?考點22 拋物線（核心考點講與練）

1.拋物線的定義
(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(F?l)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.
(2)其數(shù)學(xué)表達式：{M||MF|＝d}(d為點M到準(zhǔn)線l的距離).
2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
圖形




標(biāo)準(zhǔn)
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的幾何意義：焦點F到準(zhǔn)線l的距離
性
質(zhì)
頂點
O(0，0)
對稱軸
y＝0
x＝0
焦點
F
F
F
F
離心率
e＝1
準(zhǔn)線方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
開口方向
向右
向左
向上
向下

1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：
①求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，因為未知數(shù)只有p，所以只需一個條件確定p值即可．
②因為拋物線方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，因此求拋物線方程時，需先定位，再定量．
（2）利用拋物線的定義解決此類問題，應(yīng)靈活地運用拋物線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線距離的等價轉(zhuǎn)化．“看到準(zhǔn)線想到焦點，看到焦點想到準(zhǔn)線”，這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的有效途徑．
2.確定及應(yīng)用拋物線性質(zhì)的技巧：
①利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點、準(zhǔn)線等性質(zhì)時，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程．
②要結(jié)合圖形分析，靈活運用平面幾何的性質(zhì)以圖助解．
3.(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系．
(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．
(3)研究直線與拋物線的位置關(guān)系與研究直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系的方法類似，一般是聯(lián)立兩曲線方程，但涉及拋物線的弦長、中點、距離等問題時，要注意“設(shè)而不求”、“整體代入”、“點差法”以及定義的靈活應(yīng)用．

拋物線的定義與方程
一、單選題
1．（2022·廣東·二模）已知拋物線E：，圓F：，直線l：（t為實數(shù)）與拋物線E交于點A，與圓F交于B，C兩點，且點B位于點C的右側(cè)，則△FAB的周長可能為（???????）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】先判斷出拋物線焦點和圓心重合，由拋物線定義得，又，可得△FAB的周長為，又知，即可求解.
【詳解】

由題意知：拋物線焦點恰為圓心，拋物線準(zhǔn)線，圓半徑為2，可得圓與相切，設(shè)直線l：與準(zhǔn)線交于，
由拋物線定義知：，又，故△FAB的周長為，
由圖知，故，結(jié)合選項知：△FAB的周長可能為5.
故選：B.
2．（2022·江蘇·海安高級中學(xué)二模）已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l．點P在C上，直線PF交x軸于點Q，且，則點P到準(zhǔn)線l的距離為（???????）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根據(jù)拋物線的定義即可求解.
【詳解】設(shè)，，∵，,
∴，∴，
∴P到l的距離，
故選：C．
3.（2021北京市第八中學(xué)高三10月月考）已知拋物線第一象限上一點到其焦點的距離為，則點的縱坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
答案】D
【分析】設(shè)點，其中，利用拋物線的定義可求得的值，即為所求.
【詳解】設(shè)點，其中，拋物線的準(zhǔn)線方程為，
由拋物線的定義可得，，解得.
故選：D.

二、多選題
4．（2022·廣東韶關(guān)·二模）已知拋物線 的焦點為F，準(zhǔn)線l交x軸于點D，直線m過D且交C于不同的A，B兩點，B在線段AD上，點P為A在l上的射影．線段PF交y軸于點E，下列命題正確的是（???????）
A．對于任意直線m，均有AE⊥PF
B．不存在直線m，滿足
C．對于任意直線m，直線AE與拋物線C相切
D．存在直線m，使|AF|+|BF|=2|DF|
【答案】AC
【分析】A選項由E為線段PF的中點以及拋物線定義即可判斷；B選項由及拋物線方程求出坐標(biāo)，再說明三點共線，即存在直線即可；C選項設(shè)，表示出直線AE，聯(lián)立拋物線，利用即可判斷；D選項設(shè)出直線，聯(lián)立拋物線得到，通過焦半徑公式結(jié)合基本不等式得即可判斷.
【詳解】A選項，如圖1，由拋物線知O為DF的中點，軸，所以E為線段PF的中點，由拋物線的定義知，所以，所以A正確；

