?考點21雙曲線（核心考點講與練）

1.雙曲線的定義
平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|且大于零)的點的軌跡叫雙曲線.這兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫焦距.其數(shù)學(xué)表達式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0：
(1)若ac時，則集合P為空集.
2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
圖　形


性
質(zhì)
范圍
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
對稱性
對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點
頂點
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線
y＝±x
y＝±x
離心率
e＝，e∈(1，＋∞)
實虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長度|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長度|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2＋b2


1.（1）在應(yīng)用雙曲線定義時，要注意定義中的條件，搞清所求軌跡是雙曲線，還是雙曲線的一支．若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支．
（2）在“焦點三角形”中，正弦定理、余弦定理、雙曲線的定義是經(jīng)常使用的知識點．另外，還經(jīng)常結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立它與|PF1||PF2|的聯(lián)系．
2.與雙曲線幾何性質(zhì)有關(guān)問題的解題策略
在研究雙曲線的性質(zhì)時，實半軸、虛半軸所構(gòu)成的直角三角形是值得關(guān)注的一個重要內(nèi)容；雙曲線的離心率涉及的也比較多．由于e＝是一個比值，故只需根據(jù)條件得到關(guān)于a，b，c的一個關(guān)系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后變形求e，并且需注意e＞1．
3.圓錐曲線的弦長
（1）圓錐曲線的弦長
直線與圓錐曲線相交有兩個交點時，這條直線上以這兩個交點為端點的線段叫作圓錐曲線的弦(就是連接圓錐曲線上任意兩點所得的線段)，線段的長就是弦長．
（2）圓錐曲線的弦長的計算
設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝＝|x1－x2|＝ ·|y1－y2|．(拋物線的焦點弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝，θ為弦AB所在直線的傾斜角)．

雙曲線的定義
一、單選題
1．（2022·廣東潮州·二模）若點P是雙曲線上一點，，分別為的左、右焦點，則“”是“”的（???????）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)雙曲線的定義和充分不必要條件的定義可得答案.
【詳解】由題意可知，，，，
若，則，或1（舍去），
若，，或13，
故“”是“”的充分不必要條件．
故選：A．
2．（2022·天津河西·一模）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，c是雙曲線C的半焦距，點A是圓上一點，線段交雙曲線C的右支于點B，，，則雙曲線C的離心率為（???????）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知及雙曲線的定義，可把用a表示，再用勾股定理推出，在中，利用勾股定理建立a，c的關(guān)系式即可求出離心率.
【詳解】如下圖，由題意可知，由雙曲線定義可知，

易得，由勾股定理可得，在中，再由勾股定理得，所以.
故選：A.
3．（2022·遼寧沈陽·二模）已知雙曲線的兩個焦點為、，點M，N在C上，且，，則雙曲線C的離心率為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)，，由雙曲線對稱性可知，直線與交于y軸上一點P，且為等腰直角三角形，可得的坐標(biāo)，分別求出，再根據(jù)雙曲線的定義即可得出答案.
【詳解】解：因為，，
由雙曲線對稱性可知，直線與交于y軸上一點P，
且為等腰直角三角形，
所有，
如圖，則，，，
所以，，
則，即，
則．
故選：D.

4．（2022·湖南永州·三模）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，為坐標(biāo)原點，點在雙曲線的右支上，（為雙曲線的半焦距），直線與雙曲線右支交于另一個點，，則雙曲線的離心率為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合直角三角形的相關(guān)性質(zhì)可得解.
【詳解】

如圖所示，
由，，得，
，
設(shè)，
由雙曲線定義得，
所以，，，
又，即，解得，
所以，，
又，即，即，
所以離心率，
故選：D.
二、多選題
5．（2022·山東泰安·二模）已知雙曲線C：的離心率為，且其右頂點為，左，右焦點分別為，，點P在雙曲線C上，則下列結(jié)論正確的是（???????）
A．雙曲線C的方程為
B．點A到雙曲線C的漸近線的距離為
C．若，則
D．若，則的外接圓半徑為
【答案】ABD
【分析】由離心率為，右頂點為求出雙曲線方程，再利用點到直線的距離，雙曲線的定義及性質(zhì)依次判斷4個選項即可.
【詳解】由離心率為，右頂點為可得，，故雙曲線C的方程為，A正確；
雙曲線的漸近線為，故點A到雙曲線C的漸近線的距離為，B正確；
由雙曲線的定義，，則或10，C錯誤；
，則，的外接圓半徑為，D正確.
故選：ABD.
6．（2022·河北唐山·二模）雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖，是雙曲線的左、右焦點，從右焦點發(fā)出的光線m交雙曲線右支于點P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線n的反向延長線過左焦點．若雙曲線C的方程為，下列結(jié)論正確的是（???????）

