?考點(diǎn)24 排列與組合（核心考點(diǎn)講與練）

1.排列與組合的概念
名稱
定義

排列
從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)不同元素
按照一定的順序排成一列
組合
合成一組
2.排列數(shù)與組合數(shù)
(1)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù).
(2)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù).
3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)
公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.
(2)C＝＝
＝(n，m∈N+，且m≤n).特別地C＝1
性質(zhì)
(1)0！＝1；A＝n！.
(2)C＝C；C＝C＋C


1.求解排列應(yīng)用問題的6種主要方法
直接法
把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算

優(yōu)先法
優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置

捆綁法
把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列

　插空法
對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中
定序問題
除法處理
對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
間接法
正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法
2.兩類有附加條件的組合問題的解法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：若“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；若“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?br /> (2)“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題目必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法或間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，用間接法求解．　
3.排列、組合問題的求解方法與技巧
(1)特殊元素優(yōu)先安排；(2)合理分類與準(zhǔn)確分步；(3)排列、組合混合問題先選后排；(4)相鄰問題捆綁處理；(5)不相鄰問題插空處理；(6)定序問題倍除法處理；(7)分排問題直排處理；(8)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部；(9)構(gòu)造模型；(10)正難則反，等價(jià)條件.
4.解答排列、組合綜合問題的一般思路和注意點(diǎn)
(1)一般思路：“先選后排”，也就是把符合題意的元素都選出來，再對元素或位置進(jìn)行排列．
(2)注意點(diǎn)：①元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法，元素?zé)o序是組合問題，元素有序是排列問題．
②對于有多個(gè)限制條件的復(fù)雜問題，應(yīng)認(rèn)真分析每個(gè)限制條件，然后再考慮是分類還是分步，這是處理排列、組合的綜合問題的一般方法．


排列
1.（2021哈六中高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理））用1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字組成六位數(shù)，其中奇數(shù)不相鄰且1、2必須相鄰，則滿足要求的六位數(shù)共有（ ）個(gè)
A. 72 B. 96 C. 120 D. 288
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，按1和2兩個(gè)數(shù)按“12”的順序和“21”的順序捆綁，利用插空法可得答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，1和2必須相鄰，將“12”或“21”看成一個(gè)整體與4、6全排列，
排好后，要求奇數(shù)互不相鄰，則有3個(gè)空位可選，再將“3”和“5”插入到3個(gè)空位中，
有種排法，即有72個(gè)符合條件的六位數(shù)；
故選：A．
2.（2021湖南省永州市高三上第一次適應(yīng)性考試）永州是一座有著兩千多年悠久歷史的湘南古邑，民俗文化資源豐富.在一次民俗文化表演中，某部門安排了《東安武術(shù)》、《零陵漁鼓》、《瑤族傘舞》、《祁陽小調(diào)》、《道州調(diào)子戲》、《女書表演》六個(gè)節(jié)目，其中《祁陽小調(diào)》與《道州調(diào)子戲》不相鄰，則不同的安排種數(shù)為（ ）
A．480 B．240 C．384 D．1440
【答案】A
【分析】利用插空法求解即可.
【詳解】第一步，將《東安武術(shù)》、《零陵漁鼓》、《瑤族傘舞》、《女書表演》四個(gè)節(jié)目排列，有種排法；
第二步，將《祁陽小調(diào)》、《道州調(diào)子戲》插入前面的4個(gè)節(jié)目的間隙或者兩端，有種插法；
所以共有種不同的安排方法.
