第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 經(jīng)過兩點的直線的傾斜角為（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】D
【解析】因為直線經(jīng)過，
所以經(jīng)過該兩點的直線的斜率為，
設直線的傾斜角為，則，
因為，所以，
故選：D
2. 已知圓：，圓：，則兩圓的位置關系為（ ）
A. 內(nèi)切B. 相交C. 外切D. 外離
【答案】B
【解析】由題意圓：即圓：的圓心，
半徑分別為，
圓：即圓：的圓心，
半徑分別為，
所以兩圓的圓心距滿足，
所以兩圓的位置關系為相交.故選：B.
3. 在平行六面體中，為的中點，若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由題意可作出平行六面體，如圖，
則，
即，故A正確.
故選：A.
4. 雙曲線的焦點到漸近線的距離為（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】由題意可知雙曲線，則焦點坐標，漸近線方程為，
不妨取焦點，漸近線，
所以焦點到漸近線的距離為，故B正確.
故選：B.
5. 已知函數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題意得，所以.
故A正確.
故選：A.
6. 把正方形紙片沿對角線折成直二面角，為的中點，為的中點，是原正方形的中心，則折紙后的余弦值大小為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如圖，連接,則,過點作,垂足為，連接.
因平面平面,且平面平面，平面，故得：平面，
又平面,則.設正方形的邊長為4，則,
在中，由余弦定理可得：,
在中，,又,
設,在中，由余弦定理：.
故選：C.
7. 數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一個數(shù)列1，1，2，3，5，8其中從第項起，每一項都等于它前面兩項之和，即，，這樣的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，則下列各式中正確的選項為（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】A選項，，所以A選項錯誤.
B選項，
，所以B選項錯誤
C選項，
，所以C選項錯誤.
D選項，
，
所以D選項正確.
故選：D
8. 設橢圓的左焦點為，點在橢圓外，，在橢圓上，且是線段的中點. 若橢圓的離心率為，則直線，的斜率之積為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】取橢圓的右焦點為，連接，，如下圖所示，

