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19.本小題分
已知函數(shù)
求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
求函數(shù)在區(qū)間上的值域；
在銳角中，角、、的對(duì)邊分別為，，，若，，求面積的最大值．20.本小題分
已知等差數(shù)列的公差為正數(shù)，，其前項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，，且，．
Ⅰ求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；
Ⅱ求數(shù)列的前項(xiàng)和．
Ⅲ設(shè)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．21.本小題分已知函數(shù)．Ⅰ當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；Ⅱ若在上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22.本小題分
已知函數(shù)．
若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取一個(gè)容量為的樣本，其中方陣乙被抽取的人數(shù)為．
故選：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合分層抽樣的定義，即可求解．
本題主要考查分層抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】 【解析】解：由題意知，，，
所以，，，的平均數(shù)為．
，，，的方差為：．
故選：．
直接根據(jù)求平均數(shù)和方差的計(jì)算公式寫出后整理成含：和的形式就可求出．
本題考查了平均數(shù)和方差，考查了公式的記憶，對(duì)于一組數(shù)據(jù)，通常要求的是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)和方差，題目分別表示一組數(shù)據(jù)的特征，這樣的問題可以出現(xiàn)在選擇題或填空題．考查最基本的知識(shí)點(diǎn)．3.【答案】 【解析】解：將骰子先后拋擲次，所有結(jié)果的總數(shù)如下表： 共種．
因?yàn)橄蛏系臄?shù)之和小于的結(jié)果有，，共種，
所以向上的數(shù)之和小于的概率，
從而向上的數(shù)的和不小于的概率．
故選：．
先求出基本事件總數(shù)，再利用列舉法求出所得的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)和小于包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出所得的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)和不小于的概率．
本題考查古典概型的概率和對(duì)立事件的概率，是基礎(chǔ)題．4.【答案】 【解析】【分析】本題考查相互獨(dú)立事件、古典概型及其概率計(jì)算，屬于較難題．
根據(jù)古典概型的概率公式分別求出、、、、、，結(jié)合相互獨(dú)立事件的定義即可判斷三個(gè)命題的真假．【解答】
解：從，，，中取隨機(jī)選出一個(gè)數(shù)字，記事件“取出的數(shù)字是或”，“取出的數(shù)字是或”，“取出的數(shù)字是或”，
，，，
，，，
對(duì)于命題，，
所以與相互獨(dú)立，故是真命題；
對(duì)于命題，，
所以與相互獨(dú)立，故是真命題；
對(duì)于，，
所以與相互獨(dú)立，故是真命題．
故選：．5.【答案】 【解析】解：由于向量是可自由平移的，所以向量共線，不一定向量所在的直線平行，故命題不正確；
同樣因?yàn)橄蛄渴强勺杂善揭频?，向?/span>所在的直線為異面直線，則向量也可能共面，故命題不正確；
三個(gè)向量兩兩共面，如直角坐標(biāo)系的三個(gè)基向量，它們不共面，故命題不正確；
由空間向量基本定理，可知，只有當(dāng)三個(gè)向量，不共面的時(shí)候，由它們做基底，才有后面的結(jié)論，故命題不正確．
即個(gè)命題都不正確．
故選：．
逐個(gè)判斷：向量是可自由平移的，命題、均不正確；舉反例，可證不正確，由空間向量基本定理，可知，命題不正確．
本題為判斷命題的真假，涉及向量共線與空間向量基本定理，屬基礎(chǔ)題．6.【答案】 【解析】解：在點(diǎn)處切線為，
可得，
則．
故選：．
由題意可得，再由導(dǎo)數(shù)的極限定義，可得所求值．
本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，以及導(dǎo)數(shù)的極限定義，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>滿足，令，
則，所以在上是減函數(shù)，
所以，即，
所以．
故選：．
由題令，進(jìn)而根據(jù)題意得在上是增函數(shù)，故，進(jìn)而得答案．
本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．8.【答案】 【解析】解：對(duì)于，由，求導(dǎo)得，
令，解得，可得下表：遞減極小值遞增則為函數(shù)的極小值點(diǎn)，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，由，求導(dǎo)得：，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
由，故函數(shù)有且只有個(gè)零點(diǎn)，故正確；
對(duì)于，由題意，等價(jià)于存在正實(shí)數(shù)，使得，
令，求導(dǎo)得，
令，則，
在上，，函數(shù)單調(diào)遞增；
在上，，函數(shù)單調(diào)遞減，
，，
在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，沒有最大值
不存在正實(shí)數(shù)，使得成立，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，令，則，，
令，
則，
在上單調(diào)遞減，則，即，
令，由，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，
則，當(dāng)時(shí)，顯然成立，故正確．
故選：．
對(duì)于，根據(jù)極大值點(diǎn)的定義，求導(dǎo)，研究導(dǎo)數(shù)與零的大小關(guān)系，可得答案；