故選：A
3.（2021新疆喀什地區(qū)莎車縣一中高三上期中）7個(gè)人排成一排準(zhǔn)備照一張合影，其中甲、乙要求相鄰，丙、丁要求分開，則不同的排法有（　　）
A. 480種 B. 720種 C. 960種 D. 1200種
【答案】C
【分析】甲、乙要求相鄰，則把甲和乙看成一個(gè)元素，與除去丙和丁以外的共4個(gè)元素進(jìn)行全排列，其中甲和乙之間還有一個(gè)排列，根據(jù)丙和丁不相鄰，把形成的五個(gè)空選兩個(gè)排列丙和丁．得到結(jié)果．
【詳解】解：由題意知，
甲、乙要求相鄰，則把甲和乙看成一個(gè)元素，
與除去丙和丁以外的共4個(gè)元素進(jìn)行全排列，其中甲和乙之間還有一個(gè)排列，
把形成的五個(gè)空選兩個(gè)排列丙和丁，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有A44A22A52＝960種．
故選：C．
組合
1.. 某中學(xué)為了發(fā)揮青年志原者模范帶頭作用，利用周末開展青年志愿者進(jìn)社區(qū)服務(wù)活動(dòng).該校決定成立一個(gè)含有甲?乙兩人的4人青年志愿者社區(qū)服務(wù)團(tuán)隊(duì)，現(xiàn)把4人分配到和兩個(gè)社區(qū)去服務(wù)，若每個(gè)社區(qū)都有志愿者，每個(gè)志愿者只服務(wù)一個(gè)社區(qū)，且甲?乙兩人不同在一個(gè)社區(qū)的分配方案種類有（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
答案】B
【分析】分兩種情況討論，和兩個(gè)社區(qū)一個(gè)社區(qū)1個(gè)志愿者，另一個(gè)社區(qū)3個(gè)志愿者，以及和兩個(gè)社區(qū)分別有兩個(gè)志愿者，即得解
【詳解】由題意，分情況討論，若和兩個(gè)社區(qū)一個(gè)社區(qū)1個(gè)志愿者，另一個(gè)社區(qū)3個(gè)志愿者，則只需讓甲或乙單獨(dú)去一個(gè)社區(qū)即可，共種情況；
若和兩個(gè)社區(qū)分別有兩個(gè)志愿者，則共有種情況；
因此共：種不同的分配方案
故選：B
2. 將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）
A. 60種 B. 120種 C. 240種 D. 480種
【答案】C
【分析】先確定有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.
【詳解】根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個(gè)小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解.
排列組合的綜合運(yùn)用
1. 從將標(biāo)號(hào)為1，2，3，…，9的9個(gè)球放入標(biāo)號(hào)為1，2，3，…，9的9個(gè)盒子里，每個(gè)盒內(nèi)只放一個(gè)球，恰好3個(gè)球的標(biāo)號(hào)與其所在盒子的標(biāo)號(hào)不一致的放入方法種數(shù)為（ ）
A. 84 B. 168 C. 240 D. 252
【答案】B
【分析】先確定標(biāo)號(hào)與其在盒子的標(biāo)號(hào)不一致的3個(gè)球，是組合問題,可得其排法數(shù)，進(jìn)而分折可得三個(gè)標(biāo)號(hào)與其在盒子的標(biāo)號(hào)不一致的排法數(shù)，由分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】解：根據(jù)題意，先確定標(biāo)號(hào)與其在盒子的標(biāo)號(hào)不一致的3個(gè)球，
即從9個(gè)球中取出3個(gè)，有種，而這3個(gè)球的排法有2×1×1=2種，
則共有種，
故選:B.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個(gè)原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)加法原理討論時(shí)，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率.
2.（2021寧夏銀川一中高三上學(xué)期第二次月考） 有12名同學(xué)合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（ ）
A．168 B．260 C．840 D．560
【答案】C
【分析】先從后排8人中抽2人，把抽出的2人插入前排保證前排人順序不變可用倍縮法，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.
【詳解】解：從后排8人中抽2人有種方法；
將抽出的2人調(diào)整到前排，前排4人的相對順序不變有種，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：共有種，
故選：C.
3.（2021江蘇省南通市海安高三第一次月考）為了更好的了解黨的歷史，宣傳黨的知識(shí)，傳頌英雄事跡．某校團(tuán)支部6人組建了黨史宣講，歌曲演唱，詩歌創(chuàng)作三個(gè)小組，每組2人，其中甲不會(huì)唱歌，乙不能勝任詩歌創(chuàng)作，則組建方法有（ ）種
A. 60 B. 72 C. 30 D. 42
【答案】D
【分析】分別求得將6人平均分3個(gè)不同組的種數(shù)，甲在歌曲演唱小組的種數(shù)，乙在歌曲詩歌創(chuàng)作小組的種數(shù)，以及甲在歌曲演唱小組且乙在歌曲詩歌創(chuàng)作的種數(shù)，即可求解.
【詳解】由題意，將6人平均分3個(gè)不同組，共種，
甲在歌曲演唱小組，此時(shí)有種，
乙在歌曲詩歌創(chuàng)作小組，此時(shí)有種，
甲在歌曲演唱小組且乙在歌曲詩歌創(chuàng)作有種，
故共有種.
故選：D.

1.（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)）將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）
A. 60種 B. 120種 C. 240種 D. 480種
【答案】C
【分析】先確定有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.
【詳解】根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個(gè)小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解.
2.（2020年全國統(tǒng)一高考（新課標(biāo)Ⅱ））4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有__________種.
