?專題09 二元一次方程組
【考查題型】

【知識(shí)要點(diǎn)】
知識(shí)點(diǎn)一 二元一次方程（組）有關(guān)概念
二元一次方程的概念：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程。
【注意】1) 二元：含有兩個(gè)未知數(shù)；
2）一次：所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1。例如：xy=1，xy的次數(shù)是二，屬于二元二次方程。
3) 方程：方程的左右兩邊必須都是整式（分母不能出現(xiàn)未知數(shù)）。
二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。
【易錯(cuò)點(diǎn)】二元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，滿足二元一次方程使得方程左右相等都是這個(gè)方程的解，但并不是說(shuō)任意一對(duì)數(shù)值就是它的解。
【解題技巧】在二元一次方程中，給定其中一個(gè)未知數(shù)的值，就可以通過(guò)解一元一次方程的方法求出另一個(gè)未知數(shù)的值。
二元一次方程組的概念：把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起，叫做二元一次方程組．
【補(bǔ)充說(shuō)明】
1）二元一次方程組的“二元”和“一次”都是針對(duì)整個(gè)方程組而言的，組成方程組的各個(gè)方程不必同時(shí)含有兩個(gè)未知數(shù)，如也是二元一次方程組。這兩個(gè)一次方程不一定都是二元一次方程，但這兩個(gè)一次方程必須只含有兩個(gè)未知數(shù)。
2） 方程組中的各個(gè)方程中，相同字母必須代表同一未知量。
3）二元一次方程組中的各個(gè)方程都是是整式方程。
二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。
【注意】1）二元一次方程組的解是方程中每個(gè)方程的解。
2）一般情況下二元一次方程組的解是唯一的，但是有的方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解或無(wú)解。
如：（無(wú)數(shù)解），如：（無(wú)解）
考查題型一 理解二元一次方程（組）的相關(guān)概念
題型1．（2022·浙江杭州·中考真題）某體育比賽的門票分A票和B票兩種，A票每張x元，B票每張y元．已知10張A票的總價(jià)與19張B票的總價(jià)相差320元，則（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【提示】根據(jù)題中數(shù)量關(guān)系列出方程即可解題；
【詳解】解：由10張A票的總價(jià)與19張B票的總價(jià)相差320元可知，
或，
∴，
故選：C．
【名師點(diǎn)撥】本題主要考查二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能根據(jù)實(shí)際情況對(duì)題目全面提示．
題型1-1．（2022·黑龍江·中考真題）國(guó)家“雙減”政策實(shí)施后，某校開展了豐富多彩的社團(tuán)活動(dòng)．某班同學(xué)報(bào)名參加書法和圍棋兩個(gè)社團(tuán)，班長(zhǎng)為參加社團(tuán)的同學(xué)去商場(chǎng)購(gòu)買毛筆和圍棋（兩種都購(gòu)買）共花費(fèi)360元．其中毛筆每支15元，圍棋每副20元，共有多少種購(gòu)買方案？（????）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【提示】設(shè)設(shè)購(gòu)買毛筆x支，圍棋y副，根據(jù)總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，結(jié)合x，y均為正整數(shù)即可得出購(gòu)買方案的數(shù)量．
【詳解】解：設(shè)購(gòu)買毛筆x支，圍棋y副，根據(jù)題意得，
15x+20y=360，即3x+4y=72，
∴y=18-x．
又∵x，y均為正整數(shù)，
∴或或或或，
∴班長(zhǎng)有5種購(gòu)買方案．
故選：A．
【名師點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系“共花費(fèi)360元”，列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．
題型1-2．（2022·四川雅安·中考真題）已知是方程ax+by＝3的解，則代數(shù)式2a+4b﹣5的值為 _____．
【答案】1
【提示】把代入ax+by＝3可得，而2a+4b﹣5，再整體代入求值即可．
【詳解】解：把代入ax+by＝3可得：
，
2a+4b﹣5

．
故答案為：1
【名師點(diǎn)撥】本題考查的是二元一次方程的解，利用整體代入法求解代數(shù)式的值，掌握“方程的解的含義及整體代入的方法”是解本題的關(guān)鍵．
題型1-3．（2022·黑龍江綏化·中考真題）某班為獎(jiǎng)勵(lì)在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中成績(jī)優(yōu)異的同學(xué)，花費(fèi)48元錢購(gòu)買了甲、乙兩種獎(jiǎng)品，每種獎(jiǎng)品至少購(gòu)買1件，其中甲種獎(jiǎng)品每件4元，乙種獎(jiǎng)品每件3元，則有______種購(gòu)買方案．
【答案】3##三
【提示】設(shè)購(gòu)買甲種獎(jiǎng)品x件，乙種獎(jiǎng)品y件，列出關(guān)系式，并求出，由于，且x，y都是正整數(shù)，所以y是4的整數(shù)倍，由此計(jì)算即可．
【詳解】解：設(shè)：購(gòu)買甲種獎(jiǎng)品x件，乙種獎(jiǎng)品y件，
，解得，
∵，且x，y都是正整數(shù)，
∴y是4的整數(shù)倍，
∴時(shí)，，
時(shí)，，
時(shí)，，
時(shí)，，不符合題意，
故有3種購(gòu)買方案，
故答案為：3．
【名師點(diǎn)撥】本題考查列關(guān)系式，根據(jù)題意判斷出y是4的整數(shù)倍是解答本題的關(guān)鍵．
題型1-4．（2021·四川廣安·中考真題）若、滿足，則代數(shù)式的值為______．
【答案】-6
【提示】根據(jù)方程組中x+2y和x-2y的值，將代數(shù)式利用平方差公式分解，再代入計(jì)算即可．
【詳解】解：∵x-2y=-2，x+2y=3，
∴x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=3×（-2）=-6，
故答案為：-6．
【名師點(diǎn)撥】本題主要考查方程組的解及代數(shù)式的求值，觀察待求代數(shù)式的特點(diǎn)與方程組中兩方程的聯(lián)系是解題關(guān)鍵．
知識(shí)點(diǎn)二 解二元一次方程組
消元的思想：二元一次方程組中有兩個(gè)未知數(shù)，如果消去其中一個(gè)未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為熟悉的一元一次方程，即可先求出一個(gè)未知數(shù)，然后再求另一個(gè)未知數(shù)。這種將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫做消元的思想。
方法一：代入消元法：把二元一次方程組中一個(gè)方程的未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來(lái)，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解。這個(gè)方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法。
【基本思路】：未知數(shù)由多變少。
代入消元法解二元一次方程組的一般步驟： （變4代4解4求4寫4驗(yàn)）
①變：將其中一個(gè)方程變形，使一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)的未知數(shù)的代數(shù)式表示。
②代：用這個(gè)代數(shù)式代替另一個(gè)方程中的相應(yīng)未知數(shù)，得到一元一次方程。
③解：解一元一次方程
④求：把求得的未知數(shù)的值帶入代數(shù)式或原方程組中的任意一個(gè)方程中，求得另一個(gè)未知數(shù)的值。
⑤寫：寫出方程組的解。
⑥驗(yàn)：將方程組的解帶入到原方程組中的每個(gè)方程中，若各方程均成立，則這對(duì)數(shù)值就是原方程組的解，負(fù)責(zé)解題有誤。
方法二 加減消元法：兩個(gè)二元一次方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法。
加減消元法解二元一次方程組的一般步驟： （變4加減4解4求4寫4驗(yàn)）
①變形：將兩個(gè)方程中其中一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)化為相同（或互為相反數(shù)）。
②加減：通過(guò)相減（或相加）消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程。
③求解：解這個(gè)一元一次方程，得到一個(gè)未知數(shù)的值。
④回代：將求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個(gè)方程，求出另一個(gè)未知數(shù)的值。
⑤寫解：寫出方程組的解。
⑥檢驗(yàn)：將方程組的解帶入到原方程組中的每個(gè)方程中，若各方程均成立，則這對(duì)數(shù)值就是原方程組的解，負(fù)責(zé)解題有誤。
方法三 換元法：根據(jù)方程組各系數(shù)的特點(diǎn)，可將方程組中的一個(gè)方程或方程的一部分看成一個(gè)整體，帶入另一個(gè)方程中，從而達(dá)到消去其中一個(gè)未知數(shù)的目的，并求得方程的解。

