2023-2024學(xué)年福建省三明重點(diǎn)中學(xué)高一（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.下列關(guān)系正確的是(    )A.  B.  C.  D. 2.已知集合，或，則(    )A.  B.
C.  D. 3.如圖中的文物叫做“垂鱗紋圓壺”，是甘肅禮縣出土的先秦時(shí)期的青銅器皿，其身流線自若、紋理分明，展現(xiàn)了古代中國(guó)精湛的制造技術(shù)．科研人員為了測(cè)量其容積，以恒定的流速向其內(nèi)注水，恰好用時(shí)秒注滿，設(shè)注水過(guò)程中，壺中水面高度為，注水時(shí)間為，則下面選項(xiàng)中最符合關(guān)于的函數(shù)圖象的是(    )
 A.  B.
C.  D. 4.已知函數(shù)，如表所示，則不等式的解集為(    )  A.  B.  C.  D. 5.已知，，則與的大小關(guān)系是(    )A.  B.  C.  D. 6.已知函數(shù)，則(    )A.  B.  C.  D. 7.已知函數(shù)，若在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 8.已知函數(shù)滿足對(duì)任意，，當(dāng)時(shí)，恒成立，若，則不等式的解集為(    )A.  B.  C.  D. 二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.如圖是函數(shù)的圖像，則下列說(shuō)法正確的是(    )

 A.  B. 的定義域?yàn)?/span>
C. 的值域?yàn)?/span> D. 若，則或10.下面命題正確的是(    )A. “”是“”的充分不必要條件
B. 命題“，”的否定是“，”
C. 當(dāng)時(shí)，的最小值為
D. 設(shè)、，則“”是“”的必要不充分條件11.給出以下四個(gè)判斷，其中正確的是(    )A. 函數(shù)的值域?yàn)?/span>
B. 若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
C. 函數(shù)定義域，值域，則滿足條件的有個(gè)
D. 若函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的值為12.九章算術(shù)中“勾股容方”問(wèn)題：“今有勾五步，股十二步，問(wèn)勾中容方幾何？”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在其九章算術(shù)注中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個(gè)問(wèn)題的一般解法：如圖，用對(duì)角線將長(zhǎng)和寬分別為和的矩形分成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形再分成一個(gè)內(nèi)接正方形黃和兩個(gè)小直角三角形朱、青將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖所示的矩形，該矩形長(zhǎng)為，寬為內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖，設(shè)為斜邊的中點(diǎn)，作直角三角形的內(nèi)接正方形的對(duì)角線，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則下列推理正確的是(    )
A. 由題圖和題圖面積相等得
B. 由可得
C. 由可得
D. 由可得三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的值為______ ．14.函數(shù)的定義域?yàn)?/span>______ ．15.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是______ ．16.表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，，，已知且滿足，則 ______ ．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.本小題分
已知函數(shù)．
若，求；
用定義法證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．18.本小題分
已知全集，集合，．
當(dāng)時(shí)，求；
在；“”是“”的必要不充分條件；，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到橫線處，若_____，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19.本小題分
設(shè)．
若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
解關(guān)于的不等式．20.本小題分

某種植戶要倚靠院墻建一個(gè)高的長(zhǎng)方體溫室用于育苗，至多有的材料可用于面墻壁和頂棚的搭建，設(shè)溫室中墻的邊長(zhǎng)分別為，，如圖所示．
寫出：，滿足的關(guān)系式；
求溫室體積的最大值．
21.本小題分
已知定義在上的函數(shù)，滿足，，且對(duì)于任意，都有．
Ⅰ求；
Ⅱ若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22.本小題分
已知函數(shù)，．
若的解集為，求的值；
若對(duì)，總，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：選項(xiàng)A：因?yàn)?/span>是集合中的元素，所以，表示的符號(hào)不正確，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：因?yàn)?/span>是任何集合的子集，所以，表示的符號(hào)不正確，故B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：因?yàn)?/span>中含有元素、，而且還有其它元素，所以，故C正確；
選項(xiàng)D：因?yàn)?/span>是無(wú)理數(shù)，而是有理數(shù)集，所以，故D錯(cuò)誤．
故選：．
根據(jù)元素與集合、集合與集合的關(guān)系進(jìn)行判斷，即可得到本題的答案．
本題主要考查了集合的表示法、元素與集合的關(guān)系、集合的包含關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】 【解析】解：因?yàn)榧?/span>，或，則．
故選：．
利用補(bǔ)集的定義可求得集合A.