【答案】
【分析】根據(jù)題意，有且只有2名同學(xué)在同一個(gè)小區(qū)，利用先選后排的思想，結(jié)合排列組合和乘法計(jì)數(shù)原理得解.
【詳解】4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)
先取2名同學(xué)看作一組，選法有：
現(xiàn)在可看成是3組同學(xué)分配到3個(gè)小區(qū)，分法有：
根據(jù)分步乘法原理，可得不同的安排方法種
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握分步乘法原理和捆綁法的使用，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

一、單選題
1.（2022·全國·模擬預(yù)測）若從甲?乙2名女志愿者和6名男志愿者中選出正組長1人，副組長1人，普通組員2人到北京冬奧會(huì)花樣滑冰場館服務(wù)，且要求女志愿者甲不能做正組長，女志愿者乙不能做普通組員，則不同的選法種數(shù)為（ ）
A. 210 B. 390 C. 555 D. 660
【答案】C
【分析】分為四種情況即可得出答案，第一種4人均從6名男志愿者中選取，第二種女志愿者甲被選中且乙沒有被選中，第三種女志愿者乙被選中且甲沒有被選中，第四種女志愿者甲?乙均被選中.
【詳解】若4人均從6名男志愿者中選取，則不同的選法種數(shù)為；
若女志愿者甲被選中且乙沒有被選中，則不同的選法種數(shù)為；
若女志愿者乙被選中且甲沒有被選中，則不同的選法種數(shù)為；
若女志愿者甲?乙均被選中，則不同的選法種數(shù)為.
所以滿足題意的不同選法種數(shù)為.
故選：C.
2．（2021·全國·模擬預(yù)測）為推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育各項(xiàng)工作扎實(shí)開展，營造“學(xué)黨史、悟思想、辦實(shí)事、開新局”的濃厚氛圍，某校黨委計(jì)劃將中心組學(xué)習(xí)、專題報(bào)告會(huì)、黨員活動(dòng)日、主題班會(huì)、主題團(tuán)日這五種活動(dòng)分5個(gè)階段安排，以推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行．若中心組學(xué)習(xí)必須安排在前2個(gè)階段，且主題班會(huì)、主題團(tuán)日安排的階段相鄰，則不同的安排方案共有（???????）
A．12種 B．28種 C．20種 D．16種
【答案】C
【分析】分中心組學(xué)習(xí)在第1階段和第2階段分別求解，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理求解即可．
【詳解】若中心組學(xué)習(xí)安排在第1階段，則其余四種活動(dòng)的安排方法有（種）；若中心組學(xué)習(xí)安排在第2階段，則主題班會(huì)、主題團(tuán)日可安排在第3，4階段或者第4，5階段，專題報(bào)告會(huì)、黨員活動(dòng)日分別安排在剩下的2個(gè)階段，不同的安排方法有（種）．故共有種不同的安排方案，
故選：C．

3.（2022·廣東汕頭·一模） 有4名大學(xué)生志愿者參加2022年北京冬奧會(huì)志愿服務(wù).冬奧會(huì)志愿者指揮部隨機(jī)派這4名志愿者參加冰壺、短道速滑、花樣滑冰3個(gè)項(xiàng)目比賽的志愿服務(wù)，則每個(gè)項(xiàng)目至少安排一名志愿者進(jìn)行志愿服務(wù)的概率（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】先將4人分成3組，其一組有2人，然后將3個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行排列，可求出每個(gè)項(xiàng)目至少安排一名志愿者進(jìn)行志愿服務(wù)的方法數(shù)，再求出4名志愿者參加3個(gè)項(xiàng)目比賽的志愿服務(wù)的總方法數(shù)，再利用古典概型的概率公式求解即可
【詳解】先將4人分成3組，其一組有2人，另外兩組各1人，共有種分法，
然后將3個(gè)項(xiàng)目全排列，共有種排法，
所以每個(gè)項(xiàng)目至少安排一名志愿者進(jìn)行志愿服務(wù)的方法數(shù)為種，
因?yàn)?名志愿者參加3個(gè)項(xiàng)目比賽的志愿服務(wù)的總方法數(shù)種，
所以每個(gè)項(xiàng)目至少安排一名志愿者進(jìn)行志愿服務(wù)的概率為，
故選：D
4.（2022·山東濰坊·一模）第十三屆冬殘奧會(huì)于2022年3月4日至3月13日在北京舉行.現(xiàn)從4名男生，2名女生中選3人分別擔(dān)任冬季兩項(xiàng)、單板滑雪、輪椅冰壺志愿者，且至多有1名女生被選中，則不同的選擇方案共有（ ）.
