?考點(diǎn)23圓錐曲線綜合應(yīng)用（核心考點(diǎn)講與練）

1.求定值問題常見的方法有兩種：
(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān).
(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.
2.定點(diǎn)的探索與證明問題
(1)探索直線過定點(diǎn)時(shí)，可設(shè)出直線方程為y＝kx＋b，然后利用條件建立b，k等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于直線系的思想找出定點(diǎn).
(2)從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無關(guān).
3.求解范圍問題的方法
求范圍問題的關(guān)鍵是建立求解關(guān)于某個(gè)變量的目標(biāo)函數(shù)，通過求這個(gè)函數(shù)的值域確定目標(biāo)的范圍，要特別注意變量的取值范圍.
4.圓錐曲線中常見最值的解題方法
(1)幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；
(2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，最值常用均值不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解.
5.圓錐曲線的弦長
設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·|y1－y2|＝·.

1.圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略
（1）求代數(shù)式為定值：依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值.
（2）求點(diǎn)到直線的距離為定值：利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得.
（3）求某線段長度為定值：利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得.
2.圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法
（1）引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn).
（2）特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).　
3.圓錐曲線中常見的最值問題及其解法
（1）兩類最值問題：①涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；②求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)確定與之有關(guān)的一些問題.
（2）兩種常見解法：①幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；②代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，最值常用基本不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解.
4.存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在.
解決存在性問題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
（1）當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論；
（2）當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件；
（3）當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時(shí)，要思維開放，采取另外的途徑.
5.解決直線與圓錐曲線的綜合問題時(shí)，要注意：
（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、圓錐曲線的條件；
（2）強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
6.解答圓錐曲線問題的策略：
1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點(diǎn)問題的思路：①引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過定點(diǎn)的曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，得出定點(diǎn)的坐標(biāo)；
2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點(diǎn)問題時(shí)，常根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).
7..圓錐曲線中的證明問題常見的有：
(1)位置關(guān)系方面的：如證明直線與曲線相切，直線間的平行、垂直，直線過定點(diǎn)等.
(2)數(shù)量關(guān)系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.
在熟悉圓錐曲線的定義與性質(zhì)的前提下，一般采用直接法，通過相關(guān)的代數(shù)運(yùn)算證明，但有時(shí)也會用反證法證明.
8.有關(guān)弦的三個(gè)問題
(1)涉及弦長的問題，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求計(jì)算弦長；(2)涉及垂直關(guān)系往往也是利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求簡化運(yùn)算；(3)涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮利用圓錐曲線的定義求解.
9.求解與弦有關(guān)問題的兩種方法
(1)方程組法：聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，消元(x或y)成為二次方程之后，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，建立等式關(guān)系或不等式關(guān)系.
(2)點(diǎn)差法：在求解圓錐曲線且題目中已有直線與圓錐曲線相交和被截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，設(shè)出直線和圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓錐曲線的方程并作差，從而求出直線的斜率，然后利用中點(diǎn)求出直線方程.“點(diǎn)差法”的常見題型有：求中點(diǎn)弦方程、求(過定點(diǎn)、平行弦)弦中點(diǎn)軌跡、垂直平分線問題.必須提醒的是“點(diǎn)差法”具有不等價(jià)性，即要考慮判別式Δ是否為正數(shù).

定值問題
1.（2022·河南·二模（文））已知點(diǎn)，直線l：y=4，P為曲線C上的任意一點(diǎn)，且是P到l的距離的.
(1)求曲線C的方程；
(2)若經(jīng)過點(diǎn)F且斜率為的直線交曲線C于點(diǎn)M?N，線段MN的垂直平分線交y軸于點(diǎn)H，求證：為定值.
【答案】(1)(2)見解析
【分析】（1）設(shè),根據(jù)題意列出方程整理即得；
（2）直線的方程為,與曲線C方程聯(lián)立消去整理得：,
檢驗(yàn)判別式并利用弦長公式求得，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式及直線垂直時(shí)的斜率關(guān)系得到中垂線的方程，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，得到,從而證得結(jié)論.
(1)設(shè),由已知得,整理得：,此即為曲線C的方程；
(2)經(jīng)過點(diǎn)F且斜率為的直線的方程為,與曲線C方程聯(lián)立得：
,消去整理得：,
恒成立,
設(shè),則,
，
設(shè)線段的中點(diǎn)為,則，，
線段的中垂線的斜率為，方程為,
令,解得，即為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，
∴,
∴（為定值）
2.（2021廣東省深圳市第七高級中學(xué)高三第二次月考）拋物線：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，弦的最小值為2.
（1）求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)Q是直線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，記直線AQ，BQ，PQ的斜率分別為，，，證明：為定值.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）利用焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可知，即求；
（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理法即證.
【詳解】（1）對于，過焦點(diǎn)的弦最短時(shí)，弦垂直于軸，
此時(shí)M，N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為，
代入可求得縱坐標(biāo)分別為，則此時(shí)，所以，
即拋物線方程為.
（2）證明：設(shè)，，，
因?yàn)橹本€l的斜率顯然不為0，故可設(shè)直線l的方程為，
聯(lián)立方程，消去得.
所以
且
又


