?第5節(jié)　直接證明與間接證明
考綱要求　1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程和特點(diǎn)；2.了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過(guò)程和特點(diǎn)．

知識(shí)梳理
1．直接證明
內(nèi)容
綜合法
分析法
定義
利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立
從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到最后把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止
實(shí)質(zhì)
由因?qū)Ч?br /> 執(zhí)果索因
框圖表示
→→…→
→→…→
文字語(yǔ)言
因?yàn)椤浴?br /> 或由……得……
要證……只需證……
即證……
2.間接證明
間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法，反證法是一種常用的間接證明方法．
(1)反證法的定義：假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立的證明方法．
(2)用反證法證明的一般步驟：①反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②歸謬——根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，直到推出矛盾為止；③結(jié)論——斷言假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立．

1．分析法是執(zhí)果索因，實(shí)際上是尋找使結(jié)論成立的充分條件；綜合法是由因?qū)Ч?，就是尋找已知的必要條件．
2．綜合法與分析法都是直接證明的方法，反證法是間接證明的方法．
3．用反證法證題時(shí)，首先否定結(jié)論，否定結(jié)論就是找出結(jié)論的反面的情況，然后推出矛盾，矛盾可以與已知、公理、定理、事實(shí)或者假設(shè)等相矛盾．
診斷自測(cè)

1．判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)
(1)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件．(　　)
(2)用反證法證明結(jié)論“a>b”時(shí)，應(yīng)假設(shè)“aQ B．P＝Q C．PQ，只需P2>Q2，即2a＋13＋2>2a＋13＋2，只需a2＋13a＋42>a2＋13a＋40.因?yàn)?2>40成立，所以P>Q成立．故選A.
3．實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝0，abc>0，則＋＋的值(　　)
A．一定是正數(shù) B．一定是負(fù)數(shù)
C．可能是0 D．正、負(fù)不確定
答案　B
解析　由a＋b＋c＝0，abc>0得a，b，c中必有兩負(fù)一正，不妨設(shè)a，而1
答案　C
解析　因?yàn)閤>0，所以要證0成立，故原不等式成立．故選C.
6．(2021·西安模擬)已知a，b，c∈R，若·>1且＋≥－2，則下列結(jié)論成立的是(　　)
A．a(chǎn)，b，c同號(hào)
B．b，c同號(hào)，a與它們異號(hào)
C．a(chǎn)，c同號(hào)，b與它們異號(hào)
D．b，c同號(hào)，a與b，c的符號(hào)關(guān)系不確定
答案　A
解析　由·>1知與同號(hào)，若>0且>0，不等式＋≥－2顯然成立，若0，＋≥2>2，即＋0且>0，即a，b，c同號(hào)．故選A.
二、填空題
7.＋與2＋的大小關(guān)系為_(kāi)_______．
答案?。?2＋
解析　要比較＋與2＋的大小，
只需比較(＋)2與(2＋)2的大小，
只需比較6＋7＋2與8＋5＋4的大小，
只需比較與2的大小，只需比較42與40的大小，
∵42>40，∴＋>2＋.
8．下列條件：①ab>0；②ab0，b>0；④a0成立，即a，b不為0且同號(hào)即可，故①③④均能使＋≥2成立．
9．若二次函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使f(c)>0，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是________．
答案　
解析　若二次函數(shù)f(x)≤0在區(qū)間[－1,1]內(nèi)恒成立，
則
解得p≤－3或p≥，
故滿足條件的p的取值范圍為.
三、解答題
10．已知x，y，z是互不相等的正數(shù)，且x＋y＋z＝1，求證：>8.
證明　因?yàn)閤，y，z是互不相等的正數(shù)，且x＋y＋z＝1，
所以－1＝＝>，①
－1＝＝>，②
－1＝＝>，③
又x，y，z為正數(shù)，由①×②×③，
得>8.
11．已知a>5，求證：－

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