A．若，則
B．當(dāng)n過時，光由所經(jīng)過的路程為13
C．射線n所在直線的斜率為k，則
D．若，直線PT與C相切，則
【答案】CD
【分析】對于A：判斷出，由定義和勾股定理聯(lián)立方程組即可求得；對于B：利用雙曲線的定義直接求得；對于C：先求出雙曲線的漸近線方程，由P在雙曲線右支上，即可得到n所在直線的斜率的范圍；對于D：設(shè)直線PT的方程為.利用相切解得，進而求出.即可求出.
【詳解】對于A：若，則.
因為P在雙曲線右支上，所以.由勾股定理得：
二者聯(lián)立解得：.故A錯誤；
對于B：光由所經(jīng)過的路程為.

故B錯誤；
對于C：雙曲線的方程為.設(shè)左、右頂點分別為A、B.如圖示：
當(dāng)與同向共線時，的方向為，此時k=0，最小.
因為P在雙曲線右支上，所以n所在直線的斜率為.即.

故C正確.
對于D：設(shè)直線PT的方程為.
，消去y可得：.
其中，即，解得
代入，有，解得：x=9.
由P在雙曲線右支上，即，解得：（舍去），所以.
所以.
故D正確
故選：CD
7．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）已知點，，若某直線上存在點P，使得，則稱該直線為“好直線”，下列直線是“好直線”的是（???????）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】由題意，點P應(yīng)該是在雙曲線 上，即“好直線”就是與雙曲線有交點的直線.
【詳解】由題意， ，雙曲線的方程為，
“好直線”就是與雙曲線有交點的直線，
對于A，聯(lián)立方程 ，解得 無解，故A不是“好直線”；
對于B，聯(lián)立方程 ，解得 ， ，故B是“好直線”；
對于C，聯(lián)立方程 ，解得 ，無解，故C不是“好直線”；
對于D，聯(lián)立方程 ，解得 ，???，即直線 與雙曲線有交點，
故D是“好直線”；
故選BD.
三、填空題
8．（2022·遼寧葫蘆島·一模）已知雙曲線G的方程，其左、右焦點分別是，，已知點P坐標(biāo)為，雙曲線G上點，滿足，則______．
【答案】8
【分析】設(shè)的內(nèi)切圓與三邊分別相切于，利用切線長相等求得內(nèi)切圓圓心橫坐標(biāo)為，又由得在的平分線上，進而得到即為內(nèi)心，應(yīng)用雙曲線的定義求得面積差即可.
【詳解】

