?8.9 幾何體的截面（交線）及動態(tài)問題
思維導(dǎo)圖

知識點總結(jié)
立體幾何中截面、交線問題綜合性較強，解決此類問題要應(yīng)用三個基本事實及其推論、垂直、平行的判定與性質(zhì)定理等知識.立體幾何中的動態(tài)問題主要是指空間動點軌跡的判斷、求軌跡長度、最值與范圍問題等.
1．截面定義：在立體幾何中，截面是指用一個平面去截一個幾何體（包括圓柱，圓錐，球，棱柱，棱錐、長方體，正方體等等），得到的平面圖形，叫截面。其次，我們要清楚立體圖形的截面方式，總共有三種，分別為橫截、豎截、斜截。最后，我們要了解每一種立體圖形通過上述三種截面方式所得到的截面圖有哪些。
2、正六面體的基本斜截面：

3、圓柱體的基本截面：正六面體斜截面是不會出現(xiàn)以下幾種圖形：直角三角形、鈍角三角形、直角梯形、正五邊形。

操作技能1.結(jié)合線、面平行的判定定理與性質(zhì)性質(zhì)求截面問題；
操作技能2.結(jié)合線、面垂直的判定定理與性質(zhì)定理求正方體中截面問題；
操作技能3.猜想法求最值問題：要靈活運用一些特殊圖形與幾何體的特征，“動中找靜”：如正三角形、正六邊形、正三棱錐等；
操作技能4.建立函數(shù)模型求最值問題：①設(shè)元②建立二次函數(shù)模型③求最值。

典型例題分析
考向一 　截面問題
例1 (2023·福州質(zhì)檢)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為4，E，F(xiàn)分別是棱AA1，BC的中點，則平面D1EF截該正方體所得的截面圖形周長為(　　)
A.6 B.10
C.＋2 D.
答案　D
解析　取CC1的中點G，連接BG，則D1E∥BG，

取CG的中點N，連接FN，則FN∥BG，
所以FN∥D1E.
延長D1E，DA交于點H，連接FH交AB于點M，連接ME，則平面D1EF截該正方體所得的截面圖形為多邊形D1EMFN.
由題知A為HD的中點，A1E＝AE＝2，
則C1N＝3，CN＝1，則D1E＝＝2，
D1N＝＝5，F(xiàn)N＝＝.
取AD的中點Q，連接QF，則AM∥FQ，
所以＝，
所以AM＝·FQ＝×4＝，則MB＝，
則ME＝＝＝，
MF＝＝＝，
所以截面圖形的周長為D1E＋EM＋MF＋FN＋ND1＝2＋＋＋＋5＝.
故選D.
感悟提升　作截面應(yīng)遵循的三個原則：(1)在同一平面上的兩點可引直線；(2)凡是相交的直線都要畫出它們的交點；(3)凡是相交的平面都要畫出它們的交線.
訓(xùn)練1 (2023·遼寧名校聯(lián)考)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，E為棱BB1的中點，則平面AED1截正方體ABCD－A1B1C1D1的截面面積為(　　)
A. B.
C.4 D.
答案　D
解析　取B1C1的中點為M，連接EM，MD1，BC1，

則EM∥BC1，且EM＝BC1，則EM∥AD1，且EM＝AD1.
又AB＝2，
所以MD1＝AE＝＝，BC1＝AD1＝2，
因此EM＝，所以平面AED1截正方體ABCD－A1B1C1D1所得的截面為等腰梯形EMD1A，
因此該等腰梯形的高h(yuǎn)＝＝＝，
所以該截面的面積S＝(AD1＋EM)·h＝，
故選D.
考向二 交線問題
例2 (2020·新高考Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD＝60°.以D1為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為__________.
答案　
解析　如圖，設(shè)B1C1的中點為E，球面與棱BB1，CC1的交點分別為P，Q，

