考點01  集合（核心考點講與練）1、集合的概念：（1）集合中元素特征，確定性，互異性，無序性；（2）集合的分類：①按元素個數(shù)分：有限集，無限集；    ②按元素特征分；數(shù)集，點集。如數(shù)集{y|y=x2}，表示非負(fù)實數(shù)集，點集{(x，y)|y=x2}表示開口向上，以y軸為對稱軸的拋物線；（3）集合的表示法：    ①列舉法：用來表示有限集或具有顯著規(guī)律的無限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。2、兩類關(guān)系：（1）元素與集合的關(guān)系，用或表示；   （2）集合與集合的關(guān)系，用，，=表示，當(dāng)AB時，稱A是B的子集；當(dāng)AB時，稱A是B的真子集。3、集合運算   （1）交，并，補(bǔ)，定義：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且xA｝，集合U表示全集；（2）運算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB），CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）等。集合基本運算的方法技巧：（1）當(dāng)集合是用列舉法表示的數(shù)集時，可以通過列舉集合的元素進(jìn)行運算，也可借助Venn圖運算；（2）當(dāng)集合是用不等式表示時，可運用數(shù)軸求解．對于端點處的取舍，可以單獨檢驗.集合常與不等式，基本函數(shù)結(jié)合，常見邏輯用語常與立體幾何，三角函數(shù)，數(shù)列，線性規(guī)劃等結(jié)合. venn圖法解決集合運算問題一、單選題1．（2022·海南·嘉積中學(xué)模擬預(yù)測）已知全集，集合，集合，則圖中的陰影部分表示的集合為（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用韋恩圖表達(dá)的集合運算直接計算作答.【詳解】依題意，圖中的陰影部分表示的集合是，而全集，，，所以.故選：D2．（2022·山東濰坊·模擬預(yù)測）如圖，已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合中，所包含元素的個數(shù)為（            ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合，分析可知陰影部分所表示的集合為，利用交集的定義可求得結(jié)果.【詳解】因為或，則，由題意可知，陰影部分所表示的集合為.故選：B.3．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知全集，集合，，則（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合的補(bǔ)集與交集的運算求解即可.【詳解】解：因為全集，集合，，所以，所以.故選：A二、填空題4．（2020·江蘇南通·三模）已知集合A＝{0，2}，B＝{﹣1，0}，則集合AB＝ _______ .【答案】{﹣1，0，2}【解析】直接根據(jù)并集運算的定義求解即可．【詳解】解：∵A＝{0，2}，B＝{﹣1，0}，∴AB＝{﹣1，0，2}，故答案為：{﹣1，0，2}．【點睛】本題主要考查集合的并集運算，屬于基礎(chǔ)題．分類討論方法解決元素與集合關(guān)系問題1．（2022·北京石景山·一模）已知非空集合A，B滿足：，，函數(shù)對于下列結(jié)論：①不存在非空集合對，使得為偶函數(shù)；②存在唯一非空集合對，使得為奇函數(shù)；③存在無窮多非空集合對，使得方程無解．其中正確結(jié)論的序號為_________．【答案】①③【分析】通過求解可以得到在集合A，B含有何種元素的時候會取到相同的函數(shù)值，因為存在能取到相同函數(shù)值的不同元素，所以即使當(dāng)與都屬于一個集合內(nèi)時，另一個集合也不會產(chǎn)生空集的情況，之后再根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷①是否正確，根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷②是否正確，解方程判斷③是否正確【詳解】①若，，則，，若，，則，，若，，則，，若，，則，，綜上不存在非空集合對，使得為偶函數(shù)②若，則或，當(dāng)，時，滿足當(dāng)時，所以可統(tǒng)一為，此時為奇函數(shù)當(dāng)，時，滿足當(dāng)時，所以可統(tǒng)一為，此時為奇函數(shù)所以存在非空集合對，使得為奇函數(shù)，且不唯一③解的，解的，當(dāng)非空集合對滿足且，則方程無解，又因為，，所以存在無窮多非空集合對，使得方程無解故答案為：①③【點睛】本題主要考查集合間的基本關(guān)系與函數(shù)的奇偶性，但需要較為縝密的邏輯推理①通過對所屬集合的分情況討論來判斷是否存在特殊的非空集合對使得函數(shù)為偶函數(shù)②觀察可以發(fā)現(xiàn)為已知的奇函數(shù)，通過求得不同元素的相同函數(shù)值將解析式歸并到當(dāng)中，使得成為奇函數(shù)③通過求解解析式零點，使得可令兩個解析式函數(shù)值為0的元素均不在所對應(yīng)集合內(nèi)即可得到答案2（2020·北京·模擬預(yù)測）對給定的正整數(shù)，令，，，，，，2，3，，．對任意的，，，，，，，，定義與的距離．