第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 若直線過點,則此直線的傾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題知,直線過點,所以直線的斜率為,
記直線的傾斜角為,
所以,
所以.
故選：C.
2. 空間內有三點，，，則點到的中點的距離為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由、可得，
故.
故選：C.
3. 在等差數列{an}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，則a4+a5+a6等于（ ）
A. 40B. 42C. 43D. 45
【答案】B
【解析】設等差數列an的公差為，
因為，，所以，
則.
故選：B.
4. 已知正四棱柱中，，則到平面的距離為（ ）
A. 4B. 2
C. D.
【答案】D
【解析】設，連接，由題意，是中點，∴，
又，，平面，
所以平面，
作于點，如圖，則平面，∴，
而，平面，
所以平面，
正四棱柱中，側棱與底面垂直，則必垂直該底面上的直線，
中，，，因此，
所以，
所以到平面的距離為．
故選：D．
5. 已知離心率為2的雙曲線,過右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于、兩點,設、到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和,且,則雙曲線的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】設右焦點，依題意F是AB的中點，漸近線為，
F到漸近線的距離為 ，
因為、到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，F是AB的中點，所以，所以，故，得 ，
又因為離心率，得，
故雙曲線的方程為.
故選：A.
6. 已知是數列的前n項和，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因為，所以當時，.因為，所以.當時，
，兩式相減得.因為，
所以.因為，所以從第二項起是公比為的等比數列，
所以，所以
所以，，
所以.
故答案為：
7. 已知，，，其中，則下列選項正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，，，
，
∴a，b，c的大小比較可以轉化為的大小比較．
設，則，
當時，，當時，，當時，
在上，單調遞減，
,∴，
∴，
故選C．
8. 已知橢圓的焦點為，，是橢圓上一點，且,若的內切圓的半徑滿足，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題可知，
即，
在中，利用橢圓定義知，由余弦定理得
即，整理得
易得面積
又的內切圓的半徑為，利用等面積法可知，
所以
由已知，得，則，
即
在中，利用正弦定理知
即，又，整理得
兩邊同除以，則，解得或（舍去）
故選：C.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分. 在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.
9. 下列結論正確的是（ ）
A. 直線的方向向量，平面的法向量，則
B. 兩個不同的平面，的法向量分別是，，則
C. 若直線的方向向量，平面的法向量，若，則實數
D. 若，，，則點在平面內
【答案】BD
【解析】A因為，所以，故A錯誤；
B因為，所以，因此，故B正確；
C因為，所以，因此，即，故C錯誤；
D因為，所以向量共面，即點四點共面，
從而點P在平面ABC內，故D正確.
故選：.
10. 已知拋物線：的焦點為，過點的直線與拋物線相交于，兩點，下列結論正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則的最小值為4
C. 以線段為直徑的圓與直線相切
D. 若，則直線的斜率為1
【答案】AC
【解析】拋物線：的焦點為，準線，設點，
對于A，顯然在拋物線上，則，A正確；
對于B，，當且僅當時取等號，
當時，，有，因此當時取得最小值5，B不正確；
對于C，，線段AB的中點M縱坐標為，
則，顯然點M是以線段為直徑的圓的圓心，
點M到直線的距離為，所以圓M與直線相切，C正確；
對于D，顯然直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為：，
由消去y得：，有，
由得：，于是得，
解得，D不正確.
故選：AC
11. 已知無窮數列的前3項分別為2，4，8，…，則下列敘述正確的是（ ）
A. 若是等比數列，則
B. 若滿足，則
C. 若滿足，則
D. 若滿足，則
【答案】ACD
【解析】選項A，若an是等比數列，則公比，，A正確；
選項BC，若an滿足，則，B錯，C正確；
選項D，若an滿足，則，
所以時，，
又適合上式，因此D正確．
故選：ACD．
12. 已知函數的圖象在處切線的斜率為，則下列說法正確的是（ ）
A. B. f(x)在處取得極大值
C. 當時，D. f(x)的圖象關于點中心對稱
【答案】ABD
【解析】A：，由題意，得，正確；
B：，由得：或，易知在，上，f(x)為增函數，在上，f(x)為減函數，所以f(x)在處取得極大值，正確；
C：由B知：，，，故在上的值域為，錯誤；
D：令且為奇函數，則，而g(x)圖象關于中心對稱，所以f(x)關于中心對稱，正確；
故選：ABD.