連接DB，D1B1，D1P，D1Q，D1E，EP，EQ，
由∠BAD＝60°，AB＝AD，
知△ABD為等邊三角形，
∴D1B1＝DB＝2，
∴△D1B1C1為等邊三角形，
則D1E＝且D1E⊥平面BCC1B1，
∴E為球面截側(cè)面BCC1B1所得截面圓的圓心，
設(shè)截面圓的半徑為r，
則r＝＝＝.
可得EP＝EQ＝，
∴球面與側(cè)面BCC1B1的交線為以E為圓心的圓弧PQ.
又D1P＝，
∴B1P＝＝1，
同理C1Q＝1，
∴P，Q分別為BB1，CC1的中點，
∴∠PEQ＝，
知的長為×＝.
感悟提升　作交線的方法有如下兩種：(1)利用基本事實3作交線；(2)利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線.
訓(xùn)練2 (2023·南通模擬)已知在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.過直線O1O2的平面截圓柱得到四邊形ABCD，其面積為8.若P為圓柱底面圓弧的中點，則平面PAB與球O的交線長為________.
答案　π
解析　設(shè)球O的半徑為r，則AB＝BC＝2r，

而S四邊形ABCD＝AB·BC＝4r2＝8，
所以r＝.
如圖，連接PO2，O1P，作OH⊥O2P于H，易知O1O2⊥AB.
因為P為的中點，所以AP＝BP，
又O2為AB的中點，所以O(shè)2P⊥AB.
又O1O2∩O2P＝O2，所以AB⊥平面O1O2P，
又OH?平面O1O2P，所以AB⊥OH.
因為OH⊥O2P，且AB∩PO2＝O2，
所以O(shè)H⊥平面ABP.
因為O1O2＝2r＝2，O1P＝，O1O2⊥O1P，
所以O(shè)2P＝＝＝，
所以sin∠O1O2P＝＝＝，
所以O(shè)H＝OO2×sin∠O1O2P＝×＝.
易知平面PAB與球O的交線為一個圓，其半徑為
r1＝＝＝，
交線長為l＝2πr1＝2π×＝π.
考向三 動態(tài)問題
角度1　動態(tài)位置關(guān)系的判斷
例3 (多選)如圖，在矩形ABCD中，BC＝1，AB＝x，BD和AC交于點O，將△BAD沿直線BD翻折，則下列說法中正確的是(　　)

A.存在x，在翻折過程中存在某個位置，使得AB⊥OC
B.存在x，在翻折過程中存在某個位置，使得AC⊥BD
C.存在x，在翻折過程中存在某個位置，使得AB⊥平面ACD
D.存在x，在翻折過程中存在某個位置，使得AC⊥平面ABD
答案　ABC
解析　當(dāng)AB＝x＝1時，此時矩形ABCD為正方形，則AC⊥BD，
將△BAD沿直線BD翻折，當(dāng)平面ABD⊥平面BCD時，
由OC⊥BD，OC?平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以O(shè)C⊥平面ABD，
又AB?平面ABD，所以AB⊥OC，故A正確；
又OC⊥BD，OA⊥BD，且OA∩OC＝O，OA，OC?平面OAC，所以BD⊥平面OAC，
又AC?平面OAC，
所以AC⊥BD，故B正確；
在矩形ABCD中，AB⊥AD，AC＝，
所以將△BAD沿直線BD翻折時，總有AB⊥AD，
取x＝，當(dāng)將△BAD沿直線BD翻折到AC＝時，有AB2＋AC2＝BC2，
即AB⊥AC，且AC∩AD＝A，AC，AD?平面ACD，
則此時滿足AB⊥平面ACD，故C正確；
若AC⊥平面ABD，又AO?平面ABD，
則AC⊥AO，
所以在△AOC中，OC為斜邊，這與OC＝OA相矛盾，故D不正確.
感悟提升　解決空間位置關(guān)系的動點問題
(1)應(yīng)用“位置關(guān)系定理”轉(zhuǎn)化.
(2)建立“坐標(biāo)系”計算.
角度2　動點的軌跡(長度)
例4 (2023·濟南模擬)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)為體對角線BD1的兩個三等分點，動點P在△ACB1內(nèi)，且△PEF的面積S△PEF＝2，則點P的軌跡的長度為________.
答案　π
解析　如圖1所示，連接BD，