設(shè)是的含有至少兩個元素的子集，集合，，中的最小值稱為的特征，記作（A）．（Ⅰ）當(dāng)時，直接寫出下述集合的特征：，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，，0，，，1，，，1，．（Ⅱ）當(dāng)時，設(shè)且（A），求中元素個數(shù)的最大值；（Ⅲ）當(dāng)時，設(shè)且（A），求證：中的元素個數(shù)小于．【答案】（Ⅰ）答案詳見解析；（Ⅱ）2；（Ⅲ）證明詳見解析.【解析】（Ⅰ）根據(jù)與的距離的定義，直接求出的最小值即可；（Ⅱ）一方面先證明中元素個數(shù)至多有2 個元素，另一方面證明存在集合中元素個數(shù)為2 個滿足題意，進(jìn)而得出中元素個數(shù)的最大值；（Ⅲ）設(shè)，，，定義的鄰域，先證明對任意的， 中恰有 2021 個元素，再利用反證法證明，于是得到中共有 個元素，但中共有 個元素，所以，進(jìn)而證明結(jié)論．【詳解】（Ⅰ）（A），（B），（C）；（Ⅱ）（a） 一方面：對任意的，，，，，，令（a），，，，，，則，（a），故（a），令集合（a），則， 且 和 的元素個數(shù)相同，但 中共有 個元素，其中至多一半屬于，故中至多有2 個元素．（b）另一方面：設(shè)，，， 是偶數(shù)，則 中的元素個數(shù)為 對任意的，，，，，，，，，易得與 奇偶性相同，故 為偶數(shù)，由，得，故，注意到，0，0，0，，0，，，1，0，0，， 且它們的距離為2，故此時滿足題意，綜上，中元素個數(shù)的最大值為2．（Ⅲ）當(dāng) 時，設(shè) 且（A），設(shè)，，，任意的，定義的鄰域，（a） 對任意的， 中恰有 2021 個元素，事實上①若，則，恰有一種可能；，②若，則 與，恰有一個分量不同，共2020種可能；綜上， 中恰有2021個元素，（b） 對任意的，，事實上，若，不妨設(shè)，，，，，則，這與（A），矛盾，由 （a） 和 （b），中共有 個元素，但中共有 個元素，所以，注意到是正整數(shù)，但 不是正整數(shù)，上述等號無法取到，所以，集合 中的元素個數(shù)小于．【點睛】本題考查集合的新定義，集合的含義與表示、集合的運算以及集合之間的關(guān)系，反證法的應(yīng)用，考查學(xué)生分析、解決問題的能力，正確理解新定義是關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，屬于難題．根據(jù)集合包含關(guān)系求參數(shù)值或范圍一、單選題1．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知集合，．若，則實數(shù)k的取值范圍為（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出集合，再根據(jù)，知，列出不等式，解之即可得出答案.【詳解】解：解不等式，得，即，或，由，知，所以或，解得或.故選：D．2．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先通過解絕對值不等式化簡集合，然后由題意得，從而建立不等式組求得的范圍.【詳解】解不等式，得，所以.由，得，∴，解得﹒故選：B數(shù)軸法解決集合運算問題一、單選題1．（2022·四川·瀘縣五中模擬預(yù)測（文））設(shè)全集，已知集合，，則 =（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡集合，先求出，再求出其補(bǔ)集即可得解.【詳解】或，，所以，所以 ，即.故選：D2．（2022·江西宜春·模擬預(yù)測（文））已知集合，，則（       ）A．R B． C． D．【答案】D【分析】求函數(shù)定義域化簡集合A，解不等式化簡集合B，再利用交集的定義求解作答.【詳解】由得，則，由解得，即，所以.故選：D3．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））已知集合，，則（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出集合M，N，然后進(jìn)行并集的運算即可.【詳解】∵，，∴.故選：C.二、填空題4．（2022·重慶市育才中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)集合，則________.【答案】【分析】根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】解不等式 ，得 ，解得 ，即 ， ；故答案為： .5．（2020·上海·模擬預(yù)測）已知集合，，則______．【答案】【分析】先解對數(shù)不等式和分式不等式求得集合A、B，再根據(jù)交集定義求得結(jié)果.【詳解】因為，，所以，故答案為：.【點睛】本題考查對數(shù)不等式和分式不等式的解法以及交集定義，屬于基礎(chǔ)題.6．（2020·江蘇·模擬預(yù)測）已知集合，，則______.【答案】【分析】利用集合的交運算即可求解.【詳解】由集合，，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查了集合的交概念以及運算，屬于基礎(chǔ)題.7．（2020·江蘇·吳江盛澤中學(xué)模擬預(yù)測）已知集合，集合，則________．【答案】【詳解】，，所以．【點睛】本題考查了交集運算，此題屬于簡單題.8．