所以（定值）.
3.（2021四川省雙流中學(xué)高三上學(xué)期10月月考）已知，分別是橢圖：的左，右焦點(diǎn)，的頂點(diǎn)都在橢圓上，且邊，分別經(jīng)過點(diǎn)，.當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，為直角三角形且面積為.
（1）求的方程；
（2）設(shè)、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，求證：為定值.
【答案】（1）（2）證明見解析
【分析】（1）由題意可得為等腰直角三角形，且點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，，再結(jié)合的面積為1，可求出的值，從而可求出，進(jìn)而可求出橢圓方程，
（2）先討論直線或的斜率不存在的情況 ，再設(shè)，直線為，代入橢圓方程中消去，再由根與系數(shù)的關(guān)系可得，再結(jié)合表示出，從而可得，同理可得，代入中化簡可得結(jié)論
（1）
由題意可得為等腰直角三角形，且點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，，
因?yàn)榈拿娣e為1，所以，解得，則，，
所以橢圓方程為
（2）
若直線的斜率不存在，則直線為，將代入橢圓方程得
，，不妨設(shè)，則，即，
此時(shí)直線的斜率為，直線的方程為，代入橢圓方程得，所以，得，
所以，
同理可得直線的斜率不存在時(shí)，可得，
若直線的斜率存在，設(shè)，直線為，代入橢圓方程得
，
所以，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，
所以，
所以，
所以，
同理可得，
所以

所以為定值
定點(diǎn)問題
1.（2021“四省八?！备呷蠈W(xué)期期中質(zhì)量檢測）已知橢圓的方程為：（），離心率為，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最大值為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過右焦點(diǎn)作不平行于軸的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)為，求證：直線過定點(diǎn).
【答案】（1）（2）證明見解析
【分析】（1） 由題意知，，再由得到各個(gè)參數(shù)值，進(jìn)而得到方程；（2）將直線和橢圓方程聯(lián)立，直線方程為：，化簡得到，再由直線方程化簡得到，代入韋達(dá)定理即可得到結(jié)果.
（1）由題意知，，，，
（2），設(shè)：，與，聯(lián)立得
設(shè)，，，，
直線方程為：，
即

：，過定點(diǎn).
（四川省成都市石室中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中）
2. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)．
（1）若，求直線的方程；
（2）設(shè)為拋物線上異于，的任意一點(diǎn)，直線，分別與拋物線的準(zhǔn)線相交于，兩點(diǎn)，求證：以線段為直徑的圓經(jīng)過軸上的定點(diǎn)．
【答案】（1） （2）證明見解析
【分析】（1）設(shè)出過焦點(diǎn)的直線，再和拋物線聯(lián)立，最后運(yùn)用拋物線的定義及韋達(dá)定理可求出直線方程；
（2）求出直線，分別與拋物線的準(zhǔn)線相交于，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量數(shù)量積為零建立方程求解即可.
【小問1詳解】
由已知，得
設(shè)直線的方程為，代入，得．
設(shè)，，則，．
則，解得，
所以直線的方程為．
【小問2詳解】
證明：設(shè)，
則，故直線的方程為．
令，得，所以點(diǎn)．
同理可得，點(diǎn)．
設(shè)以線段為直徑的圓與軸的交點(diǎn)為
則，．
由題意，知，則，即．
由（1）可得，
所以
解得或，
故以線段為直徑的圓經(jīng)過軸上的兩個(gè)定點(diǎn)和.
最值與范圍問題
1.（2021四川省攀枝花市高三第一次統(tǒng)考）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，動(dòng)點(diǎn)滿足.
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）若軌跡上存在兩點(diǎn)，滿足（，分別為直線，的斜率），求直線的斜率的取值范圍.
【答案】（1） （2）
【分析】（1）由題設(shè)知：，結(jié)合橢圓的定義寫出軌跡的方程；
（2）設(shè)：，，聯(lián)立橢圓方程并應(yīng)用韋達(dá)定理可得，，根據(jù)可得，由有，即可求直線的斜率的取值范圍.
【小問1詳解】
由題設(shè)，若，
∴，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，
∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.
【小問2詳解】
由題設(shè)，設(shè)直線：，，
∴.
聯(lián)立軌跡可得：，則，
∴，，
，則，即，
∵，且，
∴且，可得或.
2.（2021浙江省紹興市第一中學(xué)高三上學(xué)期期中）設(shè)點(diǎn)，分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，.

（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，作，分別交直線于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.
【答案】（1）（2）2
【分析】（1）依題意可得，，即可求出，從而求出橢圓方程；
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，根據(jù)直線和橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)得.設(shè)，.分當(dāng)、時(shí)，求解得出.
（1）解：因?yàn)?，所以?br /> 又因?yàn)?，即，所以?br /> 所以橢圓方程為；
（2）解：聯(lián)立，得，
直線和橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，，
即.
設(shè)，.
①當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形，此時(shí)
②當(dāng)時(shí)，過作的垂線，垂足為，則，

