1. 下列命題是公理的是（ ）
A.平行于同一個平面的兩個平面互相平行
B.垂直于同一條直線的兩條直線互相平行
C.如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線
D.空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)

2. 四個頂點不在同一平面上的四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA上的點，如果直線EF，GH交于點P，那么（ ）
A.點P一定在直線AC上B.點P一定在直線BD上
C.點P一定在平面ABC外D.點P一定在平面BCD內(nèi)

3. 已知兩條不同的直線l，m和兩個不同的平面α，β，下列四個命題中錯誤的為（ ）
A.若l // α，l⊥β，則α⊥βB.若α // β，m⊥α，則m⊥β
C.若α∩β＝m，l // α且l // β，則l // mD.若α // β，m // α，則m // β

4. 有下列四個條件：①a?β，b?β，a // b； ②b?β，a // b；③a // b // c，b?β，c?β； ④a、b是異面直線，a // c，b?β，c?β．其中能保證直線a // 平面β的條件是（ ）
A.①②B.①③C.①④D.②④

5. 如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，PA＝1，則側(cè)面PCD與底面ABCD所成的二面角的大小是（ ）

A.30°B.45°C.60°D.90°

6. 長方體ABCD?A1B1C1D1，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，則異面直線A1B1與AC1所成角的余弦值為（ ）
A.B.C.D.

7. 《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．若四棱錐P?ABCD為陽馬，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，AD＝4，二面角P?BC?A為60°，則四棱錐P?ABCD的外接球的表面積為（ ）
A.16πB.20πC.πD.32π

8. 已知異面直線a，b所成的角為50°，過空間一定點P最多可作n條直線與直線a，b均成θ角，則下列判斷不正確的是（ ）
A.若θ＝65°時，n＝3B.當(dāng)n＝1時，θ只能為25°
C.當(dāng)θ＝30°時，n＝2D.當(dāng)θ＝75°時，n＝4

9. 在棱長為2的正方體AC1中，點M為DD1中點，點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上移動，并且總是保持AP⊥BM，則動點P的軌跡的長度為（ ）

A.2B.C.D.

10. 如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1，則下列四個命題：
①點P在直線BC1上運(yùn)動時，直線AP與直線A1D所成角的大小不變；
②點P在直線BC1上運(yùn)動時，直線AP與平面ACD1所成角的大小不變；
③點P在直線BC1上運(yùn)動時，二面角P?AD1?C的大小不變；
④點P在直線BC1上運(yùn)動時，三棱錐A?D1PC的體積不變．
其中的真命題是（ ）

A.①③B.③④C.①②④D.①③④
二、填空題（本大題共7小題）

某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長的棱長為________，體積為________．


如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，，AD＝2，則四邊形ABCD繞直線AD旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積是________，體積是________．


直三棱柱ABC?A1B1C1的底面是直角三角形，側(cè)棱長等于底面三角形的斜邊長，若其外接球的體積為32π3，則該三棱柱體積的最大值為________，此時三柱的底面面積為________．

如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱，PA⊥PD，底面ABCD為直角梯形，其中BC // AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O為AD的中點．

（1）則直線PB與平面POC所成角的余弦值為________；

（2）則B點到平面PCD的距離為________．

如圖，三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中點，已知PA＝BC＝2，AB＝4，BC⊥AB，則異面直線PC，AD所成角的余弦值為________．


已知△ABC內(nèi)接于球O的一個截面圓中，AB＝6，AC＝8，cs∠CBA=35，且球面上的點到面ABC的距離的最大值為7+26，則球O的表面積為________．

如圖，四棱錐P?ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2，四棱錐外接球的球心為O，點E是棱AD上的一個動點．給出如下命題：①直線PB與直線CE所成的角中最小的角為45°；
②BE與PC一定不垂直；
③三棱錐E?BCO的體積為定值；
④CE+PE的最小值為22．
其中正確命題的序號是________．（將你認(rèn)為正確的命題序號都填上）

三、解答題（本大題共5大題）

如圖，在三棱錐A?BCD中，點E，F(xiàn)，M，N分別為相應(yīng)棱的中點．

（1）求證：四邊形EFMN為平行四邊形．

（2）若AC=BD=2，EM＝2，求異面直線AC與BD所成的夾角．

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求證：

（1）直線DE // 平面A1C1F：

（2）直線B1D⊥平面A1C1F．

如圖，△ACD中，AD＝CD，Rt△ABC中，AB＝BC＝4，現(xiàn)將△ACD沿著AC邊折起．
(Ⅰ)求證：AC⊥BD；
(Ⅱ)若二面角D?AC?B的大小為150°時，BD＝4，求△BCD的中線BM與平面ABC所成角的正弦值．


