中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)常考題型突破練習(xí)專題33 圖形的相似（2份打包，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題33 圖形的相似
【考查題型】

【知識(shí)要點(diǎn)】
知識(shí)點(diǎn)一相似圖形
相似圖形的概念：我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形。
【注意事項(xiàng)】1）相似圖形的形狀相同，大小不一定相同，全等圖形是特殊的相似圖形；
2）兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到；
3）圖形的相似與圖形的位置無(wú)關(guān)。
相似多邊形的概念：若兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，它們的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例，則這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。
相似多邊形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。
【注意事項(xiàng)】
1）相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比,一般用 k 表示；
2）若已知四邊形與四邊形的相似比是,那么四邊形與四邊形的相似比是。
知識(shí)點(diǎn)二比例線段的概念及性質(zhì)
比例線段的定義：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度的比)與另兩條線段的比相等，如（即），我們就說(shuō)這四段線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段。其中a、b、c、d叫組成比例的項(xiàng)；a、d叫比的外項(xiàng)，b、c叫比的內(nèi)項(xiàng)，
【補(bǔ)充】當(dāng)比的內(nèi)項(xiàng)相等時(shí)，即或a：b=b：d，線段 b 叫做線段a和d的比例中項(xiàng)。
【解題思路】
1）判斷四條線段是否成比例，需要將這四條線段從小到大依次排列，再判斷前兩條線段的比與后兩條線段的比是否相等即可；
2）成比例的線段是有順序的，比如：a、b、c、d是成比例的線段，則成比例線段只能寫成（即：），而不能寫成。
比例的性質(zhì)：
①基本性質(zhì)：
②變形：核心內(nèi)容：
③合、分比性質(zhì)：
【注意】實(shí)際上，比例的合比性質(zhì)可擴(kuò)展為：比例式中等號(hào)左右兩個(gè)比的前項(xiàng)，后項(xiàng)之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立．如：
④等比性質(zhì)：如果，那么
⑤黃金分割：點(diǎn)C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果,那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比。
【注意】1）(叫做黃金分割值). 簡(jiǎn)記為：
2）一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)。
3）黃金三角形的概念：頂角是360的等腰三角形。
4）黃金矩形的概念：寬與長(zhǎng)的比等于黃金數(shù)的矩形。
【擴(kuò)展】作一條線段的黃金分割點(diǎn)：
如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：
（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB，使BD=AB.
（2）連接AD，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.則點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)。

知識(shí)點(diǎn)三平行線段成比例定理
平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例。
1）已知l3∥l4∥l5, 可得等

2）把平行線分線段成比例的定理運(yùn)用到三角形中，會(huì)出現(xiàn)下面的兩種情況：

把l4（圖1）或l3（圖2）看作平行底邊BC的直線，再根據(jù)平分線分線段成比例的定理，我們可以得出，平行于三角形一邊的直線和其兩邊相交（或其兩邊的延長(zhǎng)線相交），所構(gòu)成的三角形和原三角形相似。
知識(shí)點(diǎn)四相似三角形的判定
相似三角形的概念：對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。相似用符號(hào)“∽”，讀作“相似于”。
相似三角形的判定:
判斷定理一：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似，即：
若，則∽
【技巧】判斷網(wǎng)格中三角形是否相似，先運(yùn)用勾股定理計(jì)算出三邊的長(zhǎng)度，再看對(duì)應(yīng)邊的比例是否相等。
判斷定理二：兩邊成比例并且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似。
即：若，且∠C＝則∽
判斷定理三：兩個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形相似。
即：若，,則∽
判斷定理四：斜邊和直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似。
即：在中，
若或,
則

【小結(jié)】
三角形全等
三角形相似
兩角夾一邊對(duì)應(yīng)相等(ASA)
兩角一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等(AAS)
兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等(SAS)
三邊對(duì)應(yīng)相等(SSS)、
斜邊和一直角邊相等(HL）
兩角對(duì)應(yīng)相等
兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等
三邊對(duì)應(yīng)成比例
斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)成比例
【常見(jiàn)的相似三角形】見(jiàn)附件pdf
知識(shí)點(diǎn)五相似三角形的性質(zhì)
1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等。
2）相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。
3）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。
4）相似三角形面積比等于相似比的平方。
知識(shí)點(diǎn)六位似
位似圖形的定義: 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,且對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線相交于一點(diǎn),對(duì)應(yīng)線段相互平行,那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形,位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)是位似中心。
【注意事項(xiàng)】1）位似圖形是相似圖形的一種特殊形式。
2）位似圖形一定是相似圖形，具有相似圖形的所有性質(zhì)，但相似圖形不一定是位似圖形。
常見(jiàn)的位似圖形：

畫位似圖形的方法：兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的同側(cè)。（即畫位似圖形時(shí)，注意關(guān)于某點(diǎn)的位似圖形有兩個(gè)。）
判斷位似圖形的方法：首先看這兩個(gè)圖形是否相似，再看對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是否經(jīng)過(guò)位似中心。
位似圖形的性質(zhì)：
1)位似圖形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線所在直線相交與一點(diǎn)，位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行或者共線。
2)位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比。
3)在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點(diǎn)為位似中心，畫一個(gè)與原圖形的位似圖形，使它與原圖形的相似比為k，若原圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則位似圖形上與它對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx，ky)或(-kx，-ky) 。
畫位似圖形的步驟：
1）確定位似中心,找原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)。
2）確定位似比。
3）以位似中心為端點(diǎn)向各關(guān)鍵點(diǎn)作射線。
4）順次連結(jié)各截取點(diǎn)，即可得到要求的新圖形。
平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、位似的區(qū)別：
平移：和原圖形一模一樣（和原圖形全等且能與原圖形重合）
軸對(duì)稱：面積和原圖形一樣也是全等，和平移的不同點(diǎn)就是軸對(duì)稱之后的圖形不能與原圖形重合，雖然它們?nèi)龋?br /> 旋轉(zhuǎn)：面積和原圖形一樣，也是全等，和軸對(duì)稱的不同點(diǎn)是軸對(duì)稱只有一個(gè)和原圖形軸對(duì)稱的圖形，而旋轉(zhuǎn)可以旋轉(zhuǎn)出無(wú)數(shù)個(gè)。
位似：位似出的圖形只和原圖形的角相等邊就不一定相等了。
【總結(jié)】

平移
軸對(duì)稱
旋轉(zhuǎn)
位似
原圖形
全等
全等
全等
相似

考查題型一比例的性質(zhì)
典例1．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中記載，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿衡桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線．用該衡桿稱物，可以把被稱物與砝碼放在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個(gè)砝碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物體．圖為銅衡桿的使用示意圖，此時(shí)被稱物重量是砝碼重量的_________倍．