本題主要考查了集合補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3.【答案】 【解析】解：由文物的形狀知，兩頭細(xì)中間粗，
在注水過(guò)程中，以恒定的流速向其內(nèi)注水，前段部分注水高度逐漸遞增，但增長(zhǎng)速度逐步變慢，
當(dāng)超過(guò)中間部分，注水高中繼續(xù)遞增，但增長(zhǎng)速度逐步變快，
對(duì)應(yīng)圖象滿足條件，
故選：．
根據(jù)文物形狀，結(jié)合注水速度，判斷水面高度增長(zhǎng)變化關(guān)系進(jìn)行判斷即可．
本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，根據(jù)條件判斷注水高度的增長(zhǎng)速度是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．4.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
故當(dāng)或時(shí)，，即不等式不等式的解集為；
故選：．
根據(jù)題意，由函數(shù)的定義，分析的值，驗(yàn)證是否成立，由此可得不等式的解集，即可得答案．
本題考查函數(shù)的定義，涉及不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．5.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>，，
則，
所以．
故選：．
利用作差法可得出與的大小關(guān)系．
本題主要考查了不等式大小的比較，屬于基礎(chǔ)題．6.【答案】 【解析】解：由，設(shè)，則
所以，
所以．
故選：．
利用換元法求得函數(shù)的解析式．
本題考查利用換元法求解函數(shù)解析式，屬于基礎(chǔ)題．7.【答案】 【解析】【分析】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查常見(jiàn)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
先保證每一段在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，再保證在時(shí)的單調(diào)性保持一致，得到關(guān)于的不等式組，解出即可求出的范圍．【解答】
解：時(shí)，，對(duì)稱軸是，
時(shí)，，一次項(xiàng)系數(shù)，
若在遞增，
則
可得，即．
故選：．8.【答案】 【解析】解：，即，
構(gòu)建，
可知當(dāng)時(shí)，則，故F在上單調(diào)遞減，
又，即，且，
則，解得，
故不等式的解集為．
故選：．
構(gòu)建，可得在上單調(diào)遞減，根據(jù)題意結(jié)合單調(diào)性解不等式．
本題主要考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．9.【答案】 【解析】解：由圖像值，故A錯(cuò)誤；
函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，故B錯(cuò)誤；
函數(shù)的值域?yàn)?/span>，故C正確；
若，則或，故D正確．
故選：．
結(jié)合函數(shù)的圖像和定義域，值域等性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．
本題主要考查函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．10.【答案】 【解析】解：對(duì)于，由可得，解得或，
所以，“”能得出“”，且“”不能得出“”，
所以“”是“”的充分不必要條件，選項(xiàng)A正確；
對(duì)于，命題“，”的否定是“，”，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
但，等號(hào)不等成立，所以當(dāng)時(shí)，的最小值不是，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于，若，則且，
則“”不能得出“”，“”時(shí)能得出“”，
所以“”是“”的必要不充分條件，選項(xiàng)D正確．
故選：．
利用分式不等式的解法結(jié)合充分條件、必要條件的定義可判斷選項(xiàng)；
利用全稱量詞命題的否定可判斷選項(xiàng)；
利用基本不等式可判斷選項(xiàng)；
利用充分條件、必要條件的定義可判斷選項(xiàng)．
本題考查了分式不等式的解法以及充分與必要條件的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了推理與判斷能力，是基礎(chǔ)題．11.【答案】 【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，
此時(shí)，
則，則
所以函數(shù)的值域?yàn)?/span>，故A對(duì)；
對(duì)于選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)，，則，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，
對(duì)于函數(shù)，則，
解得，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，故B對(duì)；
對(duì)于選項(xiàng)，由，可得，
所以函數(shù)的定義域可以是：或或，
故滿足條件的有個(gè)，故C對(duì)；
對(duì)于選項(xiàng)，由，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，其中或，
由可得，合乎題意，故D錯(cuò)．
故選：．
利用分離常數(shù)法結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可判斷選項(xiàng)；利用抽象函數(shù)定義域的求解原則可判斷選項(xiàng)；求出滿足條件的集合，結(jié)合函數(shù)的概念可判斷選項(xiàng)；利用配湊法求出函數(shù)的解析式，結(jié)合求出的值，可判斷選項(xiàng)．
本題主要考查了求函數(shù)的定義域和值域，考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．12.【答案】 【解析】解：由圖和圖面積相等，可得，故A錯(cuò)誤；
由題意知圖面積為，，
，
圖設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，由三角形相似，，解之得，則，
由可得，化簡(jiǎn)可得，故B正確；
由可得，化簡(jiǎn)可得，故C正確；
由可得，化簡(jiǎn)可得，故D正確．
故選：．
根據(jù)面積相等，即可判斷；根據(jù)題意求出，，，然后可判斷選項(xiàng)．
本題考查命題真假的判斷，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．13.【答案】或 【解析】解：當(dāng)時(shí)，，顯然滿足；
當(dāng)時(shí)，或，而，
所以．
故答案為：或．
根據(jù)解析式，利用代入法分類討論進(jìn)行求解即可．