由題意可知，點為橢圓的左焦點，
因為點、，易知點為線段的中點，
又因為為的中點，所以，
取線段的中點，連接，則，
所以，則，所以，
設點、，則點，
所以，兩個等式作差可得，可得，
所以，
因為橢圓離心率為，得，
所以，即，故B正確.
故選：B.
二?選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 下列說法中正確的是（ ）
A. 直線在軸上的截距是
B. 直線恒過定點
C. 點關于直線對稱的點為
D. 過點且在軸?軸上的截距相等的直線方程為
【答案】BC
【解析】對于A項，由可得：，可得直線在軸上的截距是，故A項錯誤；
對于B項，由可得：，因，則有：，
故直線恒過定點，故B項正確；
對于C項，不妨設,直線，因直線的斜率為與直線的斜率為1的乘積為，則得,
又由點到直線距離為與點到直線的距離為相等，且在直線的兩側，故點關于直線對稱的點為，即C項正確；
對于D項，因過點且在軸?軸上的截距相等的直線還有，故D項錯誤.
故選：BC.
10. “中國剩余定理”又稱“孫子定理”，此定理講的是關于整除的問題.現(xiàn)將1到500這500個數(shù)中能被2除余1且被3除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構成數(shù)列，其前項和為，則（ ）
A. B.
C. D. 數(shù)列共有84項
【答案】ACD
【解析】1到500這500個數(shù)中能被2除余1的數(shù)有：1，3，5，7……499，
1到500這500個數(shù)中能被3除余1的數(shù)有：1，4，7……499，
由題意現(xiàn)將1到500這500個數(shù)中能被2除余1且被3除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，
構成首項為1，末項為499，公差為6的等差數(shù)列，
所以，
所以，，，數(shù)列共有84項.
故選：ACD.
11. 已知拋物線：的焦點為，點為拋物線上一動點，點，則（ ）
A. 拋物線的準線方程為
B. 的最小值為5
C. 當時，則拋物線在點處的切線方程為
D. 過的直線交拋物線于兩點，則弦的長度為16
【答案】ABD
【解析】對于A，由題意拋物線：的準線方程為，故A正確；
對于B，如圖所示：
過點向準線作垂線，設垂足為點，過點向準線作垂線，設垂足為點，
所以，
等號成立當且僅當點與點重合，點為與拋物線的交點，故B正確；
對于C，切點為，且切線斜率存在，所以設切線方程為，
聯(lián)立拋物線方程得，
所以，解得，
所以當時，則拋物線在點處的切線方程為，故C錯誤；
對于D，由題意，
所以，
所以直線，
即，聯(lián)立拋物線方程得，
所以，，故D正確.
故選：ABD.
12. 已知 ，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】因為，即．
令，則有，
則，令，則，
令，可得，
當時，，函數(shù)單調遞增，
當時，，函數(shù)單調遞減，
故，
所以總有，故單調遞減；所以，即；
對于A，，故A錯誤；
對于B，設，則，
故在上單調遞增，所以，
所以，因為，所以，故B正確；
對于C，，即．
設，則，
則，所以單調遞增．
因為，所以，故C正確；
對于D，，即，
令，則，
因為，所以為偶函數(shù)，
所以即為．
則，令，則，所以單調遞增．
又，
所以當時，，，函數(shù)單調遞減；
當時，，，函數(shù)單調遞增，
當時，，故D錯誤；
故選：BC.
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知，則__________．
【答案】
【解析】由，得.
故答案為：
14. 已知正項等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列，則_______．
【答案】
【解析】設數(shù)列的公比為，
由題意知，，成等差數(shù)，則，即，
解得或（舍），
所以數(shù)列的通項公式為，則.
故答案為：.
15. 若直線與單位圓和曲線均相切，則直線的方程可以是___________.（寫出符合條件的一個方程即可）
【答案】（寫出符合條件的一個方程即可）
【解析】易知直線的斜率存在，設直線方程為：，
由消去y得：，
則，化簡得，
由，消去y得：，
則，化簡得，
由，解得，則，
所以直線方程為：，
故答案為：（寫出符合條件的一個方程即可）
16. 已知函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍______.
【答案】
【解析】由求導可得：
當時，，在上單調遞增，所以至多有一個零點．
當時，由可得：，由可得：，故函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，當時，取得最小值，
．
令，，則，所以，在上單調遞減．
又，所以要使，即，則．
又因，
所以在上有一個零點．
又
令，，則，所以在上單調遞增，
因為，所以，所以，所以．
所以在上也有一個零點．
綜上所述，a的取值范圍是．
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知函數(shù)（為常數(shù)），曲線在點處的切線平行于直線.
（1）求的值；
（2）求函數(shù)的極值.
解：（1），
∵在點處的切線平行于直線，
∴，∴；
（2）由（1）可得，
令得或，列表如下：
∴極大值為，極小值為.
18. 已知的三個頂點，，．
（1）求邊上中線所在直線的方程；
（2）已知點滿足，且點在線段的中垂線上，求點的坐標．
解：（1）由題意中點，
所以所在直線的斜率，
所以所在直線的方程為，
即邊中線所在直線的方程；
（2）因為，，所以，
，所以直線的方程為，即，
設點到直線的距離，則由題意，
所以點到直線距離，
則點所在直線方程為或，
因為，，
所以，線段中點坐標為，
所以線段的中垂線為，
即，
所以聯(lián)立或，
所以點的坐標為：或.
19. 已知數(shù)列的首項，且滿足.
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）若，求正整數(shù)的最大值.
解：（1）易知各項均為正，對兩邊同時取倒數(shù)得，
即，
因為，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）知，
所以，
顯然單調遞增，
且，
所以的最大值為4046.
20. 如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形,,,平面平面,是邊長為2的正三角形,，，.

（1）若平面，求的值；
（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.
解：（1）分別取中點，連接，
由已知底面是直角梯形，，，，
易得，
∵平面平面，平面平面，面，
∴平面，又因為平面，
所以，
以為中心，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，
則，
∵，
∴，
顯然是平面的一個法向量，
若平面，則，即；
（2）若，則，
由（1），
所以，
所以，
設分別為平面與平面的一個法向量，
所以或，
令，解得，
則，

設平面與平面的夾角為，
故，
即平面與平面的夾角的余弦值為.
21. 已知函數(shù)
（1）討論的單調性；
（2）當，證明：.
解：（1）定義域為，
則，
①當時，，在上單調遞增；
②當時，當時，，在上單調遞增，
當時，，在上單調遞減，
綜上，①當時，在上單調遞增，
②當時，在上單調遞增，在上單調遞減.
（2）由（1）可得，當時，
要證，只需證，
即證恒成立.
令，則恒成立，
設，則，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
∴的最大值為，
所以，
所以恒成立，
∴原命題得證.，即：當時，.
22. 已知橢圓過點，離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點的直線與橢圓交于兩點，直線分別與軸交于兩點，求證：中點為定點．
解：（1）因為橢圓過點，離心率為，
所以，解得，
所以，橢圓的方程為.
（2）顯然直線斜率存在，設方程為，，
聯(lián)立方程
得，
，
由直線方程為，直線方程為，
得，
.
中點為定點．3
+
0
0
+
↗
極大值
↘
極小值
↗

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