【答案】1.2
【分析】設(shè)被稱物的重量為，砝碼的重量為，根據(jù)圖中可圖列出方程即可求解．
【詳解】解：設(shè)被稱物的重量為，砝碼的重量為，依題意得，
，
解得，
故答案為：1.2．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，掌握杠桿的原理是解題的關(guān)鍵．
變式1-1．（2021·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）已知，則________
【答案】
【分析】設(shè)，再將分別用的代數(shù)式表示，再代入約去即可求解．
【詳解】解：設(shè)，
則，
故，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，正確用同一字母表示各數(shù)是解決此類題的關(guān)鍵．
變式1-3．（2021·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）已知非負(fù)實(shí)數(shù)，，滿足，設(shè)的最大值為，最小值為，則的值為 __．
【答案】+##0.6875
【分析】設(shè)，則，，，可得；利用a，b，c為非負(fù)實(shí)數(shù)可得k的取值范圍，從而求得m，n的值，結(jié)論可求．
【詳解】解：設(shè)，則，，，
．
，，為非負(fù)實(shí)數(shù)，
，
解得：．
當(dāng)時(shí)，取最大值，當(dāng)時(shí)，取最小值．
，
．
．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，解不等式組，非負(fù)數(shù)的應(yīng)用等，設(shè)是解題的關(guān)鍵．
考查題型二成比例線段
典例2．（2022·湖南衡陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺(jué)美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是（????）（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)雕像的下部高為x m，由黃金分割的定義得求解即可．
【詳解】解：設(shè)雕像的下部高為x m，則上部長(zhǎng)為（2-x）m，
∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，
雷鋒雕像為2m，
∴??
∴，
即該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是1.24m，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關(guān)鍵．
變式2-1．（2021·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）我們把寬與長(zhǎng)的比是的矩形叫做黃金矩形．黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國(guó)許多著名的建筑，為取得最佳的視覺(jué)效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)．已知四邊形ABCD是黃金矩形，邊AB的長(zhǎng)度為1，則該矩形的周長(zhǎng)為 __________________．
【答案】或4
【分析】分兩種情況：①邊為矩形的長(zhǎng)時(shí)，則矩形的寬為，求出矩形的周長(zhǎng)即可；
②邊為矩形的寬時(shí)，則矩形的長(zhǎng)為，求出矩形的周長(zhǎng)即可．
【詳解】解：分兩種情況：
①邊為矩形的長(zhǎng)時(shí)，則矩形的寬為，
矩形的周長(zhǎng)為：；
②邊為矩形的寬時(shí)，則矩形的長(zhǎng)為：，
矩形的周長(zhǎng)為；
綜上所述，該矩形的周長(zhǎng)為或4，
故答案為：或4．
【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，熟記黃金分割的比值是解題的關(guān)鍵．
變式2-2．（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）在四邊形中，的平分線交于，延長(zhǎng)到使，是的中點(diǎn)，交于，連接．

(1)當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，如圖，求證：①；②．
(2)當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，如圖，（1）中的結(jié)論都成立，請(qǐng)給出結(jié)論②的證明．
【答案】(1)證明見(jiàn)詳解
(2)證明見(jiàn)詳解
【分析】（1）①證明即可；②連接BG，CG，證明，即可證明；
（2）①的結(jié)論和（1）中證明一樣，證明即可；②的結(jié)論，作，證明即可．
【詳解】（1）證明：①證明過(guò)程：
四邊形ABCD為矩形，

平分

為等腰直角三角形

②證明：連接BG，CG，

G為AF的中點(diǎn)，四邊形ABCD為矩形，

平分，

（2）作，如圖所示

由（1）同理可證：

四邊形ABCD為平行四邊形

G為AF的中點(diǎn)，由平行線分線段成比例可得
，

【點(diǎn)睛】本題考查了以矩形與平行四邊形為橋梁，涉及全等三角形的證明，相似三角形的證明，正確作出輔助線并由此得到相應(yīng)的全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．
考查題型三黃金分割
典例3．（2022·山西·中考真題）神奇的自然界處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)．動(dòng)物學(xué)家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618．這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的（????）

A．平移 B．旋轉(zhuǎn) C．軸對(duì)稱 D．黃金分割
【答案】D
【分析】根據(jù)黃金分割的定義即可求解．
【詳解】解：動(dòng)物學(xué)家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618．這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的黃金分割．
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義，黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，約等于0.618，這個(gè)比例被公認(rèn)為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割．熟知黃金分割的定義是解題關(guān)鍵．
變式3-1（2021·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)（AP＞BP），若滿足，則稱點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)．黃金分割在日常生活中處處可見(jiàn)，例如：主持人在舞臺(tái)上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感覺(jué)最好．若舞臺(tái)長(zhǎng)20米，主持人從舞臺(tái)一側(cè)進(jìn)入，設(shè)他至少走x米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上，則x滿足的方程是（　　）

A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不對(duì)
【答案】A
【分析】點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)，且PB＜PA，PB＝x，則PA＝20?x，則，即可求解．
【詳解】解：由題意知，點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)，
且PB＜PA，PB＝x，則PA＝20?x，
∴，
∴（20?x）2＝20x，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對(duì)應(yīng)線段是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
變式3-2（2020·甘肅金昌·統(tǒng)考中考真題）生活中到處可見(jiàn)黃金分割的美，如圖，在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像的腰部以下與全身的高度比值接近0．618，可以增加視覺(jué)美感，若圖中為2米，則約為（???）

A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米
【答案】A
【分析】根據(jù)a:b≈0.618，且b=2即可求解．
【詳解】解：由題意可知，a:b≈0.618，代入b=2，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．
故答案為：A
【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割比的定義，根據(jù)題中所給信息即可求解，本題屬于基礎(chǔ)題．
變式3-3（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓中扇子對(duì)應(yīng)的圓心角（）與剩余圓心角的比值為黃金比時(shí)，扇子會(huì)顯得更加美觀，若黃金比取0.6，則的度數(shù)是__________．

【答案】90°##90度
【分析】根據(jù)題意得出α=0.6β，結(jié)合圖形得出β=225°，然后求解即可．
【詳解】解：由題意可得：α：β=0.6，即α=0.6β，
∵α+β=360°，
∴0.6β+β=360°，
解得：β=225°，
∴α=360°-225°=135°，
∴β-α=90°，
故答案為：90°．
【點(diǎn)睛】題目主要考查圓心角的計(jì)算及一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，得出兩個(gè)角度的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
變式3-4（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）在20世紀(jì)70年代，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國(guó)大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做將矩形窗框分為上下兩部分，其中E為邊的黃金分割點(diǎn)，即．已知為2米，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)_____米．