B選項，如圖2，設(shè)，，，，，E為線段PF的中點，則，，
由得，解得，，又，故， ，又，
可得，，故存在直線m，滿足 ，選項B不正確．

C選項，由題意知，E為線段PF的中點，從而設(shè)，則，
直線AE的方程：，與拋物線方程聯(lián)立可得：
，由代入左式整理得：，
所以，所以直線AE與拋物線相切，所以選項C正確．
D選項，如圖3，設(shè)直線m的方程，

，，，
由，得．當(dāng)
，即且時，由韋達定理，得
，．
因為，，所以，
又，，所以成立，故D不正確．
故選：AC．
5．（2022·山東濰坊·二模）已知四面體ABCD的4個頂點都在球O（O為球心）的球面上，△ABC為等邊三角形，M為底面ABC內(nèi)的動點，AB=BD=2，，且，則（???????）

A．平面ACD⊥平面ABC
B．球心O為△ABC的中心
C．直線OM與CD所成的角最小為
D．若動點M到點B的距離與到平面ACD的距離相等，則點M的軌跡為拋物線的一部分
【答案】ABD
【分析】設(shè)的中心為G，取AC的中點E，由題可得平面可判斷A，根據(jù)勾股定理可得進而判斷B，利用特例可判斷C，利用面面垂直的性質(zhì)及拋物線的定義可判斷D.
【詳解】設(shè)的中心為G，取AC的中點E，連接BE，DE，則.

因為，,
所以平面BDE，則，
又△ABC為等邊三角形，，，
所以，，
∴，即，又，
∴平面，平面，
∴平面ACD⊥平面ABC，故A正確；
又∵，
∴，
故為四面體的外接球的球心，即球心O為△ABC的中心，故B正確；
當(dāng)∥時，為直線OM與CD所成的角，
由上知，故C錯誤；
由平面ACD⊥平面ABC可知，動點M到平面ACD的距離即動點M到直線的距離，
由拋物線的定義可知，點M的軌跡為拋物線的一部分，故D正確.
故選：ABD.
6．（2022·山東聊城·二模）已知拋物線：（）的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，過的直線交拋物線于兩點，，則（???????）
A．的準(zhǔn)線方程為
B．若，則
C．若，則的斜率為
D．過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若軸平分，則
【答案】BCD
【分析】根據(jù)拋物線的幾何意義求出，即可得到拋物線的方程，再根據(jù)拋物線的定義判斷A、B、D，設(shè)，，，，直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元列出韋達定理，根據(jù)焦半徑公式計算即可判斷C；
【詳解】解：因為拋物線：（）的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，所以，
所以拋物線方程為，則焦點，準(zhǔn)線為，故A錯誤；
若，則，所以，所以，故B正確；
可設(shè)，，，，
直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，
消去，可得，
可得，，
由拋物線的定義可得
即，即，
解得，則直線的斜率為，故C正確；
對于D，若軸平分，則，又軸，
所以，所以，
所以，即，所以，故D正確；

故選：BCD
7．（2022·遼寧葫蘆島·一模）已知拋物線過點，焦點為F，則（???????）
A．點M到焦點的距離為3
B．直線MF與x軸垂直
C．直線MF與C交于點N，以弦MN為直徑的圓與C的準(zhǔn)線相切
D．過點M與C相切的直線方程為
【答案】AC
【分析】先求出，由拋物線的定義即可判斷A、C選項；B選項由坐標(biāo)即可判斷；D選項易知點M不在直線上即可判斷.
【詳解】由題意知：，解得，即，焦點，準(zhǔn)線.
由拋物線定義知，點M到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離為，故A正確；
由焦點知直線MF不與x軸垂直，故B錯誤；

如圖，設(shè)中點為，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，易知，
故以弦MN為直徑的圓與C的準(zhǔn)線相切，C正確；
由知M不在直線上，故D錯誤.
故選：AC.
三、填空題
8．（2022·遼寧沈陽·二模）已知拋物線的焦點為F，在C上有一點P，，則點P到x軸的距離為______．
【答案】
【分析】根據(jù)拋物線的定義，列出相應(yīng)方程求解即可.
【詳解】由拋物線的定義可知：，所以，代入中，得，
所以，故點P到x軸的距離為為．
故答案為：
拋物線的幾何性質(zhì)
1.（2021北京八中高三上學(xué)期期中）已知直線：和直線：，拋物線上一動點P到直線和直線的距離之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義，可得點P到直線和直線的距離之和，當(dāng)B，P，F(xiàn)三點共線時，最小，再結(jié)合點到直線的距離公式，即可求解．
【詳解】∵拋物線，∴拋物線的準(zhǔn)線為，焦點為，