如圖，直二面角D?AB?E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE⊥平面BCE；

（2）求二面角B?AC?E的正弦值；

（3）求三棱錐E?ACD的體積．

如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，側(cè)面PAB為等腰直角三角形，∠APB＝90°，底面ABCD為直角梯形，AB // CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC．

（1）求直線PC與平面ABP所成角的正弦值；

（2）若F為線段PA上一點，且滿足PC // 平面FBD，求的值．
參考答案與試題解析
2020-2021學(xué)年浙江省寧波市高二（上）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（10月份）
一、選擇題（本大題共10小題）
1.
【答案】
C
【考點】
平面的基本性質(zhì)及推論
【解析】
由所學(xué)知識可知A，D為定理，C為公理，再判斷B錯誤得答案．
【解答】
A，D為定理，不是公理；
對于B，垂直于同一條直線的兩條直線可能平行、也可能相交、也可能異面，故B錯誤；
C是教材中給出的公理．
2.
【答案】
A
【考點】
平面的基本性質(zhì)及推論
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
3.
【答案】
D
【考點】
命題的真假判斷與應(yīng)用
空間中直線與平面之間的位置關(guān)系
空間中直線與直線之間的位置關(guān)系
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
4.
【答案】
C
【考點】
直線與平面平行
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
5.
【答案】
B
【考點】
二面角的平面角及求法
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
6.
【答案】
A
【考點】
異面直線及其所成的角
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
7.
【答案】
D
【考點】
球的表面積和體積
球內(nèi)接多面體
柱體、錐體、臺體的體積計算
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
8.
【答案】
B
【考點】
異面直線及其所成的角
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
9.
【答案】
C
【考點】
軌跡方程
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
10.
【答案】
D
【考點】
命題的真假判斷與應(yīng)用
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
二、填空題（本大題共7小題）
【答案】
,
【考點】
由三視圖求體積
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
【答案】
4（+15)π,
【考點】
旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
【答案】
42,2
【考點】
棱柱、棱錐、棱臺的體積
【解析】
設(shè)三棱柱底面直角三角形的直角邊為a，b，則棱柱的高?=a2+b2，由外接球的體積為32π3求得半徑，可得2?=2r=4，即?=22，則a2+b2=?2=8≥2ab，得到ab≤4，代入三棱柱的體積公式得三棱柱體積的最大值，并求得對應(yīng)的棱柱的底面積．
【解答】
設(shè)三棱柱底面直角三角形的直角邊為a，b，則斜邊長為a2+b2，
即棱柱的高?=a2+b2，
設(shè)外接球的半徑為r，則43πr3=32π3，解得r=2，
∵ 上下底面三角形斜邊的中點連線的中點是該三棱柱的外接球的球心，
且側(cè)棱長等于底面三角形的斜邊長，∴ 2?=2r=4，則?=22，
∴ a2+b2=?2=8≥2ab，則ab≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時“=”成立．
∴ 三棱柱的體積V＝S?＝12ab??=2ab≤42．
即該三棱柱體積的最大值為42，此時三棱柱的底面面積為s=12ab＝2．
【答案】
【考點】
直線與平面所成的角
點、線、面間的距離計算
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
【答案】
【考點】
異面直線及其所成的角
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
【答案】
196π
【考點】
球的表面積和體積
球內(nèi)接多面體
正弦定理
【解析】