【答案】##
【分析】根據(jù)點(diǎn)E是AB的黃金分割點(diǎn)，可得，代入數(shù)值得出答案．
【詳解】∵點(diǎn)E是AB的黃金分割點(diǎn)，
∴．
∵AB=2米，
∴米．
故答案為：（）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金分割的應(yīng)用，掌握黃金比是解題的關(guān)鍵．
考查題型四相似多邊形的性質(zhì)
典例4．（2022·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，作四邊形的位似圖形﹐已知，若四邊形的面積是2，則四邊形的面積是（????）

A．4 B．6 C．16 D．18
【答案】D
【分析】?jī)蓤D形位似必相似，再由相似的圖形面積比等于相似比的平方即可求解．
【詳解】解：由題意可知，四邊形與四邊形相似，
由兩圖形相似面積比等于相似比的平方可知：，
又四邊形的面積是2，
∴四邊形的面積為18，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握相似圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
變式4-1（2021·廣西百色·統(tǒng)考中考真題）下列四個(gè)命題：①直徑是圓的對(duì)稱軸；②若兩個(gè)相似四邊形的相似比是1：3，則它們的周長(zhǎng)比是1：3，面積比是1：6；③同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行；④對(duì)角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形．其中真命題有（????）
A．①③ B．①④ C．③④ D．②③④
【答案】C
【分析】根據(jù)有關(guān)性質(zhì)，對(duì)命題逐個(gè)判斷即可．
【詳解】解：①直徑是圓的對(duì)稱軸，直徑為線段，對(duì)稱軸為直線，應(yīng)該是直徑所在的直線是圓的對(duì)稱軸，為假命題；
②若兩個(gè)相似四邊形的相似比是1：3，面積比是1：9，而不是1：6，為假命題；
③根據(jù)平行和垂直的有關(guān)性質(zhì)，可以判定為真命題；
④根據(jù)正方形的判定方法，可以判定為真命題；
故答案選C．
【點(diǎn)睛】此題考查了命題的判定，熟練掌握命題有關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
變式4-2（2021·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形OABC的面積為36，它的對(duì)角線OB與雙曲線y相交于點(diǎn)D，且OD：OB＝2：3，則k的值為（????）

A．12 B．﹣12 C．16 D．﹣16
【答案】D
【分析】過(guò)D點(diǎn)作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足為E、F，由雙曲線的解析式可知S矩形OEDF=|k|，由于D點(diǎn)在矩形的對(duì)角線OB上，可知矩形OEDF∽矩形OABC，并且相似比為OD:OB＝2:3，由相似多邊形的面積比等于相似比的平方可求出S矩形OEDF=16，再根據(jù)在反比例函數(shù)y圖象在第二象限，即可算出k的值．
【詳解】解：過(guò)D點(diǎn)作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足為E、F，

∵D點(diǎn)在雙曲線y上，
∴S矩形OEDF=|xy|=|k|，
∵D點(diǎn)在矩形的對(duì)角線OB上，
∴矩形OEDF∽矩形OABC，
∴，
∵S矩形OABC=36，
∴S矩形OEDF=16，
∴|k|=16，
∵雙曲線y在第二象限，
∴k=-16，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是過(guò)D點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線，構(gòu)造矩形，再根據(jù)相似多邊形的面積的性質(zhì)求出|k|．
考查題型五平行線分線段成比例定理
典例5（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為的邊上一點(diǎn)，，過(guò)作交于點(diǎn)，、兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（????）

A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根據(jù)得出，根據(jù)，得出，根據(jù)、兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3，得出，即可得出答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵、兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3，
∴，
∴，
解得：，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，故C正確．
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意得出，是解題的關(guān)鍵．
變式5-1（2022·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)D為邊上任一點(diǎn)，交于點(diǎn)E，連接相交于點(diǎn)F，則下列等式中不成立的是（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可判斷A，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷B、C、D．
【詳解】解：∵，
∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合題意；
∴，，故B不符合題意，C符合題意；
∴，故D不符合題意；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．
變式5-2（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）如圖，五線譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上．若線段，則線段的長(zhǎng)是（????）

A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】過(guò)點(diǎn)作五條平行橫線的垂線，交第三、四條直線，分別于、，根據(jù)題意得，然后利用平行線分線段成比例定理即可求解．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作五條平行橫線的垂線，交第三、四條直線，分別于、，
根據(jù)題意得，
∵，
∴，
又∵，
∴

故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例的應(yīng)用，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
變式5-3（2021·廣西貴港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且EF＝2AE＝2CF，連接DE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M，連接DF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)N，連接MN，則（????）

A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】設(shè)，首先證明，再利用平行線分線段成比例定理求出，推出，，可得結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)，
四邊形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，求出，．
變式5-4（2022·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，△ABC的角平分線AE交BD于點(diǎn)F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，則△ABC的周長(zhǎng)為_(kāi)____．

【答案】
【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．證明，設(shè)，證明，設(shè)，則，求出，可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．

平分，，，
，
，
，
設(shè)，則，
，，
，
，
設(shè)，則，
，
，
，
的周長(zhǎng)，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題．
變式5-5（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D為AB中點(diǎn)，E在線段AC上，，則_____．

【答案】或
【分析】由題意可求出，取AC中點(diǎn)E1，連接DE1，則DE1是△ABC的中位線，滿足，進(jìn)而可求此時(shí)，然后在AC上取一點(diǎn)E2，使得DE1＝DE2，則，證明△DE1E2是等邊三角形，求出E1E2＝，即可得到，問(wèn)題得解．
【詳解】解：∵D為AB中點(diǎn)，
∴，即，
取AC中點(diǎn)E1，連接DE1，則DE1是△ABC的中位線，此時(shí)DE1∥BC，，
∴，
在AC上取一點(diǎn)E2，使得DE1＝DE2，則，
∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠C=60°，BC＝，
∵DE1∥BC，
∴∠DE1E2=60°，
∴△DE1E2是等邊三角形，
∴DE1＝DE2＝E1E2＝，
∴E1E2＝，
∵，
∴，即，
綜上，的值為：或，
故答案為：或．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)等，根據(jù)進(jìn)行分情況求解是解題的關(guān)鍵．
變式5-6（2021·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?OABC的頂點(diǎn)A，B在第一象限內(nèi)，頂點(diǎn)C在y軸上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交BC于點(diǎn)D．若CD＝2BD，?OABC的面積為15，則k的值為_(kāi)_____．