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知拋物線的焦點為,點為拋物線上一點，則___________.
【答案】
【解析】因為點為拋物線上一點，所以，
解得：.
所以焦點.
所以.
故答案為：
14. 點到直線距離的最大值______.
【答案】
【解析】因為直線顯然過點，即，，
連接，若，則點到直線的距離為；
若不垂直，則點到直線的距離必小于，
綜上，點到直線距離最大值.

故答案為：.
15. 如圖，的二面角的棱上有，兩點，直線，分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于已知，，BD=7，則的長為____________.
【答案】
【解析】由已知，，,，
所以
，
所以,
故答案為：
16. 已知函數及其導函數的定義域均為,為奇函數，且則不等式的解集為__________．
【答案】
【解析】設，則，故單調遞減．
因為為奇函數，定義域為，所以，故．
可轉化為，即．
因為單調遞減，所以，解得．
故答案為：．
四、解答題：本題共6小題，共70分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
17. 已知圓的圓心為，且與直線相切.
（1）求圓的標準方程；
（2）設直線與圓M交于A，B兩點，求AB.
解：（1）因為圓心為，
所以圓心M到切線的距離= ，
所以半徑，
所以圓M的標準方程為：+；
（2）由題可知圓心M到直線的距離= ，
又由（1）知半徑，
所以=，
所以AB=．
18. 已知等差數列的前n項和為，且
（1）求數列的通項公式；
（2）若，求數列的前n項和.
解：（1）設數列an的公差為，則，
解得，
所以.
（2）由（1）得，
則，
，
兩式相減得：
，
所以.
19. 如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，點在棱上.
（1）證明：平面平面；
（2）當時，求二面角的余弦值.
解：（1）因為底面，平面，所以.
四邊形是直角梯形，，，
因為，所以.
所以，所以.
又因為，平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）解法一：
以點為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則.
設點的坐標為，因為，所以，
即，所以.
所以.
設平面的一個法向量為，
則，
取，則，得.
又因為平面，
所以平面的一個法向量為.
設平面與平面的夾角為，
則.
所以，二面角的余弦值為.
解法二：
取的中點，連接，以點為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則.
設點的坐標為，因為，所以，
即，所以.
所以.
設平面的一個法向量為，則.
取，則，則.
又因為平面，所以平面的一個法向量為.
設平面與平面的夾角為，
則.
所以二面角的余弦值為.
20. 牧草再生力強，一年可收割多次，富含各種微量元素和維生素，因此成為飼養(yǎng)家畜的首選.某牧草種植公司為提高牧草的產量和質量，決定在本年度(第一年)投入80萬元用于牧草的養(yǎng)護管理，以后每年投入金額比上一年減少，本年度牧草銷售收入估計為60萬元，由于養(yǎng)護管理更加精細，預計今后的牧草銷售收入每年會比上一年增加.
（1）設n年內總投入金額為萬元，牧草銷售總收入為萬元，求的表達式；
（2）至少經過幾年，牧草銷售總收入才能超過總投入? ()
解：（1）由題知，每年的追加投入是以為首項，為公比的等比數列，
所以，；
同理，每年牧草收入是以為首項，為公比的等比數列，
所以，.
（2）設至少經過年，牧草總收入超過追加總投入，即，
即，
令，則上式化為，
即，
解得，即，所以，，
即，
所以.
所以，至少經過年，牧草總收入超過追加總投入.
21. 已知函數．
（1）討論函數的單調性；
（2）求證：當時，．
解：（1）因為，
所以．
①當時，在單調遞減；
②當時，由得，
由得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增．
綜上，當時，在單調遞減；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增．
（2）當時，，
要證明，只要證，即證，
設，則，令得，列表得
所以，即，所以．
22. 已知橢圓離心率等于，長軸長為4.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線與軌跡交于兩點，為坐標原點，直線的斜率之積等于，試探究的面積是否為定值，并說明理由.
解：（1）由題意得，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）設，聯立直線和橢圓方程可得：，
消去可得：，
所以，即，
則，
，
，
把韋達定理代入可得：，
整理得，
又，
而點到直線的距離，
所以，
把代入，則，
可得是定值1．
a
1
0
單調遞減
極小值
單調遞增

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