，
則，
，又，
，
同理：，
.
，，
，即.
綜上所述，，，即S的最大值為2.
圓錐曲線弦長
1．（多選）（2022·廣東潮州·二模）已如斜率為k的直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)且與此拋物線交于，兩點(diǎn)，，直線l與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，且M，N兩點(diǎn)在y軸的兩側(cè)，現(xiàn)有下列四個(gè)命題，其中為真命題的是（???????）．
A．為定值 B．為定值
C．k的取值范圍為 D．存在實(shí)數(shù)k使得
【答案】ACD
【分析】設(shè)l的方程為，聯(lián)立，整理得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可判斷A、B選項(xiàng)．
由弦長公式，得，再聯(lián)立，M，N兩點(diǎn)在y軸的兩側(cè)，求得，由此判斷C．
設(shè)，，由弦長公式得，繼而由已知得，求解即可判斷D選項(xiàng)．
【詳解】解：由題意可設(shè)l的方程為，
聯(lián)立，得，則為定值，故A正確．
又，故B不正確．
，則，即，
聯(lián)立，得，
∵M(jìn)，N兩點(diǎn)在y軸的兩側(cè)，
∴，且，∴．
由及可得或，
故k的取值范圍為，故C正確．
設(shè)，，則，，
則．
假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，則由，
得，解得或3，故存在滿足題意．D正確．
故選：ACD．
2．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知橢圓T：的長軸長是短軸長的2倍，過左焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線交T于A，B兩點(diǎn)，若，則橢圓T的方程為______．
【答案】
【分析】本題考查弦長公式的使用，．
【詳解】∵，則, ∴橢圓T：，左焦點(diǎn)F
設(shè)直線：，，
聯(lián)立方程：消去y得：
∴
可得：
∴橢圓T：
故答案為：．
探究性問題
1.（安徽省合肥市肥東縣第二中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期12月第四次檢測）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的長半軸長為2，且經(jīng)過點(diǎn)；過點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B.
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，滿足，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）（2）存在直線l滿足條件，其方程為
【分析】（1）設(shè)橢圓C的方程為，根據(jù)橢圓C的長半軸長為2，且經(jīng)過點(diǎn)，可得，即可得到答案；
（2）由題意得直線l的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為：，利用韋達(dá)定理，代入向量等式可得，求出的值，即可得到答案；
（1）
（1）∵中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的長半軸長為2，且經(jīng)過點(diǎn)，
∴設(shè)橢圓C的方程為，
由題意得，解得，
∴橢圓C的方程為.
（2）
∵過點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，
∴若存在直線l滿足題意，則直線l的斜率必存在，
設(shè)直線l的方程為：，
由，
得，
∵直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、B，
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
∴，
整理，得，解得，
又，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
解得，∵，∴，
∴存在直線l滿足條件，其方程為.
2.（2021湖南長沙一中、廣東深圳實(shí)驗(yàn)高三期中聯(lián)考）設(shè)雙曲線C：（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，漸近線分別為l1，l2，過F2作漸近線的垂線，垂足為P，且△OPF1的面積為．
（1）求雙曲線C的離心率；
（2）動(dòng)直線l分別交直線l1，l2于A，B兩點(diǎn)（A，B分別在第一、四象限），且△OAB的面積恒為8，是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線C，若存在，求出雙曲線C的方程；若不存在，說明理由．
【答案】（1） （2）存在，
【分析】（1）由△OPF1的面積為，可得a，b的比值，再求離心率即可，
（2）先求得A，B的坐標(biāo)，及△OAB的面積恒為8，得直線l的方程，再聯(lián)立雙曲線的方程，得△＝0，即可求得雙曲線的方程．
【小問1詳解】
，雙曲線的漸近線方程為，
由雙曲線的對稱性不妨取漸近線，則點(diǎn)到其的距離為
，
則，
得，
解得，
所以雙曲線C的離心率．
【小問2詳解】
由 （1）得漸近線l1：y＝2x，l2：y＝?2x，設(shè)雙曲線得方程為，
依題意得直線l的斜率不為零，
因此設(shè)直線l的方程為，
設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)C（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立 得，同理得．
由△OAB的面積，
得，
即t2＝4|1?4m2|＝4（1?4m2）＞0，
聯(lián)立
得（4m2?1）y2+8mty+4（t2?a2）＝0，，
因?yàn)?，所以，直線l與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)Δ＝0，
即，
化簡得，
將（1）式代入可得，

解得，
因此雙曲線的方程為，
因此，存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線，雙曲線C的方程為．

1.（2019年全國統(tǒng)一高考（新課標(biāo)Ⅱ））若拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=
A. 2 B. 3
C. 4 D. 8
【答案】D
【分析】利用拋物線與橢圓有共同的焦點(diǎn)即可列出關(guān)于的方程，即可解出，或者利用檢驗(yàn)排除的方法，如時(shí)，拋物線焦點(diǎn)為（1，0），橢圓焦點(diǎn)為（±2，0），排除A，同樣可排除B，C，故選D．
【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，所以，解得，故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)，滲透邏輯推理、運(yùn)算能力素養(yǎng)．
2.（2019年全國統(tǒng)一高考（新課標(biāo)Ⅲ））已知曲線C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.
（1）證明：直線AB過定點(diǎn)：
（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.
【答案】(1)見詳解；(2) 3或.
【分析】（1）可設(shè)，，然后求出A，B兩點(diǎn)處的切線方程，比如：，又因?yàn)橐灿蓄愃频男问?，從而求出帶參?shù)直線方程，最后求出它所過的定點(diǎn).
（2）由(1)得帶參數(shù)的直線方程和拋物線方程聯(lián)立，再通過為線段的中點(diǎn)，得出的值，從而求出坐標(biāo)和的值，分別為點(diǎn)到直線的距離，則，結(jié)合弦長公式和韋達(dá)定理代入求解即可.
【詳解】(1)證明：設(shè),,則．
又因?yàn)椋?則切線DA的斜率為，
故，整理得.
設(shè)，同理得.
,都滿足直線方程.
于是直線過點(diǎn)，而兩個(gè)不同的點(diǎn)確定一條直線，所以直線方程為.即，
當(dāng)時(shí)等式恒成立．所以直線恒過定點(diǎn).
（2）由（1）得直線的方程為.
由，可得，
于是
.
設(shè)分別為點(diǎn)到直線的距離，則.
因此，四邊形ADBE的面積.
設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則，
由于，而，與向量平行，所以，解得或.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)
因此，四邊形的面積為3或.
【點(diǎn)睛】此題第一問是圓錐曲線中的定點(diǎn)問題和第二問是求面積類型，屬于常規(guī)題型，按部就班的求解就可以．思路較為清晰，但計(jì)算量不?。?br /> 3.（2020年全國統(tǒng)一高考（新課標(biāo)Ⅱ））已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=|AB|.
（1）求C1的離心率；
（2）設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn)，若|MF|=5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【答案】（1）；（2），.
【分析】（1）求出、，利用可得出關(guān)于、的齊次等式，可解得橢圓的離心率的值；
（2）[方法四]由（1）可得出的方程為，聯(lián)立曲線與的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用拋物線的定義結(jié)合可求得的值，進(jìn)而可得出與的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】（1），軸且與橢圓相交于、兩點(diǎn)，
則直線的方程為，
聯(lián)立，解得，則，