例 (x+5)+(y-4)=8
　　 (x+5)-(y-4)=4 令x+5=m,y-4=n
　　原方程可寫為


m+n=8 解得m=6,n=2 所以 x=1
m-n=4 所以x+5=6,y-4=2 y=6
特點(diǎn)：兩方程中都含有相同的代數(shù)式，如題中的x+5,y-4之類，換元后可簡(jiǎn)化方程也是主要原因。
解二元一次方程的基本步驟：1.消元 2.求解 3.回代 4.寫解 5.檢驗(yàn)（重要）
解三元一次方程的基本步驟：
1.變形（變?nèi)淮螢槎淮危?
2.求解：解二元一次方程組
3.回代：將求得的未知數(shù)的值代入原方程組的一個(gè)適當(dāng)?shù)姆匠讨校玫揭粋€(gè)一元一次方程
4.求解：解一元一次方程，求出第三個(gè)未知數(shù)
5.寫解：用大括號(hào)將所求的的三個(gè)未知數(shù)的值聯(lián)立起來(lái)，即得原方程組的解。
考查題型二 解二元一次方程組
題型2．（2022·湖南株洲·中考真題）對(duì)于二元一次方程組，將①式代入②式，消去可以得到（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【提示】將①式代入②式消去去括號(hào)即可求得結(jié)果．
【詳解】解：將①式代入②式得，
，
故選B．
【名師點(diǎn)撥】本題考查了代入消元法求解二元一次方程組，熟練掌握代入消元法是解題的關(guān)鍵．
題型2-1．（2022·遼寧沈陽(yáng)·中考真題）二元一次方程組的解是______．
【答案】##
【提示】利用代入消元法進(jìn)行求解方程組的解即可．
【詳解】解：
把②代入①得：，解得：，
把代入②得：；
∴原方程組的解為；
故答案為．
【名師點(diǎn)撥】本題主要考查二元一次方程組的解法，熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵．
題型2-2．（2022·江蘇無(wú)錫·中考真題）二元一次方程組的解為________．
【答案】
【提示】方程組利用加減消元法求出解即可．
【詳解】解：．
①+②×2得：7x=14，
解得：x=2，
把x=2代入②得：2×2-y=1
解得：y=3，
所以，方程組的解為，
故答案為：．
【名師點(diǎn)撥】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．
題型2-3．（2022·廣西賀州·中考真題）若實(shí)數(shù)m，n滿足，則__________．
【答案】7
【提示】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求出m、n的值，進(jìn)而代入數(shù)值可求解．
【詳解】解：由題意知，m，n滿足，
∴m-n-5=0，2m+n?4=0，
∴m=3，n=-2，
∴，
故答案為：7．
【名師點(diǎn)撥】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，初中階段有三種類型的非負(fù)數(shù)：（1）絕對(duì)值；（2）偶次方；（3）二次根式（算術(shù)平方根）．當(dāng)它們相加和為0時(shí)，必須滿足其中的每一項(xiàng)都等于0．根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求解這類題目．
題型2-4．（2022·山東濰坊·中考真題）方程組的解為___________．
【答案】
【提示】用①×2+②×3，可消去未知數(shù)y，求出未知數(shù)x，再把x的值代入②求出y即可．
【詳解】解：，
①×2+②×3，得13x=26，
解得：x=2，
把x=2代入②，得6-2y=0，
解得y=3，
故方程組的解為．
故答案為：．
【名師點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的解法，解二元一次方程組的基本思路是消元，把二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程是解題的關(guān)鍵．
題型2-5．（2022·湖北隨州·中考真題）已知二元一次方程組，則的值為______．
【答案】1
【提示】直接由②-①即可得出答案．
【詳解】原方程組為，
由②-①得．
故答案為：1．
【名師點(diǎn)撥】本題考查二元一次方程組的特殊解法，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)觀察，并用整體法求解．
題型2-6．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）計(jì)算求解：
(1)計(jì)算
(2)解方程組
【答案】(1)5
(2)
【提示】（1）先去絕對(duì)值，算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，將特殊角三角函數(shù)值代入，再計(jì)算即可；
（2）直接解二元一次方程組即可．
(1)原式＝2+3
5；
(2)整理方程組得：，
由①得：y＝5-4x③，
將③代入②得：-5x＝5，
解得：x＝-1，
將x＝-1代入③得：y＝9，
則方程組得解為：．
【名師點(diǎn)撥】本題考查實(shí)數(shù)運(yùn)算和解二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是掌握各知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)算法則．
題型2-7．（2022·湖北荊州·中考真題）已知方程組的解滿足，求k的取值范圍．
【答案】
【提示】先求出二元一次方程組的解，代入中即可求k；
【詳解】解：令①+②得，，
解得：，
將代入①中得，，
解得：，
將，代入得，，
解得：．
【名師點(diǎn)撥】本題主要考查解二元一次方程組、解一元一次不等式，掌握相關(guān)運(yùn)算法則和方法是解本題的關(guān)鍵．
題型2-8．（2022·山東淄博·中考真題）解方程組：
【答案】
【提示】整理方程組得，繼而根據(jù)加減消元法解二元一次方程組即可求解．
【詳解】解：整理方程組得，???????????????????
得，
y=1，?????????????????
把y=1代入①得，
解得x=5，????????????
∴方程組的解為.
【名師點(diǎn)撥】本題考查了解二元一次方程組，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
考查題型三 解三元一次方程組
題型3．（2022·重慶·中考真題）特產(chǎn)專賣店銷售桃片、米花糖、麻花三種特產(chǎn)，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售價(jià)分別比其成本高20%、30%、20%．該店五月份銷售桃片、米花糖、麻花的數(shù)量之比為1∶3∶2，三種特產(chǎn)的總利潤(rùn)是總成本的25%，則每包米花糖與每包麻花的成本之比為_________．
【答案】4：3
【提示】設(shè)每包麻花的成本為x元，每包米花糖的成本為y元，桃片的銷售量為m包，則每包桃片的成本為2x元，米花糖的銷售量為3m包，麻花的銷售量為2m包，根據(jù)三種特產(chǎn)的總利潤(rùn)是總成本的25%列得，計(jì)算可得．
【詳解】解：設(shè)每包麻花的成本為x元，每包米花糖的成本為y元，桃片的銷售量為m包，則每包桃片的成本為2x元，米花糖的銷售量為3m包，麻花的銷售量為2m包，由題意得
，
解得3y=4x，
∴y：x=4：3，
故答案為：4：3．
【名師點(diǎn)撥】此題考查了三元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意確定等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
題型3-1．（2021·重慶·中考真題）盲盒為消費(fèi)市場(chǎng)注入了活力，既能夠營(yíng)造消費(fèi)者購(gòu)物過(guò)程中的趣味體驗(yàn)，也為商家實(shí)現(xiàn)銷售額提升拓展了途徑．某商家將藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤、迷你音箱共22個(gè)，搭配為A，B，C三種盲盒各一個(gè)，其中A盒中有2個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)，3個(gè)多接口優(yōu)盤，1個(gè)迷你音箱；B盒中藍(lán)牙耳機(jī)與迷你音箱的數(shù)量之和等于多接口優(yōu)盤的數(shù)量，藍(lán)牙耳機(jī)與迷你音箱的數(shù)量之比為3：2；C盒中有1個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)，3個(gè)多接口優(yōu)盤，2個(gè)迷你音箱．經(jīng)核算，A盒的成本為145元，B盒的成本為245元（每種盲盒的成本為該盒中藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤、迷你音箱的成本之和），則C盒的成本為__________元．