A. 72種 B. 84種 C. 96種 D. 124種
【答案】C
【分析】先分有一名女生和沒有女生兩種情況選出自愿者，然后再排列.
【詳解】第一步，選出的自愿者中沒有女生共種，只有一名女生共種；
第二步，將三名志愿者分配到三項(xiàng)比賽中共有.
所以，不同的選擇方案共有種.
故選：C
5.（2022·重慶·一模）將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）
A. 60種 B. 120種 C. 240種 D. 480種
【答案】C
【分析】先確定有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.
【詳解】根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個(gè)小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解.
6.（2022·重慶市求精中學(xué)校一模）北京2022年冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”一亮相，好評不斷，這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結(jié)合，是一次現(xiàn)代設(shè)計(jì)理念的傳承與突破.為了宣傳2022年北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)，某學(xué)校決定派小明和小李等名志愿者將兩個(gè)吉祥物安裝在學(xué)校的體育廣場，若小明和小李必須安裝同一個(gè)吉祥物，且每個(gè)吉祥物都至少由兩名志愿者安裝，則不同的安裝方案種數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】分為三人組中包含小明和小李和不包含小明和小李兩類，分別計(jì)算方案種數(shù)即可得結(jié)果.
【詳解】由題意可知應(yīng)將志愿者分為三人組和兩人組，
當(dāng)三人組中包含小明和小李時(shí)，安裝方案有種；
當(dāng)三人組中不包含小明和小李時(shí)，安裝方案有種，共計(jì)有種，
故選：A.
7.（2022·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)前，新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化防控新階段，防止疫情輸入的任務(wù)依然繁重，疫情防控工作形勢依然嚴(yán)峻、復(fù)雜．某地區(qū)安排A，B，C，D，E五名同志到三個(gè)地區(qū)開展防疫宣傳活動(dòng)，每個(gè)地區(qū)至少安排一人，且A，B兩人安排在同一個(gè)地區(qū)，C，D兩人不安排在同一個(gè)地區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為（ ）
A. 30種 B. 36種 C. 42種 D. 64種
【答案】A
【分析】由題意可得，分兩個(gè)地區(qū)各分2人，另一個(gè)地區(qū)分1人和兩個(gè)地區(qū)各分1人，另一個(gè)地區(qū)分3人兩種情況，對兩種情況的種數(shù)求和，即可求解．
【詳解】解：①當(dāng)兩個(gè)地區(qū)各分2人，另一個(gè)地區(qū)分1人時(shí)，總數(shù)有種；
②當(dāng)兩個(gè)地區(qū)各分1人，另一個(gè)地區(qū)分3人時(shí)，總數(shù)有種．
故滿足條件的分法共有種．
故選：A
8.（2022·全國·高三專題練習(xí)）為迎接2021年9月15日-9月27日的第十四屆全國運(yùn)動(dòng)會(huì)，某單位準(zhǔn)備組織一場混合雙打比賽，現(xiàn)從6名男乒乓球愛好者和5名女乒乓球愛好者中各選2名選手進(jìn)行一場混合雙打比賽，則不同的選擇方法有（ ）
A. 150種 B. 300種 C. 450種 D. 600種
【答案】B
【分析】由題意知先從6名男乒乓球愛好者和5名女乒乓球愛好者中各選2名選手，由于進(jìn)行一場混合雙打比賽，再使女乒乓球愛好者要在男乒乓球愛好者上排列，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．
【詳解】由題意知從6名男乒乓球愛好者和5名女乒乓球愛好者中各選2名選手，共有種結(jié)果，
∵由于進(jìn)行一場混合雙打比賽，
∴兩名女乒乓球愛好者要在兩名男乒乓球愛好者上排列，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有種結(jié)果，
故選：B．
9.（2022·全國·高三專題練習(xí)） “女排精神”是中國女子排球隊(duì)頑強(qiáng)戰(zhàn)斗?勇敢拼搏精神的總概括，她們在世界杯排球賽中憑著頑強(qiáng)戰(zhàn)斗?勇敢拼搏的精神，五次獲得世界冠軍，為國爭光.2019年女排世界杯于9月14日至9月29日在日本舉行，中國隊(duì)以上屆冠軍的身份出戰(zhàn)，最終以11戰(zhàn)全勝且只丟3局的成績成功衛(wèi)冕世界杯冠軍，為中華人民共和國70華誕獻(xiàn)上最及時(shí)的賀禮.朱婷連續(xù)兩屆當(dāng)選女排世界杯MVP，她和顏妮?丁霞?王夢潔共同入選最佳陣容，賽后4人和主教練郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中間，她們4人隨機(jī)站于兩側(cè)，則朱婷和王夢潔站于郎平同一側(cè)的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】利用排列組合與概率的定義，進(jìn)行計(jì)算即可
【詳解】4人和主教練郎平站一排合影留念，郎平站在最中間，她們4人隨機(jī)站于兩側(cè)，則不同的排法有種，若要使朱婷和王夢潔站于郎平同一側(cè)，則不同的排法有種，所以所求概率
故選：B
二、多選題
10.（2022·江蘇常州·高三期末）如圖，用4種不同的顏色，對四邊形中的四個(gè)區(qū)域進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法數(shù)為（ ）