拋物線的方程為，聯(lián)立，
解得，，
，即，，
即，即，
，解得，因此，橢圓的離心率為；
（2）[方法一]：橢圓的第二定義
由橢圓的第二定義知，則有，
所以，即．
又由，得．
從而，解得．
所以．
故橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別是．
[方法二]：圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)公式
以為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．
由（Ⅰ）知，又由圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)公式，得，由，得，兩式聯(lián)立解得．
故的標(biāo)準(zhǔn)方程為，的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
[方法三]：參數(shù)方程
由（1）知，橢圓的方程為，
所以的參數(shù)方程為（為參數(shù)），
將它代入拋物線的方程并化簡得，
解得或（舍去），
所以，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為．
又，所以由拋物線焦半徑公式有，即，解得．
故的標(biāo)準(zhǔn)方程為，的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
[方法四]【最優(yōu)解】：利用韋達(dá)定理
由（1）知，，橢圓的方程為，
聯(lián)立，消去并整理得，
解得或（舍去），
由拋物線的定義可得，解得.
因此，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【整體點(diǎn)評】(2)方法一：橢圓的第二定義是聯(lián)系準(zhǔn)線與離心率的重要工具，涉及離心率的問題不妨考慮使用第二定義，很多時(shí)候會使得問題簡單明了.
方法二：圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)公式充分體現(xiàn)了圓錐曲線的統(tǒng)一特征，同時(shí)它也是解決圓錐曲線問題的一個(gè)不錯(cuò)的思考方向.
方法三：參數(shù)方程是一種重要的數(shù)學(xué)工具，它將圓錐曲線的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題，使得原來抽象的問題更加具體化.
方法四：韋達(dá)定理是最常用的處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系的方法，聯(lián)立方程之后充分利用韋達(dá)定理可以達(dá)到設(shè)而不求的效果.
4.（2019年全國統(tǒng)一高考（新課標(biāo)Ⅱ））已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若為等邊三角形，求C的離心率；
（2)如果存在點(diǎn)P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.
【答案】(1) ；（2），a的取值范圍為.
【分析】（1）先連結(jié)，由為等邊三角形，得到，，；再由橢圓定義，即可求出結(jié)果；
（2）先由題意得到，滿足條件的點(diǎn)存在，當(dāng)且僅當(dāng)，，，根據(jù)三個(gè)式子聯(lián)立，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）連結(jié)，由為等邊三角形可知：在中，，，，
于是，
故橢圓C的離心率為；
（2）由題意可知，滿足條件的點(diǎn)存在，當(dāng)且僅當(dāng)，，，
即 ①
②
③
由②③以及得，又由①知，故；
由②③得，所以，從而，故；
當(dāng)，時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn).
故，a的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查求橢圓的離心率，以及橢圓中存在定點(diǎn)滿足題中條件的問題，熟記橢圓的簡單性質(zhì)即可求解，考查計(jì)算能力，屬于中檔試題.
5.（2019年全國統(tǒng)一高考（新課標(biāo)Ⅱ））已知點(diǎn)A(?2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.
（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；
（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點(diǎn)G.
（i）證明：是直角三角形；
（ii）求面積的最大值.
【分析】（1）分別求出直線AM與BM的斜率，由已知直線AM與BM的斜率之積為?，可以得到等式，化簡可以求出曲線C的方程，注意直線AM與BM有斜率的條件；
（2）（i）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系求出的坐標(biāo)，再求出直線的斜率，計(jì)算的值，就可以證明出是直角三角形；
（ii）由（i）可知三點(diǎn)坐標(biāo)，是直角三角形，求出的長，利用面積公式求出的面積，利用導(dǎo)數(shù)求出面積的最大值.
【詳解】（1）直線的斜率為，直線的斜率為，由題意可知：，所以曲線C是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上，不包括左右兩頂點(diǎn)的橢圓，其方程為；
（2）（i）設(shè)直線的方程為,由題意可知,直線的方程與橢圓方程聯(lián)立,即或,點(diǎn)P在第一象限，所以，因此點(diǎn)的坐標(biāo)為
直線的斜率為，可得直線方程：，與橢圓方程聯(lián)立，，消去得，（*），設(shè)點(diǎn)，顯然點(diǎn)的橫坐標(biāo)和是方程（*）的解
所以有，代入直線方程中，得
，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
直線的斜率為; ,
因?yàn)樗?，因此是直角三角形?br /> （ii）由（i）可知：，
的坐標(biāo)為，
，
,

,因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為.
【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及利用直線與橢圓的位置關(guān)系，判斷三角形形狀以及三角形面積最大值問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最大值問題.

一、單選題
1．（2022·遼寧丹東·一模）直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，若使的直線有且僅有1條，則（???????）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】利用拋物線對稱性，即可得出滿足條件的焦點(diǎn)弦必須垂直于軸，即可得出兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入方程解出
【詳解】由拋物線的對稱性，要使的直線有且僅有1條，則必須垂直于軸，故兩點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線方程可解得，
故選：C
2．（2022·江蘇·南京市第一中學(xué)三模）已知，曲線：，拋物線：，拋物線：，且，，有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則的最小值為（???????）
A．2 B．1 C．4 D．
【答案】A
【分析】求得的交點(diǎn)并代入的方程，結(jié)合基本不等式求得的最小值.
【詳解】依題意，，
原點(diǎn)不滿足方程，所以原點(diǎn)不是，，的公共點(diǎn).
由解得或（舍去）.
將代入得.
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.
所以的最小值為.
故選：A
3．（2022·全國·三模（理））已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為，則點(diǎn)F到直線l的距離為（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用點(diǎn)差法可求出直線的斜率，即得直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離即可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，，則，，所以，
即，
因?yàn)锳B的中點(diǎn)為，，
所以直線的斜率，所以直線的方程為，
所以焦點(diǎn)到直線的距離，
故選：A.
4．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知F是拋物線C：的焦點(diǎn)，A，B是拋物線C上不同的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，垂足為M，則面積的最大值為（???????）
A．6 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)直線OA的方程為，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線AB的方程和經(jīng)過的定點(diǎn)，求出點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)D為直徑的圓（不包含點(diǎn)O，D），即得解.
【詳解】解：由題意知直線OA的斜率存在且不為0，設(shè)直線OA的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得，
因?yàn)?，所以直線OB的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得，當(dāng)時(shí)，易知軸，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，
所以直線AB的方程為，
所以直線AB過定點(diǎn)，
因?yàn)?，所以點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)D為直徑的圓（不包含點(diǎn)O，D），
所以點(diǎn)M到x軸距離的最大值為3，此時(shí)的面積最大，
又，則面積的最大值為.
故選：D.