本題主要考查了由函數(shù)值求解變量，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14.【答案】 【解析】解：要使函數(shù)有意義，需要
，
解得，
故答案為
開(kāi)偶次方根時(shí)被開(kāi)方數(shù)大于等于；分式的分母不為，列出不等式組求出定義域．
本題考查求函數(shù)的定義域時(shí)要注意：開(kāi)偶次方根時(shí)被開(kāi)方數(shù)大于等于；分式的分母不為；指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于且不等于；對(duì)數(shù)的真數(shù)大于；中等．15.【答案】和 【解析】解：當(dāng)或時(shí)，，對(duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，
作出的圖象如圖所示，
由圖可知單調(diào)遞減區(qū)間為．
故答案為：和．
對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)后，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象可求得結(jié)果．
本題考查利用函數(shù)圖象求函數(shù)單調(diào)性相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．16.【答案】或 【解析】解：因?yàn)?/span>表示不超過(guò)的最大整數(shù)，，
且，
所以該式中只有個(gè)數(shù)是大于或等于，
因?yàn)?/span>，
故從開(kāi)始，其值為，
所以，且，
則，故，
故或．
故答案為：或．
根據(jù)題意判斷中只有個(gè)數(shù)是大于或等于，由此可求得的范圍，即可求得答案．
本題以新定義為載體，主要考查了函數(shù)值的求解，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)的含義結(jié)合已知等式，判斷出該式中只有個(gè)數(shù)是大于或等于，屬于中檔題．17.【答案】解：由，得
故，解得或；
證：任取，
則，
，
，，
故，即，
故在區(qū)間上單調(diào)遞減． 【解析】直接解方程可得；
根據(jù)取值、作差、定號(hào)、下結(jié)論的步驟證明即可．
本題主要考查了二次方程的求解及函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．18.【答案】解：由題意，，
當(dāng)時(shí)，，
全集，
或，或，
或；
由題意，，
，
對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，
集合．
選：因?yàn)?/span>，則集合是集合的子集，
所以，解得：，
因此實(shí)數(shù)的取值范圍是；
選：因?yàn)椤?/span>”是“”的必要不充分條件，
所以集合是集合的真子集，
所以，解得：，
因此實(shí)數(shù)的取值范圍是；
選：因?yàn)?/span>，所以或，
解得：或，
因此實(shí)數(shù)的取值范圍是或． 【解析】利用解不等式、集合的運(yùn)算即可運(yùn)算得解．
利用解不等式、集合的關(guān)系、簡(jiǎn)易邏輯分析運(yùn)算即可得解．
本題主要考查了分式不等式和一元二次不等式的解法，考查了集合的基本運(yùn)算，以及集合間的包含關(guān)系，屬于中檔題．19.【答案】解：由題意，不等式對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立，等價(jià)于
對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立．所以；
不等式等價(jià)于，
當(dāng)即時(shí)，不等式可化為，不等式的解集為；
當(dāng)即時(shí)，不等式可化為，不等式的解集為；
當(dāng)即時(shí)，不等式可化為，此時(shí)；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為． 【解析】由已知可得，對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，即可求得；
不等式代入化簡(jiǎn)得，左邊分解因式后，對(duì)兩根的大小進(jìn)行分類討論，即可得不等式的解集．
本題主要考查一元二次不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．20.【答案】解：由題意得，頂棚所用材料的面積為，面墻壁所用材料的面積為，
至多有的材料可用于面墻壁和頂棚的搭建，
．
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
，
令，則，
解得，即，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，
溫室體積，
則溫室體積的最大值為． 【解析】頂棚所用材料的面積為，面墻壁所用材料的面積為，根據(jù)題意列不等式即可；
利用基本不等式得到，再令，通過(guò)換元，求解體積的最大值即可．
本題考查函數(shù)模型的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．21.【答案】解：Ⅰ令得，，
則．
Ⅱ，
，
，
又對(duì)于任意，都有，
，
解得，，
的取值范圍為． 【解析】Ⅰ令代入解；
Ⅱ由，可化簡(jiǎn)不等式為，從而利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式．
本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生對(duì)新知識(shí)的接受能力，屬于中檔題．22.【答案】解：因?yàn)?/span>，
所以，
所以，依題得不等式的解集為，
所以是方程的根，
所以，
所以，
又因?yàn)?/span>，
所以，
所以，所以滿足題意，
所以，解得，
故．
，總，使得，等價(jià)于，
由于在上單調(diào)遞增，因此；
的對(duì)稱軸為：．
若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，
，
，即，解得，舍去；
若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，
，
，解得，此時(shí)，；
若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，
，，即，該不等式無(wú)解．
綜上所述，的取值范圍是． 【解析】分析可知，不等式的解集為，可知是方程的根，求出的值，再解原二次不等式，即可的實(shí)數(shù)的值；
分析可知，，求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，求出函數(shù)在上的最小值，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍．
本題考查不等式的求解以及函數(shù)最值的求解，考查分類討論思想及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

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