如圖，設(shè)的內(nèi)切圓與三邊分別相切于，可得，又由雙曲線定義可得，則，又，解得，則點橫坐標(biāo)為，即內(nèi)切圓圓心橫坐標(biāo)為.
又，可得，化簡得，即，
即是的平分線，由于，，可得即為的內(nèi)心，且半徑為2，則.
故答案為：8.
【點睛】本題關(guān)鍵點在于先利用切線長定理求得內(nèi)切圓圓心橫坐標(biāo)為，再由得到在的平分線上，結(jié)合的橫坐標(biāo)為進而得到即為內(nèi)心，利用雙曲線定義及面積公式即可求解.
四、解答題
9．（2022·全國·模擬預(yù)測）雙曲線的左、右焦點分別為，，焦距等于8，點M在雙曲線C上，且，的面積為12.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)雙曲線C的左、右頂點分別為A，B，過的斜率不為的直線l與雙曲線C交于P，Q兩點，連接AQ，BP，求證：直線AQ與BP的交點恒在一條定直線上.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)直角三角形的面積公式以及雙曲線的定義求出可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去得關(guān)于的一元二次方程，利用韋達定理得到和，用點斜式表示出直線AQ與直線BP的方程，聯(lián)立求解交點，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得交點的橫坐標(biāo)為定值即可得解.
(1)依題意，由雙曲線的對稱性不妨設(shè)，，
因為，所以有,
則，，
所以，得，
所以，
所以雙曲線C的方程為.
(2)由題意得，，，易知直線l的斜率不等于.
設(shè)直線l的方程為，，，則.
由消去x整理得，
則，
則，.
（用點斜式表示出直線AQ與直線BP的方程，聯(lián)立求解交點，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得交點的橫坐標(biāo)）
直線AQ的方程：，直線BP的方程：，
令，得.
因為，，所以，
展開整理得，
即，
即,
即，
即，
所以.所以直線AQ與BP的交點恒在定直線上.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：用點斜式表示出直線AQ與直線BP的方程，聯(lián)立求解交點，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得交點的橫坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.
10．（2022·福建漳州·一模）已知雙曲線的左?右焦點分別為，，點是右支上一點，若I為的內(nèi)心，且.
(1)求的方程；
(2)點A是在第一象限的漸近線上的一點，且軸，在點P處的切線l與直線相交于點M，與直線相交于點N.證明：無論點P怎么變動，總有.
【答案】(1)；(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式及雙曲線定義化簡可得，求出即可得出方程；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率并化簡可得，求出切線及切線與直線的交點，利用兩點間距離公式并結(jié)合雙曲線方程化簡可得.
(1)設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，
則，
因為，
所以，
即，可得，
所以，
由雙曲線的定義和幾何性質(zhì)，得，
又，解得，
所以的方程為.
(2)由題意可知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為.
由可得
由題意知.
若點P在雙曲線右支的上半支上，則
所以，故
因為, 所以,
若點P在雙曲線右支的下半支上，則
同理可得
綜上，，代入直線l的方程得,
即，
由，可得，
所以直線l的方程為, 即
因為直線的方程為x=2，
所以直線l與直線的交點,
直線l與直線的交點
所以,

，
即得證.


雙曲線的幾何性質(zhì)
1．（2021“四省八?！备呷蠈W(xué)期期中質(zhì)量檢測）過雙曲線（，）的右焦點作雙曲線漸近線的垂線段，垂足為，線段與雙曲線交于點，且滿足，則雙曲線離心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用漸近線的斜率，求出，，進而利用相似和求出點點A的坐標(biāo)，代入到雙曲線方程中，得到關(guān)于的方程，求出離心率即可
【詳解】因為雙曲線漸近線方程為，所以，如圖，在直角三角形中，，，又因為

故，，過、A分別作的垂線，垂足分別為、，
則由得：，又，故，
，故可得點A的坐標(biāo)為，
所以，整理得，解得，
故選：．
2.（2021安徽省安慶市懷寧中學(xué)高三上學(xué)期模擬）若雙曲線的一條漸近線與直線相互垂直，則雙曲線的兩個焦點與虛軸的一個端點構(gòu)成的三角形的面積為（ ）
A. B. C. 6 D. 8
【答案】B
【分析】先求出m，再求出焦點坐標(biāo)和短軸頂點坐標(biāo)，直接求面積即可.
【詳解】因為雙曲線的一條漸近線與直線相互垂直，
所以，解得：m=9.
雙曲線的兩個焦點為，虛軸的一個端點.
所以三角形的面積為.
故選：B
直線與雙曲線的位置關(guān)系
1.．（江西省南昌市灣里區(qū)第一中學(xué)等六校聯(lián)考）已知雙曲線C：（a> 0，b> 0）的離心率為，實軸長為2．
（1）求雙曲線的焦點到漸近線的距離；
（2）若直線y=x+m被雙曲線CC截得的弦長為，求m的值．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根據(jù)已知計算雙曲線的基本量，得雙曲線焦點坐標(biāo)及漸近線方程，再用點到直線距離公式得解．
（2）直線方程代入雙曲線方程，得到關(guān)于的一元二次方程，運用韋達定理弦長公式列方程得解．
（1）雙曲線離心率為，實軸長為2，
，，解得，，
，
所求雙曲線C的方程為；
∴雙曲線C的焦點坐標(biāo)為，漸近線方程為，即為，
∴雙曲線的焦點到漸近線的距離為．
（2）設(shè)，，
聯(lián)立，，，
，．
，
，
解得．
2.（2021河北省部分名校高二上學(xué)期期中）在①雙曲線的焦點在軸上，②雙曲線的焦點在軸上這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答．
已知雙曲線的對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點，．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若雙曲線與雙曲線的漸近線相同，______，且的焦距為4，求雙曲線的實軸長．
注：若選擇兩個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】（1） （2）答案不唯一，具體見解析
【分析】(1)設(shè)雙曲線的方程為，將點A、B的坐標(biāo)代入計算即可；
(2)由(1)可得雙曲線的漸近線方程，若選①則設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，進而可得a、b、c的關(guān)系式，計算即可；若選②則設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，同理計算即可.
【小問1詳解】
設(shè)雙曲線的方程為，
則，解得，
所以雙曲線的方程為；
【小問2詳解】
雙曲線的漸近線方程為．
選①，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
所以解得，．
所以雙曲線的實軸長為2．
選②，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
所以，解得，，
所以雙曲線的實軸長為．