5．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））已知橢圓C：的上、下頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)在橢圓C上，若點(diǎn)滿足，，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用直線垂直，點(diǎn)斜式得到的直線方程，聯(lián)立解得點(diǎn)的坐標(biāo)，再由點(diǎn)在橢圓上，即可得出的關(guān)系，即可求解.
【詳解】由題可知，．因?yàn)?，?br /> 故直線QA：，直線QB：，
聯(lián)立兩式，解得
又，所以，
所以．
故選：B
二、多選題
6．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知橢圓與直線交于、兩點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，若是直線上的點(diǎn)，則（???????）
A．橢圓的離心率為 B．橢圓的短軸長為
C． D．到的兩焦點(diǎn)距離之差的最大值為
【答案】ACD
【分析】利用點(diǎn)差法可求得的值，可得出的值，結(jié)合離心率公式可判斷A選項(xiàng)；將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合弦長公式求出的值，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合韋達(dá)定理，可判斷C選項(xiàng)；利用對稱思想結(jié)合三點(diǎn)共線可判斷D選項(xiàng)的.
【詳解】令、，則，
則，則，
則，則，所以，，
所以，，則，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
所以，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，即，
，即，A對；
橢圓的方程為，聯(lián)立，
消可得，，可得，
則，，
所以，，則，所以，橢圓的短軸長為，B錯(cuò)；
，C對；
橢圓的方程為，其標(biāo)準(zhǔn)方程為，，
橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如下圖所示：

設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，則，解得，
即點(diǎn)，
易知，則,
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立，D對.
故選：ACD．
7．（2022·江蘇·南京市寧海中學(xué)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的離心率為，且雙曲線的左焦點(diǎn)在直線上，、分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線的右支上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，記、的斜率分別為、 ，則下列說法正確的是（???????）
A．雙曲線的漸近線方程為 B．雙曲線的方程為
C．為定值 D．存在點(diǎn)，使得
【答案】BC
【分析】求出的值，可判斷A選項(xiàng)；求出、的值，可判斷B選項(xiàng)；設(shè)點(diǎn)，則，可得，利用斜率公式可判斷C選項(xiàng)；利用基本不等式可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對于A選項(xiàng)，，則，
所以，雙曲線的漸近線方程為，A錯(cuò)；
對于B選項(xiàng)，由題意可得，可得，，，
所以，雙曲線的方程為，B對；
對于C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則，可得，
易知點(diǎn)、，所以，，C對；
對于D選項(xiàng)，由題意可知，，則，，且，
所以，，D錯(cuò).
故選：BC.
8．（2022·湖南永州·三模）已知拋物線:與圓:，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，則（???????）
A．的最小值為
B．最大值為
C．當(dāng)最大時(shí)，四邊形的面積為
D．若的中點(diǎn)也在圓上，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍為
【答案】ACD
【分析】對于A，根據(jù)，結(jié)合拋物線的定義可判斷A；
對于B，設(shè)是圓的切線，切點(diǎn)為，根據(jù)， ，可得，由此可判斷B；
對于C，根據(jù)兩點(diǎn)在軸異側(cè)，且與拋物線相切于，與圓相切于，可求出四邊形的面積，由此可判斷C；
對于D，設(shè)的中點(diǎn)為，是圓的切線，切點(diǎn)為，利用圓的切割線長定理得到，再根據(jù)得到，再根據(jù)拋物線的定義可求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍，由此可判斷D.
【詳解】由可知其焦點(diǎn)為圓的圓心，圓的半徑為，設(shè)，則，
對于A，因?yàn)?，所以，故A正確；
對于B，設(shè)是圓的切線，切點(diǎn)為，則，
，
因?yàn)?，所以，所以?br /> 所以，即最大值為，故B不正確；

對于C，如圖：當(dāng)兩點(diǎn)在軸異側(cè)，且與拋物線相切于，與圓相切于時(shí)， 取得最大值，

不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則點(diǎn)在第四象限，
設(shè)直線：，代入，消去并整理得，
所以，所以，因?yàn)?，所以?br /> 所以，所以，所以，即，
此時(shí)，
當(dāng)與圓相切于時(shí)，，
，
所以四邊形的面積為，故C正確；
對于D，如圖設(shè)的中點(diǎn)為，是圓的切線，切點(diǎn)為，

根據(jù)圓的切割線長定理可得，
又，所以，
因?yàn)?，所以，所以?br /> 設(shè)，則，所以，所以，
所以，所以，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍為.故D正確；
故選：ACD
9．（2022·山東棗莊·一模）已知橢圓：，過橢圓的左焦點(diǎn)的直線交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸的上方），過橢圓的右焦點(diǎn)的直線交于C，D兩點(diǎn)，則（???????）