A. B.
C. D.
【答案】ACD
【分析】選項(xiàng)ACD均可以對其每一步的方法數(shù)進(jìn)行合理解釋，而選項(xiàng)B方法總數(shù)錯(cuò)誤，不能對其每一步的方法數(shù)進(jìn)行合理解釋.
【詳解】選項(xiàng)A：表示先著色中間兩格下面一格.從4種顏色取3種，有個(gè)方法，上面一格，從與中間兩格不同的顏色中取出一個(gè)，有個(gè)方法，故共有個(gè)不同方法.正確；
選項(xiàng)B：,方法總數(shù)不對.錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：表示先對中間兩格涂顏色. 從4種顏色取2種，共有個(gè)方法，上下兩格都是從與中間兩格不同的顏色中取出一個(gè)，有個(gè)方法.故共有個(gè)不同方法.正確；
選項(xiàng)D：表示兩種情況：①上下兩格顏色相同，中間兩格從3個(gè)剩下的顏色取2種，共有個(gè)不同方法；②上下兩格顏色不同，中間兩格從2個(gè)剩下的顏色取2種，共有個(gè)不同方法. 綜合①②可知方法總數(shù)為：個(gè)不同方法.正確.
故選：ACD
11.（2022·重慶市朝陽中學(xué)高三開學(xué)考試）現(xiàn)安排甲?乙?丙?丁?戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯?導(dǎo)游?禮儀?司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，則以下說法錯(cuò)誤的是（ ）
A. 若每人都安排一項(xiàng)工作，則不同的方法數(shù)為
B. 若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為
C. 每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲?乙不會(huì)開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙?丁?戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是
D. 如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排1人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為
【答案】ABD
【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理判斷A、B，對開車的人員分類討論利用分步乘法計(jì)數(shù)原理及分類加法計(jì)數(shù)原理判斷C，按照部分平均分組法判斷D；
【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對于，安排5人參加4項(xiàng)工作，若每人都安排一項(xiàng)工作，每人有4種安排方法，則有種安排方法，故錯(cuò)誤；
對于，根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排4項(xiàng)工作，有種安排方法，故錯(cuò)誤；
對于，根據(jù)題意，分2種情況討論：①從丙，丁，戊中選出2人開車，②從丙，丁，戊中選出1人開車，則有種安排方法，正確；
對于，分2步分析：需要先將5人分為3組，有種分組方法，將分好的三組安排翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)工作，有種情況，則有種安排方法，錯(cuò)誤；
故選：．
三、填空題
12.（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校二模（理））某地區(qū)突發(fā)傳染病公共衛(wèi)生事件，廣大醫(yī)務(wù)工作者逆行而上，紛紛志愿去一線抗擊疫情.某醫(yī)院呼吸科共有名醫(yī)生，名護(hù)士，其中名醫(yī)生為科室主任，名護(hù)士為護(hù)士長.根據(jù)組織安排，從中選派人去支援抗疫一線，要求醫(yī)生和護(hù)士均有，且科室主任和護(hù)士長至少有人參加，則不同的選派方案共有_____種.
【答案】51
【分析】對于特殊元素科室主任和護(hù)士長分類討論，分別求出各種情況的選派方案數(shù)，再相加即可；
【詳解】解：選派人去支援抗疾一線，方案有下列三種情況：
（1）科室主任和護(hù)士長都參加，有(種)選派方案，
（2）科室主任參加，護(hù)士長不參加，有(種)選派方案，
（3）科室主任不參加，護(hù)士長參加，有(種)選派方案，
故符合條件的選派方案有(種).