【答案】18
【分析】過(guò)點(diǎn)D作DN⊥y軸于N，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥y軸于M，可得，設(shè)OC＝a，CN＝2b，則MN＝b，根據(jù)?OABC的面積為15表示出BM的長(zhǎng)度，根據(jù)CD＝2BD求出ND的長(zhǎng)，進(jìn)而表示出A，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求出．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DN⊥y軸于N，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥y軸于M，

∴ ，
∴ ，
∵CD＝2BD，
∴，即，
設(shè)OC＝a，CN＝2b，則MN＝b，
∵?OABC的面積為15，
∴BM＝，
∵，
∴ ，
∴ ，
∵CD＝2BD，
∴ ，
∴ND＝BM＝，
∴A，D點(diǎn)坐標(biāo)分別為（，3b），（，a＋2b），
∴?3b＝（a＋2b），
∴b＝a，
∴k＝?3b＝?3×a＝18，
故答案為：18．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和反比例函數(shù)的幾何意義，相似三角形的性質(zhì)和判定，利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
考查題型六相似三角形的判定
典例6．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，E是邊AC上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)A作BE的垂線，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，求證：．

【答案】見(jiàn)解析
【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠C=∠BEC，又由對(duì)頂角相等可證得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出結(jié)論．
【詳解】證明：∵
∴∠C=∠BEC，
∵∠BEC=∠AED，
∴∠AED=∠C，
∵AD⊥BD，
∴∠D=90°，
∵，
∴∠D=∠ABC，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
變式6-1（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在與中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，若___________，則．請(qǐng)從①；②；③這三個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)作為條件（寫序號(hào)），并加以證明．

【答案】見(jiàn)解析．
【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可．
【詳解】解：若選①，
證明：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴．
選擇②，不能證明．
若選③，
證明：∵，
∴，∴，
又∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定定理，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．
變式6-2（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，點(diǎn)E在上，，與相交于點(diǎn)O．與相交于點(diǎn)F．

(1)若平分，求證：；
(2)找出圖中與相似的三角形，并說(shuō)明理由;
(3)若，，求的長(zhǎng)度．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)，與相似，理由見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和角平分線的定義即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)判定兩個(gè)三角形相似的判定定理，找到相應(yīng)的角度相等即可得出；
（3）根據(jù)得出，根據(jù)得出，聯(lián)立方程組求解即可．
【詳解】（1）證明：如圖所示：

四邊形為矩形，
，
，
，
，
又平分，
，
，
又與互余，
與互余，
；
（2）解：，與相似．
理由如下：
，，
，
又，??
，
，，
；
（3）解：，
，
，
，
在矩形中對(duì)角線相互平分，圖中，
①，
，
，
，
在矩形中，
②，
由①②，得（負(fù)值舍去），
．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形綜合問(wèn)題，涉及到矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、角度的互余關(guān)系、兩個(gè)三角形相似的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握兩個(gè)三角形相似的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
變式6-3（2020·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點(diǎn)，連接AC、BC，OD⊥BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，連接CD、AD，AD與BC交于點(diǎn)F，CG與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．
（1）求證：△ACD∽△CFD；
（2）若∠CDA＝∠GCA，求證：CG為⊙O的切線；
（3）若sin∠CAD＝，求tan∠CDA的值．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）．
【分析】（1）由垂徑定理得，由圓周角定理得∠CAD＝∠FCD，再由公共角∠ADC＝∠CDF，即可得出△ACD∽△CFD；
（2）連接OC，由圓周角定理得∠ACB＝90°，則∠ABC+∠CAB＝90°，由等腰三角形的性質(zhì)得∠OBC＝∠OCB，證出∠OCB＝∠GCA，得出∠OCG＝90°，即可得出結(jié)論；
（3）連接BD，由圓周角定理得∠CAD＝∠CBD，則sin∠CAD＝sin∠CBD＝，設(shè)DE＝x，OD＝OB＝r，則OE＝r﹣x，BD＝3x，由勾股定理得BE＝，則BC＝2BE＝，在Rt△OBE中，由勾股定理得(r﹣x)2+()2＝r2，解得r＝，則AB＝2r＝9x，由勾股定理求出AC＝7x，由三角函數(shù)定義即可得出答案．
【詳解】（1）證明：∵OD⊥BC，
∴,
∴∠CAD＝∠FCD，
又∵∠ADC＝∠CDF，
∴△ACD∽△CFD；
（2）證明：連接OC，如圖1所示：

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠CAB＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠CDA＝∠OBC，∠CDA＝∠GCA，
∴∠OCB＝∠GCA，
∴∠OCG＝∠GCA+∠OCA＝∠OCB+∠OCA＝90°，
∴CG⊥OC，
∵OC是⊙O的半徑，
∴CG是⊙O的切線；
（3）解：連接BD，如圖2所示：

∵∠CAD＝∠CBD，
∵OD⊥BC，
∴sin∠CAD＝sin∠CBD＝，BE＝CE，
設(shè)DE＝x，OD＝OB＝r，則OE＝r﹣x，BD＝3x
在Rt△BDE中，BE＝，
∴BC＝2BE＝,
在Rt△OBE中，OE2+BE2＝OB2，
即(r﹣x)2+()2＝r2，，
解得：r＝，
∴AB＝2r＝9x，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴AC2+()2＝(9x)2，
∴AC＝7x或AC＝﹣7x（舍去），
∴tan∠CDA＝tan∠CBA＝＝．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定，三角函數(shù)等知識(shí)．本題綜合性比較強(qiáng)，熟練掌握?qǐng)A周角定理，垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
變式6-4（2020·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖矩形ABCD中，AB=20，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，將沿著AE折疊，點(diǎn)B剛好落在CD邊上的點(diǎn)G處，點(diǎn)F在DG上，將沿著AF折疊，點(diǎn)D剛好落在AG上點(diǎn)H處，此時(shí)．
（1）求證：
（2）求AD的長(zhǎng)；
（3）求的值．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）12；（3）
【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得出∠B=∠D=∠C=90°，由折疊的性質(zhì)得出∠AGE=∠B=90°，∠AHF=∠D=90°，證得∠EGC=∠GFH，則可得出結(jié)論；
（2）由面積關(guān)系可得出GH：AH=2：3，由折疊的性質(zhì)得出AG=AB=GH+AH=20，求出GH=8，AH=12，則可得出答案；
（3）由勾股定理求出DG=16，設(shè)DF=FH=x，則GF=16-x，由勾股定理得出方程，解出x=6，由銳角三角函數(shù)的定義可得出答案．
【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形
所以
，