1.（2021年全國高考甲卷）點到雙曲線的一條漸近線的距離為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】首先確定漸近線方程，然后利用點到直線距離公式求得點到一條漸近線的距離即可.
【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：，即，
結(jié)合對稱性，不妨考慮點到直線的距離：.
故選：A.
2.（2021年全國高考乙卷）已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為_________．
【答案】4
【分析】將漸近線方程化成斜截式，得出的關(guān)系，再結(jié)合雙曲線中對應(yīng)關(guān)系，聯(lián)立求解，再由關(guān)系式求得，即可求解.
【詳解】由漸近線方程化簡得，即，同時平方得，又雙曲線中，故，解得（舍去），，故焦距.
故答案為：4.
【點睛】本題為基礎(chǔ)題，考查由漸近線求解雙曲線中參數(shù)，焦距，正確計算并聯(lián)立關(guān)系式求解是關(guān)鍵.
3.（2020年全國統(tǒng)一高考（新課標(biāo)Ⅰ））設(shè)是雙曲線的兩個焦點，為坐標(biāo)原點，點在上且，則的面積為（ ）
A. B. 3 C. D. 2
【答案】B
【分析】由是以P為直角直角三角形得到，再利用雙曲線的定義得到，聯(lián)立即可得到，代入中計算即可.
【詳解】由已知，不妨設(shè)，
則，因為，
所以點在以為直徑的圓上，
即是以P為直角頂點的直角三角形，
故，
即，又，
所以，
解得，所以
故選：B
【點晴】本題考查雙曲線中焦點三角形面積的計算問題，涉及到雙曲線的定義，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，是一道中檔題.
4.（2021年全國新高考Ⅰ卷）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點、，點的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）設(shè)點在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點和，兩點，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1) 利用雙曲線的定義可知軌跡是以點、為左、右焦點雙曲線的右支，求出、的值，即可得出軌跡的方程；
(2)方法一：設(shè)出點的坐標(biāo)和直線方程，聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，結(jié)合韋達定理求得直線的斜率，最后化簡計算可得的值.
【詳解】(1) 因為，
所以，軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的右支，
設(shè)軌跡的方程為，則，可得，，
所以，軌跡的方程為.
（2）[方法一] 【最優(yōu)解】：直線方程與雙曲線方程聯(lián)立
如圖所示，設(shè),
設(shè)直線的方程為．