由∠CBA的余弦值求出其正弦值，在三角形中由正弦定理求出三角形ABC的外接圓的半徑，當(dāng)P，O，O1三點共線時，球面上的點P到面ABC的距離的最大，在三角形中由勾股定理可得外接球的半徑R，進(jìn)而求出球的表面積．
【解答】
設(shè)截面ABC的外接圓的圓心為O1，連接O1B，OB，做直線OO1交球于P，O在線段PO1上時，球面上的點到面ABC的距離的最大，即PO1＝7+26，
設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r，球的半徑為R，則r＝O1B，R＝OB，
在△ABC中AB＝6，AC＝8，cs∠CBA=35，所以sin∠CBA=1?cs2∠CBA=45，
由正弦定理可得2r=ACsin∠CBA=845=10，所以r＝5，
在△OO1B中，R2＝r2+OO12＝52+(7+26?R)2，解得R＝7，
所以求O的表面積S＝4πR2＝196π．
【答案】
①③④
【考點】
棱錐的結(jié)構(gòu)特征
命題的真假判斷與應(yīng)用
【解析】
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)E(0, t, 0)，t∈[0, 2]．
①利用向量夾角公式可得cs=12×1+(t?2)2，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出異面直線直線PB與直線CE所成的角中最小的角；
②令BE→?PC→=0，解得t，即可判斷出正誤；
③由四棱錐外接球的球心為PC的中點，可得球的半徑R=12PC．△BCE的面積=12AB×BC．即可得出三棱錐E?BCO的體積，進(jìn)而判斷出正誤；
④把三角形PAD剪開折疊到與矩形ABCD在同一個平面內(nèi)，可得：當(dāng)三點P，E，C共線時，CE+PE取得最小值為PC．
【解答】
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，P(0, 0, 1)，C(1, 2, 0)，設(shè)E(0, t, 0)，t∈[0, 2]．
A(0, 0, 0)，A(0, 0, 0)，
①PB→=(1, 0, ?1)，CE→=(1, t?2, 0)，cs=12×1+(t?2)2≤22，可得：≥45°．因此異面直線直線PB與直線CE所成的角中最小的角為45°，正確；
②BE→=(?1, t, 0)，PC→=(1, 2, ?1)，令BE→?PC→=?1+2t=0，解得t=12，因此BE與PC可能垂直，因此②不正確；
③∵ 四棱錐外接球的球心為PC的中點，可得球的半徑R=12PC=1212+12+22=62．△BCE的面積=12×1×2=1．
∴ 三棱錐E?BCO的體積=13×62×1=66為定值，因此③正確；
④把三角形PAD剪開折疊到與矩形ABCD在同一個平面內(nèi)，可得：當(dāng)三點P，E，C共線時，CE+PE取得最小值為PC=22+22=22，因此正確．
三、解答題（本大題共5大題）
【答案】
證明：∵ 點E，F(xiàn)，M，N分別為相應(yīng)棱的中點，
∴ MN // AC，MN=12AC，EF // AC，EF=12AC，
∴ MN // EF，MN=EF，
∴ 四邊形EFMN為平行四邊形．
∵ 點E，F(xiàn)，M，N分別為相應(yīng)棱的中點，
∴ MN // AC，MF // BD，且MN=12AC=1，EN=MF=12BD=1，
∴ ∠FMN或其補(bǔ)角即為異面直線AC與BD所成的夾角，
在△MNE中，有MN2+EN2=EM2，即∠MNE=90°，
由（1）知，四邊形EFMN為平行四邊形，
∴ ∠FMN=180°?∠MNE=90°，
故異面直線AC與BD所成的夾角為90°．
【考點】
異面直線及其所成的角
直線與平面平行
【解析】
（1）結(jié)合中位線的性質(zhì)和平行四邊形的判定定理，即可得證；
（2）由MN // AC，MF // BD，知∠FMN或其補(bǔ)角即為所求，再由勾股定理的逆定理和平行四邊形的性質(zhì)，即可得解．
【解答】
證明：∵ 點E，F(xiàn)，M，N分別為相應(yīng)棱的中點，
∴ MN // AC，MN=12AC，EF // AC，EF=12AC，
∴ MN // EF，MN=EF，
∴ 四邊形EFMN為平行四邊形．
∵ 點E，F(xiàn)，M，N分別為相應(yīng)棱的中點，
∴ MN // AC，MF // BD，且MN=12AC=1，EN=MF=12BD=1，
∴ ∠FMN或其補(bǔ)角即為異面直線AC與BD所成的夾角，
在△MNE中，有MN2+EN2=EM2，即∠MNE=90°，
由（1）知，四邊形EFMN為平行四邊形，
∴ ∠FMN=180°?∠MNE=90°，
故異面直線AC與BD所成的夾角為90°．
【答案】
∵ D，E分別為AB，BC的中點，
∴ DE為△ABC的中位線，
∴ DE // AC，
∵ ABC?A1B1C1為棱柱，
∴ AC // A1C1，
∴ DE // A1C1，
∵ A1C1?平面A1C1F，且DE?平面A1C1F，
∴ DE // 平面A1C1F；