(2)解：

(3)解：在直角三角形ADG中，

由折疊對(duì)稱性知，

解得：x=6，
所以：HF=6
在直角三角形GHF中，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．
考查題型七相似三角形的性質(zhì)
典例7．（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）已知，，若，則（????）
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】A
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，代入求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，即，
解得．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形性質(zhì)．相似三角形性質(zhì)：相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等．相似三角形的相似比等于周長(zhǎng)比，相似三角形的相似比等于對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)角平分線，對(duì)應(yīng)中線的比，相似三角形的面積比等于相似比的平方．
變式7-1（2022·云南·中考真題）如圖，在ABC中，D、E分別為線段BC、BA的中點(diǎn)，設(shè)ABC的面積為S，EBD的面積為S．則=（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判定，得到相似比為，再根據(jù)兩個(gè)相似三角形的面積比等于相似比的平方，據(jù)此解題即可．
【詳解】解：∵D、E分別為線段BC、BA的中點(diǎn)，
∴，
又∵，
∴，相似比為，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
變式7-2（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）的三邊長(zhǎng)分別為2，3，4，另有一個(gè)與它相似的三角形，其最長(zhǎng)邊為12，則的周長(zhǎng)是（????）
A．54 B．36 C．27 D．21
【答案】C
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵△ABC與△DEF相似，△ABC的最長(zhǎng)邊為4，△DEF的最長(zhǎng)邊為12，
∴兩個(gè)相似三角形的相似比為1:3，
∴△DEF的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)比為3:1，
∴△DEF的周長(zhǎng)為3×（2+3+4）=27，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似之比是解題的關(guān)鍵．
變式7-3（2022·山東威?！そy(tǒng)考中考真題）由12個(gè)有公共頂點(diǎn)O的直角三角形拼成如圖所示的圖形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，則圖中與△AOB位似的三角形的面積為(???)

A．（）3 B．（）7 C．（）6 D．（）6
【答案】C
【分析】根據(jù)題意得出A、O、G在同一直線上，B、O、H在同一直線上，確定與△AOB位似的三角形為△GOH，利用銳角三角函數(shù)找出相應(yīng)規(guī)律得出OG=，再由相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°
∴∠AOG＝180°，∠BOH＝180°，
∴A、O、G在同一直線上，B、O、H在同一直線上，
∴與△AOB位似的三角形為△GOH，
設(shè)OA=x，
則OB=，
∴OC=，
∴OD=，
…
∴OG=，
∴，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】題目主要考查利用銳角三角函數(shù)解三角形，找規(guī)律問(wèn)題，相似三角形的性質(zhì)等，理解題意，找出相應(yīng)邊的比值規(guī)律是解題關(guān)鍵．
變式7-4．（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，若的面積為2，，，則的面積是________．

【答案】12
【分析】延長(zhǎng)EF、DF分布交AC于點(diǎn)M、N，可以得到相似三角形并利用相似三角形分別求出AM、MN、CN之間的關(guān)系，從而得到三角形的面積關(guān)系即可求解．
【詳解】解：如圖所示：延長(zhǎng)EF、DF分布交AC于點(diǎn)M、N，

，，，，
，
，
令，則，
，
，
，
，
，
設(shè)，
，
，
，
求出,
，
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形中的A型，也可以利用平行線分線段成比例知識(shí)，具有一定的難度，不斷的利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)線段成比例進(jìn)行求解線段的長(zhǎng)度；利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
變式7-5（2022·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF，已知四邊形BFED是平行四邊形，．

(1)若，求線段AD的長(zhǎng)．
(2)若的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．
【答案】(1)2
(2)6
【分析】（1）利用平行四邊形對(duì)邊平行證明，得到即可求出；
（2）利用平行條件證明，分別求出、的相似比，通過(guò)相似三角形的面積比等于相似比的平方分別求出、，最后通過(guò)求出．
【詳解】（1）∵四邊形BFED是平行四邊形，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵四邊形BFED是平行四邊形，
∴，，DE=BF，
∴，
∴
∴，
∵，DE=BF，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方、靈活運(yùn)用平行條件證明三角形相似并求出相似比是解題關(guān)鍵．
考查題型八利用相似三角形相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題
典例8．（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長(zhǎng)AC和BD相等）可測(cè)量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，則零件的厚度x為（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出△AOB和△COD相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)算求出AB，再根據(jù)外徑的長(zhǎng)度解答．
【詳解】解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴AB：CD=3，
∴AB：3=3，
∴AB=9（cm），
∵外徑為10cm，
∴9+2x=10，
∴x=0.5（cm）．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)求出AB的長(zhǎng)．
變式8-1（2022·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）某餐廳為了追求時(shí)間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點(diǎn)單完成后，開(kāi)始倒轉(zhuǎn)“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所點(diǎn)的菜需全部上桌，否則該桌免費(fèi)用餐）．“沙漏”是由一個(gè)圓錐體和一個(gè)圓柱體相通連接而成．某次計(jì)時(shí)前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是，高是；圓柱體底面半徑是，液體高是．計(jì)時(shí)結(jié)束后如圖（2）所示，求此時(shí)“沙漏”中液體的高度為（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由圓錐的圓錐體底面半徑是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根據(jù)園錐、圓柱體積公式可得液體的體積為63πcm3，圓錐的體積為72πcm3，設(shè)此時(shí)“沙漏”中液體的高度AD=xcm，則DE=CD=（6-x）cm，根據(jù)題意，列出方程，即可求解．
【詳解】解：如圖，作圓錐的高AC，在BC上取點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作DE⊥AC于點(diǎn)D，則AB=6cm，AC=6cm，

∴△ABC為等腰直角三角形，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴△CDE為等腰直角三角形，
∴CD=DE，
圓柱體內(nèi)液體的體積為：
圓錐的體積為，
設(shè)此時(shí)“沙漏”中液體的高度AD=xcm，則DE=CD=（6-x）cm，
∴，
∴，
解得：x=3，
即此時(shí)“沙漏”中液體的高度3cm．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查圓柱體、圓錐體體積問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A柱體、圓錐體體積公式，列出方程解決問(wèn)題．
變式8-2（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）“跳眼法”是指用手指和眼睛估測(cè)距離的方法
步驟：
第一步：水平舉起右臂，大拇指緊直向上，大臂與身體垂直；
第二步：閉上左眼，調(diào)整位置，使得右眼、大拇指、被測(cè)物體在一條直線上；
第三步：閉上右眼，睜開(kāi)左眼，此時(shí)看到被測(cè)物體出現(xiàn)在大拇指左側(cè)，與大拇指指向的位置有一段橫向距離，參照被測(cè)物體的大小，估算橫向距離的長(zhǎng)度；
第四步：將橫向距離乘以10（人的手臂長(zhǎng)度與眼距的比值一般為10），得到的值約為被測(cè)物體離觀測(cè)，點(diǎn)的距離值．
如圖是用“跳眼法”估測(cè)前方一輛汽車到觀測(cè)點(diǎn)距離的示意圖，該汽車的長(zhǎng)度大約為4米，則汽車到觀測(cè)點(diǎn)的距離約為（????）