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·三模）已知全集U＝R，A＝{x|f（x）＝ln（x2﹣1）}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，則＝_____．【答案】或【分析】先化簡集合,再求，最后求得解.【詳解】解：A＝{x|f（x）＝ln（x2﹣1）}＝{x|x＜﹣1或x＞1}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，則＝{x|x≥3或x≤﹣1}，則＝或，故答案為：或．【點睛】本題主要考查對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域的求法，考查一元二次不等式的解法，考查集合的交集和補(bǔ)集運算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.一、單選題1．（2021·新高考全國11卷）設(shè)集合，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義可求.【詳解】由題設(shè)可得，故，故選：B.2．（2021·新高考全國1卷）設(shè)集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用交集的定義可求.【詳解】由題設(shè)有，故選：B .3．（2021·全國·高考真題）設(shè)集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用交集的定義可求.【詳解】由題設(shè)有，故選：B .4．（2021·全國·高考真題（理））已知集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可得，由此可得出結(jié)論.【詳解】任取，則，其中，所以，，故，因此，.故選：C.5．（2021·全國·高考真題（理））設(shè)集合，則（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)交集定義運算即可【詳解】因為，所以,故選：B.【點睛】本題考查集合的運算，屬基礎(chǔ)題，在高考中要求不高，掌握集合的交并補(bǔ)的基本概念即可求解.6．（2021·全國·高考真題）設(shè)集合，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義可求.【詳解】由題設(shè)可得，故，故選：B.一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題知，，進(jìn)而根據(jù)補(bǔ)集運算與交集運算求解即可.【詳解】解：因為，，所以，所以故選：B2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，則等于（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出指數(shù)函數(shù)的值域進(jìn)而得出集合，根據(jù)二次根式的意義求出集合，利用并集的定義和運算直接計算即可.【詳解】..因此.故選：D3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化簡集合B，再去求.【詳解】則故選：D4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)定義域求出函數(shù)的值域，得集合B，然后根據(jù)集合的交集運算法則求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，，則，所以.故選:B.5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出集合A、B，由韋恩圖分析，求.【詳解】由，得，則，所以.\由，得，則，則圖中陰影部分表示的集合為.故選:B.6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先解不含參數(shù)的一元二次不等式，進(jìn)而求出集合，然后根據(jù)交集的概念即可求出結(jié)果.【詳解】解不等式得，又，所以，所以，故選：D.7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，則下列結(jié)論一定正確的是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由對數(shù)函數(shù)定義域、一元二次不等式的解法分別求得集合，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】，，，，.故選：B.8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可化簡集合，根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得集合，然后計算交集．【詳解】由已知，，∴．故選：C．9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先解不等式求出集合A，再求出集合B，然后求兩集合的交集即可【詳解】解不等式，得，又，所以，所以，所以．故選：C10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，則（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法和函數(shù)定義域的定義，求得集合，集合集合并集的運算，即可求解.