題型一 數(shù)學文化與數(shù)列的實際應用
例1 (1)(2020·全國Ⅱ)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層．上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)( )
A．3 699塊 B．3 474塊
C．3 402塊 D．3 339塊
答案 C
解析 設(shè)每一層有n環(huán)，由題意可知，從內(nèi)到外每環(huán)之間構(gòu)成公差為d＝9，首項為a1＝9的等差數(shù)列．由等差數(shù)列的性質(zhì)知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數(shù)列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，則9n2＝729，解得n＝9，
則三層共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋eq \f(27×26,2)×9＝3 402(塊)．
(2)(2021·新高考全國Ⅰ)某校學生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折．規(guī)格為20 dm×12 dm的長方形紙，對折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm×
6 dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1＝240 dm2，對折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2＝180 dm2，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為________；如果對折n次，那么eq \i\su(k＝1,n,S)k＝_______ dm2.
答案 5 240eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(n＋3,2n)))
解析 依題意得，S1＝120×2＝240；
S2＝60×3＝180；
當n＝3時，共可以得到5 dm×6 dm，eq \f(5,2) dm×12 dm，10 dm×3 dm,20 dm×eq \f(3,2) dm四種規(guī)格的圖形，且5×6＝30，eq \f(5,2)×12＝30,10×3＝30，
20×eq \f(3,2)＝30，所以S3＝30×4＝120；
當n＝4時，共可以得到5 dm×3 dm，eq \f(5,2) dm×6 dm，eq \f(5,4) dm×12 dm,10 dm×eq \f(3,2) dm,20 dm×eq \f(3,4) dm五種規(guī)格的圖形，所以對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為5，且5×3＝15，eq \f(5,2)×6＝15，eq \f(5,4)×12＝15,10×eq \f(3,2)＝15,20×eq \f(3,4)＝15，
所以S4＝15×5＝75；
……
所以可歸納Sk＝eq \f(240,2k)×(k＋1)＝eq \f(240?k＋1?,2k).
所以eq \i\su(k＝1,n,S)k＝240eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,22)＋\f(4,23)＋…＋\f(n,2n－1)＋\f(n＋1,2n)))，①
所以eq \f(1,2)×eq \i\su(k＝1,n,S)k
＝240eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,22)＋\f(3,23)＋\f(4,24)＋…＋\f(n,2n)＋\f(n＋1,2n＋1)))，②
由①－②得，eq \f(1,2)×eq \i\su(k＝1,n,S)k
＝240eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,22)＋\f(1,23)＋\f(1,24)＋…＋\f(1,2n)－\f(n＋1,2n＋1)))
＝240eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\f(1,22)－\f(1,2n)×\f(1,2),1－\f(1,2))－\f(n＋1,2n＋1)))
＝240eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－\f(n＋3,2n＋1)))，
所以eq \i\su(k＝1,n,S)k＝240eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(n＋3,2n)))dm2.
教師備選
1．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，前三個節(jié)氣日影長之和為28.5尺，最后三個節(jié)氣日影長之和為1.5尺，今年3月20日為春分時節(jié)，其日影長為( )
A．4.5尺 B．3.5尺
C．2.5尺 D．1.5尺
答案 A
解析 冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣日影長構(gòu)成等差數(shù)列{an}，設(shè)公差為d，
由題意得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a2＋a3＝28.5，,a10＋a11＋a12＝1.5，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝10.5，,d＝－1，))
所以an＝a1＋(n－1)d＝11.5－n，
所以a7＝11.5－7＝4.5，
即春分時節(jié)的日影長為4.5尺．
2．古希臘時期，人們把寬與長之比為eq \f(\r(5)－1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)≈0.618))的矩形稱為黃金矩形，把這個比值eq \f(\r(5)－1,2)稱為黃金分割比例．如圖為希臘的一古建筑，其中圖中的矩形ABCD，EBCF，F(xiàn)GHC，F(xiàn)GJI，LGJK，MNJK均為黃金矩形，若M與K之間的距離超過1.5 m，C與F之間的距離小于11 m，則該古建筑中A與B之間的距離可能是(參考數(shù)據(jù)：0.6182≈0.382，0.6183≈0.236，0.6184≈0.146，0.6185≈0.090，0.6186≈0.056，0.6187≈0.034)( )
A．30.3 m B．30.1 m
C．27 m D．29.2 m
答案 C
解析 設(shè)|AB|＝x，a≈0.618，
因為矩形ABCD，EBCF，F(xiàn)GHC，F(xiàn)GJI，LGJK，MNJK均為黃金矩形，
所以有|BC|＝ax，|CF|＝a2x，|FG|＝a3x，
|GJ|＝a4x，|JK|＝a5x，|KM|＝a6x.
由題設(shè)得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a6x>1.5，,a2x0，
∴c1＋c2＋…＋cn
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,d)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b1)－\f(1,b2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,d)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b2)－\f(1,b3)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,d)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,bn)－\f(1,bn＋1)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,d)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b1)－\f(1,b2)＋\f(1,b2)－\f(1,b3)＋…＋\f(1,bn)－\f(1,bn＋1)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,d)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b1)－\f(1,bn＋1)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,d)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,bn＋1)))

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