A．若，則的斜率
B．的最小值為
C．以為直徑的圓與圓相切
D．若，則四邊形面積的最小值為
【答案】BCD
【分析】A選項(xiàng)，由得到，再聯(lián)立直線和橢圓，結(jié)合韋達(dá)定理即可求出斜率；B選項(xiàng)先聯(lián)立直線和橢圓求出，再結(jié)合基本不等式求解即可；C選項(xiàng)由橢圓的定義結(jié)合兩圓相切的圓心距和半徑關(guān)系即可判斷；D選項(xiàng)斜率存在和不存在時(shí)分別計(jì)算面積，求出面積范圍即可判斷.
【詳解】易知：，對于A，若，顯然直線的斜率存在且大于0，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，化簡整理得，顯然，，又，故，整理得，由解得，又，故，A錯(cuò)誤；
對于B，易知直線的斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，化簡整理得，顯然，，由點(diǎn)在軸的上方，顯然，又，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，B正確；
對于C，設(shè)， 的中點(diǎn)為，則，又，由橢圓定義知：，即，又的圓心為，半徑為2，故以為直徑的圓與圓內(nèi)切，C正確；
對于D，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由上知：，同理，故四邊形面積為，令，則，又，故，故；又當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的斜率為0，易得，此時(shí)，故，D正確.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于A選項(xiàng)由和韋達(dá)定理解方程即可；B選項(xiàng)要先求出求出，再結(jié)合基本不等式的知識求解；C選項(xiàng)要結(jié)合橢圓的定義得到圓心距和半徑之間的關(guān)系；D選項(xiàng)斜率存在時(shí)求出面積的范圍，斜率不存在時(shí)直接求出面積.
10．（2022·湖北·黃岡中學(xué)模擬預(yù)測）雙曲線的虛軸長為2，為其左右焦點(diǎn)，是雙曲線上的三點(diǎn)，過作的切線交其漸近線于兩點(diǎn).已知的內(nèi)心到軸的距離為1.下列說法正確的是（???????）
A．外心的軌跡是一條直線
B．當(dāng)變化時(shí)，外心的軌跡方程為
C．當(dāng)變化時(shí)，存在使得的垂心在的漸近線上
D．若分別是中點(diǎn)，則的外接圓過定點(diǎn)
【答案】AD
【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的漸近線方程、直線斜率的公式，通過解方程（組）、運(yùn)用夾角公式逐一判斷即可.
【詳解】因?yàn)橐阎膬?nèi)心到軸的距離為1，雙曲線的虛軸長為2，
所以的內(nèi)心橫坐標(biāo)，雙曲線方程：，，漸近線.
設(shè).
當(dāng)點(diǎn)在雙曲線上時(shí)：
設(shè)直線與雙曲線交兩點(diǎn)
???

當(dāng)直線與雙曲線相切時(shí)，此時(shí)切點(diǎn)滿足：

切線
設(shè)直線與漸近線交兩點(diǎn)
???

切點(diǎn)正是線段的中點(diǎn)，
∴；線段中垂線是.
中垂線與軸交于點(diǎn)，且.
可設(shè)
一方面，；另一方面，線段中點(diǎn)是


考慮到
∴
，點(diǎn)???????確系之外心！其軌跡是直線.選項(xiàng)A正確！
依（1）設(shè)
線段中點(diǎn)是
線段中垂線是，即
線段中垂線是，即
∴
，即外心的軌跡方程為.故選項(xiàng)B錯(cuò)！
（3）對來講，若垂心在漸近線上可設(shè)坐標(biāo)是，進(jìn)而
化簡得



∴
把代入并化簡得：

考慮到不在漸近線上得，故
∴，這不可能！垂心不能在上，同理不能在上，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
（4）設(shè)