【詳解】由不等式，解得或，所以集合或，又由，解得，所以集合，所以.故選：D.11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)全集，，則為（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)全集求出的補(bǔ)集即可.【詳解】，，.故選：A.12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，則（       ）.A． B． C． D．【答案】C【分析】先化簡集合A，再利用集合的交集運算求解.【詳解】因為集合，，所以 ，故選：C13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，則（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出集合A和集合A的補(bǔ)集，集合B，再求出【詳解】由，得，解得，所以，所以或，由得，所以，所以故選：A14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，圖中陰影部分為集合M，則M中的元素個數(shù)為（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由Venn圖得到求解.【詳解】如圖所示，，，解得且，又，，，，所以M中元素的個數(shù)為3故選：C15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知全集，，，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合的運算法則計算．【詳解】，．故選：C．二、多選題16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合E是由平面向量組成的集合，若對任意，，均有，則稱集合E是“凸”的，則下列集合中是“凸”的有（       ）．A． B．C． D．【答案】ACD【分析】作出各個選項表示的平面區(qū)域，根據(jù)給定集合E是“凸”的意義判斷作答.【詳解】設(shè)，，，則C為線段AB上一點，因此一個集合E是“凸”的就是E表示的平面區(qū)域上任意兩點的連線上的點仍在該區(qū)域內(nèi)，四個選項所表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示：                  A                                                     B                  C                                                     D觀察選項A，B，C，D所對圖形知，B不符合題意，ACD符合題意.故選：ACD【點睛】思路點睛：涉及符合某個條件的點構(gòu)成的平面區(qū)域問題，理解不等式變?yōu)閷?yīng)等式時的曲線方程的意義，再作出方程表示的曲線，作圖時一定要分清虛實線、準(zhǔn)確確定區(qū)域.17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知全集，集合，則關(guān)于的表達(dá)方式正確的有（       ）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)補(bǔ)集的概念及分式不等式及其解法即可求解.【詳解】由題意得，，所以，故AB正確，CD錯誤，故選：AB.18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)表示不大于的最大整數(shù)，已知集合，，則（       ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由對數(shù)運算可知，，由的定義可知AC正誤；解不等式求得集合，由交集和并集定義可知BD正誤.【詳解】對于A，，，，A正確；對于C，，，C錯誤；對于BD，，，，，BD正確.故選：ABD.19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）給定數(shù)集M，若對于任意a，，有，且，則稱集合M為閉集合，則下列說法中不正確的是（       ）A．集合為閉集合B．正整數(shù)集是閉集合C．集合為閉集合D．若集合為閉集合，則為閉集合【答案】ABD【分析】根據(jù)集合M為閉集合的定義，對選項進(jìn)行逐一判斷，可得出答案．【詳解】選項A：當(dāng)集合時，，而，所以集合M不為閉集合，A選項錯誤；選項B：設(shè)是任意的兩個正整數(shù)，則，當(dāng)時，是負(fù)數(shù)，不屬于正整數(shù)集，所以正整數(shù)集不為閉集合，B選項錯誤；選項C：當(dāng)時，設(shè)，則，所以集合M是閉集合，C選項正確；選項D：設(shè)，由C可知，集合為閉集合，，而，故不為閉集合，D選項錯誤．故選：ABD．三、填空題20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，則___________【答案】【分析】利用交集的定義進(jìn)行求解.【詳解】因為，，所以.故答案為：. 

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