∴點P到準(zhǔn)線的距離PA等于點P到焦點F的距離PF，即，
∴點P到直線和直線的距離之和，
∴當(dāng)B，P，F(xiàn)三點共線時，最小，
∵，∴，
∴點P到直線和直線的距離之和的最小值為．
故選：A．
2.（2021新疆克拉瑪依市高三第三次模擬檢測）年是中國傳統(tǒng)的“?！蹦辏梢栽谄矫孀鴺?biāo)系中用拋物線與圓勾勒出牛的形象．已知拋物線的焦點為，圓與拋物線在第一象限的交點為，直線與拋物線的交點為，直線與圓在第一象限的交點為，則周長的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】將拋物線與圓方程聯(lián)立可求得點坐標(biāo)，由此可知的取值范圍；利用拋物線定義和圓的半徑可將周長轉(zhuǎn)化為，由范圍可得所求周長取值范圍.
【詳解】由拋物線得：，準(zhǔn)線為；
設(shè)與交于點，由拋物線定義知：；

由圓知：；
由得：，即，則，
設(shè)，，，
的周長為，，周長的取值范圍為.
故選：B.
直線與拋物線的位置關(guān)系
1.（云南省曲靖市第一中學(xué)2022屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測卷）已知直線l： y=x+1與拋物線C： x2=2py（p>0）相交于A， B兩點，若AB的中點為N，且拋物線C上存在點M，使得 （O為坐標(biāo)原點）.
（1）求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若正方形PQHR的三個頂點P， Q， H都在拋物線C上，求正方形PQHR面積的最小值.
【答案】（1）；（2）32.
【分析】（1）聯(lián)立方程由點為的中點，求得點N的坐標(biāo)，再根據(jù)，得到M的坐標(biāo)，代入拋物線方程求解；
（2）設(shè)，直線的斜率為，根據(jù)得到，由，得到，再由得到，然后由正方形的面積為，利用基本不等式求解.
【詳解】（1）設(shè)，聯(lián)立方程組整理得，
則，可得
由點為的中點，所以
設(shè)，因為，可得，
又由點在拋物線：上，
可得，
即，
解得或（舍去），
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)，直線的斜率為，
不妨設(shè)，則，且，
因為，
所以.
由，得，即，
即，
將代入得，
所以，
所以，
所以正方形的面積為
，
，
，
，
因，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.
因為，所以
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
所以正方形的面積的最小值為32.
2.（2021四川省成都市郫都區(qū)高三上學(xué)期階段性檢測）已知拋物線：上的點到焦點的距離為．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)縱截距為的直線與拋物線交于，兩個不同的點，若，求直線的方程．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用拋物線的性質(zhì)即可求解.
（2）設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理，即可求解.
【詳解】（1）由題設(shè)知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，
由點到焦點的距離為，得，解得，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)，，
顯然直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立消去得，
由得，即．
所以，．
又因為，，
所以，
所以，
即，
解得，滿足，
所以直線的方程為．

1.（2020年全國統(tǒng)一高考（新課標(biāo)Ⅰ））已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=（ ）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
【答案】C
【分析】利用拋物線的定義建立方程即可得到答案.
【詳解】設(shè)拋物線的焦點為F，由拋物線的定義知，即，解得.
故選：C.
【點晴】本題主要考查利用拋物線的定義計算焦半徑，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道容易題.
2.（2021年全國新高考Ⅰ卷）已知為坐標(biāo)原點，拋物線：()的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且，若，則的準(zhǔn)線方程為______.
【答案】
【分析】先用坐標(biāo)表示，再根據(jù)向量垂直坐標(biāo)表示列方程，解得，即得結(jié)果.
【詳解】拋物線： ()的焦點,
∵P為上一點，與軸垂直，
所以P的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)為,
不妨設(shè),
因為Q為軸上一點，且，所以Q在F的右側(cè)，
又，