共圓！
的外接圓過定點(diǎn)原點(diǎn)，選項(xiàng)D對.
故選：AD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：正確地進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，應(yīng)用夾角公式是解題的關(guān)鍵.
三、填空題
11．（2022·安徽蚌埠·三模（文））已知橢圓的離心率為,直線與橢圓交于,兩點(diǎn),當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)為時(shí),直線的方程為___________.
【答案】
【分析】根據(jù)點(diǎn)差法和橢圓的離心率可求出，再根據(jù)的中點(diǎn)為，可得，由此可得直線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式，即可求出結(jié)果.
【詳解】由題可知直線的斜率存在；
設(shè),由于點(diǎn) 都在橢圓上，
所以①, ②,
，化簡得；
又因?yàn)殡x心率為，所以，
所以，即；
又線段的中點(diǎn)為，
所以，
所以直線的斜率為，故所求直線的方程為，即．
故答案為：.
12．（2022·河南許昌·三模（文））已知雙曲線的焦距為，直線在第一象限交雙曲線C的右支于點(diǎn)A，且，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_______
【答案】
【分析】先求出A的坐標(biāo)，得到，利用求出實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【詳解】因?yàn)橹本€在第一象限交雙曲線C的右支于點(diǎn)A，且，
所以A為圓與的交點(diǎn)，聯(lián)立解得：.
所以直線的斜率.
因?yàn)?，所以，所以?br /> 所以，即.
因?yàn)椋?，即?shí)數(shù)k的取值范圍是.
故答案為：
【點(diǎn)睛】解析幾何的兩種常見方法：
（1）幾何法：利用幾何圖形求解；
（2）坐標(biāo)法.
13．（2022·山東濟(jì)寧·二模）已知直線過定點(diǎn)A，直線過定點(diǎn)B，與的交點(diǎn)為C，則的最大值為___________.
【答案】
【分析】由已知直線方程可得、且、相互垂直，進(jìn)而可知的軌跡是以為直徑的圓，令則且，利用基本不等式求的最大值，注意等號成立條件，即可知的最大值.
【詳解】由，則過定點(diǎn)，
由，則過定點(diǎn)，
顯然，即、相互垂直，而與的交點(diǎn)為C，
所以的軌跡是以為直徑的圓，且圓心為、半徑為，
令，則，且，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
所以的最大為.
故答案為：
14．（2021·全國·模擬預(yù)測（理））已知，，是拋物線上三個(gè)不同的點(diǎn)，且拋物線的焦點(diǎn)是的重心，若直線，，的斜率存在且分別為，，，則______．
【答案】0
【分析】設(shè)，，則，，兩式相減，得，可求得，同理可得，，再由是的重心，得，從而可計(jì)算出的值
【詳解】設(shè)，，則，，兩式相減，得，所以，設(shè)，同理可得，．由于焦點(diǎn)是的重心，所以，故．
故答案為：0
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是綜合性題目，屬于探索創(chuàng)新情境，具體是數(shù)學(xué)探究情境，本題考查邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，解題的關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)，，的坐標(biāo)后，直接使用三角形的重心坐標(biāo)公式求解，屬于中檔題
15．（2022·重慶·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，分別過，作斜率為2的直線交C在x軸上半平面部分于P，Q兩點(diǎn)．記面積分別為，若，則雙曲線C的離心率為_____________．
【答案】
【分析】根據(jù)得到，結(jié)合雙曲線的定義、余弦定理列方程，化簡求得雙曲線的離心率.
【詳解】依題意，，面積分別為，且，
由于，所以，
設(shè)，由雙曲線的定義可知，
由，可解得，
故
在三角形和三角形，分別由余弦定理得
，
整理得，兩式相減得.
故答案為：
【點(diǎn)睛】求解雙曲線與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題，可結(jié)合雙曲線的定義來進(jìn)行考慮.求解雙曲線的離心率，可利用直接法求得來求，也可以根據(jù)題意建立關(guān)于的方程，通過化簡來求得離心率.
四、解答題
16．（2022·河南河南·三模（理））已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，長軸長為4．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知直線的過定點(diǎn)，若橢圓上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對稱，求直線斜率的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由橢圓的離心率為，長軸長為求解；
（2）設(shè)直線方程為：，，AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用點(diǎn)差法求得中點(diǎn)坐標(biāo)，再由線段AB的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，即求解.
(1)解：因?yàn)闄E圓的離心率為，長軸長為，
解得，則，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是；
(2)易知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為：，，
AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，兩式相減得，
即，又，
解得，
因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，
所以，即，
解得，
所以直線斜率的取值范圍
17．（2022·江西萍鄉(xiāng)·二模（理））若四點(diǎn)恰有三點(diǎn)在橢圓上．
(1)求橢圓的方程；
(2)動(dòng)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，連（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）交橢圓于兩點(diǎn)，證明：．
【答案】(1) (2)證明見解析
【分析】(1)根據(jù)橢圓的對稱性可得點(diǎn)、在橢圓上，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上列出方程組，解之即可；
(2)設(shè)、，聯(lián)立動(dòng)直線和橢圓方程并消去y，利用韋達(dá)定理表示出
、，進(jìn)而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；聯(lián)立直線和橢圓方程求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，求出弦長，對分別計(jì)算化簡即可.
(1)由于，，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，必在橢圓上
則，且，
所以必在橢圓上，即有，，
所以橢圓；
(2)設(shè)，，聯(lián)立，得
則，，
，則
聯(lián)立，，
，
，
.
18．（2022·湖南·長郡中學(xué)一模）已知拋物線：（）和圓C：，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，的面積為．
(1)求拋物線的方程；
(2)若、是軸上的動(dòng)點(diǎn)，且圓是的內(nèi)切圓，求面積的最小值．
【答案】(1) (2)32
【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線的方程，解出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)面積為，列式即可求得（2）設(shè)，，，利用與與圓相切，可以推出，，代面積的表達(dá)式，消元運(yùn)用均值不等式即可求得最值
(1)當(dāng)直線的斜率為時(shí)，聯(lián)立方程，解得，
此時(shí)，解得，
∴拋物線的方程為．
(2)設(shè)，，，由題意知，
則直線：，即．
∵直線與圓相切，
∴，
∴

同理可得：．
∴、是方程的兩個(gè)根，
∴，，
且恒成立，
∴，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
面積的最小值為32．
19．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）已知拋物線，直線l經(jīng)過點(diǎn)，并與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，．
(1)證明：；
(2)若直線AN，BN分別交y軸于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)△OPA的面積為，△OQB的面積為，求的最小值．
【答案】(1)證明見解析；(2)2.
【分析】（1）設(shè)，且直線AB為聯(lián)立拋物線，將問題轉(zhuǎn)化為證，應(yīng)用韋達(dá)定理及斜率兩點(diǎn)式化簡求值，即可證結(jié)論.
（2）由（1）可得，利用A、B的坐標(biāo)表示，討論直線AB的斜率，由直線與拋物線方程及韋達(dá)定理求關(guān)于參數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合對應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)求范圍，即可知其最小值.
(1)設(shè)，，直線AB為，
聯(lián)立，整理得，
所以，，
要證，只需證．
因?yàn)?，得證．
(2)由，，
又，得：，
直線AN為，令得：，
同理，所以，，
兩式相加得：，即，
當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線，得：，且，
此時(shí)；
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，直線，
則，
由，整理得，可得，，代入上式，可得，
所以，
令，可得，
又在上為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以，
綜上，面積的最小值為2．
20．（2022·重慶·二模）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，不過坐標(biāo)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸的直線l與橢圓C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段的中點(diǎn)為Q，直線的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若過點(diǎn)F的直線m交橢圓C于點(diǎn)M，N，且滿足，求直線m的方程.
【答案】(1)(2)或
【分析】（1）設(shè)，，代入橢圓的方程，利用點(diǎn)差法求得，進(jìn)而求得的值，即可求得橢圓的方程；
（2）當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立方程組求得，利用弦長公式，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合三角形面積列出方程，求得的值，得出直線方程，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，得到直線為，即可求解.
(1)解：由題意，橢圓C的左焦點(diǎn)為，所以，
設(shè)，，由題意可得，，
則，即.
因?yàn)?，所以，即，所以?br /> 所以橢圓C的方程為.
(2)解：當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，點(diǎn)，，
聯(lián)立方程組，整理得，
可得，，
所以，
點(diǎn)O到直線m的距離為，
因?yàn)?，即?br /> 所以，即，
又因?yàn)椋?br /> 所以，即，
所以直線m為：.
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)滿足題目條件，
綜上可得，直線的方程為：或.
21．（2022·江蘇·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F且斜率大于0的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，過線段AB的中點(diǎn)M且與x軸平行的直線依次交直線OA，OB，l于點(diǎn)P，Q，N.