聯(lián)立,
化簡得.
則．
故．
則．
設(shè)的方程為，同理．
因為，所以，
化簡得，
所以，即．
因為，所以．
[方法二] ：參數(shù)方程法
設(shè)．設(shè)直線的傾斜角為，
則其參數(shù)方程為，
聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，
可得，
整理得．
設(shè)，
由根與系數(shù)的關(guān)系得．
設(shè)直線的傾斜角為，，
同理可得
由，得．
因為，所以．
由題意分析知．所以，
故直線的斜率與直線的斜率之和為0．
[方法三]：利用圓冪定理
因為，由圓冪定理知A，B，P，Q四點共圓．
設(shè),直線的方程為，
直線的方程為,
則二次曲線．
又由，得過A，B，P，Q四點的二次曲線系方程為：
，
整理可得：
，
其中．
由于A，B，P，Q四點共圓，則xy項的系數(shù)為0，即.
【整體點評】(2)方法一：直線方程與二次曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理處理圓錐曲線問題是最經(jīng)典的方法，它體現(xiàn)了解析幾何的特征，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；
方法二：參數(shù)方程的使用充分利用了參數(shù)的幾何意義，要求解題過程中對參數(shù)有深刻的理解，并能夠靈活的應(yīng)用到題目中.
方法三：圓冪定理的應(yīng)用更多的提現(xiàn)了幾何的思想，二次曲線系的應(yīng)用使得計算更為簡單.

一、單選題
1．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告；正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其它兩觀測點晚2s，已知各觀測點到該中心的距離是680m，則該巨響發(fā)生在接報中心的（???????）處(假定當(dāng)時聲音傳播的速度為340m/s，相關(guān)各點均在同一平面上)
A．西偏北45°方向，距離340m B．東偏南45°方向，距離340m
C．西偏北45°方向，距離170m D．東偏南45°方向，距離170m
【答案】A
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，由條件確定該巨響發(fā)生的軌跡，聯(lián)立方程組求其位置.
【詳解】如圖，

以接報中心為原點，正東、正北方向為軸、軸正向，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)分別是西、東、北觀測點，則
設(shè)為巨響為生點，由 同時聽到巨響聲，得，故在的垂直平分線上，的方程為，因點比點晚聽到爆炸聲，故，
由雙曲線定義知點在以為焦點的雙曲線左支上，
依題意得
故雙曲線方程為，將 代入上式，得 ，即
故 .
故巨響發(fā)生在接報中心的西偏北距中心處．
故選：A.
2．（2022·山東淄博·模擬預(yù)測）雙曲線的離心率為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由方程已知a、b，再結(jié)合求c，代入離心率．
【詳解】∵雙曲線，則
可得：
∴
故選：D．
3．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知雙曲線E：的離心率為，若有一直線過E的右頂點A且與一條漸近線平行，交y軸于點B，則△OAB的面積是（???????）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】由離心率先求出的值，得出漸近線的方程，得出過點與漸近線平行直線，從而得出點 的坐標(biāo)，求出三角形的面積
【詳解】雙曲線E：的離心率為，解得
所以E的右頂點A，雙曲線E的漸近線方程為
設(shè)過點的直線與漸近線平行，則其方程為，則
所以
故選：A

4．（2022·山東濟寧·二模）過雙曲線C：的左焦點F作圓的切線，設(shè)切點為A，直線FA交直線于點B，若，則雙曲線C的漸近線方程為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意得到直線的方程，和直線聯(lián)立求出點的橫坐標(biāo)，再利用等面積得到點的縱坐標(biāo)，由求得點的縱坐標(biāo)，利用點的縱坐標(biāo)相等即可計算
【詳解】因為直線FA交直線于點B，直線與圓切于點，
所以，
因為，所以，
在中，，
所以直線的方程為，
由，得即點的橫坐標(biāo)為，
在中，根據(jù)等面積可得，
因為，所以，
因為
所以，
所以，
所以，
所以，所以，所以，
所以漸近線方程為，
故選：B
5．（2022·天津南開·一模）已知雙曲線的與拋物線的一個交點為M．若拋物線的焦點為F，且，則雙曲線的焦點到漸近線的距離為（???????）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意求出為M的坐標(biāo)代入雙曲線求出，利用點到直線距離公式可求雙曲線的焦點到漸近線的距離.
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，因為，且，
所以，代入到拋物線中，得，
所以，將代入到雙曲線中，得，即，
設(shè)雙曲線的焦點，漸近線為，即，
所以雙曲線的焦點到漸近線的距離為，
故選：D.
6．（2022·天津河?xùn)|·一模）已知雙曲線的焦點為，，拋物線的準(zhǔn)線與交于M，N兩點，且三角形為正三角形，則雙曲線的離心率為（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意可得，因為三角形為正三角形，可得：，即可求出雙曲線的離心率.
【詳解】拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，所以的準(zhǔn)線方程為，焦點坐標(biāo)為，由，解得：，則，因為三角形為正三角形，所以，所以，即，解得：.
故選：A.
二、多選題
7．（2022·遼寧·建平縣實驗中學(xué)模擬預(yù)測）已知?分別為雙曲線的左?右焦點，點M為雙曲線右支上一點，設(shè)，則下列說法正確的是(???????)
A．線段長度的最小值為
B．線段長度的最小值為
C．若當(dāng)時，(O為坐標(biāo)原點)恰好為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為
D．當(dāng)時，若直線與圓相切，則雙曲線C的漸近線的斜率的絕對值為
【答案】ACD
【分析】根據(jù)雙曲線焦半徑和通徑的性質(zhì)可判斷AB；根據(jù)可判斷C；設(shè)與圓相切于A，連接OA，則OA⊥；過作于點B，根據(jù)幾何關(guān)系求出、，從而求出，再求出，根據(jù)可求，從而可求雙曲線漸近線的斜率絕對值，從而判斷D．
【詳解】當(dāng)M為雙曲線右頂點時，線段長度的最小值為，故A正確；
當(dāng)x軸時，線段長度的最小值為或(與離心率有關(guān))，故B錯誤；
對于C，若當(dāng)時，為等邊三角形，
則，，，
∴離心率，故C正確；
對于D，如圖，設(shè)與圓相切于A，連接OA，則OA⊥；過作于點B，