【答案】155
【提示】設(shè)B盒中藍(lán)牙耳機(jī)3a個(gè)，迷你音箱2a個(gè)，列方程求出B盒中各種設(shè)備的數(shù)量，再設(shè)藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤、迷你音箱的成本分別為x、y、z元，根據(jù)題意列出方程組，再整體求出的值即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)B盒中藍(lán)牙耳機(jī)3a個(gè)，迷你音箱2a個(gè)，優(yōu)盤的數(shù)量為3a+2a=5 a個(gè)，則，解得，a=1；
設(shè)藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤、迷你音箱的成本分別為x、y、z元，根據(jù)題意列方程組得，
②-①得，，
③×3-①得，，
故答案為：155．
【名師點(diǎn)撥】本題考查了三元一次方程組和一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是找準(zhǔn)題目中的等量關(guān)系列出方程（組），熟練運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行方程變形，整體求值．
知識(shí)點(diǎn)三 列二元一次方程組解應(yīng)用題
列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：
審：審題，明確各數(shù)量之間的關(guān)系。
設(shè)：設(shè)未知數(shù)
找：找題中的等量關(guān)系
列：根據(jù)等量關(guān)系列出兩個(gè)方程，組成方程組
解：解方程組，求出未知數(shù)的值
答：檢驗(yàn)方程組的解是否符合題意，寫出答案。
常見利用方程解決實(shí)際問(wèn)題等量關(guān)系：
銷售中盈虧問(wèn)題：
1）成本價(jià)：俗稱進(jìn)價(jià)，是商家進(jìn)貨時(shí)的價(jià)格；
2）標(biāo)價(jià)：商家出售時(shí)標(biāo)注的價(jià)格；
3）打折：打折就是以標(biāo)價(jià)為基礎(chǔ)，按一定比例降價(jià)出售。如：打9折，就是按標(biāo)價(jià)的90℅出售。
4）利潤(rùn)=售價(jià)－進(jìn)價(jià)，利潤(rùn)>0時(shí)盈利，利潤(rùn)0，
∴W隨m的減小而減小，
∴當(dāng)m=6時(shí)，W有最小值，
∴W=5×6+300=330元
則在購(gòu)買方案中最少費(fèi)用是330元．
故答案為：330．
【名師點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式與一次函數(shù)．
題型4-5．（2021·四川瀘州·中考真題）某運(yùn)輸公司有A、B兩種貨車，3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運(yùn)貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運(yùn)貨160噸．
（1）請(qǐng)問(wèn)1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運(yùn)貨多少噸？
（2）目前有190噸貨物需要運(yùn)輸，該運(yùn)輸公司計(jì)劃安排A、B兩種貨車將全部貨物一次運(yùn)完(A、B兩種貨車均滿載)，其中每輛A貨車一次運(yùn)貨花費(fèi)500元，每輛B貨車一次運(yùn)貨花費(fèi)400元．請(qǐng)你列出所有的運(yùn)輸方案，并指出哪種運(yùn)輸方案費(fèi)用最少．
【答案】（1）1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運(yùn)貨20噸和15噸；（2）共有3種租車方案，方案1：租用A型車8輛，B型車2輛；方案2：租用A型車5輛，B型車6輛；方案3：租用A型車2輛，B型車10輛；租用A型車8輛，B型車2輛最少．
【提示】（1）設(shè)1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運(yùn)貨x噸和y噸，根據(jù)“3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運(yùn)貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運(yùn)貨160噸”列方程組求解可得；
（2）設(shè)貨運(yùn)公司安排A貨車m輛，則安排B貨車n輛．根據(jù)“共有190噸貨物”列出二元一次方程組，結(jié)合m，n均為正整數(shù)，即可得出各運(yùn)輸方案．再根據(jù)方案計(jì)算比較得出費(fèi)用最小的數(shù)據(jù)．
【詳解】解：（1）1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運(yùn)貨x噸和y噸，
根據(jù)題意可得：，
解得：，
答：1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運(yùn)貨20噸和15噸；
（2）設(shè)安排A型車m輛，B型車n輛，
依題意得：20m+15n=190，即，
又∵m，n均為正整數(shù)，
∴或或，
∴共有3種運(yùn)輸方案，
方案1：安排A型車8輛，B型車2輛；
方案2：安排A型車5輛，B型車6輛；
方案3：安排A型車2輛，B型車10輛．
方案1所需費(fèi)用：5008+4002=4800(元)；
方案2所需費(fèi)用：5005+4006=4900(元)；
方案3所需費(fèi)用：5002+40010=5000(元)；
∵4800＜4900＜5000，
∴安排A型車8輛，B型車2輛最省錢，最省錢的運(yùn)輸費(fèi)用為4800元．
【名師點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程；根據(jù)據(jù)總費(fèi)用=500×安排A型車的輛數(shù)+400×B型車的輛數(shù)分別求出三種運(yùn)輸方案的總費(fèi)用．
考查題型五 利用二元一次方程組解決分配問(wèn)題
題型5．（2021·貴州黔西·中考真題）有大小兩種貨車，2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運(yùn)貨，5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運(yùn)貨，則3輛大貨車與2輛小貨車一次可以運(yùn)貨______．
【答案】17
【提示】設(shè)每輛大貨車一次可以運(yùn)貨x噸，每輛小貨車一次可以運(yùn)貨y噸，由題意：2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運(yùn)貨15.5t，5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運(yùn)貨35t，列出方程組，解方程組，即可求解．
【詳解】解：設(shè)每輛大貨車一次可以運(yùn)貨噸，每輛小貨車一次可以運(yùn)貨噸，
由題意，得：，
解得：，
則，
即3輛大貨車與2輛小貨車一次可以運(yùn)貨，
故答案為：17．
【名師點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
題型5-1．（2022·福建·中考真題）在學(xué)校開展“勞動(dòng)創(chuàng)造美好生活”主題系列活動(dòng)中，八年級(jí)（1）班負(fù)責(zé)校園某綠化角的設(shè)計(jì)、種植與養(yǎng)護(hù)．同學(xué)們約定每人養(yǎng)護(hù)一盆綠植，計(jì)劃購(gòu)買綠蘿和吊蘭兩種綠植共46盆，且綠蘿盆數(shù)不少于吊蘭盆數(shù)的2倍．已知綠蘿每盆9元，吊蘭每盆6元．
(1)采購(gòu)組計(jì)劃將預(yù)算經(jīng)費(fèi)390元全部用于購(gòu)買綠蘿和吊蘭，問(wèn)可購(gòu)買綠蘿和吊蘭各多少盆？