A．40米 B．60米 C．80米 D．100米
【答案】C
【分析】參照題目中所給的“跳眼法”的方法估測(cè)出距離即可．
【詳解】由“跳眼法”的步驟可知被測(cè)物體與觀測(cè)點(diǎn)的距離是橫向距離的10倍．
觀察圖形，橫向距離大約是汽車長(zhǎng)度的2倍，為8米，
所以汽車到觀測(cè)點(diǎn)的距離約為80米，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了測(cè)量距離，正確理解“跳眼法”測(cè)物距是解答本題的關(guān)鍵．
變式8-3（2022·廣西·中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組通過(guò)測(cè)量旗桿的影長(zhǎng)來(lái)求旗桿的高度，他們?cè)谀骋粫r(shí)刻測(cè)得高為2米的標(biāo)桿影長(zhǎng)為1.2米，此時(shí)旗桿影長(zhǎng)為7.2米，則旗桿的高度為_(kāi)_____米．

【答案】12
【分析】根據(jù)同時(shí)、同地物高和影長(zhǎng)的比不變，構(gòu)造相似三角形，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答．
【詳解】解：設(shè)旗桿為AB，如圖所示：

根據(jù)題意得：，
∴
∵米，米，米，
∴
解得：AB=12米．
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】本題考查了中心投影、相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題．
變式8-4（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯曾利用立桿測(cè)影的方法，在金字塔影子的頂部直立一根木桿，借助太陽(yáng)光測(cè)金字塔的高度．如圖，木桿EF長(zhǎng)2米，它的影長(zhǎng)FD是4米，同一時(shí)刻測(cè)得OA是268米，則金字塔的高度BO是________米．

【答案】134
【分析】在同一時(shí)刻物高和影子成正比，即在同一時(shí)刻的兩個(gè)物體，影子，經(jīng)過(guò)物體頂部的太陽(yáng)光線三者構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：134．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是了解：同一時(shí)刻物高和影長(zhǎng)成正比．
變式8-5（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，公園內(nèi)有一個(gè)垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個(gè)坡面，坡角．在陽(yáng)光下，小明觀察到在地面上的影長(zhǎng)為，在坡面上的影長(zhǎng)為．同一時(shí)刻，小明測(cè)得直立于地面長(zhǎng)60cm的木桿的影長(zhǎng)為90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．

【答案】(170+60)cm
【分析】延長(zhǎng)AD交BN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BN于點(diǎn)F，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF，根據(jù)余弦的定義求出CF，根據(jù)題意求出EF，再根據(jù)題意列出比例式，計(jì)算即可．
【詳解】解：延長(zhǎng)AD交BN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BN于點(diǎn)F，

在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，
則DF=CD=90（cm），CF=CD?cos∠DCF=180×=90（cm），
由題意得：=，即=，
解得：EF=135，
∴BE=BC+CF+EF=120+90+135=(255+90)cm，
則=，
解得：AB=170+60，
答：立柱AB的高度為(170+60)cm．
【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題、平行投影的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，正確作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)和成比例線段計(jì)算．
變式8-6（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）旗桿及升旗臺(tái)的剖面如圖所示，MN、CD為水平線，旗桿AB⊥CD于點(diǎn)B．某一時(shí)刻，旗桿AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝1.2m，DE＝1.4m．同一時(shí)刻，測(cè)得豎直立在坡面DN上的1m高的標(biāo)桿影長(zhǎng)為0.25m（標(biāo)桿影子在坡面DN上），此時(shí)光線AE與水平線的夾角為80.5°，求旗桿AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin80.5°≈0.98，cos80.5°≈0.17，tan80.5°≈6）

【答案】旗桿AB的高度為12.8m
【分析】設(shè)MN為豎直立在坡面DN上的1m高的標(biāo)桿，ME為標(biāo)桿影子，長(zhǎng)為0.25m，作DF⊥CD交AE于點(diǎn)F，作FH⊥AB于點(diǎn)H，利用相似和銳角三角函數(shù)可以求出旗桿AB的高度．
【詳解】解：如圖，設(shè)MN為豎直立在坡面DN上的1m高的標(biāo)桿，ME為標(biāo)桿影子，長(zhǎng)為0.25m，
作DF⊥CD交AE于點(diǎn)F，作FH⊥AB于點(diǎn)H，

∵DFMN，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝5.6，
∴BH＝DF＝5.6，
在Rt△AHF中，∠AFH＝80.5°，
tan∠AFH＝，
∴tan80.5°＝≈6，
∴AH≈7.2，
∴旗桿AB的高度為5.6+7.2＝12.8（m）．
所以，旗桿AB的高度為12.8m．
【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)和相似三角形的應(yīng)用；作出相應(yīng)輔助線得到矩形是解決本題的難點(diǎn)；用到的知識(shí)點(diǎn)為：同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比一定，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
變式8-7 （2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）我們經(jīng)常會(huì)采用不同方法對(duì)某物體進(jìn)行測(cè)量，請(qǐng)測(cè)量下列燈桿AB的長(zhǎng)．

(1)如圖1所示，將一個(gè)測(cè)角儀放置在距離燈桿AB底部a米的點(diǎn)D處，測(cè)角儀高為b米，從C點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為α，求燈桿AB的高度．（用含a，b，ａ的代數(shù)式表示）
(2)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測(cè)量的方法，在至今仍有借鑒意義圖2所示，現(xiàn)將一高度為2米的木桿CG放在燈桿AB前，測(cè)得其影長(zhǎng)CH為1米，再將木桿沿著B(niǎo)C方向移動(dòng)1.8米至DE的位置，此時(shí)測(cè)得其影長(zhǎng)DF為3米，求燈桿AB的高度
【答案】(1)atanα+b米
(2)3.8米
【分析】（1）由題意得BD=a，CD=b，∠ACE=α，根據(jù)四邊形CDBE為矩形，得到BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt?ACE中，由正切函數(shù)tanα= ，即可得到AB的高度；
（2）根據(jù)AB∥ED，得到?ABF~?EDF，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到，又根據(jù)AB∥GC，得出?ABH~?GCH，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到聯(lián)立得到二元一次方程組解之即可得；
【詳解】（1）解：如圖