因為，所以,
，
所以的準(zhǔn)線方程為
故答案為：.
【點睛】利用向量數(shù)量積處理垂直關(guān)系是本題關(guān)鍵.
3.（2021年全國高考乙卷） 已知拋物線的焦點F到準(zhǔn)線的距離為2．
（1）求C的方程;
（2）已知O為坐標(biāo)原點，點P在C上，點Q滿足，求直線斜率的最大值.
【答案】（1）；（2）最大值為.
【分析】（1）由拋物線焦點與準(zhǔn)線的距離即可得解；
（2）設(shè)，由平面向量的知識可得，進而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.
【詳解】（1）拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，
由題意，該拋物線焦點到準(zhǔn)線的距離為，
所以該拋物線的方程為；
（2）[方法一]：軌跡方程+基本不等式法
設(shè)，則，
所以，
由在拋物線上可得，即，
據(jù)此整理可得點的軌跡方程為，
所以直線的斜率，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
當(dāng)時，因為，
此時，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立；
當(dāng)時，；
綜上，直線的斜率的最大值為.
[方法二]：【最優(yōu)解】軌跡方程+數(shù)形結(jié)合法
同方法一得到點Q的軌跡方程為．
設(shè)直線的方程為，則當(dāng)直線與拋物線相切時，其斜率k取到最值．聯(lián)立得，其判別式，解得，所以直線斜率的最大值為．
[方法三]：軌跡方程+換元求最值法
同方法一得點Q的軌跡方程為．
設(shè)直線的斜率為k，則．
令，則的對稱軸為，所以．故直線斜率的最大值為．
[方法四]：參數(shù)+基本不等式法
由題可設(shè)．
因為，所以．
于是，所以
則直線的斜率為．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以直線斜率的最大值為．
【整體點評】方法一根據(jù)向量關(guān)系，利用代點法求得Q的軌跡方程，得到直線OQ的斜率關(guān)于的表達式，然后利用分類討論，結(jié)合基本不等式求得最大值；
方法二 同方法一得到點Q的軌跡方程，然后利用數(shù)形結(jié)合法，利用判別式求得直線OQ的斜率的最大值，為最優(yōu)解；
方法三同方法一求得Q的軌跡方程，得到直線的斜率k的平方關(guān)于的表達式，利用換元方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求得最大值，進而得到直線斜率的最大值；
方法四利用參數(shù)法，由題可設(shè)，求得x,y關(guān)于的參數(shù)表達式，得到直線的斜率關(guān)于的表達式，結(jié)合使用基本不等式，求得直線斜率的最大值.

一、單選題
1．（2022·山東泰安·二模）已知以F為焦點的拋物線上的兩點A，B（點A的橫坐標(biāo)大于點B的橫坐標(biāo)），滿足（O為坐標(biāo)原點），弦AB的中點M的橫坐標(biāo)為，則實數(shù)（???????）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)已知及拋物線的幾何性質(zhì)求出，再由已知求出的值.
【詳解】由題意可得拋物線的焦點.
弦AB的中點M的橫坐標(biāo)為，
由已知條件可知直線AB的斜率存在.
設(shè)直線AB的方程為，，
則聯(lián)立，消去y得，
∴，又因為弦AB的中點M的橫坐標(biāo)為，
∴，∴，，
∴點A到準(zhǔn)線的距離為，
點B到準(zhǔn)線的距離為，
所以∴，
又，故.
故選：D
2．（2022·河北唐山·二模）F為拋物線的焦點，點在C上，直線MF交C的準(zhǔn)線于點N，則（???????）
A． B． C．5 D．12
【答案】B
【分析】依據(jù)兩點間距離公式去求
【詳解】點在拋物線上，則，解之得，則
又拋物線的焦點F，準(zhǔn)線
則直線MF的方程為，則N
則
故選：B
3．（2022·天津·一模）已知拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線相交于D?E兩點，且OD⊥OE（O為原點），則雙曲線的漸近線方程為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)對稱性求得的坐標(biāo)，從而求得，進而求得雙曲線的漸近線方程.
【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，
由于，根據(jù)雙曲線的對稱性可知：（不妨設(shè)），
代入得，
所以雙曲線的漸近線方程為.
故選：B
4．（2022·遼寧錦州·一模）已知拋物線的焦點為F，點P是C上一點，且，以PF為直徑的圓截x軸所得的弦長為1，則（???????）
A．2 B．2或4 C．4 D．4或6
【答案】D
【分析】根據(jù)幾何關(guān)系，求點的坐標(biāo)，代入拋物線方程，即可求解.
【詳解】設(shè)圓的圓心為，與軸交于點，線段的中點為，軸，由條件可知，，，所以，
由焦半徑公式可知，即，所以代入拋物線方程，
解得：或.