(2)規(guī)劃組認(rèn)為有比390元更省錢的購(gòu)買方案，請(qǐng)求出購(gòu)買兩種綠植總費(fèi)用的最小值．
【答案】(1)購(gòu)買綠蘿38盆，吊蘭8盆
(2)369元
【提示】（1）設(shè)購(gòu)買綠蘿盆，購(gòu)買吊蘭盆，根據(jù)題意建立方程組，解方程組即可得到答案；
（2）設(shè)購(gòu)買綠蘿盆，購(gòu)買吊蘭盆，總費(fèi)用為，得到關(guān)于的一次函數(shù)，再建立關(guān)于的不等式組，解出的取值范圍，從而求得的最小值．
（1）
設(shè)購(gòu)買綠蘿盆，購(gòu)買吊蘭盆
∵計(jì)劃購(gòu)買綠蘿和吊蘭兩種綠植共46盆
∴
∵采購(gòu)組計(jì)劃將預(yù)算經(jīng)費(fèi)390元全部用于購(gòu)買綠蘿和吊蘭，綠蘿每盆9元，吊蘭每盆6元
∴
得方程組
解方程組得
∵38>2×8，符合題意
∴購(gòu)買綠蘿38盆，吊蘭8盆；
（2）
設(shè)購(gòu)買綠蘿盆，購(gòu)買吊蘭吊盆，總費(fèi)用為
∴，
∴
∵總費(fèi)用要低于過(guò)390元，綠蘿盆數(shù)不少于吊蘭盆數(shù)的2倍
∴
將代入不等式組得
∴
∴的最大值為15
∵為一次函數(shù)，隨值增大而減小
∴時(shí)，最小
∴
∴元
故購(gòu)買兩種綠植最少花費(fèi)為元．
【名師點(diǎn)撥】本題考查二元一次方程組、一次函數(shù)、不等式組的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)量掌握二元一次方程組、一次函數(shù)、不等式組的相關(guān)知識(shí)．
題型5-2．（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）紹云中學(xué)計(jì)劃為繪畫小組購(gòu)買某種品牌的A、B兩種型號(hào)的顏料，若購(gòu)買1盒A種型號(hào)的顏料和2盒B種型號(hào)的顏料需用56元；若購(gòu)買2盒A種型號(hào)的顏料和1盒B種型號(hào)的顏料需用64元．
(1)求每盒A種型號(hào)的顏料和每盒B種型號(hào)的顏料各多少元；
(2)紹云中學(xué)決定購(gòu)買以上兩種型號(hào)的顏料共200盒，總費(fèi)用不超過(guò)3920元，那么該中學(xué)最多可以購(gòu)買多少盒A種型號(hào)的顏料？
【答案】(1)每盒A種型號(hào)的顏料24元，每盒B種型號(hào)的顏料16元
(2)該中學(xué)最多可以購(gòu)買90盒A種型號(hào)的顏料
【提示】（1）設(shè)每盒A種型號(hào)的顏料x元，每盒B種型號(hào)的顏料y元，根據(jù)題意，可列出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可；
（2）設(shè)該中學(xué)可以購(gòu)買a盒A種型號(hào)的顏料，則可以購(gòu)買盒B種型號(hào)的顏料，根據(jù)總費(fèi)用不超過(guò)3920元，列出不等式求解即可．
（1）
解：設(shè)每盒A種型號(hào)的顏料x元，每盒B種型號(hào)的顏料y元．
根據(jù)題意得，
解得
∴每盒A種型號(hào)的顏料24元，每盒B種型號(hào)的顏料16元．
（2）
解：設(shè)該中學(xué)可以購(gòu)買a盒A種型號(hào)的顏料，
根據(jù)題意得
解得
∴該中學(xué)最多可以購(gòu)買90盒A種型號(hào)的顏料．
【名師點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是（1）根據(jù)題意找出對(duì)應(yīng)關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系正確列出一元一次不等式．
題型5-3．（2021·遼寧大連·中考真題）某校為實(shí)現(xiàn)垃圾分類投放，準(zhǔn)備在校園內(nèi)擺放大、小兩種垃圾桶購(gòu)買2個(gè)大垃圾桶和4個(gè)小垃圾桶共需600元；購(gòu)買6個(gè)大垃圾桶和8個(gè)小垃圾桶共需1560元．
（1）求大、小兩種垃圾桶的單價(jià)；
（2）該校購(gòu)買8個(gè)大垃圾桶和24個(gè)小垃圾桶共需多少元？
【答案】（1）大垃圾桶單價(jià)為180元，小垃圾桶的單價(jià)為60元；（2）2880．
【提示】（1）根據(jù)題意列出二元一次方程組求解即可．
（2）根據(jù)第（1）問(wèn)求得的大小垃圾桶的單價(jià)計(jì)算即可．
【詳解】（1）設(shè)大垃圾桶的單價(jià)為x元，小垃圾桶的單價(jià)為y元，
由題意列方程得，
解得，
答：大垃圾桶的單價(jià)為180元，小垃圾桶的單價(jià)為60元．
（2）．
答：該校購(gòu)買8個(gè)大垃圾桶和24個(gè)小垃圾桶共需2880元．
【名師點(diǎn)撥】此題考查了二元一次方程組應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是提示出題目中的等量關(guān)系．
考查題型六 利用二元一次方程組解決銷售、利潤(rùn)問(wèn)題
題型6．（2022·江蘇蘇州·中考真題）某水果店經(jīng)銷甲、乙兩種水果，兩次購(gòu)進(jìn)水果的情況如下表所示：
進(jìn)貨批次
甲種水果質(zhì)量（單位：千克）
乙種水果質(zhì)量（單位：千克）
總費(fèi)用（單位：元）
第一次
60
40
1520
第二次
30
50
1360
(1)求甲、乙兩種水果的進(jìn)價(jià)；
(2)銷售完前兩次購(gòu)進(jìn)的水果后，該水果店決定回饋顧客，開展促銷活動(dòng)．第三次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果共200千克，且投入的資金不超過(guò)3360元．將其中的m千克甲種水果和3m千克乙種水果按進(jìn)價(jià)銷售，剩余的甲種水果以每千克17元、乙種水果以每千克30元的價(jià)格銷售．若第三次購(gòu)進(jìn)的200千克水果全部售出后，獲得的最大利潤(rùn)不低于800元，求正整數(shù)m的最大值．
【答案】(1)甲種水果的進(jìn)價(jià)為每千克12元，乙種水果的進(jìn)價(jià)為每千克20元
(2)正整數(shù)m的最大值為22
【提示】（1）設(shè)甲種水果的進(jìn)價(jià)為每千克a元，乙種水果的進(jìn)價(jià)為每千克b元，根據(jù)總費(fèi)用列方程組即可；
（2）設(shè)水果店第三次購(gòu)進(jìn)x千克甲種水果，根據(jù)題意先求出x的取值范圍，再表示出總利潤(rùn)w與x的關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．
（1）
設(shè)甲種水果的進(jìn)價(jià)為每千克a元，乙種水果的進(jìn)價(jià)為每千克b元．
根據(jù)題意，得
解方程組，得
答：甲種水果的進(jìn)價(jià)為每千克12元，乙種水果的進(jìn)價(jià)為每千克20元．
（2）
設(shè)水果店第三次購(gòu)進(jìn)x千克甲種水果，則購(gòu)進(jìn)千克乙種水果，
根據(jù)題意，得．
解這個(gè)不等式，得．
設(shè)獲得的利潤(rùn)為w元，
根據(jù)題意，得
．
∵，
∴w隨x的增大而減?。?br /> ∴當(dāng)時(shí)，w的最大值為．
根據(jù)題意，得．
解這個(gè)不等式，得．
∴正整數(shù)m的最大值為22．
【名師點(diǎn)撥】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用、解一元一次不等式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的二元一次方程，寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求最值．
題型6-1．（2022·安徽·中考真題）某地區(qū)2020年進(jìn)出口總額為520億元．2021年進(jìn)出口總額比2020年有所增加，其中進(jìn)口額增加了25%，出口額增加了30%．注：進(jìn)出口總額＝進(jìn)口額＋出口額．
(1)設(shè)2020年進(jìn)口額為x億元，出口額為y億元，請(qǐng)用含x，y的代數(shù)式填表：
年份
進(jìn)口額/億元
出口額/億元
進(jìn)出口總額/億元
2020
x
y
520
2021
1.25x
1.3y

