考試要求 1.在平面直角坐標系中，結合具體圖形，確定直線位置的幾何要素；2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式；3.掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關系.
1.直線的傾斜角
(1)定義：當直線l與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角；
(2)規(guī)定：當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0；
(3)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是[0，π).
2.直線的斜率
(1)定義：當直線l的傾斜角α≠eq \f(π,2)時，其傾斜角α的正切值tan α叫做這條直線的斜率，斜率通常用小寫字母k表示，即k＝tan__α.
(2)計算公式
①經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
②若直線的方向向量為a＝(x，y)(x≠0)，則直線的斜率k＝eq \f(y,x).
3.直線方程的五種形式
1.直線的傾斜角α和斜率k之間的對應關系：
2.截距和距離的不同之處
“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正，可負，也可以是零，而“距離”是一個非負數(shù).
1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)
(1)直線的傾斜角越大，其斜率就越大.( )
(2)直線的斜率為tan α，則其傾斜角為α.( )
(3)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等.( )
(4)經(jīng)過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)當直線的傾斜角α1＝135°，α2＝45°時，α1＞α2，但其對應斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.
(2)當直線斜率為tan(－45°)時，其傾斜角為135°.
(3)兩直線的斜率相等，則其傾斜角一定相等.
2.(易錯題)若直線x＝2的傾斜角為α，則α的值為( )
A.0 B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,2) D.不存在
答案 C
解析 因為直線x＝2垂直于x軸，所以傾斜角α＝eq \f(π,2).
3.(2022·菏澤模擬)若過點M(－2，m)，N(m，4)的直線的斜率等于1，則m的值為( )
A.1 B.4
C.1或3 D.1或4
答案 A
解析 由題意得eq \f(m－4,－2－m)＝1，解得m＝1.
4.(2021·蘭州模擬)已知直線l過點P(1，3)，且與x軸、y軸的正半軸所圍成的三角形的面積等于6，則直線l的方程是( )
A.3x＋y－6＝0 B.x＋3y－10＝0
C.3x－y＝0 D.x－3y＋8＝0
答案 A
解析 設直線l的方程為eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0).
由題意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(3,b)＝1，,\f(1,2)ab＝6，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝6.))
故直線l的方程為eq \f(x,2)＋eq \f(y,6)＝1，即3x＋y－6＝0.
5.(2021·鄭州質檢)過點P(2，－3)且傾斜角為45°的直線的方程為__________.
答案 x－y－5＝0
解析 傾斜角45°的直線的斜率為tan 45°＝1，又經(jīng)過點P(2，－3)，∴直線方程為y＋3＝x－2，即x－y－5＝0.
6.(易錯題)過點P(2，3)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為________________.
答案 3x－2y＝0或x＋y－5＝0
解析 當截距為0時，直線方程為3x－2y＝0；
當截距不為0時，設直線方程為eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，
則eq \f(2,a)＋eq \f(3,a)＝1，解得a＝5.
所以直線方程為x＋y－5＝0.
考點一 直線的傾斜角與斜率
例1 (經(jīng)典母題)直線l過點P(1，0)，且與以A(2，1)，B(0，eq \r(3))為端點的線段有公共點，則直線l的斜率的取值范圍為________.
答案 (－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞)
解析 法一 設PA與PB的傾斜角分別為α，β，直線PA的斜率是kAP＝1，直線PB的斜率是kBP＝－eq \r(3)，當直線l由PA變化到與y軸平行的位置PC時，它的傾斜角由α增至90°，斜率的取值范圍為[1，＋∞).
當直線l由PC變化到PB的位置時，它的傾斜角由90°增至β，斜率的變化范圍是(－∞，－eq \r(3)].
故斜率的取值范圍是(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞).
法二 設直線l的斜率為k，則直線l的方程為y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
∵A，B兩點在直線l的兩側或其中一點在直線l上，
∴(2k－1－k)(－eq \r(3)－k)≤0，
即(k－1)(k＋eq \r(3))≥0，解得k≥1或k≤－eq \r(3).
即直線l的斜率k的取值范圍是(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞).
遷移 若將例1中P(1，0)改為P(－1，0)，其他條件不變，求直線l的斜率的取值范圍.
解 設直線l的斜率為k，則直線l的方程為
y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.
∵A，B兩點在直線l的兩側或其中一點在直線l上，
∴(2k－1＋k)(－eq \r(3)＋k)≤0，
即(3k－1)(k－eq \r(3))≤0，解得eq \f(1,3)≤k≤eq \r(3).
即直線l的斜率的取值范圍是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\r(3))).
感悟提升 1.由直線的傾斜角的取值范圍求斜率的取值范圍或由斜率的取值范圍求直線的傾斜角的取值范圍時，常借助正切函數(shù)y＝tan x在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上的單調(diào)性求解，這里特別要注意，正切函數(shù)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上并不是單調(diào)的.
2.過一定點作直線與已知線段相交，求直線斜率取值范圍時，應注意傾斜角為eq \f(π,2)時，直線斜率不存在.
訓練1 (2022·齊齊哈爾調(diào)研)已知點(－1，2)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，0))在直線l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同側，則直線l的傾斜角的取值范圍為( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，\f(5π,6))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，\f(3π,4)))
答案 D
解析 因為點(－1，2)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，0))在直線l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同側，所以(－a－2＋1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)a－0＋1))>0，即(a＋1)(a＋eq \r(3))

相關試卷

2024高考數(shù)學大一輪復習Word版題庫（人教A版文）第九章 平面解析幾何 第1節(jié) 直線的方程：

這是一份2024高考數(shù)學大一輪復習Word版題庫（人教A版文）第九章 平面解析幾何 第1節(jié) 直線的方程，共13頁。試卷主要包含了直線的斜率，直線方程的五種形式，))，已知點A，B等內(nèi)容，歡迎下載使用。

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學大一輪復習（人教A版-理）第九章 平面解析幾何 第5節(jié) 橢圓 第二課時 直線與橢圓：

這是一份備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學大一輪復習（人教A版-理）第九章 平面解析幾何 第5節(jié) 橢圓 第二課時 直線與橢圓，共17頁。試卷主要包含了已知直線l，記半焦距為c，，已知橢圓C等內(nèi)容，歡迎下載使用。

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學大一輪復習（人教A版-理）第九章 平面解析幾何 第6節(jié) 雙曲線：

這是一份備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學大一輪復習（人教A版-理）第九章 平面解析幾何 第6節(jié) 雙曲線，共22頁。試卷主要包含了雙曲線的定義，雙曲線的標準方程和幾何性質，雙曲線的焦點到漸近線的距離為b，焦點三角形的面積等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學大一輪復習（人教A版-理）第九章 平面解析幾何 第3節(jié) 圓的方程

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學大一輪復習（人教A版-理）第九章 平面解析幾何 第3節(jié) 圓的方程
備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學大一輪復習（人教A版-理）第九章 平面解析幾何 第8節(jié) 曲線與方程

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學大一輪復習（人教A版-理）第九章 平面解析幾何 第8節(jié) 曲線與方程
備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學大一輪復習（人教A版-理）第九章 平面解析幾何 第2節(jié) 兩直線的位置關系

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學大一輪復習（人教A版-理）第九章 平面解析幾何 第2節(jié) 兩直線的位置關系
備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學大一輪復習（人教A版-理）第九章 §9.1 直線的方程

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學大一輪復習（人教A版-理）第九章 §9.1 直線的方程
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部