對(duì)于，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)研究其單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，可得答案；
對(duì)于，采用變量分離，構(gòu)造函數(shù)，研究單調(diào)性與最值，可得答案；
對(duì)于，以直線為對(duì)稱軸，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)研究其單調(diào)性和最值，可得答案．
本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的極值，屬于中檔題．9.【答案】 【解析】【分析】本題考查命題真假的判斷，平均數(shù)、極差、中位數(shù)、方差的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
利用平均數(shù)、極差、中位數(shù)、方差的定義直接判斷各選項(xiàng)即可．【解答】
解：對(duì)于，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，故A正確；
對(duì)于，這組數(shù)據(jù)的極差是，故B正確；
對(duì)于，這組數(shù)據(jù)從小到大為，，，，，，
這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于，這組數(shù)據(jù)的方差是，故D錯(cuò)誤．
故選：．10.【答案】 【解析】解：由事件，，且，，知：
對(duì)于，如果，那么，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于，如果與互斥，那么，，故B正確；
對(duì)于，如果與相互獨(dú)立，
那么，
，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于，如果與相互獨(dú)立，
那么，
，故D正確．
故選：．
利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式、互斥事件概率加法公式、相互獨(dú)立事件概率乘法公式直接求解．
本題考查概率的求法，考查對(duì)立事件概率計(jì)算公式、互斥事件概率加法公式、相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．11.【答案】 【解析】解：由已知，每個(gè)瓶子的利潤，，
，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，A錯(cuò)誤；
又當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，B正確；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，C正確；
又，D正確．
故選：．
根據(jù)已知條件寫出利潤關(guān)于瓶子半徑的函數(shù)式，由于是的三次函數(shù)，所以可利用導(dǎo)數(shù)來分析和處理并回答問題．
本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．12.【答案】 【解析】解：，，
，，，
構(gòu)造，則，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，．
，，故A正確；
令，則，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
，，，故B正確；
當(dāng)時(shí)，則，，，
，故C錯(cuò)誤；
，，，
令，則，，，
設(shè)，，則，
令，，則，
可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則，
在上單調(diào)遞增，，
，故D正確．
故選：．
易知，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)可得，從而可判斷；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)推出可判斷；取可得，從而可判斷；消去可得，令，則，構(gòu)造，，利用導(dǎo)數(shù)即可判斷．
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，屬中檔題．13.【答案】 【解析】解：由頻率分布直方圖成績不低于的學(xué)生的頻率為
，
所以成績不低于分的學(xué)生人數(shù)是，
故答案為：．
首先計(jì)算成績不低于的兩個(gè)小矩形的面積之和，即成績不低于的學(xué)生的頻率，再乘以即可．
本題考查頻率分布直方圖，解題中注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．14.【答案】 【解析】解：
，
即，
解得．
故答案為：．
根據(jù)題意可得，代入數(shù)值即可得解．
本題考查相互獨(dú)立事件，互斥事件和對(duì)立事件的概率公式，屬于基礎(chǔ)題目．15.【答案】 【解析】解：，
又因?yàn)橹本€：過定點(diǎn)，令，
故在遞增，遞減，
，
則，，
不等式有且只有個(gè)正整數(shù)解等價(jià)于直線與有兩個(gè)交點(diǎn)分別在和，
故．
故答案為：
由題意，不等式變形為，用導(dǎo)數(shù)法研究的單調(diào)性，則不等式有且只有個(gè)正整數(shù)解等價(jià)于直線：與有兩個(gè)交點(diǎn)分別在和，即可求出的取值范圍．
本題考查了利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，也考查了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合，作出圖象是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．16.【答案】 【解析】解：設(shè)切點(diǎn)為，直線的斜率為，又，
則，所以切線方程為，
將代入化簡得，
所以方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
所以，且，所以或，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故答案為：．
設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再根據(jù)切線過點(diǎn)的切線有兩條，從而可得關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的根，由此即可得解．
本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．17.【答案】解：Ⅰ設(shè)事件表示“甲贏得比賽”，事件表示“乙贏得比賽”，