(2)已知2021年進(jìn)出口總額比2020年增加了140億元，求2021年進(jìn)口額和出口額度分別是多少億元？
【答案】(1)1.25x+1.3y
(2)2021年進(jìn)口額億元，出口額億元．
【提示】（1）根據(jù)進(jìn)出口總額＝進(jìn)口額＋出口額計(jì)算即可；
（2）根據(jù)2021年進(jìn)出口總額比2020年增加了140億元，列方程1.25x+1.3y=520+140，然后聯(lián)立方程組，解方程組即可．
（1）
解：
年份
進(jìn)口額/億元
出口額/億元
進(jìn)出口總額/億元
2020
x
y
520
2021
1.25x
1.3y
1.25x+1.3y

故答案為：1.25x+1.3y；
（2）
解：根據(jù)題意1.25x+1.3y=520+140，
∴，
解得：，
2021年進(jìn)口額1.25x=億元，2021年出口額是億元．
【名師點(diǎn)撥】本題考查列二元一次方程組解應(yīng)用題，列代數(shù)式，掌握列二元一次方程組解應(yīng)用題的方法與步驟是解題關(guān)鍵．
題型6-2．（2022·四川瀘州·中考真題）某經(jīng)銷商計(jì)劃購(gòu)進(jìn)，兩種農(nóng)產(chǎn)品．已知購(gòu)進(jìn)種農(nóng)產(chǎn)品2件，種農(nóng)產(chǎn)品3件，共需690元；購(gòu)進(jìn)種農(nóng)產(chǎn)品1件，種農(nóng)產(chǎn)品4件，共需720元．
(1)，兩種農(nóng)產(chǎn)品每件的價(jià)格分別是多少元？
(2)該經(jīng)銷商計(jì)劃用不超過(guò)5400元購(gòu)進(jìn)，兩種農(nóng)產(chǎn)品共40件，且種農(nóng)產(chǎn)品的件數(shù)不超過(guò)B種農(nóng)產(chǎn)品件數(shù)的3倍．如果該經(jīng)銷商將購(gòu)進(jìn)的農(nóng)產(chǎn)品按照種每件160元，種每件200元的價(jià)格全部售出，那么購(gòu)進(jìn)，兩種農(nóng)產(chǎn)品各多少件時(shí)獲利最多？
【答案】(1)A每件進(jìn)價(jià)120元，B每件進(jìn)價(jià)150元；
(2)A農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)20件，B農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)20件，最大利潤(rùn)是1800元．
【提示】（1）根據(jù)“購(gòu)進(jìn)種農(nóng)產(chǎn)品2件，種農(nóng)產(chǎn)品3件，共需690元；購(gòu)進(jìn)種農(nóng)產(chǎn)品1件，種農(nóng)產(chǎn)品4件，共需720元”可以列出相應(yīng)的方程組，從而可以求得A、B兩種農(nóng)產(chǎn)品每件的價(jià)格分別是多少元；
（2）根據(jù)題意可以得到利潤(rùn)與購(gòu)買甲種商品的函數(shù)關(guān)系式，從而可以解答本題．
（1）
設(shè)A每件進(jìn)價(jià)x元，B每件進(jìn)價(jià)y元，
由題意得，
解得：，
答：A每件進(jìn)價(jià)120元，B每件進(jìn)價(jià)150元；
（2）
設(shè)A農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)a件，B農(nóng)產(chǎn)品（40-a）件，由題意得，

解得，
設(shè)利潤(rùn)為y元，則，
∵y隨a的增大而減小，
∴當(dāng)a=20時(shí)，y最大， 最大值y=2000-10×20=1800，
答：A農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)20件，B農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)20件，最大利潤(rùn)是1800元．
【名師點(diǎn)撥】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答．
題型6-3．（2022·山東濟(jì)南·中考真題）為增加校園綠化面積，某校計(jì)劃購(gòu)買甲、乙兩種樹苗．已知購(gòu)買20棵甲種樹苗和16棵乙種樹苗共花費(fèi)1280元，購(gòu)買1棵甲種樹苗比1棵乙種樹苗多花費(fèi)10元．
(1)求甲、乙兩種樹苗每棵的價(jià)格分別是多少元？
(2)若購(gòu)買甲、乙兩種樹苗共100棵，且購(gòu)買乙種樹苗的數(shù)量不超過(guò)甲種樹苗的3倍，則購(gòu)買甲、乙兩種樹苗各多少棵時(shí)花費(fèi)最少？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)甲種樹苗每棵40元，乙種樹苗每棵30元
(2)當(dāng)購(gòu)買甲種樹苗25棵，乙種樹苗75棵時(shí)，花費(fèi)最少，理由見解析
【提示】（1）設(shè)每棵甲種樹苗的價(jià)格為x元，每棵乙種樹苗的價(jià)格y元，由“購(gòu)買20棵甲種樹苗和16棵乙種樹苗共花費(fèi)1280元，購(gòu)買1棵甲種樹苗比1棵乙種樹苗多花費(fèi)10元”列出方程組，求解即可；
（2）設(shè)購(gòu)買甲種樹苗棵，則購(gòu)買乙種樹苗棵，購(gòu)買兩種樹苗總費(fèi)用為元得出一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）設(shè)甲種樹苗每棵元，乙種樹苗每棵元．
由題意得，，解得，
答：甲種樹苗每棵40元，乙種樹苗每棵30元．
（2）設(shè)購(gòu)買甲種樹苗棵，則購(gòu)買乙種樹苗棵，購(gòu)買兩種樹苗總費(fèi)用為元，
由題意得，，
由題意得，解得，
因?yàn)殡S的增大而增大，所以當(dāng)時(shí)取得最小值．
答：當(dāng)購(gòu)買甲種樹苗25棵，乙種樹苗75棵時(shí)，花費(fèi)最少．
【名師點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，找到正確的數(shù)量關(guān)系是本題的關(guān)鍵．
題型6-4．（2022·遼寧大連·中考真題）2022年北京冬奧會(huì)吉祥物冰墩墩和冬殘奧會(huì)吉祥物雪容融深受大家喜愛(ài)．已知購(gòu)買1個(gè)冰墩墩毛絨玩具和2個(gè)雪容融毛絨玩具用了400元，購(gòu)買3個(gè)冰墩墩毛絨玩具和4個(gè)雪容融毛絨玩具用了1000元．這兩種毛絨玩具的單價(jià)各是多少元？
【答案】冰墩墩毛絨玩具和雪容融毛絨玩具的單價(jià)分別為每個(gè)200元，100元．
【提示】設(shè)冰墩墩毛絨玩具和雪容融毛絨玩具的單價(jià)分別為每個(gè)元，y元，再根據(jù)購(gòu)買1個(gè)冰墩墩毛絨玩具和2個(gè)雪容融毛絨玩具用了400元，購(gòu)買3個(gè)冰墩墩毛絨玩具和4個(gè)雪容融毛絨玩具用了1000元，列方程組，再解方程組即可．
【詳解】解：設(shè)冰墩墩毛絨玩具和雪容融毛絨玩具的單價(jià)分別為每個(gè)元，y元，則