由題意得BD=a，CD=b，∠ACE=α
∠B=∠D=∠CEB=90°
∴四邊形CDBE為矩形，
則BE=CD=b，BD=CE=a，
在Rt?ACE中，tanα= ，
得AE=CE=CE×tanα=a tanα
而AB=AE+BE，
故AB= a tanα+b
答：燈桿AB的高度為atanα+b米
（2）由題意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8
由于AB∥ED，
∴?ABF~?EDF，
此時(shí)
即①，
∵AB∥GC
∴?ABH~?GCH，
此時(shí)，
②
聯(lián)立①②得
，
解得：
答：燈桿AB的高度為3.8米
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，以及二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，熟悉相似三角形的判定與性質(zhì)．
變式8-8（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）我市的花果山景區(qū)大圣湖畔屹立著一座古塔——阿育王塔，是蘇北地區(qū)現(xiàn)存最高和最古老的寶塔．小明與小亮要測(cè)量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點(diǎn)處測(cè)得阿育王塔最高點(diǎn)的仰角，再沿正對(duì)阿育王塔方向前進(jìn)至處測(cè)得最高點(diǎn)的仰角，；小亮在點(diǎn)處豎立標(biāo)桿，小亮的所在位置點(diǎn)、標(biāo)桿頂、最高點(diǎn)在一條直線上，，．（注：結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）

(1)求阿育王塔的高度；
(2)求小亮與阿育王塔之間的距離．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，由，解方程即可求解．
（2）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）在中，∵，
∴．
∵，
∴．
在中，由，
得，
解得．
經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解
答：阿育王塔的高度約為．
（2）由題意知，
∴，
即，
∴．
經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解
答：小亮與阿育王塔之間的距離約為．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
考查題型九位似圖形
典例9．（2022·寧夏·中考真題）如圖，將三角尺直立舉起靠近墻面，打開(kāi)手機(jī)手電筒照射三角尺，在墻面上形成影子．則三角尺與影子之間屬于以下哪種圖形變換（???）

A．平移 B．軸對(duì)稱 C．旋轉(zhuǎn) D．位似
【答案】D
【分析】根據(jù)位似的定義，即可解決問(wèn)題．
【詳解】根據(jù)位似的定義可知：三角尺與影子之間屬于位似．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了生活中位似的現(xiàn)象，解決本題的關(guān)鍵是熟記位似的定義．
變式9-1（2022·廣西·中考真題）已知△ABC與△A1B1C1是位似圖形，位似比是1：3，則△ABC與△A1B1C1的面積比（????）
A．1 ：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
【答案】C
【分析】根據(jù)位似圖形的面積比等于位似比的平方，即可得到答案．
【詳解】∵△ABC與△A1B1C1是位似圖形，位似比是1：3，
∴△ABC與△A1B1C1的面積比為1：9，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查位似圖形的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的面積比等于位似比的平方是解題的關(guān)鍵．
變式9-2（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，與位似，點(diǎn)O是它們的位似中心，且位似比為1∶2，則與的周長(zhǎng)之比是（????）

A．1∶2 B．1∶4 C．1∶3 D．1∶9
【答案】A
【分析】根據(jù)位似圖形是相似圖形，位似比等于相似比，相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比即可求解．
【詳解】解：∵與位似
∴
∵與的位似比是1:2
∴與的相似比是1:2
∴與的周長(zhǎng)比是1:2
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換，解題的關(guān)鍵是掌握位似變換的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)．
變式9-3（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形．若，則與的周長(zhǎng)比是_________．

【答案】
【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，得到，根據(jù)得到相似比為，再結(jié)合三角形的周長(zhǎng)比等于相似比即可得到結(jié)論．
【詳解】解：和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，
，
，
，
，
根據(jù)與的周長(zhǎng)比等于相似比可得，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查相似圖形的性質(zhì)，掌握位似圖形與相似圖形的關(guān)系，熟記相似圖形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
考查題型十坐標(biāo)系與位似中心
典例10．（2021·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0），以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作的位似圖形，并把的邊長(zhǎng)放大到原來(lái)的2倍，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是a，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，然后表示出、的橫坐標(biāo)的距離，再根據(jù)位似比列式計(jì)算即可得解.
【詳解】設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
則、間的橫坐標(biāo)的差為，、間的橫坐標(biāo)的差為，
放大到原來(lái)的倍得到，
，
解得：.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，根據(jù)位似比的定義，利用兩點(diǎn)間的橫坐標(biāo)的距離等于對(duì)應(yīng)邊的比列出方程是解題的關(guān)鍵.
變式10-1（2021·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將以原點(diǎn)O為位似中心放大后得到，若，，則與的相似比是（????）

A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
【答案】D
【分析】直接利用對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比求解即可．
【詳解】解：由B、D兩點(diǎn)坐標(biāo)可知：OB=1，OD=3；
△OAB 與△OCD的相似比等于；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了在平面直角坐標(biāo)系中求兩個(gè)位似圖形的相似比的概念，同時(shí)涉及到了位似圖形的概念、平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)、線段長(zhǎng)度的確定等知識(shí)；解題關(guān)鍵是牢記相似比等于對(duì)應(yīng)邊的比，準(zhǔn)確求出對(duì)應(yīng)邊的比即可完成求解，考查了學(xué)生對(duì)概念的理解與應(yīng)用等能力．
變式10-2（2021·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，與是位似圖形，則位似中心的坐標(biāo)為_(kāi)_________________．

【答案】
【分析】根據(jù)位似圖形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)并結(jié)合網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)特征確定位似中心．
【詳解】解：連接DB，OA并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為位似中心
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為
故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心是解題的關(guān)鍵．
變式10-3（2022·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）如圖、在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，1），B（2，3），C（1，2）．

(1)畫出與△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1；
(2)以原點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)畫一個(gè)△A2B2C2，使它與△ABC的相似比為，并寫出點(diǎn)B2的坐標(biāo)．
【答案】(1)作圖見(jiàn)解析
(2)作圖見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)得到A1、B1、C1的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)連線得到△A1B1C1．
（2）把A、B、C的坐標(biāo)都乘以-2得到A2、B2、C2的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)連線即可．
【詳解】（1）如圖，為所作．
（2）如圖，為所作，點(diǎn)B2的坐標(biāo)為（-4，-6）．

【點(diǎn)睛】本題考查位似變換、軸對(duì)稱變換，解題的關(guān)鍵是注意位似中心及相似比、對(duì)稱軸．
考查題型十一相似三角形綜合
典例11．（2021·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）在等腰中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），連結(jié)．

（1）如圖1，若，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，結(jié)，，則________；
（2）若，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)．
①在圖2中補(bǔ)全圖形；
②探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖3，若，且，試探究、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】（1）30°；（2）①見(jiàn)解析；②；見(jiàn)解析；（3），見(jiàn)解析
【分析】（1）先根據(jù)題意得出△ABC是等邊三角形，再利用三角形的外角計(jì)算即可
（2）①按要求補(bǔ)全圖即可
②先根據(jù)已知條件證明△ABC是等邊三角形，再證明，即可得出
（3）先證明，再證明，得出，從而證明，得出，從而證明
【詳解】解：（1）∵，
∴△ABC是等邊三角形
∴∠B=60°
∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)
∴AB⊥DE，
∴
故答案為：；
（2）①補(bǔ)全圖如圖2所示；