(1)判斷線段PM與NQ長度的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(2)若線段NP上的任意一點(diǎn)均在以點(diǎn)Q為圓心、線段QO長為半徑的圓內(nèi)或圓上，求直線AB斜率的取值范圍.
【答案】(1)，證明見解析(2)
【分析】（1）設(shè)，，，，，，由于，，三點(diǎn)共線可得：，設(shè)，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出的長度，即可得出.
（2）若線段NP上的任意一點(diǎn)均在以點(diǎn)Q為圓心、線段QO長為半徑的圓內(nèi)或圓上即，代入即可求出，，，即可求出斜率.
(1)設(shè)，，，
則，，
由于，，三點(diǎn)共線，則，整理得，
，則，同理可得
則，，
則，即證.
(2)若線段NP上的任意一點(diǎn)均在以點(diǎn)Q為圓心、線段QO長為半徑的圓內(nèi)或圓上即，則，化簡得，又因?yàn)?，則，，則直線斜率的取值范圍為：.
22．（2022·江蘇·南京市寧海中學(xué)模擬預(yù)測）已知平面上一動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的軌跡方程
(2)已知點(diǎn)，過點(diǎn)B引圓的兩條切線BP；BQ，切線BP、BQ與曲線C的另一交點(diǎn)分別為P、Q，線段PQ中點(diǎn)N的縱坐標(biāo)記為，求的取值范圍．
【答案】(1)；(2)的取值范圍為．
【分析】(1)根據(jù)曲線軌跡方程的定義求解；(2) 設(shè)切線BP的方程為，切線的方程為，所以， ，再求出，即得解.
(1)設(shè)，
根據(jù)題意可得，
化簡得，
所以，
所以曲線C的方程為，
(2)由已知，所以切線的斜率存在，
設(shè)切線的方程為，
則圓心到切線的距離，
所以，
設(shè)切線BQ的方程為，
同理可得，
所以是方程的兩根，
所以， ，
設(shè)，
聯(lián)立，得，
所以，
所以，
同理，
所以



，
因?yàn)?，所?br /> 所以．
所以的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】求取值范圍常用的方法有：（1）函數(shù)法；（2）導(dǎo)數(shù)法；（3）基本不等式法；（4）基本不等式法. 要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.
23．（2022·福建寧德·模擬預(yù)測）已知拋物線C：上的一點(diǎn)M（，4）到C的焦點(diǎn)F的距離為5.
(1)求p的值；
(2)若，點(diǎn)A，B在拋物線C上，且，N為垂足，當(dāng)|MN|最大時(shí)，求直線AB的方程.
【答案】(1)或；(2).
【分析】（1）根據(jù)拋物線定義，結(jié)合點(diǎn)在拋物線上求p值.
（2）由題設(shè)可得，根據(jù)點(diǎn)在拋物線上設(shè)A、B坐標(biāo)，法一：設(shè)直線AB聯(lián)立拋物線，由及韋達(dá)定理求得，進(jìn)而確定直線AB所過的定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)|MN|最大確定m值，即得方程；法二：及得到，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線AB判斷定點(diǎn)，由|MN|最大寫出直線方程；
(1)
把M(x0,4)代入拋物線C得則，
由得：，
所以，解得或.
(2)
當(dāng)時(shí)，故舍去；當(dāng)時(shí)，則M(4，4)且，
設(shè)，
法一：直線AB為，與拋物線C聯(lián)立得，則，
由，得.
由且，故，即，
所以，即
從而直線AB為，即直線AB過定點(diǎn)Q(8,-4).
又，當(dāng)|MN|最大時(shí)即，
所以，直線AB為
法二： .
由，得.
由且，故，即①，
直線AB為，整理得，
將①代入，即直線AB過定點(diǎn)Q(8,-4),
又，當(dāng)|MN|最大時(shí)即，
所以，直線AB為.
24．（2022·福建三明·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，，過直線l：左側(cè)且不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)P，作于點(diǎn)H，的角平分線交x軸于點(diǎn)M，且，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；
(2)已知曲線C與x軸正半軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交C于A，B兩點(diǎn)，，點(diǎn)T滿足，其中，證明：.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)條件，代入動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，化簡即可；
（2）注意到S點(diǎn)在x軸上，所以，將作為橋梁，合理利用，即可求解.
(1)設(shè)，因?yàn)檩S，所以，
因?yàn)镻M為的角平分線，所以，
所以，即，所以.
即，化簡整理得，因?yàn)镻不在x軸上，
即曲線C的方程為
(2)易知直線的斜率存在且不為0，設(shè)的方程為.
聯(lián)立方程組，消x整理得，
所以，得或，
設(shè)，，則，.
由得，所以，
設(shè)，由，得，
所以，
所以，
所以點(diǎn)在直線上，且，
又因?yàn)榕c關(guān)于直線對稱，所以是等腰三角形，
（或者證明直線TS與直線的斜率互為相反數(shù)）
所以，因?yàn)椋裕?br /> 綜上所述，.



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