②-①得
把代入①得：
解得：
答：冰墩墩毛絨玩具和雪容融毛絨玩具的單價(jià)分別為每個(gè)200元，100元．
【名師點(diǎn)撥】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，理解題意，確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
題型6-5．（2022·遼寧阜新·中考真題）某公司引入一條新生產(chǎn)線生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，其中A產(chǎn)品每件成本為元，銷售價(jià)格為元，B產(chǎn)品每件成本為元，銷售價(jià)格為元，A，B兩種產(chǎn)品均能在生產(chǎn)當(dāng)月全部售出．
(1)第一個(gè)月該公司生產(chǎn)的A，B兩種產(chǎn)品的總成本為元，銷售總利潤(rùn)為元，求這個(gè)月生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品各多少件？
(2)下個(gè)月該公司計(jì)劃生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品共件，且使總利潤(rùn)不低于元，則B產(chǎn)品至少要生產(chǎn)多少件？
【答案】(1)這個(gè)月生產(chǎn)產(chǎn)品件，產(chǎn)品件
(2)140件
【提示】（1）設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品件，產(chǎn)品件，根據(jù)題意列出方程組，求出即可；
（2）設(shè)產(chǎn)品生產(chǎn)件，則產(chǎn)品生產(chǎn)件，根據(jù)題意列出不等式組，求出即可．
（1解：設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品件，產(chǎn)品件，
根據(jù)題意，得 解得，
∴這個(gè)月生產(chǎn)產(chǎn)品件，產(chǎn)品件，
答：這個(gè)月生產(chǎn)產(chǎn)品件，產(chǎn)品件；
（2）解：設(shè)產(chǎn)品生產(chǎn)件，則產(chǎn)品生產(chǎn)件，
根據(jù)題意，得，
解這個(gè)不等式，得．
∴產(chǎn)品至少生產(chǎn)件，
答：產(chǎn)品至少生產(chǎn)件．
【名師點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，能根據(jù)題意列出方程組和不等式是解此題的關(guān)鍵．
題型6-6．（2022·內(nèi)蒙古內(nèi)蒙古·中考真題）某商店決定購(gòu)進(jìn)A、B兩種北京冬奧會(huì)紀(jì)念品．若購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品10件，B種紀(jì)念品5件，需要1000元；若購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品5件，B種紀(jì)念品3件，需要550元．
(1)求購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品的單價(jià)；
(2)若該商店決定拿出1萬(wàn)元全部用來(lái)購(gòu)進(jìn)這兩種紀(jì)念品，考慮市場(chǎng)需求，要求購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品的數(shù)量不少于B種紀(jì)念品數(shù)量的6倍，且購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念品數(shù)量不少于20件，那么該商店共有幾種進(jìn)貨方案？
(3)若銷售每件A種紀(jì)念品可獲利潤(rùn)20元，每件B種紀(jì)念品可獲利潤(rùn)30元，在第（2）問(wèn)的各種進(jìn)貨方案中，哪一種方案獲利最大？求出最大利潤(rùn)．
【答案】(1)購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品的單價(jià)分別為50元、100元
(2)共有6種進(jìn)貨方案
(3)當(dāng)購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品160件B種紀(jì)念品20件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是3800元
【提示】（1）根據(jù)題意列出二元一次方程組進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)題意列出一元一次不等式組進(jìn)行求解即可；
（3）設(shè)總利潤(rùn)為W元，求出W和x之間的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
（1）
設(shè)A種紀(jì)念品單價(jià)為a元，B種紀(jì)念品單價(jià)為b元
根據(jù)題意，得??解得
∴購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品的單價(jià)分別為50元、100元.
（2）
設(shè)該商店購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品x個(gè)，購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念品y個(gè)
根據(jù)題意，得
變形得
由題意得：
由①得：
由②得：
∴
∵x，y均為正整數(shù)
∴x可取的正整數(shù)值是150，152，154，156，158，160
與x相對(duì)應(yīng)的y可取的正整數(shù)值是25，24，23，22，21，20
∴共有6種進(jìn)貨方案.
（3）
設(shè)總利潤(rùn)為W元
則
∵
∴W隨x的增大而增大
∴當(dāng)時(shí)，W有最大值：（元）
∴當(dāng)購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品160件，B種紀(jì)念品20件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是3800元．
【名師點(diǎn)撥】本題考查二元一次方程組、一元一次不等式組和一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)題意正確的列出二元一次方程組，一元一次不等式組，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
考查題型七 利用二元一次方程組解決和差倍分問(wèn)題
題型7．（2021·北京·中考真題）某企業(yè)有兩條加工相同原材料的生產(chǎn)線．在一天內(nèi)，生產(chǎn)線共加工噸原材料，加工時(shí)間為小時(shí)；在一天內(nèi)，生產(chǎn)線共加工噸原材料，加工時(shí)間為小時(shí)．第一天，該企業(yè)將5噸原材料分配到兩條生產(chǎn)線，兩條生產(chǎn)線都在一天內(nèi)完成了加工，且加工時(shí)間相同，則分配到生產(chǎn)線的噸數(shù)與分配到生產(chǎn)線的噸數(shù)的比為______________．第二天開工前，該企業(yè)按第一天的分配結(jié)果分配了5噸原材料后，又給生產(chǎn)線分配了噸原材料，給生產(chǎn)線分配了噸原材料．若兩條生產(chǎn)線都能在一天內(nèi)加工完各自分配到的所有原材料，且加工時(shí)間相同，則的值為______________．
【答案】???? 2∶3????
【提示】設(shè)分配到生產(chǎn)線的噸數(shù)為x噸，則分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)為（5-x）噸，依題意可得，然后求解即可，由題意可得第二天開工時(shí)，由上一問(wèn)可得方程為，進(jìn)而求解即可得出答案．
【詳解】解：設(shè)分配到生產(chǎn)線的噸數(shù)為x噸，則分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)為（5-x）噸，依題意可得：
，解得：，
∴分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)為5-2=3（噸），
∴分配到生產(chǎn)線的噸數(shù)與分配到生產(chǎn)線的噸數(shù)的比為2∶3；
∴第二天開工時(shí)，給生產(chǎn)線分配了噸原材料，給生產(chǎn)線分配了噸原材料，
∵加工時(shí)間相同，
∴，
解得：，
∴；
故答案為，．
【名師點(diǎn)撥】本題主要考查一元一次方程、二元一次方程的應(yīng)用及比例的基本性質(zhì)，熟練掌握一元一次方程的應(yīng)用及比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型7-1．（2022·湖南衡陽(yáng)·中考真題）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分別是2022年北京冬奧會(huì)、冬殘奧會(huì)的吉祥物．冬奧會(huì)來(lái)臨之際，冰墩墩、雪容融玩偶暢銷全國(guó)．小雅在某網(wǎng)店選中兩種玩偶，決定從該網(wǎng)店進(jìn)貨并銷售，第一次小雅用1400元購(gòu)進(jìn)了冰墩墩玩偶15個(gè)和雪容融玩偶5個(gè)，已知購(gòu)進(jìn)1個(gè)冰墩墩玩偶和1個(gè)雪容融玩偶共需136元，銷售時(shí)每個(gè)冰墩墩玩偶可獲利28元，每個(gè)雪容融玩偶可獲利20元．

(1)求兩種玩偶的進(jìn)貨價(jià)分別是多少？
(2)第二次小雅進(jìn)貨時(shí)，網(wǎng)店規(guī)定冰墩墩玩偶進(jìn)貨數(shù)量不得超過(guò)雪容融玩偶進(jìn)貨數(shù)量的1.5倍．小雅計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩種玩偶共40個(gè)，應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少元？
【答案】(1)冰墩墩進(jìn)價(jià)為72元/個(gè)，雪容融進(jìn)價(jià)為64元/個(gè)
(2)冰墩墩進(jìn)貨24個(gè)，雪容融進(jìn)貨16個(gè)時(shí)，利潤(rùn)取得最大值為992元
【提示】（1）設(shè)冰墩墩進(jìn)價(jià)為元，雪容融進(jìn)價(jià)為元，列二元一次方程組求解；
（2）設(shè)冰墩墩進(jìn)貨個(gè)，雪容融進(jìn)貨個(gè)，利潤(rùn)為元，列出與的函數(shù)關(guān)系式，并提示的取值范圍，從而求出的最大值．
（1）解：設(shè)冰墩墩進(jìn)價(jià)為元/個(gè)，雪容融進(jìn)價(jià)為元/個(gè)．得，解得．∴冰墩墩進(jìn)價(jià)為72元/個(gè)，雪容融進(jìn)價(jià)為64元/個(gè)．
（2）設(shè)冰墩墩進(jìn)貨個(gè)，雪容融進(jìn)貨個(gè)，利潤(rùn)為元，則，∵，所以隨增大而增大，又因?yàn)楸斩者M(jìn)貨量不能超過(guò)雪容融進(jìn)貨量的1.5倍，得，解得．∴當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，．答：冰墩墩進(jìn)貨個(gè)，雪容融進(jìn)貨個(gè)時(shí)，獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為元．
【名師點(diǎn)撥】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
考查題型八 利用二元一次方程組解決古代程問(wèn)題
題型8．（2022·湖北武漢·中考真題）幻方是古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我國(guó)古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮格．將9個(gè)數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等，例如圖（1）就是一個(gè)幻方．圖（2）是一個(gè)未完成的幻方，則與的和是（????）