故選：D
5．（2022·廣東惠州·一模）若拋物線（）上一點P（2，）到其焦點的距離為4，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（???????）
A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x
【答案】D
【分析】由拋物線的定義可解答.
【詳解】拋物線上一點到焦點的距離等于到其準(zhǔn)線的距離，即為4，∴，解得，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：D.
二、多選題
6．（2022·河北秦皇島·二模）過拋物線上一點作兩條相互垂直的直線，與的另外兩個交點分別為，，則（???????）
A．的準(zhǔn)線方程是
B．過的焦點的最短弦長為8
C．直線過定點
D．當(dāng)點到直線的距離最大時，直線的方程為
【答案】AD
【分析】由點在拋物線上求得為，結(jié)合拋物線的性質(zhì)判斷A、B；設(shè)為并聯(lián)立拋物線，結(jié)合及韋達定理、向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求出m、n的數(shù)量關(guān)系，代入直線方程即可判斷C；由C分析所得的定點P，要使到直線的距離最大有，即可寫出直線的方程判斷D.
【詳解】將代入中得：，則為，
所以的準(zhǔn)線方程是，故A正確；
當(dāng)過的焦點且與軸垂直時弦長最短，此時弦長為16，故B不正確；
設(shè)，，直線為，聯(lián)立拋物線得：，
所以，，又，
所以.
因為，，即，
所以，整理得，故，得，
所以直線為，所以直線過定點，故C不正確.
當(dāng)時到直線的距離最大，此時直線為，故D正確.
故選：AD
7．（2022·江蘇江蘇·二模）已知拋物線的焦點為，過原點的動直線交拋物線于另一點，交拋物線的準(zhǔn)線于點，下列說法正確的是（???????）
A．若為線段中點，則 B．若，則
C．存在直線，使得 D．面積的最小值為2
【答案】AD
【分析】對于A，求出點的橫坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的定義求出，即可判斷；
對于B，根據(jù)拋物線的定義求出點的橫坐標(biāo)，再求出，即可判斷，
對于C，，則，判斷是否有解，即可判斷；
對于D，根據(jù)，結(jié)合基本不等式即可判斷.
【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線為，焦點，
若為中點，所以，所以，故A正確；
若，則，所以，故B錯誤；
設(shè)，則，所以，，
所以，所以與不垂直，故C錯誤；
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，
所以面積的最小值為2，故D正確.
故選：AD.

