2023-2024學(xué)年北京重點中學(xué)高一（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題（本大題共12小題，共36.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.下列關(guān)系式：；；，，其中正確的個數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 2.命題“，”的否定為(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，3.已知全集，集合，，如圖中陰影部分所表示的集合為(    )
 A.  B.  C.  D. 4.已知全集，集合，那么下列等式錯誤的是(    )A.  B.  C.  D. 5.若，，為實數(shù)，則下列命題錯誤的是(    )A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，，則6.已知集合，則(    )A.  B.  C.  D. 7.若實數(shù)、滿足，下列不等式中恒成立的是(    )A.  B.  C.  D. 8.設(shè)，則“”是“”的(    )A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件9.已知集合，集合，下列關(guān)系正確的是(    )A.  B.  C.  D. 10.“”的一個充分非必要條件可以是(    )A.  B.  C.  D. 11.判斷下列命題的真假，其中真命題是(    )A. “”是“”的充分條件
B. “”是“”的必要條件
C. “是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的充分不必要條件
D. “”是“”的充分條件12.已知命題：，，若命題是假命題，則實數(shù)的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共10小題，共30.0分）13.集合共有          個子集．14.已知集合，，，則______．15.已知集合，用列舉法表示集合 ______ ．16.命題“”是______ 命題填“真”或“假”，它的否定是______ ．17.已知，則的最______ 填“大”或“小”值為______ ；此時的值是______ ．18.已知集合，集合，若，則實數(shù)的取值范圍為          ．19.已知不等式的解集是，則 ______ ， ______ ．20.已知集合，，其中．
集合      ；
若，都有或，則的取值范圍是      ．21.設(shè)，，集合，則 ______ ．22.已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是______ ．三、解答題（本大題共4小題，共48.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）23.本小題分
已知集合，，全集．
求；
求；
如果，且，求的取值范圍．24.本小題分
已知集合，求：
；
；
若集合，滿足，求實數(shù)的取值范圍．25.本小題分
一公司某年用萬元購進一臺生產(chǎn)設(shè)備，使用年后需要的維護費總計萬元，該設(shè)備每年創(chuàng)造利潤萬元．
求使用設(shè)備生產(chǎn)多少年，總利潤最大，最大是多少？
求使用設(shè)備生產(chǎn)多少年，年平均利潤最大，最大是多少？26.本小題分
已知關(guān)于的不等式．
當(dāng)，，時，求該不等式的解集；
從下面兩個條件中任選一個，并求出此時該不等式的解集．
，，；
，，．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：是實數(shù)，對；
，錯；
，錯；
錯．
故選：．
根據(jù)、、表示的集合意義及空集定義可解決此題．
本題考查元素與集合及集合與集合間的關(guān)系，考查數(shù)學(xué)抽象能力，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】 【解析】解：因為特稱命題的否定是全稱命題，
所以，的否定是：，．
故選：．
存在改任意，將結(jié)論取反，即可求解．
本題考查命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．3.【答案】 【解析】解：圖中陰影部分表示的集合中的元素是在集合中，但不在集合中．
又，，
則右圖中陰影部分表示的集合是：．
故選A．
先觀察圖，得出圖中陰影部分表示的集合，再結(jié)合已知條件即可求解．
本小題主要考查圖表達集合的關(guān)系及運算、圖的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合思想．屬于基礎(chǔ)題．4.【答案】 【解析】解：全集，集合，
對于，，故A正確；
對于，，故B正確；
對于，，故C錯誤；
對于，，故D正確．
故選：．
利用交集、并集、補集定義直接求解．
本題考查集合的運算，考查交集、并集、補集定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．5.【答案】 【解析】解：對于：若，則，故正確，
對于：根據(jù)不等式的性質(zhì)，若，則，故B錯誤，
對于：若，則，即，故正確，
對于：若，，則，故正確．
故選：
根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，判斷每個選項即可
本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題6.【答案】 【解析】解：對于集合，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
，
故選：．
對于集合，對分情況討論，即可判斷．
本題主要考查了集合間的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．7.【答案】 【解析】解：因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
又，所以，故A正確，B錯誤，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故CD錯誤，
故選：．
利用已知條件以及基本不等式化簡即可判斷求解．
本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的理解能力，屬于基礎(chǔ)題．8.【答案】 【解析】解：，即，，即，
不能推出，充分性不成立，
能推出，必要性成立，
故“”是“”的必要不充分條件．
故選：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合充分條件、必要條件的定義，即可求解．
本題主要考查充分條件、必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．9.【答案】 【解析】解：因為集合，集合，
對于，符合方程，故A正確，
對于，是數(shù)集，是點集，，故B錯誤，
對于，，故C錯誤，
對于，不符合符合方程，故D錯誤，
故選：．
根據(jù)元素與集合的關(guān)系可解．
本題考查元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．10.【答案】 【解析】【分析】
根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可．
本題考查了充分必要條件，考查轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．