則，，，，，．
∵M在雙曲線上，∴，即，
∴，則雙曲線漸近線斜率的絕對值為，故D正確．
故選：ACD．
8．（2022·江蘇·新沂市第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知雙曲線的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，右頂點為A，M為OA的中點，P為雙曲線C右支上一點且，且，則(???????)
A．C的離心率為2 B．C的漸近線方程為
C．PM平分 D．
【答案】ACD
【分析】在直角三角形中，利用列出關(guān)于a、b、c的齊次式求出離心率，從而判斷A；根據(jù)離心率求出漸近線方程，從而判斷B；根據(jù)是否相等即可判斷PM是否平分，從而判斷C；根據(jù)、的比例關(guān)系，利用平面向量的線性運算即可表示用表示，從而判斷D.
【詳解】由可知，
由得，，
即，即，即，∴，故A正確；
由，∴雙曲線漸近線為，故B錯誤；
由，﹒
則，，
∴；
∵，，∴，
∴，∴根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知PM平分，故C正確；
，，
，故D正確；
故選：ACD．

【點睛】本題主要考察與雙曲線的焦半徑和焦點三角形有關(guān)的性質(zhì)，考察構(gòu)造關(guān)于a、b、c的齊次式求離心率的方法，考察利用角平分線的性質(zhì)，考察了向量的線性運算，解題時需數(shù)形結(jié)合，合理運用圖形的幾何關(guān)系.
9．（2022·江蘇·沭陽如東中學(xué)模擬預(yù)測）已知直線y=kx（k≠0）與雙曲線交于A，B兩點，以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點F，若三角形ABF的面積為，則以下正確的結(jié)論有（?????）
A．雙曲線的離心率為2 B．雙曲線的離心率為
C．雙曲線的漸近線方程為y=±2x D．
【答案】BCD
【分析】設(shè)出，得到方程組，求出，或，從而得到離心率，及漸近線方程，利用余弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系得到傾斜角的正切值，從而求出斜率.
【詳解】以為直徑的圓過右焦點，以為直徑的圓：
設(shè)，則，，
∴
解得：，或，所以，即A錯誤，B正確.
漸近線方程C正確.
D選項，不妨設(shè)，且點B在第一象限，則

，此時同理可得：當(dāng)時，
D正確，
故選：BCD.
10．（2022·重慶·二模）已知雙曲線的左、右頂點分別為，，左、右焦點分別為，，點是雙曲線的右支上一點，且三角形為正三角形（為坐標(biāo)原點），記，的斜率分別為，，設(shè)為的內(nèi)心，記，，的面積分別為，，，則下列說法正確的是（???????）
A． B．雙曲線的離心率為
C． D．
【答案】ABD
【分析】對于A，先求出點坐標(biāo)，求出和的坐標(biāo)，即可計算；對于B，將點坐標(biāo)代入雙曲線的方程，建立與的齊次方程即可求出離心率；對于C，代斜率的坐標(biāo)計算公式化簡可求，對于D，分別化簡，，，結(jié)合與的數(shù)量關(guān)系即可判斷
【詳解】