8．（2022·廣東·一模）已知拋物線的焦點為F，拋物線C上存在n個點，，，（且）滿足，則下列結(jié)論中正確的是（???????）
A．時，
B．時，的最小值為9
C．時，
D．時，的最小值為8
【答案】BC
【分析】以為拋物線通徑，求得的值，判斷A; 當(dāng)時,寫出焦半徑的表達式，利用換元法，結(jié)合利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，可判斷B; 當(dāng)時,求出的表達式，利用三角函數(shù)的知識，可判斷C,D.
【詳解】當(dāng)時，，此時不妨取 過焦點垂直于x軸，
不妨取 ，則，故A錯誤；
當(dāng)時，，
此時不妨設(shè) 在拋物線上逆時針排列，設(shè),
則 ，則 ，
故
，
令 ，則，
令 ，則?????，
當(dāng)時， ， 遞增，當(dāng)時， ， 遞減，
故 ，
故當(dāng) ，即 時，取到最小值9，故B正確；
當(dāng)時，，
此時不妨設(shè) 在拋物線上逆時針排列，設(shè),
則，
即，
故，
，
所以，故C正確；
由C的分析可知：，
當(dāng) 時，取到最小值16，
即最小值為16，故D錯誤；
故選：BC
【點睛】本題考查了拋物線的焦半徑公式的應(yīng)用，綜合性較強，涉及到拋物線的焦半徑的應(yīng)用，以利用導(dǎo)數(shù)求最值，和三角函數(shù)的相關(guān)知識，難度較大.
9．（2022·湖南常德·一模）已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，則（???????）
A．焦點的坐標(biāo)為
B．過點恰有2條直線與拋物線有且只有一個公共點
C．直線與拋物線相交所得弦長為8
D．拋物線與圓交于兩點，則
【答案】ACD
【分析】先求出拋物線方程，對選項逐一判斷即可.
【詳解】由題可知拋物線方程為
對于A，焦點的坐標(biāo)為，故A正確
對于B，過點有拋物線的2條切線，還有，共3條直線與拋物線有且只有一個交點，故B錯誤
對于C，，弦長為，故C正確
對于D，，解得（舍去），交點為，有，故D正確
故選：ACD
10．（2022·廣東肇慶·模擬預(yù)測）已知F是拋物線的焦點，過點F作兩條互相垂直的直線，，與C相交于A，B兩點，與C相交于E，D兩點，M為A，B中點，N為E，D中點，直線l為拋物線C的準(zhǔn)線，則（???????）
A．點M到直線l的距離為定值 B．以為直徑的圓與l相切
C．的最小值為32 D．當(dāng)最小時，
【答案】BCD
【分析】設(shè)直線方程，并聯(lián)立拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系式，求得點M的橫坐標(biāo)，結(jié)合拋物線定義，可判斷A;利用拋物線定義推得,由此判斷B;
計算出弦長，可得的表達式，利用基本不等式求得其最小值，判斷C;
求出的表達式，采用換元法，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求得其最小值，判斷D.
【詳解】設(shè)，，，， ，
直線的方程為，則直線的方程為,
將直線的方程代入，化簡整理得，
則，，
故,
所以，,
因為點A到直線l的距離，點B到直線l的距離，
點M到直線l的距離，
又，所以，故A錯誤；
因為，
所以以為直徑的圓的圓心M到l的距離為，
即以為直徑的圓與l相切，故B正確；
同理，，所以，，，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故C正確；
.
設(shè)，則，，.
當(dāng)時，即時，最小，這時，故D正確,
故選:BCD.
【點睛】本題考查了拋物線的焦點弦的性質(zhì)，具有較強的綜合性，要求學(xué)生有較好的計算能力和思維能力，解答時要注意直線方程的設(shè)法，以及聯(lián)立后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式的化簡，涉及到焦半徑以及弦長和距離的計算，比較繁雜，要細心運算.
11．（2022·重慶·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，拋物線的焦點為F，點，，都在拋物線上，且，則下列結(jié)論正確的是（???????）
A．拋物線方程為 B．F是的重心
C． D．
【答案】BCD
【分析】把點代入可得拋物線的方程，結(jié)合向量運算可得是的重心，利用拋物線的定義可得，利用三角形面積公式及，可得.
【詳解】對于A，由在拋物線上可得，即拋物線方程為，錯誤；
對于B，分別取的中點，則，，即在中線上，同理可得也在中線上，所以是的重心，正確；
對于C，由拋物線的定義可得，
所以.
由是的重心，所以，即，
所以，正確；
對于D，，；
同理,，
所以，正確.
故選：BCD.
三、填空題
12．（2022·北京豐臺·二模）已知拋物線C：，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為______．
【答案】
【分析】根據(jù)拋物線的方程求出的值，進一步得出答案.
【詳解】因為拋物線，
所以，∴
所以的準(zhǔn)線方程為.
故答案為：
13．（2022·福建·模擬預(yù)測）已知拋物線與拋物線在第一象限內(nèi)的交點為，若點在圓上，且直線與圓相切，則___________.
【答案】
【分析】由于點在圓上，所以可得，而點也在兩拋物線上，代入拋物線方程可得，當(dāng)與圓相切時，可得，然后前面的幾個式子結(jié)合可求得答案
【詳解】因為，
所以，
因為，，所以，
當(dāng)與圓相切時，，
所以，
所以，
所以.
故答案為：
14．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）若拋物線上的點到焦點的距離是點A到y(tǒng)軸距離的2倍，則___________.
【答案】2
【分析】直接利用拋物線的焦半徑公式解方程組即可求解.
【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為.
由拋物續(xù)的性質(zhì)可得，所以①.
而在拋物線上,即②.
由①②可得:p=2.
故答案為:2
四、解答題
15．（2022·山東濟寧·二模）已知拋物線E：的焦點為F，點在拋物線E上，且的面積為（O為坐標(biāo)原點）.
(1)求拋物線E的方程；
(2)過焦點F的直線l與拋物線E交于A?B兩點，過A?B分別作垂直于l的直線AC?BD，分別交拋物線于C?D兩點，求的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)面積及拋物線上的點可求解；
（2）利用直線與拋物線的位置關(guān)系分別求得、，再通過導(dǎo)數(shù)求最值即可.
(1)由題意可得解得p=2.
故拋物線E的方程為.
(2)由題意直線l的斜率一定存在且不為0，設(shè)直線l的方程為，，
設(shè)，，，
由消去x得.
所以，.
由AC垂直于l，直線AC的方程為
由消去x得.
所以，.
∴