A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【提示】根據(jù)題意設(shè)出相應(yīng)未知數(shù)，然后列出等式化簡(jiǎn)求值即可．
【詳解】解：設(shè)如圖表所示：
根據(jù)題意可得：x+6+20=22+z+y，
整理得：x-y=-4+z，
x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m，
整理得：x=-2+z，y=2z-22，
∴x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z，
解得：z=12，
∴x+y
=3z-24
=12
故選：D．
【名師點(diǎn)撥】題目主要考查方程的應(yīng)用及有理數(shù)加法的應(yīng)用，理解題意，列出相應(yīng)方程等式然后化簡(jiǎn)求值是解題關(guān)鍵．
題型8-1．（2022·四川成都·中考真題）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中記載了這樣一個(gè)題目：九百九十九文錢，甜果苦果買一千，四文錢買苦果七，十一文錢九個(gè)甜，甜苦兩果各幾個(gè)？其大意是：用九百九十九文錢共買了一千個(gè)苦果和甜果，其中四文錢可以買苦果七個(gè)，十一文錢可以買甜果九個(gè)．問(wèn)：苦、甜果各有幾個(gè)？設(shè)苦果有個(gè)，甜果有個(gè)，則可列方程組為（????）
A．B．C． D．
【答案】A
【提示】根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程組，從而可以解答本題．
【詳解】解：設(shè)苦果有個(gè)，甜果有個(gè)，由題意可得，

故選：A．
【名師點(diǎn)撥】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組的有關(guān)知識(shí)，正確找到相等關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
題型8-2．（2022·四川達(dá)州·中考真題）中國(guó)清代算書《御制數(shù)理精蘊(yùn)》中有這樣一題：“馬四匹、牛六頭，共價(jià)四十八兩（‘兩’為我國(guó)古代貨幣單位）；馬二匹、牛五頭，共價(jià)三十八兩，閥馬、牛各價(jià)幾何？”設(shè)馬每匹x兩，牛每頭y兩，根據(jù)題意可列方程組為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】設(shè)馬每匹x兩，牛每頭y兩，由“馬四匹、牛六頭，共價(jià)四十八兩”可得，根據(jù)“馬二匹、牛五頭，共價(jià)三十八兩，”可得，即可求解．
【詳解】解：設(shè)馬每匹x兩，牛每頭y兩，根據(jù)題意可得

故選B
【名師點(diǎn)撥】本題考查了列二元一次方程組，理解題意列出方程組是解題的關(guān)鍵．
題型8-3．（2022·四川眉山·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊三，直金十二兩．問(wèn)牛、羊各直金幾何？”題目大意是：5頭牛、2只羊共19兩銀子；2頭牛、3只羊共12兩銀子，每頭牛、每只羊各多少兩銀子？設(shè)1頭牛兩銀子，1只羊兩銀子，則可列方程組為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】根據(jù)“5頭牛、2只羊共19兩銀子；2頭牛、3只羊共12兩銀子”，得到兩個(gè)等量關(guān)系，即可列出方程組．
【詳解】解：設(shè)1頭牛兩銀子，1只羊兩銀子，
由題意可得：，
故選：A．
【名師點(diǎn)撥】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象初二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組．
題型8-4．（2022·貴州貴陽(yáng)·中考真題）“方程”二字最早見于我國(guó)《九章算術(shù)》這部經(jīng)典著作中，該書的第八章名為“方程”如： 從左到右列出的算籌數(shù)分別表示方程中未知數(shù)，的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)，即可表示方程，則 表示的方程是_______．
【答案】
【提示】根據(jù)橫著的算籌為10，豎放的算籌為1，依次表示的系數(shù)與等式后面的數(shù)字，即可求解．
【詳解】解： 表示的方程是
故答案為：
【名師點(diǎn)撥】本題考查了列二元一次方程組，理解題意是解題的關(guān)鍵．
題型8-5．（2022·江蘇徐州·中考真題）《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，該書第三卷記載：“今有獸六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，問(wèn)禽、獸各幾何？”譯文：今有一種6頭4腳的獸與一種4頭2腳的鳥，若獸與鳥共有76個(gè)頭與46只腳．問(wèn)獸、鳥各有多少？
根據(jù)譯文，解決下列問(wèn)題：
(1)設(shè)獸有x個(gè)，鳥有y只，可列方程組為 ；
(2)求獸、鳥各有多少．
【答案】(1)
(2)獸有8只，鳥有7只．

【提示】（1）根據(jù)“獸與鳥共有76個(gè)頭與46只腳”，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組；
（2）解方程組，即可得出結(jié)論．
（1）
解：∵獸與鳥共有76個(gè)頭，
∴6x+4y=76；
∵獸與鳥共有46只腳，
∴4x+2y=46．
∴可列方程組為．
故答案為：；
（2）
解：原方程組可化簡(jiǎn)為，
由②可得y=23-2x③，
將③代入①得3x+2（23-2x）=38，
解得x=8，
∴y=23-2x=23-2×8=7．
答：獸有8只，鳥有7只．
【名師點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
考查題型九 利用二元一次方程組解決其它問(wèn)題
題型9．（2022·浙江舟山·中考真題）上學(xué)期某班的學(xué)生都是雙人同桌，其中男生與女生同桌，這些女生占全班女生的，本學(xué)期該班新轉(zhuǎn)入4個(gè)男生后，男女生剛好一樣多，設(shè)上學(xué)期該班有男生x人，女生y人，根據(jù)題意可得方程組為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】設(shè)上學(xué)期該班有男生x人，女生y人，則本學(xué)期男生有（x+4）人，根據(jù)題意，列出方程組，即可求解．
【詳解】解：設(shè)上學(xué)期該班有男生x人，女生y人，則本學(xué)期男生有（x+4）人，根據(jù)題意得：
．
故選：A
【名師點(diǎn)撥】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
題型9-1．（2022·廣東深圳·中考真題）張三經(jīng)營(yíng)了一家草場(chǎng)，草場(chǎng)里面種植上等草和下等草．他賣五捆上等草的根數(shù)減去11根，就等于七捆下等草的根數(shù)；賣七捆上等草的根數(shù)減去25根，就等于五捆下等草的根數(shù)．設(shè)上等草一捆為根，下等草一捆為根，則下列方程正確的是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】設(shè)上等草一捆為根，下等草一捆為根，根據(jù)“賣五捆上等草的根數(shù)減去11根，就等于七捆下等草的根數(shù)；賣七捆上等草的根數(shù)減去25根，就等于五捆下等草的根數(shù)．”列出方程組，即可求解．
【詳解】解：設(shè)上等草一捆為根，下等草一捆為根，根據(jù)題意得：
．
故選：C
【名師點(diǎn)撥】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
題型9-2．（2022·浙江衢州·中考真題）某班環(huán)保小組收集廢舊電池，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表．問(wèn)1節(jié)5號(hào)電池和1節(jié)7號(hào)電池的質(zhì)量分別是多少？設(shè)1節(jié)5號(hào)電池的質(zhì)量為克，1節(jié)7號(hào)電池的質(zhì)量為克，列方程組，由消元法可得的值為（????）