②與的數(shù)量關(guān)系為：；
證明：∵，．
∴為正三角形，
又∵繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）連接．

∵，，∴．
∴．
又∵，
∴，
∴．∵，∴，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴．
又∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的證明及性質(zhì)、全等三角形的證明及性質(zhì)、三角形的外角、軸對(duì)稱，熟練進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵，相似三角形的證明是重點(diǎn)
變式11-1（2021·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，且交線段于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)．

（1）如圖1，若，則線段與的數(shù)量關(guān)系是________，________；
（2）如圖2，在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，．
①試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；
②求證：；
（3）如圖3，若，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，，請(qǐng)直接寫出的值（用含的式子表示）．
【答案】（1）；；（2）①正方形，理由見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；（3）
【分析】（1）根據(jù)“斜中半”定理可得，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而得出，再結(jié)合題意推出，從而根據(jù)正切函數(shù)的定義求出即可；
（2）①通過(guò)證明，并綜合條件，推出四邊形是正方形；②首先根據(jù)推出，然后證明得到，即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)題意可首先證明四邊形是菱形，然后證明出，即可推出結(jié)論，再作，通過(guò)解直角三角形，求出的長(zhǎng)度，從而得出結(jié)論．
【詳解】（1）∵點(diǎn)為中斜邊的中點(diǎn)，
∴，
∵線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，
∴，
∴，
∵中，，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
故答案為：；；
（2）①正方形，理由如下：
∵，平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形為矩形，
又∵，
∴四邊形為正方形；
②顯然，在正方形中，，
∴，
又∵，
∴，
由（1）得：則為等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴
在與中，

∴，
∴，
∴；
（3）同（2）中①理，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴四邊形為菱形，
∵為等邊三角形，
∴，菱形的邊長(zhǎng)也為2，
由題意，，，
∵，
∴，
即：，
∴，
∵在菱形中，，
∴，
∴，
如圖，作，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴．

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)等，綜合性較強(qiáng)，掌握基本圖形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用相似三角形以及銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．
變式11-2（2021·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)E在邊BC上，且，，作交線段AE于點(diǎn)F，連接BF．
（1）求證：；
（2）如圖2，若，，，求BE的長(zhǎng)；
（3）如圖3，若BF的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)AD的中點(diǎn)M，求的值．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）6；（3）
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及已知條件易證，，即可得，；再證四邊形AFCD是平行四邊形即可得，所以，根據(jù)SAS即可證得；
（2）證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（3）延長(zhǎng)BM、ED交于點(diǎn)G．易證，可得；設(shè)，，，由此可得，；再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得．證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，即，解方程求得x的值，繼而求得的值．
【詳解】（1）證明：，
；
，
，，
，
，，
，，
，，
四邊形AFCD是平行四邊形

在與中．
，

（2），
，
在中，，
，
，
又，，
，
在與中．
，
；
；
，
；
，
；
，
，
或（舍）；
（3）延長(zhǎng)BM、ED交于點(diǎn)G．

與均為等腰三角形，，
，
，
設(shè)，，，
則，，
，
，
；
在與中，
，
；
．
；
，
，
，
，
，
，
，
，
（舍），，
．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)及判定、相似三角形的性質(zhì)及判定，熟練判定三角形全等及相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
變式11-3（2021·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)課上，有這樣一道探究題．
如圖，已知中，AB=AC=m，BC=n，，點(diǎn)P為平面內(nèi)不與點(diǎn)A、C重合的任意一點(diǎn)，將線段CP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a，得線段PD，E、F分別是CB、CD的中點(diǎn)，設(shè)直線AP與直線EF相交所成的較小角為β，探究的值和的度數(shù)與m、n、α的關(guān)系，請(qǐng)你參與學(xué)習(xí)小組的探究過(guò)程，并完成以下任務(wù)：
（1）填空：
【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】
小明研究了時(shí)，如圖1，求出了___________，___________；
小紅研究了時(shí)，如圖2，求出了___________，___________；
【類比探究】
他們又共同研究了α=120°時(shí)，如圖3，也求出了；
【歸納總結(jié)】
最后他們終于共同探究得出規(guī)律：__________(用含m、n的式子表示)；___________ (用含α的式子表示)．
（2）求出時(shí)的值和的度數(shù)．

【答案】（1）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】，60°；，45°；【類比探究】見(jiàn)（2）題的解析；【歸納總結(jié)】，；（2），30°
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，△ABC和△PDC都是等邊三角形，可證△ACP∽△ECF，從而有，∠Q＝＝∠ACB＝60°；當(dāng)時(shí)，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，同理可證△ACP∽△ECF即可解決，依此可得出規(guī)律；
（2）當(dāng)，可證，，從而有，由∠ECF＝∠ACP，可得△PCA∽△FCE即可解決問(wèn)題．
【詳解】（1）[問(wèn)題發(fā)現(xiàn)]如圖1，連接AE，PF，延長(zhǎng)EF、AP交于點(diǎn)Q，

當(dāng)時(shí)，△ABC和△PDC都是等邊三角形，
∴∠PCD＝∠ACB＝60°，PC＝CD，AC＝CB，
∵F、E分別是CD、BC的中點(diǎn)，
∴，，
∴，
又∵∠ACP＝∠ECF，
∴△ACP∽△ECF，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝＝∠ACB＝60°，
當(dāng)時(shí)，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，
如圖2，連接AE，PF，延長(zhǎng)EF、AP交于點(diǎn)Q，

∴∠PCD＝∠ACB＝45°，PC＝CD，AC＝CB，
∵F、E分別是CD、BC的中點(diǎn)，
∴，，
∴，
又∵∠ACP＝∠ECF，
∴△ACP∽△ECF，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝＝∠ACB＝45°，
[歸納總結(jié)]
由此，可歸納出，＝∠ACB＝；
（2）當(dāng)，連接AE，PF，延長(zhǎng)EF、AP交于點(diǎn)Q，

∵AB＝AC，E為BC的中點(diǎn)，
∴AE⊥BC，∠CAE＝60°
∴sin60°＝，
同理可得：，
∴，
∴，
又∵∠ECF＝∠ACP，
∴△PCA∽△FCE，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝＝∠ACB＝30°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，通過(guò)解決本題感受到：圖形在變化但解決問(wèn)題的方法不變，體會(huì)“變中不變”的思想．

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