.
同理可得，
所以，
令，，則，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.
所以當(dāng)x=2時，取得最小值，即當(dāng)時，最小值為.
16．（2022·湖北武漢·二模）已知拋物線，點為上一點，且到的準(zhǔn)線的距離等于其到坐標(biāo)原點的距離.
(1)求的方程；
(2)設(shè)為圓的一條不垂直于軸的直徑，分別延長交于兩點，求四邊形面積的最小值.
【答案】(1)(2)16
【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義可知，，即可列式求；
（2）首先設(shè)直線的方程為：，分別與圓的方程和拋物線方程聯(lián)立，求點的坐標(biāo)，利用弦長公式求，再利用，求，最后表示四邊形的面積，再通過換元，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.
(1)設(shè)拋物線焦點，由題意，故，解得：.
故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)由題意，直線斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為：，設(shè)點，，聯(lián)立得：，由，得
，聯(lián)立得：，由，得

因為，用代替，得.
故四邊形面積.
令.
設(shè)函數(shù)，故單調(diào)遞增.
故當(dāng)，即時，取到最小值16，所以四邊形面積的最小值是16.
17．（2022·遼寧·建平縣實驗中學(xué)模擬預(yù)測）已知點在拋物線上.
(1)求拋物線的方程；
(2)過點作斜率分別為的兩條直線，若與拋物線的另一個交點分別為，且有，探究：直線是否恒過定點？若是，求出該定點；若否，說明理由.
【答案】(1)(2)直線恒過定點
【分析】（1）將點坐標(biāo)代入拋物線方程即可構(gòu)造方程求得結(jié)果；
（2）設(shè)，，利用斜率公式表示出，得到；設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立可得韋達定理的形式，由此可得，可得，由此可得定點坐標(biāo).
(1)在拋物線上，，解得：，
拋物線的方程為：.
(2)由（1）得：；設(shè)，，
則；同理可得：；
，，整理可得：；
當(dāng)直線斜率為時，其與拋物線只有一個公共點，不合題意；
當(dāng)直線斜率不為時，設(shè)，
由得：，則，，解得：；
，則直線過定點；
綜上所述：直線恒過定點.
【點睛】思路點睛：本題考查直線與拋物線綜合應(yīng)用中的直線過定點問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：
①假設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；
②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；
③利用韋達定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達定理可整理得到變量間的關(guān)系，從而化簡直線方程；
④根據(jù)直線過定點的求解方法可求得結(jié)果.
18．（2021·山西運城·模擬預(yù)測（理））已知P(1，2)在拋物線C：y2＝2px上．
(1)求拋物線C的方程；
(2)A，B是拋物線C上的兩個動點，如果直線PA的斜率與直線PB的斜率之和為2，證明：直線AB過定點．
【答案】(1)y2＝4x(2)證明見解析
【分析】(1)把已知點坐標(biāo)代入拋物線方程求得參數(shù)，即得拋物線方程；
(2)設(shè)AB：x＝my+t，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達定理得，代入得參數(shù)值，從而可得定點坐標(biāo)．
(1)P點坐標(biāo)代入拋物線方程得4＝2p，
∴p＝2，
∴拋物線方程為y2＝4x．
(2)證明：設(shè)AB：x＝my+t，將AB的方程與y2＝4x聯(lián)立得y2﹣4my﹣4t＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，
所以Δ＞0?16m2+16t＞0?m2+t＞0，
，同理：，
由題意：，
∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)，
∴y1y2＝4，
∴﹣4t＝4，
∴t＝﹣1，
故直線AB恒過定點(﹣1，0)．



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