【解答】
解：“”，，
故““的一個充分非必要條件是，
故選：．11.【答案】 【解析】解：對于：令，，顯然錯誤；
對于：令，，顯然錯誤；
對于：“是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的充分必要條件，故C錯誤；
對于：由，解得：或，
故“”是“”的充分條件，故D正確．
故選：．
根據(jù)充分必要條件的定義分別判斷即可．
本題考查了充分必要條件的定義，考查不等式以及集合的包含關(guān)系，是基礎(chǔ)題．12.【答案】 【解析】解：：，，
：，．
命題為假命題，命題為真命題，
當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根，
，即．
實數(shù)的取值范圍是．
故選：．
直接利用特稱命題和全稱命題的關(guān)系及命題真假的判定求出的取值范圍．
本題考查的知識要點：特稱命題，命題真假的判定，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．13.【答案】 【解析】【分析】本題考查集合的子集個數(shù)問題，對于集合的子集問題一般來說，若中有個元素，則集合的子集共有個．【解答】
解：因為集合，
所以集合的子集有：，，，，，，，，共個．
故答案為：．14.【答案】或 【解析】解：，
，
或，
解得：或．
故答案為：或
由兩集合的并集為，得到為的子集，可得出或，即可求出的值．
此題考查了并集及其運算，以及集合間的包含關(guān)系，是一道基本題型．15.【答案】 【解析】解：因為集合，
則為的正約數(shù)，所以，，，，，
故為，，，，，，
故答案為：．
根據(jù)題意可得為的正約數(shù)，從而可得的值．
本題考查集合的表示法，屬于基礎(chǔ)題．16.【答案】假  ，使得或 【解析】解：對于命題“”，
當(dāng)時，，則該命題為假命題，
其否定為：，使得或．
故答案為：假；，使得或．
根據(jù)題意，舉出反例，說明該命題為假，進而寫出其否定，即可得答案．
本題考查命題的否定，涉及命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題．17.【答案】小     【解析】解：，
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立．
的最小值為，此時．
故答案為：??；；．
利用基本不等式即可．
本題考查了基本不等式及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18.【答案】 【解析】【分析】本題考查集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題，屬于基礎(chǔ)題．
由集合，，，由集合包含關(guān)系的定義比較兩個集合的端點可直接得出結(jié)論．【解答】
解：集合，，若，
，
實數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．19.【答案】   【解析】解：因為不等式的解集是，
所以，是的根，
所以，，
故，．
故答案為：；．
由題意得，是的根，然后結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系可求．
本題主要考查了二次方程與二次不等式轉(zhuǎn)化關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．20.【答案】 【解析】解：集合或，
；
對，都有或，，
集合或，，
，
的取值范圍是：，
故答案為：，．
先求出集合，再利用補集的定義求出；
由對，都有或，所以，從而求出的取值范圍．
本題考查的知識點是集合的交集，并集，補集運算，集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．21.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，集合，
又，
，即，
，
；
故，，
則．
故答案為：．
根據(jù)題意，集合，注意到前面集合中有元素，由集合相等的意義，結(jié)合集合中元素的特征，可得，進而分析可得、的值，計算可得答案．
本題考查集合元素的特征與集合相等的含義，注意從特殊元素下手，有利于找到解題切入點，是基礎(chǔ)題．22.【答案】 【解析】解：集合，
，，
由，得是的子集，
也就是有以下情況
；是單元素集或者是；，
，也即是對于無解，
即，解得，
是單元素集，那么就有，即，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
，而，不滿足題意．
綜上，的取值范圍是．
故答案為：．
求出集合，由，得是的子集，也就是有以下情況；是單元素集或者是；，由此能求出的取值范圍．
本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，并集定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．23.【答案】解：集合，，
所以．
集合，，則，而全集，
所以或．
由，，得，
所以的取值范圍是． 【解析】利用并集的定義直接求解即可．
利用交集、補集的定義求解即可．
利用已知結(jié)合交集的結(jié)果，列出不等式求解即得．
本題主要考查了集合的交集，并集及補集運算，屬于基礎(chǔ)題．24.【答案】解：集合，，
；
，
；
集合，
，，
，
解得，
即實數(shù)的取值范圍為． 【解析】先求出集合，，再利用集合的交集運算求解；
利用集合的補集運算和并集運算求解；
由可得，列出不等式求出的取值范圍即可．
本題主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本運算，屬于基礎(chǔ)題．25.【答案】解：設(shè)該設(shè)備使用年后獲得總利潤為萬元，
則，
該二次函數(shù)為開口向下，對稱軸為的拋物線，
所以當(dāng)時，總利潤取得最大，且最大值為萬元；
由可知，年平均利潤為，
當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，
所以使用設(shè)備年后的年平均利潤最大，且最大值為萬元． 【解析】設(shè)該設(shè)備使用年后獲得總利潤為萬元，則，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
由可得，結(jié)合基本不等式計算即可求解．
本題考查函數(shù)模型的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．26.【答案】解：當(dāng)，，時不等式為，可化為，
解得，
所以不等式的解集為；
若選，，，不等式為，
即，
當(dāng)時，不等式解集為或，
當(dāng)時，不等式解集為，
當(dāng)時，不等式解集為或，
若選，，不等式為，
當(dāng)時，，不等式解集為，
當(dāng)時，不等式可化為，
當(dāng)時，不等式解集為或，
當(dāng)時，不等式解集為，
當(dāng)時，不等式解集為，
當(dāng)時，不等式解集為，
綜上所述：當(dāng)時，不等式解集為，
當(dāng)時，不等式解集為，
當(dāng)時，不等式解集為，
當(dāng)時，不等式解集為，
當(dāng)時，不等式解集為或 【解析】當(dāng)，，時不等式為，求出解集即可；
若選，，，不等式為，即，對兩根進行討論求出解集即可；
若選，，不等式為，分和，，，，五種情況討論求出解集即可．
本題考查了含有字母系數(shù)的一元二次不等式解法與應(yīng)用問題，也考查了分類討論思想，是中檔題．

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