)用小球做圓周運(yùn)動需要外力提供向心力，此時繩子對小球的拉力沿水平方向，繩子對軸的拉力也沿水平方向，所以小球運(yùn)動過程中地面對底座有時有摩擦力，故B錯誤。
C、小球運(yùn)動至右邊與O點(diǎn)等高時，繩子對小球的拉力方向向左，則繩子對底座的拉力方向向右，底座要想保持判斷，則地面對底座的摩擦力向左，故C正確。
D、小球運(yùn)動到最高點(diǎn)時，底座對地面的壓力恰好為零，可知繩子最底座的向上的拉力等于Mg，則繩子對小球的拉力大小也是Mg，故D正確。
例題2、
【答案】 （1）
（2）；
（3）
【解析】 （1）若想小球在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動，其在最高點(diǎn)時，滿足，
解得：；
（2）設(shè)繩斷后球飛行時間為t，由平拋運(yùn)動規(guī)律，知，在水平和豎直兩方向上分別有：
豎直：，水平：d＝v2t，
解得：，
落地時其豎直分速度為：，
落地時速度為：；
（3）設(shè)繩子承受的最大拉力為FT，這也是球受到繩的最大拉力
球做圓周運(yùn)動的半徑為：，
在最低點(diǎn)時球受到的合力提供向心力，即：
解得：。
隨練1、
【答案】 D
【解析】 對水研究，受重力和容器的支持力，根據(jù)牛頓第二定律，有：；當(dāng)水恰好不流出時：N＝0，解得
隨練2、
【答案】 B
【解析】 A、碰到釘子的瞬間，根據(jù)慣性可知，小球的速度不能發(fā)生突變，即線速度不變，故A錯誤；
B、小球的向心加速度，r減小，故小球的向心加速度增大，故B正確；
C、根據(jù)可知，半徑減小，線速度不變，所以角速度增大，故C錯誤；
D、設(shè)釘子到球的距離為r，則，故繩子的拉力，因r小于L，故有釘子時，繩子上的拉力變大，故D錯誤。
隨練3、
【答案】 （1）
（2）
（3）
【解析】 （1）在最高點(diǎn)，重力和拉力的合力提供向心力，故：
再最低點(diǎn)，重力和拉力的合力提供向心力，故：
根據(jù)動能定理，有：
聯(lián)立解得：F2－F1＝6mg
根據(jù)題意，有：小球在最低點(diǎn)與最高點(diǎn)所受輕繩的拉力之差為△F，故：
（2）在星球表面，重力等于萬有引力，故：


聯(lián)立解得：

（3）位移最短，說明位移方向與斜面垂直，故位移偏轉(zhuǎn)角為，故：


x＝v0t
聯(lián)立解得：


圓周運(yùn)動中桿的臨界問題
例題1、
【答案】 C
【解析】 以小球為研究對象，小球通過最高點(diǎn)C時，根據(jù)牛頓第二定律得
mg＋mg＝①
當(dāng)小球以速度通過圓管的最高點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得：
mg＋N＝②
由①②解得：
，負(fù)號表示圓管對小球的作用力向上，即小球?qū)A管的內(nèi)壁壓力等于，故C正確。
例題2、
【答案】 A
【解析】 M點(diǎn)的小球受到重力和桿的支持力，在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，合力的方向沿水平方向，所以：Fn=mgtan45°=mω?vM
所以：…①
同理，N點(diǎn)的小球受到重力和桿的支持力，在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，合力的方向沿水平方向，設(shè)ON與豎直方向之間的夾角為，F(xiàn)n′=mgtanθ=mωvN
所以：…②
又：…③
r=Rsinθ…④
聯(lián)立②③④得：…⑤
所以：
例題3、
【答案】 （1）桿轉(zhuǎn)動角速度ω的最小值為3.33rad／s
（2）將桿的角速度從（1）問中求得的最小值開始緩慢增大，直到細(xì)線斷裂，此過程中細(xì)線拉力隨角速度變化的函數(shù)關(guān)系式為
；（5rad／s＜ω＜10rad／s）
【解析】 （1）角速度最小時，fmax沿桿向上，此時繩處于松弛狀態(tài)則
豎直方向由平衡條件得FNsin45°＋fmaxcos45°＝mg，
水平方向由牛頓第二定律得FNcos45°－fmaxsin45°＝mω12r，
且fmax＝0.2FN，，
解得；
（2）當(dāng)fmax沿桿向下時，繩仍處于松弛狀態(tài)，有
豎直方向由平衡條件得FNsin45°＝fmaxcos45°＋mg，
水平方向由牛頓第二定律得FNcos45°＋fmaxsin45°＝mω22r，
解得ω2＝5rad／s
此后，拉力隨ω的增大而變大，當(dāng)細(xì)線拉力剛達(dá)到最大時，有
FNsin45°－fmaxcos45°＝mg
Fmax＋FNcos45°＋fmaxsin45°＝mω32r，
解得ω3＝10rad／s
因此在ω2～ω3間，
所以拉力隨角速度的函數(shù)關(guān)系式為：；（5rad／s＜ω＜10rad／s）。
例題4、
【答案】 （1）0.8m
（2）0.9m
【解析】 （1）小球A恰好不受摩擦力時，由細(xì)線的拉力提供向心力，由向心力公式得：
對A，有T=mAω2rA。
對B，有T=mBω2（L﹣rA）
聯(lián)立解得：rA=0.8m
（2）當(dāng)A球到軸O的距離最大時，A受到的靜摩擦力沿軸心向內(nèi)，且靜摩擦力達(dá)到最大值，則
對A，有：f+T′=mAω′2rA′。
對B，有：T′=mBω′2（L﹣rA′）
聯(lián)立解得：rA′=0.9m
故球A到軸O的最大距離為0.9m。
故：（1）球A到軸O的距離0.8m時，小球A恰好不受摩擦力。
（2）球A到軸O的最大距離為0.9m。
隨練1、
【答案】 A
【解析】 小球所受重力和桿子的作用力的合力提供向心力，受力如圖所示；根據(jù)牛頓第二定律有：
mgsinθ＝mLω2
解得：
故A正確，BCD錯誤。