故答案為：51
13．（2022·湖南岳陽·一模）有唱歌、跳舞、小品、雜技、相聲五個(gè)節(jié)目制成一個(gè)節(jié)目單，其中小品、相聲不相鄰且相聲、跳舞相鄰的節(jié)目單有______種．（結(jié)果用數(shù)字作答）
【答案】
【分析】先考慮相聲、跳舞相鄰的情況，再考慮考慮相聲節(jié)目與小品、跳舞都相鄰的情形，利用捆綁法與間接法可求得結(jié)果.
【詳解】先考慮相聲、跳舞相鄰的情況，只需將相聲、跳舞這兩個(gè)節(jié)目進(jìn)行捆綁，形成一個(gè)大元素，
然后再將這個(gè)“大元素”與其它三個(gè)節(jié)目進(jìn)行排序，共有種排法.
接下來考慮相聲節(jié)目與小品、跳舞都相鄰的情形，需將相聲與小品、跳舞這三個(gè)節(jié)目進(jìn)行捆綁，
其中相聲節(jié)目位于中間，然后將這個(gè)“大元素”與其它兩個(gè)節(jié)目進(jìn)行排序，
此時(shí)共有種排法.
綜上所述，由間接法可知，共有種不同的排法.
故答案為：.
14．（2022·湖南湖南·二模）一次考試后，學(xué)校準(zhǔn)備表彰在該次考試中排名前10位的同學(xué)，其中有2位是高三（1）班的同學(xué)，現(xiàn)要選4人去“表彰會(huì)”上作報(bào)告，若高三（1）班的2人同時(shí)參加，則2人作報(bào)告的順序不能相鄰，則要求高三（1）班至少有1人參加的作報(bào)告的方案共有___________種.（用數(shù)字作答）
【答案】3024
【分析】就高三（1）有1人參加還是有2人參加分類計(jì)數(shù)后可得正確的結(jié)果.
【詳解】若高三（1）班只有1人參加，則有種不同的方案；
若高三（1）班2人都參加，則有種不同方案，故共有3024種不同的方案.
故答案為：3024
15．（2022·浙江·模擬預(yù)測）某九位數(shù)的各個(gè)數(shù)位由數(shù)字1，2，3組成，其中每個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)3次，且數(shù)字1和數(shù)字2不能相鄰，則符合條件的不同九位數(shù)的個(gè)數(shù)是___．（用數(shù)字作答）
【答案】
【分析】排好三個(gè)后，將剩下的三個(gè)和三個(gè)進(jìn)行分組，利用插空法，分類討論不同分組下的情況，再由分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算.
【詳解】由題意，先排三個(gè)，則有種情況，剩下的三個(gè)和三個(gè)分組，若分為組：或或，插空得種；若分為組：或，插空得種；若分為組：，插空得，所以共有種.
故答案為：
16．（2022·江西鷹潭·一模（理））2021年12月，南昌最美地鐵4號(hào)線開通運(yùn)營，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定乘坐地鐵去觀洲、人民公園、新洪城大市場三個(gè)地方游覽，每人只能去一個(gè)地方，人民公園一定要有人去，則不同游覽方案的種數(shù)為______.
【答案】65
【分析】利用間接法，利用分步計(jì)數(shù)原理求出沒有限制的方案數(shù)，排除沒人去人民公園的方案數(shù)，即得.
【詳解】由題可知沒有限制時(shí)，每人有3種選擇，則4人共有種，
若沒人去人民公園，則每人有2種選擇，則4人共有種，
故人民公園一定要有人去的不同游覽方案有種.
故答案為：65.
17．（2022·浙江溫州·高三開學(xué)考試）將標(biāo)有1，2，3，4，5，6的6個(gè)球放入A，B，C三個(gè)盒子，每個(gè)盒子放兩個(gè)球，其中1號(hào)球不放A盒子中，2號(hào)和3號(hào)球都不放B盒子中，則共有__________種不同的放法（用數(shù)字作答）.
【答案】27
【分析】按照1號(hào)球是否放在B盒子分類，結(jié)合.
【詳解】若1號(hào)球放在B盒子中，共有種放法；
若1號(hào)球放在C盒子中，共有種放法；
所以共有放法總數(shù)為.
故答案為：27.
18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有15個(gè)省三好學(xué)生名額分給1、2、3、4共四個(gè)班級，其中1班至少2個(gè)名額，2班、4班每班至少3個(gè)名額，3班最多2個(gè)名額，則共有_________種不同分配方案.
【答案】85
【分析】由3班最多2個(gè)名額，3班有2、或1個(gè)，或0個(gè)名額三種情況，然后其余的情況先分給1班1個(gè)名額，2班、4班每班各2個(gè)名額，再將剩下的分給1,2,4班，每班至少一個(gè)名額，用隔板法可求解.