5號(hào)電池（節(jié)）
7號(hào)電池（節(jié)）
總質(zhì)量（克）
第一天
2
2
72
第二天
3
2
96
A．12 B．16 C．24 D．26
【答案】C
【提示】根據(jù)表格建立二元一次方程組，用消元法即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)1節(jié)5號(hào)電池的質(zhì)量為克，1節(jié)7號(hào)電池的質(zhì)量為克，
根據(jù)表格得 ,
由-得，
故選：C．
【名師點(diǎn)撥】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意建立方程組是解本題的關(guān)鍵．
題型9-3．（2022·湖北恩施·中考真題）某校計(jì)劃租用甲、乙兩種客車送180名師生去研學(xué)基地開展綜合實(shí)踐活動(dòng)．已知租用一輛甲型客車和一輛乙型客車共需500元，租用2輛甲型客車和3輛乙型客車共需1300元．甲型客車每輛可坐15名師生，乙型客車每輛可坐25名師生．
(1)租用甲、乙兩種客車每輛各多少元？
(2)若學(xué)校計(jì)劃租用8輛客車，怎樣租車可使總費(fèi)用最少？
【答案】(1)甲種客車每輛元，乙種客車每輛元
(2)租用甲種客車2輛，乙種客車6輛，租車費(fèi)用最低為2200元
【提示】（1）可設(shè)甲種客車每輛元，乙種客車每輛元，根據(jù)等量關(guān)系：一輛甲型客車和一輛乙型客車共需500元，租用2輛甲型客車和3輛乙型客車共需1300元，列出方程組求解即可；
（2）設(shè)租車費(fèi)用為元，租用甲種客車輛，根據(jù)題意列出不等式組，求出的取值范圍，進(jìn)而列出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
（1）
解：設(shè)甲種客車每輛元，乙種客車每輛元，依題意知，
，解得 ，
答：甲種客車每輛元，乙種客車每輛元；
（2）
解：設(shè)租車費(fèi)用為元，租用甲種客車 輛，則乙種客車 輛，
，
解得：，
，
，
隨的增大而減小，
取整數(shù)，
最大為2，
時(shí)，費(fèi)用最低為（元，
（輛．
答：租用甲種客車2輛，乙種客車6輛，租車費(fèi)用最低為2200元．
【名師點(diǎn)撥】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式組及二元一次方程組的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到符合題意的不等關(guān)系式及所求量的等量關(guān)系．
題型9-4．（2022·海南·中考真題）我省某村委會(huì)根據(jù)“十四五”規(guī)劃的要求，打造鄉(xiāng)村品牌，推銷有機(jī)黑胡椒和有機(jī)白胡椒．已知每千克有機(jī)黑胡椒比每千克有機(jī)白胡椒的售價(jià)便宜10元，購(gòu)買2千克有機(jī)黑胡椒和3千克有機(jī)白胡椒需付280元，求每千克有機(jī)黑胡椒和每千克有機(jī)白胡椒的售價(jià)．
【答案】每千克有機(jī)黑胡椒售價(jià)為50元，每千克有機(jī)白胡椒售價(jià)為60元
【提示】設(shè)每千克有機(jī)黑胡椒售價(jià)為x元，每千克有機(jī)白胡椒售價(jià)為y元，根據(jù)題意列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
【詳解】解：設(shè)每千克有機(jī)黑胡椒售價(jià)為x元，每千克有機(jī)白胡椒售價(jià)為y元．
根據(jù)題意，得
解得
答：每千克有機(jī)黑胡椒售價(jià)為50元，每千克有機(jī)白胡椒售價(jià)為60元．
【名師點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組．
題型9-5．（2022·廣西玉林·中考真題）我市某鄉(xiāng)村振興果蔬加工公司先后兩次購(gòu)買龍眼共21噸，第一次購(gòu)買龍眼的價(jià)格為0.4萬(wàn)元/噸：因龍眼大量上市，價(jià)格下跌，第二次購(gòu)買龍眼的價(jià)格為0.3萬(wàn)元/噸，兩次購(gòu)買龍眼共用了7萬(wàn)元．
(1)求兩次購(gòu)買龍眼各是多少噸？
(2)公司把兩次購(gòu)買的龍眼加工成桂圓肉和龍眼干，1噸龍眼可加工成桂圓肉0.2噸或龍眼干0.5噸，桂圓肉和龍眼干的銷售價(jià)格分別是10萬(wàn)元/噸和3萬(wàn)元/噸，若全部的銷售額不少于39萬(wàn)元，則至少需要把多少噸龍眼加工成桂圓肉？
【答案】(1)第一次購(gòu)買了7噸龍眼，第二次購(gòu)買了14噸龍眼
(2)至少要把15噸龍眼加工成桂圓肉
【提示】（1）設(shè)第一次購(gòu)買龍眼x噸，第二次購(gòu)買龍眼y噸，根據(jù)題意列出二元一次方程組即可求解；
（2）設(shè)將a噸龍眼加工成桂圓肉，則（21-a）噸龍眼加工成龍眼干，則總的銷售額為：，則根據(jù)題意有不等式，解該不等式即可求解．
（1）
設(shè)第一次購(gòu)買龍眼x噸，第二次購(gòu)買龍眼y噸，
根據(jù)題意有：
，解得：，
即第一次購(gòu)買龍眼7噸，第二次購(gòu)買龍眼14噸；
（2）
設(shè)將a噸龍眼加工成桂圓肉，則（21-a）噸龍眼加工成龍眼干，
則總的銷售額為：，
則根據(jù)題意有：，
解得：，
即至少要把15噸龍眼加工成桂圓肉．
【名師點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組即一元一次不等式的應(yīng)用，明確題意列出二元一次方程組即一元一次不等式是解答本題的關(guān)鍵．
題型9-6．（2022·廣西河池·中考真題）為改善村容村貌，陽(yáng)光村計(jì)劃購(gòu)買一批桂花樹和芒果樹．已知桂花樹的單價(jià)比芒果樹的單價(jià)多40元，購(gòu)買3棵桂花樹和2棵芒果樹共需370元．
(1)桂花樹和芒果樹的單價(jià)各是多少元？
(2)若該村一次性購(gòu)買這兩種樹共60棵，且桂花樹不少于35棵．設(shè)購(gòu)買桂花樹的棵數(shù)為n，總費(fèi)用為w元，求w關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式，并求出該村按怎樣的方案購(gòu)買時(shí)，費(fèi)用最低？最低費(fèi)用為多少元？
【答案】(1)桂花樹單價(jià)90元/棵，芒果樹的單價(jià)50元/棵；
(2)；當(dāng)購(gòu)買35棵掛花樹，25棵芒果樹時(shí)，費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為4400元．
【提示】（1）設(shè)桂花樹單價(jià)x元/棵，芒果樹的單價(jià)y元/棵，根據(jù)桂花樹的單價(jià)比芒果樹的單價(jià)多40元，購(gòu)買3棵桂花樹和2棵芒果樹共需370元，列出二元一次方程組解出即可；
（2）設(shè)購(gòu)買掛花樹n棵，則芒果樹為棵，根據(jù)題意求出w關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)桂花樹不少于35棵求出n的取值范圍，再根據(jù)n是正整數(shù)確定出購(gòu)買方案及最低費(fèi)用．
（1）
解：設(shè)桂花樹單價(jià)x元/棵，芒果樹的單價(jià)y元/棵，
根據(jù)題意得：，
解得：，
答：桂花樹單價(jià)90元/棵，芒果樹的單價(jià)50元/棵；
（2）
設(shè)購(gòu)買桂花樹的棵數(shù)為n，則購(gòu)買芒果樹的棵數(shù)為棵，
根據(jù)題意得，
，
∴w隨n的增大而增大，
∴當(dāng)時(shí)，（元），
此時(shí)，
∴當(dāng)購(gòu)買35棵掛花樹，25棵芒果樹時(shí)，費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為4400元．
【名師點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，進(jìn)而找到所求的量的等量關(guān)系和不等關(guān)系．



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