因為為正三角形，所以
所以，
所以
故A正確
將點坐標(biāo)代入雙曲線方程可得
即
即
即
即
設(shè)（），則
解之得：或（舍）
所以，所以
故B正確

故C錯誤

設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，，


所以，即，故D正確
故選：ABD
三、填空題
11．（2022·廣東韶關(guān)·二模）過雙曲線的一個焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于P，Q兩點，則|PQ|=_________．
【答案】
【分析】由題意可知曲線為等軸雙曲線，結(jié)合等軸雙曲線的性質(zhì)可得答案.
【詳解】由題意可知，，，，雙曲線是等軸雙曲線，則兩條漸近線的夾角是90°，因為在直角三角形中，斜邊中線是斜邊一半，故．
故答案為：
12．（2022·湖北武漢·二模）如圖，發(fā)電廠的冷卻塔外形是由雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所得到的曲面，該冷卻塔總高度為70米，水平方向上塔身最窄處的半徑為20米，最高處塔口半徑25米，塔底部塔口半徑為米，則該雙曲線的離心率為___________.

【答案】
【分析】以冷卻塔的軸截面的最窄處所在的直線為軸，垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的方程為，由題意求出可得答案.
【詳解】如圖，以冷卻塔的軸截面的最窄處所在的直線為軸，垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的方程為，由題意知，所以，
，，
所以，解得，
所以，
所以.
故答案為：.

13．（2022·海南海口·模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：的焦點為F，雙曲線E：的右頂點為線段OF的中點，E與C交于A，B兩點．若F是△ABO的重心，則E的離心率為______．
【答案】2
【分析】由題意求出拋物線的焦點為F，得到則E的右頂點為（1，0），即a＝1，根據(jù)F是△ABO的重心，可得直線AB的方程為x＝3，進一步求出A，B坐標(biāo)，代入雙曲線得到，解得，最終求出離心率．
【詳解】設(shè)雙曲線E的半焦距為c（c>0）．
由題意可知：拋物線的焦點為F（2，0），則E的右頂點為（1，0），
所以a＝1，由F是△ABO的重心，可得直線AB的方程為x＝3，
可知，，
代入雙曲線方程得到，
解得，
所以，
所以離心率．
故答案為：2.
14．（2022·江西·二模（理））已知雙曲線C：的左焦點為，點P在圓：上，若線段FP恰好被C的一條漸近線垂直平分，則C的離心率為___________.
【答案】2
【分析】先求得圓的圓心和半徑，根據(jù)三角形是等邊三角形求得直線的斜率，從而求得漸近線的斜率，進而求得雙曲線的離心率.
【詳解】,，圓心為，半徑為，
圓心為C的右焦點，，
不妨設(shè)點P在第一象限，三角形是等邊三角形，則，
所以直線PF的斜率，
從而，，故C的離心率.
故答案為：
15．（2022·內(nèi)蒙古通遼·二模（理））雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線E的離心率為______．
【答案】2
【分析】列方程得到關(guān)于雙曲線E的a、c的等式，即可求得雙曲線E的離心率.
【詳解】圓的圓心（2，0），半徑為1
雙曲線的漸近線
因為雙曲線E的漸近線與圓C相切，所以，則．
故答案為：2
四、解答題
16．（2022·山東濰坊·二模）已知M，N為橢圓和雙曲線的公共頂點，，分別為和的離心率．
(1)若．
（?。┣蟮臐u近線方程；
（ⅱ）過點的直線l交的右支于A，B兩點，直線MA，MB與直線相交于，兩點，記A，B，，的坐標(biāo)分別為，，，，求證：；
(2)從上的動點引的兩條切線，經(jīng)過兩個切點的直線與的兩條漸近線圍成三角形的面積為S，試判斷S是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．
【答案】(1)（?。?；（ⅱ）證明見解析(2)是定值，
【分析】（1）（?。└鶕?jù)橢圓和雙曲線的離心率公式求得，即可求出雙曲線的漸近線方程；
（ⅱ）直線AB的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理求得，從而可求出，再根據(jù)直線的方程可求出，從而可求得，整理即可得證；
（2）設(shè)兩個切點，，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)求出，同理可求得直線的斜率，求出直線的方程，然后可求出直線與兩條漸近線的交點坐標(biāo)，計算整理即可得出結(jié)論.
(1)解：由題意得，，
所以，
又，解得，
（?。┕孰p曲線的漸近線方程為，
（ⅱ）設(shè)直線AB的方程為，
則消元得，，，
且，所以，故，
又直線的方程為，
所以，同理，
所以
，
故；