【詳解】由3班最多2個(gè)名額，3班有2、或1個(gè)，或0個(gè)名額三種情況.
（1）、當(dāng)3班有2個(gè)名額時(shí)，先給1班1個(gè)名額，2班、4班各2個(gè)名額，然后將剩下的8個(gè)名額分給1班、2班和4班，每個(gè)班至少一個(gè)名額.
相當(dāng)于將8個(gè)元素排成一排，在中間加入2個(gè)隔板將他們分成3組，1班、2班和4班分別得到一組，有種分法.
（2）、當(dāng)3班有1個(gè)名額時(shí)，先給1班1個(gè)名額，2班、4班各2個(gè)名額，然后將剩下的9個(gè)名額分給1班、2班和4班，每個(gè)班至少一個(gè)名額.
相當(dāng)于將9個(gè)元素排成一排，在中間加入2個(gè)隔板將他們分成3組，1班、2班和4班分別得到一組，有種分法.
（3）、當(dāng)3班沒有分得名額時(shí)，先給1班1個(gè)名額，2班、4班各2個(gè)名額，然后將剩下的10個(gè)名額分給1班、2班和4班，每個(gè)班至少一個(gè)名額.
相當(dāng)于將10個(gè)元素排成一排，在中間加入2個(gè)隔板將他們分成3組，1班、2班和4班分別得到一組，有種分法.
所以一共有種不同的分配方案.
故答案為：85.
【點(diǎn)睛】本題考查隔板法的應(yīng)用，等價(jià)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，屬于中檔題.
19．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））某公司在元宵節(jié)組織了一次猜燈謎活動(dòng)，主持人事先將10條不同燈謎分別裝在了如圖所示的10個(gè)燈籠中，猜燈謎的職員每次只能任選每列最下面的一個(gè)燈籠中的謎語來猜（無論猜中與否，選中的燈籠就拿掉），則這10條燈謎依次被選中的所有不同順序方法數(shù)為____________.（用數(shù)字作答）

【答案】
【分析】由題意可知，猜燈謎的職員每次只能任選每列最下面的一個(gè)燈籠中的謎語來猜，所以本題是定序問題，故結(jié)合倍縮法即可求出結(jié)果.
【詳解】一共有10條燈謎，共有種方法，由題意可知而其中按2，3，3，2組成的4列相對位置不變，所以結(jié)合倍縮法可知共有種，也即是這10條燈謎依次被選中的所有不同順序方法有種
故答案為：.
20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，某貨場有三堆集裝箱，每堆2個(gè)，現(xiàn)需要全部裝運(yùn)，每次只能從其中一堆取最上面的一個(gè)集裝箱，則在裝運(yùn)的過程中不同取法的種數(shù)是____________（用數(shù)字作答）.

【答案】
【分析】根據(jù)有六個(gè)集裝箱，需要全部裝運(yùn)，得到種取法，再根據(jù)每次只能從其中一堆取最上面的一個(gè)集裝箱，由排列中的定序問題求解.
【詳解】因?yàn)橛辛鶄€(gè)集裝箱，需要全部裝運(yùn)，共有種取法，
又因?yàn)槊看沃荒軓钠渲幸欢讶∽钌厦娴囊粋€(gè)集裝箱，
由排列中的定序問題，可知不同的取法有種.
故答案為：90.
【點(diǎn)睛】本題主要考查排列的應(yīng)用，還考查了分析問題求解問題的能力，屬于中檔題.
21．（2022·河北保定·一模）2022年北京冬奧會(huì)的某滑雪項(xiàng)目中有三個(gè)不同的運(yùn)動(dòng)員服務(wù)點(diǎn)，現(xiàn)需將10名志愿者分配到這三個(gè)運(yùn)動(dòng)員服務(wù)點(diǎn)處，每處需要至少2名至多4名志愿者，則不同的安排方法一共有______種．
【答案】22050
【分析】由題意可得分配到三個(gè)運(yùn)動(dòng)員服務(wù)點(diǎn)處的志愿者數(shù)目為2，4，4或3，3，4，然后根據(jù)分類加法原理和分步乘法原理可求得結(jié)果
【詳解】根據(jù)題意得，這10名志愿者分配到三個(gè)運(yùn)動(dòng)員服務(wù)點(diǎn)處的志愿者數(shù)目為2，4，4或3，3，4，
所以不同的安排方法一共,
故答案為：22050
22．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳所著.該書記述了我國古代14種算法，分別是：積算（即籌算）、太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運(yùn)籌算、了知算、成數(shù)算、把頭算、龜算、珠算和計(jì)數(shù).某中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組有甲、乙、丙、丁四人，該小組擬全部收集九宮算、運(yùn)籌算、了知算、成數(shù)算和把頭算等5種算法的相關(guān)資料，要求每人至少收集其中一種，且每種算法只由一個(gè)人收集，但甲不收集九宮算和了知算的資料，則不同的分工收集方案共有__________種.