，
，
，
甲、乙二人中選派一人參加比賽，甲贏得比賽的概率更大．
Ⅱ甲、乙兩人都參加比賽，至少一人贏得比賽的對(duì)立事件是兩個(gè)人都沒有贏得比賽，
甲、乙兩人都參加比賽，至少一人贏得比賽的概率為：
． 【解析】Ⅰ利用相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式分別求出甲贏得比賽和乙贏得比賽的概率，由此能求出甲贏得比賽的概率更大．
Ⅱ利用相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式能求出甲、乙兩人都參加比賽，至少一人贏得比賽的概率．
本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．18.【答案】解：Ⅰ由頻率分布直方圖可得，
解得；
Ⅱ成績落在內(nèi)的頻率為，
落在內(nèi)的頻率為，
設(shè)第百分位數(shù)為，則落在區(qū)間內(nèi)，
由，得，
即第百分位數(shù)為；
Ⅲ由圖可知，成績在的市民人數(shù)為，
成績在的市民人數(shù)為，
故兩組成績的總平均數(shù)，
由樣本方差計(jì)算總體方差公式可得總方差為：
． 【解析】Ⅰ根據(jù)頻率分布直方圖中各個(gè)小矩形的面積之和為求解；
Ⅱ根據(jù)百分位數(shù)的定義求解；
Ⅲ根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式求解．
本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了百分位數(shù)的定義，以及平均數(shù)和方差的計(jì)算，屬于中檔題．19.【答案】解：
，
的最小正周期．
由，，
可得．
的單調(diào)遞增區(qū)間為．
，
，
，
，
函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>
由，又因?yàn)?/span>為銳角，
得．
由余弦定理，可得，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
，
的面積的最大值為． 【解析】先化簡，即可求出周期和遞增區(qū)間．
求出的范圍，根據(jù)圖像性質(zhì)即可求出答案．
先求出的大小，再根據(jù)余弦定理求出的范圍，最后求出結(jié)果．
本題主要考查了三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，以及余弦定理、面積公式和不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．20.【答案】解：Ⅰ等差數(shù)列的公差為正數(shù)，，
數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為，
，且，，
可得，，
解得，，
則，，
，；
Ⅱ，
前項(xiàng)和，
，
兩式相減可得
，
化簡可得，；
Ⅲ由，
可得，
則數(shù)列的前項(xiàng)和
，
則數(shù)列的前項(xiàng)和為，． 【解析】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查分組求和、錯(cuò)位相減法求和和裂項(xiàng)相消求和，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
Ⅰ等差數(shù)列的公差為正數(shù)，數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通項(xiàng)公式；
Ⅱ求得，運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可得；
Ⅲ求得，利用分組求和和裂項(xiàng)相消求和，化簡整理即可得數(shù)列的前項(xiàng)和．21.【答案】解：Ⅰ函數(shù)，
函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，
當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)變化時(shí)，和的值的變化情況如下表：遞減極小值遞增由上表可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，極小值是．
Ⅱ 由，得，
因?yàn)楹瘮?shù)為上的單調(diào)增函數(shù)，
則在上恒成立，
即不等式在上恒成立，
也即在上恒成立．
令，則，
當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，
，．
的取值范圍為． 【解析】本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值的求法，考查導(dǎo)數(shù)中的恒成立問題，屬于中檔題．
Ⅰ函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
Ⅱ由，得，函數(shù)為上的單調(diào)增函數(shù)，則在上恒成立，即在上恒成立，令，則，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)即可求出的取值范圍．22.【答案】解：由于，
若，，則須有，
又，，解得，
當(dāng)時(shí)，
在上單調(diào)遞增，，
當(dāng)時(shí)，由于，存在使得在上，，
單調(diào)遞減，此時(shí)，不成立，
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為；
證明：由得，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，不成立，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)，即，，單調(diào)遞增，不成立，
當(dāng)，即，，解得或，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，
不妨設(shè)，則，
要證明：，
故只需證，
只需證，
需證，
令，
則只需證，
由知，時(shí)，，
時(shí)，，
則，
又時(shí)，，
，
即成立，故原式得證． 【解析】由已知可得，可得，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，分析可得不成立；
，分，兩種情況，當(dāng)，即，，解得或，只需證，令，則只需證，由可證結(jié)論成立．
本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬難題．
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