由題意，A1C1⊥平面A1B，B1D?平面A1B，
∴ B1D⊥A1C1，
∵ A1F⊥B1D，A1F∩A1C1＝A1，
∴ B1D⊥平面A1C1F．
【考點】
直線與平面平行
直線與平面垂直
【解析】
（1）通過證明DE // AC，進(jìn)而DE // A1C1，據(jù)此可得直線DE // 平面A1C1F1；
（2）證明B1D⊥A1C1，利用A1F⊥B1D，A1F∩A1C1＝A1，即可證明B1D⊥平面A1C1F．
【解答】
∵ D，E分別為AB，BC的中點，
∴ DE為△ABC的中位線，
∴ DE // AC，
∵ ABC?A1B1C1為棱柱，
∴ AC // A1C1，
∴ DE // A1C1，
∵ A1C1?平面A1C1F，且DE?平面A1C1F，
∴ DE // 平面A1C1F；
由題意，A1C1⊥平面A1B，B1D?平面A1B，
∴ B1D⊥A1C1，
∵ A1F⊥B1D，A1F∩A1C1＝A1，
∴ B1D⊥平面A1C1F．
【答案】
（1）證明：取AC的中點O，連接OB，
由題意可知，AD＝CD，
AB＝BC，則OB⊥AC，
又OB∩OD＝O，∴ AC⊥平面BOD，
則AC⊥BD；
（2）由(Ⅰ)可知，二面角D?AC?B的平面角即∠BOD＝150°，
又BD＝4，∠BOD＝150°，
由余弦定理求得BD8＝OB2+OD2?8?OB?OD?cs150°，
解得：OD＝，
在Rt△ABC中，由AB＝BC＝2，
可得AO＝4，則AD＝
∴ △ACD是正三角形．
在△BCD中，由BC＝，CD＝8，
得cs∠BCD＝，
BM＝＝．
∵ M為CD的中點，∴ 點M到平面ABC的距離即為點D到平面ABC距離的一半．
即?M＝．
記所求線面角為θ，則sinθ＝＝．
【考點】
直線與平面所成的角
直線與平面垂直
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
【答案】
解：（1）∵ BF⊥平面ACE．∴ BF⊥AE
∵ 二面角D?AB?E為直二面角．且CB⊥AB．
∴ CB⊥平面ABE∴ CB⊥AE
∵ BF∩CB=B
∴ AE⊥平面BCE
（2）連接BD交AC交于G，連接FG
∵ 正方形ABCD邊長為2．∴ BG⊥AC，BG=2
∵ BF⊥平面ACE．由三垂線定理的逆定理得
FG⊥AC．∴ ∠BGF是二面B?AC?E的平面角
由（1）和AE⊥平面BCE
又∵ AE=EB∴ 在等腰直角三角形AEB中，BE=2
又∵ Rt△BCE中，EC=BC2+BE2=6
BF=BC×BEEC=2×26=233∴ Rt△BFG中sin∠BGF=BFFG=2332=63
∴ 二面角B?AC?E的正弦值等于63
（3）過點E作EO⊥AB交AB于點O，OE=1
∵ 二面角D?AB?E為直二面角，∴ EO⊥平面ABCD
∴ VE?ACD=13S△ACD?EO=13?12?AD?DC?EO=23
【考點】
直線與平面垂直的判定
柱體、錐體、臺體的體積計算
二面角的平面角及求法
【解析】
（1）欲證AE⊥平面BCE，由題設(shè)條件知可先證BF⊥AE，CB⊥AE，再由線面垂直的判定定理得出線面垂直即可；
（2）求二面角B?AC?E的正弦值，需要先作角，連接BD交AC交于G，連接FG，可證得∠BGF是二面B?AC?E的平面角，在△BFG中求解即可；
（3）由題設(shè)，底面三角形ACD的面積易求，關(guān)鍵是求高，過點E作EO⊥AB交AB于點O，求得OE的長度即可，易求．
【解答】
解：（1）∵ BF⊥平面ACE．∴ BF⊥AE
∵ 二面角D?AB?E為直二面角．且CB⊥AB．
∴ CB⊥平面ABE∴ CB⊥AE
∵ BF∩CB=B
∴ AE⊥平面BCE
（2）連接BD交AC交于G，連接FG
∵ 正方形ABCD邊長為2．∴ BG⊥AC，BG=2
∵ BF⊥平面ACE．由三垂線定理的逆定理得
FG⊥AC．∴ ∠BGF是二面B?AC?E的平面角
由（1）和AE⊥平面BCE
又∵ AE=EB∴ 在等腰直角三角形AEB中，BE=2
又∵ Rt△BCE中，EC=BC2+BE2=6
BF=BC×BEEC=2×26=233∴ Rt△BFG中sin∠BGF=BFFG=2332=63
∴ 二面角B?AC?E的正弦值等于63
（3）過點E作EO⊥AB交AB于點O，OE=1
∵ 二面角D?AB?E為直二面角，∴ EO⊥平面ABCD
∴ VE?ACD=13S△ACD?EO=13?12?AD?DC?EO=23
【答案】
平面PAB⊥平面ABCD，且AB⊥BC，
∴ BC⊥平面ABP，則∠CPB即為直線PC與平面ABP所成角，
設(shè)BC＝a，則AB＝2a，可得CP＝，
則直角三角形CBP中，有sin，
∴ 直線PC與平面ABP所成角的正弦值為；
F為PA上的一點，連接BF，設(shè)AC交BD于點O，
∵ PC // 平面FBD，∴ PC // FO，則．
∵ △COD∽△AOB，∴ ，可得，
即＝．
【考點】
直線與平面所成的角
直線與平面平行
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答

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