隨練2、
【答案】 B
【解析】 AB、在最高點(diǎn)，設(shè)桿子對球表現(xiàn)為支持力，根據(jù)牛頓第二定律，得：，解得：
，則球?qū)U表現(xiàn)為壓力，大小為7.5N．故B正確，A錯誤。
CD、在最低點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律，得：，則拉力：，則球?qū)U子的拉力為12.5N．故CD錯誤。

拓展
1、
【答案】 A
【解析】 根據(jù)
時針的周期是12h，分針的周期是1h，它們的周期比為12︰1，
則角速度之比為1︰12
分針的周期60min，秒針的周期是1min，它們的周期比為60︰1，
所以角速度之比為1︰60。
所以時針、分針和秒針轉(zhuǎn)動的角速度之比為1︰12︰720
故A正確，BCD錯誤。
2、
【答案】 D
【解析】 根據(jù)線速度定義式有：，
那么定位球的線速度為；
而角速度與線速度關(guān)系v＝ωr得：
定位球的角速度為；
故ABC錯誤，D正確。
3、
【答案】 B
【解析】 為了使宇航員在航天器上受到與他站在地球表面時相同大小的支持力，即為使宇航員隨旋轉(zhuǎn)艙轉(zhuǎn)動的向心加速度為定值，且有a＝g，
宇航員隨旋轉(zhuǎn)艙轉(zhuǎn)動的加速度為：a＝ω2R，由此式可知，旋轉(zhuǎn)艙的半徑越大，轉(zhuǎn)動的角速度就應(yīng)越小，此加速度與宇航員的質(zhì)量沒有關(guān)系，所以選項ACD錯誤，B正確。
4、
【答案】 D
【解析】 轉(zhuǎn)速為單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)，因為轉(zhuǎn)動一圈，對圓心轉(zhuǎn)的角度為2π，所以ω＝2πn，
因為要測量自行車車輪Ⅲ邊緣上的線速度的大小，根據(jù)題意知：輪Ⅰ和輪Ⅱ邊緣上的線速度的大小相等，據(jù)v＝rω可知：r1ω1＝r2ω2，
已知ω1＝2πn，則輪Ⅱ的角速度。
因為輪Ⅱ和輪Ⅲ共軸，所以轉(zhuǎn)動的ω相等即ω3＝ω2，根據(jù)v＝rω可知，；
所以選項D正確。
5、[多選題]
【答案】 A B C
【解析】 微粒從M到N運(yùn)動時間，對應(yīng)N筒轉(zhuǎn)過角度，
即如果以v1射出時，轉(zhuǎn)過角度：，
如果以v2射出時，轉(zhuǎn)過角度：，
只要θ1、θ2不是相差2π的整數(shù)倍，則落在兩處，C項正確；
若相差2π的整數(shù)倍，則落在一處，可能是a處，也可能是b處。A，B正確。
若微粒運(yùn)動時間為N筒轉(zhuǎn)動周期的整數(shù)倍，微粒只能到達(dá)N筒上固定的位置，因此，D項錯誤。
6、
【答案】 C
【解析】 設(shè)環(huán)與O的連線與豎直方向之間的夾角為θ，小球轉(zhuǎn)動的半徑為r＝a?sinθ＝x，小球所受的合力垂直指向轉(zhuǎn)軸，根據(jù)平行四邊形定則，
其中：
聯(lián)立可得：．故C正確，A、B、D錯誤。
7、
【答案】 C
【解析】 座椅在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，由重力和繩的拉力的合力提供向心力，如圖，則有：
mgtanθ＝mω2r
由幾何關(guān)系有：r＝htanθ
整理得：ω2h＝g，不變，則當(dāng)ω增大時，h減小，θ增大，故ABD錯誤，C正確。