(2)解：設(shè)兩個切點，，由題意知，斜率存在，
直線的方程為，
聯(lián)立由得，所以，
同理直線方程為，
由，過P點可得可得直線的方程為，
不妨設(shè)，直線與雙曲線兩漸近線交于兩點，，
則圍成三角形的面積，
因P在雙曲線上，，
則為定值.
【點睛】本題考查了橢圓與雙曲線的綜合問題，考查了橢圓和雙曲線的性質(zhì)，考查了橢圓和雙曲線中的定值問題，及橢圓中三角形的面積問題，計算量很大，對數(shù)據(jù)分析處理能力要求很高，屬于難題.
17．（2022·江蘇·南京市第一中學(xué)三模）雙曲線：經(jīng)過點，且漸近線方程為．
(1)求的值；
(2)若拋物線與C的右支交于點，證明：直線過定點．
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）由雙曲線過點，且漸近線方程可求得答案；
（2）拋物線與雙曲線聯(lián)立，并設(shè)出,求出線的方程即可證明.
(1)由雙曲線過點，有，由漸近線方程為，有，可解得.
(2)由題意，拋物線與雙曲線聯(lián)立，，
因為拋物線與雙曲線的右支相交，因此要滿足.
設(shè)，即，且，
所以有，可得.
而直線的斜率為，
所以直線的方程為，即，又因為，
所以直線的方程化簡為，所以其過定點.
18．（2022·河北秦皇島·二模）已知雙曲線的左?右焦點分別為，，虛軸長為，離心率為，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知，若的外心的橫坐標(biāo)為0，求直線的方程.
【答案】(1)(2)或
【分析】（1）根據(jù)虛軸長為，離心率為，由求解；
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，根據(jù)外接圓的圓心的橫坐標(biāo)為0，得到判斷.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)直線與雙曲線的右支交于，兩點，求得k的范圍，設(shè)線段的中點為M，利用弦長公式和求解.
(1)由題知
因為，所以，
故雙曲線的方程為.
(2)由（1）知.
當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，則，.
因為為等腰三角形，且外接圓的圓心的橫坐標(biāo)為0，
所以.
因為，，所以，故此時不合題意.
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組得，
由
解得，即或.
設(shè)，，則，，
因為，
所以線段的中點為，
且.
設(shè)，因為在線段的垂直平分線上，所以，
得，即，故.
因為，且，
所以，
化簡得，
得或（舍去），
所以直線的方程為，
即直線的方程為或.
19．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左，右焦點分別為，．且該雙曲線過點．

(1)求C的方程；
(2)如圖．過雙曲線左支內(nèi)一點作兩條互相垂直的直線分別與雙曲線相交于點A，B和點C，D．當(dāng)直線AB，CD均不平行于坐標(biāo)軸時，直線AC，BD分別與直線相交于P．Q兩點，證明：P，Q兩點關(guān)于x軸對稱．
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)已知條件，建立關(guān)于的方程組，求解方程組即可得答案；
（2）由題意，設(shè)直線的方程為，直線的方程為，點 ，聯(lián)立，由韋達定理可得，同理可得，由直線的方程可得，同理可得，然后計算即可得證.
(1)解：由已知可得，解得，
所以雙曲線C的方程為；
(2)證明：由題意，設(shè)直線的方程為，直線的方程為，點 ，
由，得 ，
則，得，
所以，
同理可得，其中滿足，
直線的方程為，令，得,
又，所以，即，
同理可得，
因為，
所以兩點關(guān)于軸對稱.



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