【答案】126
【分析】按甲收集資料的種數(shù)分類討論，先確定甲收集資料的種數(shù)剩下的分成三組分給乙、丙、丁三人收集.
【詳解】據(jù)題意，甲可收集1種或2種資料.
第一類，甲收集1種，則乙、丙、丁中有一人收集2種，另兩人各收集1種，有種；
第二類，甲收集2種，則乙、丙、丁每人各收集1種，有種.
所以不同的分工收集方案種數(shù)共有108+18=126種.
故答案為：126.
23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）清華大學(xué)有6名同學(xué)準(zhǔn)備在北京2022年冬奧會(huì)期間擔(dān)任志愿者，去A，B兩個(gè)場館進(jìn)行工作.現(xiàn)需制定工作方案，將6人分成2組，每組3人，每組各指定一名組長，再將兩組分別指派到A，B兩個(gè)場館，則不同的工作方案數(shù)為___________.
【答案】
【分析】先根據(jù)平均分組問題將6人分成兩組，再選出各組隊(duì)長，最后分配到兩個(gè)場館即可.
【詳解】解：根據(jù)平均分組問題將6人分成兩組，每組3人，有種不同的分法；
再選各組的組長，有種情況，
最后將兩組分配到A，B兩個(gè)場館，則有種可能，
所以，根據(jù)乘法原理得共有種不同的方案.
故答案為：
24．（2022·貴州貴陽·一模（理））在2022年北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)城市志愿者的招募項(xiàng)目中，有一個(gè)“國際服務(wù)”項(xiàng)目截止到2022年1月25日還有8個(gè)名額空缺，需要分配給3個(gè)單位，則每個(gè)單位至少一個(gè)名額且各單位名額互不相同的分配方法種數(shù)是_____________.
【答案】12
【分析】首先確定各單位名額互不相同的分配方式種數(shù)，再應(yīng)用全排列求每種方式的分配方法數(shù)，即可得結(jié)果.
【詳解】各單位名額互不相同，則8個(gè)名額的分配方式有、兩種，
對于其中任一種名額分配方式，將其分配給3個(gè)單位的方法有種，
所以每個(gè)單位至少一個(gè)名額且各單位名額互不相同的分配方法種數(shù)為種.
故答案為：12.
25（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁4個(gè)小球放入編號(hào)分別為，，，的四個(gè)盒子中，恰好只有一個(gè)空盒，若乙只能放入盒，甲不能放入盒，則分配方法共有_________種．（用數(shù)字作答）
【答案】26
【分析】為空盒時(shí)， 中放一個(gè)球時(shí)， 中放兩個(gè)球時(shí)，依次計(jì)算即可得出結(jié)果.
【詳解】為空盒時(shí)，若中只有一個(gè)球時(shí)， 中有兩個(gè)球時(shí)，,則方法數(shù)為，
中放一個(gè)球時(shí)， 只能為丙或丁，若中只有一個(gè)球時(shí)，另外兩個(gè)球放入一個(gè)盒中， 中有兩個(gè)球時(shí)，則方法數(shù)為，
中放兩個(gè)球時(shí)，只能是丙丁，甲放入中的一個(gè)，方法數(shù)為.
綜上方法數(shù)為種.
故答案為：26
26（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））中國古代的五經(jīng)是指：《詩經(jīng)》?《尚書》?《禮記》?《周易》?《春秋》，甲?乙?丙?丁?戊5名同學(xué)分別選取了其中一本不同的書作為課外興趣研讀，若甲乙都沒有選《詩經(jīng)》，乙也沒選《春秋》，則5名同學(xué)所有可能的選擇有___________.
【答案】54
【分析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①甲選擇了《春秋》，②甲沒有選擇《春秋》，分析每種情況下的分法數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論：
①，甲選擇了《春秋》，乙有3種選法，將剩下的三本書全排列，對應(yīng)丙、丁、戊3人，有種情況，則此時(shí)有種分法；
②，甲沒有選擇《春秋》，則甲的選法有3種，乙的選法有2種，將剩下的三本書全排列，對應(yīng)丙、丁、戊3人，有種情況，則此時(shí)有種分法；
則一共有種選法.
故答案為：54．


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