8、[多選題]
【答案】 B C
【解析】 A、D、小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，對小球受力分析，如圖

小球受重力、和繩子的拉力，合力提供向心力，根據(jù)幾何關(guān)系可知向心力：F＝mgtanθ
由向心力公式得：mgtanθ＝
又r＝lsinθ
解得：
由于l1＜l2，所以vA＜vB．故A錯誤，D錯誤；
B、由于v＝ωr＝ω?lsinθ，故角速度：，由于l1＜l2，所以ωA＞ωB．故B正確；
C、由向心力公式得：mgtanθ＝ma，所以二者的加速度是相等的。故C正確．
9、[多選題]
【答案】 A D
【解析】 A、向心加速度的大小，故A正確；
B、向心力，故B錯誤；
C、根據(jù)牛頓第二定律得，，解得，則物體對球殼的壓力為，故C錯誤；
D、物體所受的摩擦力，故D正確。
10、
【答案】 D
【解析】 摩擦力提供向心力
①，②可知．
11、[多選題]
【答案】 A C D
【解析】 小球做勻速圓周運(yùn)動，mgtanθ＝mω2Lsinθ，整理得：是常量，即兩球處于同一高度，故B正確，ACD錯誤。

12、[多選題]
【答案】 B C
【解析】 A、B、兩個木塊的最大靜摩擦力相等。木塊隨圓盤一起轉(zhuǎn)動，靜摩擦力提供向心力，由牛頓第二定律得：木塊所受的靜摩擦力f＝mω2r，m、ω相等，f∝r，所以b所受的靜摩擦力大于a的靜摩擦力，當(dāng)圓盤的角速度增大時b的靜摩擦力先達(dá)到最大值，所以b一定比a先開始滑動，故A錯誤，B正確；
C、當(dāng)b剛要滑動時，有kmg＝mω2?2l，解得：，故C正確；
D、以a為研究對象，當(dāng)時，由牛頓第二定律得：
f＝mω2l，可解得：f＝kmg，故D錯誤。
13、[多選題]
【答案】 A B D
【解析】 AB、三個物體都做勻速圓周運(yùn)動，合力指向圓心，對任意一個受力分析，如圖
支持力與重力平衡，F(xiàn)合＝f＝F向
由于a、b、c三個物體共軸轉(zhuǎn)動，角速度ω相等，
根據(jù)題意，rc＝2ra＝2rb＝r
由向心力公式F向＝mω2r，得三物體的向心力分別為：
Fa＝2mω2r
Fb＝mω2r＝mω2r
Fc＝mω2（2r）＝2mω2r
故AB正確；
CD、對任意一物體，由于摩擦力提供向心力，有μmg＝mω2r
當(dāng)ω變大時，所需要的向心力也變大，當(dāng)達(dá)到最大靜摩擦力時，物體開始滑動，
當(dāng)轉(zhuǎn)速增加時，A、C所需向心力同步增加，且保持相等，但因C的最大靜摩擦力小，C比A先滑動；
當(dāng)轉(zhuǎn)速增加時，A、B所需向心力也都增加，且保持2︰1關(guān)系，但因A、B最大靜摩擦力也滿足2︰1關(guān)系，因此A、B會同時滑動；故C錯誤，D正確；

14、
【答案】 C
【解析】 在最高點(diǎn)，小球的速度最小時，由重力提供向心力，則，解得：．根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有：解得小球在最低點(diǎn)的速度．在最高點(diǎn)，小球的速度最大時，有解得：．根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：，解得小球在最低點(diǎn)的最大速度．
15、[多選題]
【答案】 B C
【解析】 AB、球B運(yùn)動到最高點(diǎn)時，球B對桿恰好無作用力，即重力恰好提供向心力，有：，解得：，由于A、B的角速度相等，A、B的半徑之比為1︰2，則線速度之比為1︰2，所以此時A的速度為：，故A錯誤，B正確。
CD、球B轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)時，桿子對B無作用力，對A分析，根據(jù)牛頓第二定律得：，解得：F＝1.5mg，則桿對水平軸的作用力為1.5mg，故C正確，D錯誤。
16、
【答案】 （1）4mg；豎直向下
（2）2mg；豎直向下
（3）能；
【解析】 （1）若A球在最高點(diǎn)時，桿A端恰好不受力，僅由重力提供向心力。則根據(jù)牛頓第二定律得：
對A有：，
解得：。
對B有，
解得：F＝4mg
即此時桿對B球的拉力的大小為4mg。
（2）B在最高點(diǎn)時，對B有：
，
將代入，可得：T′OB＝0；
對A有：，得：T′OA＝2mg。
桿子對A球表現(xiàn)為拉力，則桿子對O軸表現(xiàn)為拉力，大小為2mg，方向豎直向下。
（3）要使O軸不受力，根據(jù)B的質(zhì)量大于A的質(zhì)量，可判斷B球應(yīng)在最高點(diǎn)。
對B有：
對A有：。
軸O不受力時，T′′OA＝T′′OB，可得：。

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