圖1
因為ABCD－A1B1C1D1是正方體，
所以AC⊥BD，DD1⊥平面ABCD，
又AC?平面ABCD，
所以AC⊥DD1，
因為DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1，
因為BD1?平面BDD1，所以BD1⊥AC.
同理BD1⊥B1C.
因為AC∩B1C＝C，所以BD1⊥平面ACB1.
因為正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，
所以AC＝B1C＝AB1＝2，BD1＝6，
又E，F(xiàn)為體對角線BD1的兩個三等分點，
所以BF＝EF＝D1E＝2.
設(shè)點B到平面ACB1的距離為d，
則VB－ACB1＝VB1－ABC，
所以S△ACB1·d＝S△ABC·BB1，
解得d＝2，即d＝BF，
所以F∈平面ACB1，即BF⊥平面ACB1.
三棱錐B－ACB1的底面三角形ACB1為正三角形，且BB1＝BC＝BA，
所以三棱錐B－ACB1為正三棱錐，
所以點F為△ACB1的中心.
因為P∈平面ACB1，
所以PF?平面ACB1，則EF⊥PF.
又△PEF的面積為2，
所以EF·PF＝2，解得PF＝2，
則點P的軌跡是以點F為圓心，2為半徑的圓周且在△ACB1內(nèi)部的部分，

圖2
如圖2所示，點P的軌跡為，，，且三段弧長相等.
在△FNB1中，F(xiàn)N＝2，F(xiàn)B1＝2××＝2，∠NB1F＝，
由正弦定理＝，
得sin∠B1NF＝，
由圖2可知，∠B1NF∈，
所以∠B1NF＝，則∠NFB1＝，
所以∠NFM＝2∠NFB1＝，
所以的長l＝2×＝，
則點P的軌跡的長度為3×＝π.
感悟提升　解決與幾何體有關(guān)的動點軌跡問題的方法
(1)幾何法：根據(jù)平面的性質(zhì)進行判定.
(2)定義法：轉(zhuǎn)化為平面軌跡問題，用圓錐曲線的定義判定，或用代替法進行計算.
(3)特殊值法：根據(jù)空間圖形線段長度關(guān)系取特殊值或位置進行排除.
角度3　最值(范圍)問題
例5 (2023·石家莊質(zhì)檢)《九章算術(shù)》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右，是當(dāng)時世界上最簡練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.已知在“塹堵”ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝，動點M在“塹堵”的側(cè)面BCC1B1上運動，且AM＝2，則∠MAB的最大值為(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　如圖，取BC的中點O，連接AO，MO，則AO⊥BC.

因為在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，
所以BB1⊥AO，
又BC∩BB1＝B，所以AO⊥平面BCC1B1，
所以AO⊥OM.
在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝，
所以AO＝，又AM＝2，
所以在Rt△OAM中，OM＝＝1，
所以動點M的軌跡是平面BCC1B1內(nèi)以O(shè)為圓心，1為半徑的半圓.
連接BM，易得BO＝BC＝，
所以BM∈[－1，＋1].
在△BAM中，AB＝，AM＝2，
由余弦定理得
cos∠MAB＝＝≥＝.
即當(dāng)BM＝＋1時，cos∠MAB取得最小值，
結(jié)合選項可知，A，C，D均不正確，
所以∠MAB的最大值為，選B.
感悟提升　在動態(tài)變化過程中產(chǎn)生的體積最大、距離最大(小)、角的范圍等問題，常用的思路是
(1)直觀判斷：在變化過程中判斷點、線、面在何位置時，所求的量有相應(yīng)最大、最小值，即可求解.
(2)函數(shù)思想：通過建系或引入變量，把這類動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值.
訓(xùn)練3 (多選)(2023·沈陽郊聯(lián)體一模)已知棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M為B1C1的中點，點P在正方體的表面上運動，且總滿足MP垂直于MC，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.點P的軌跡中包含AA1的中點
B.點P在側(cè)面AA1D1D內(nèi)的軌跡的長為
C.MP長度的最大值為
D.直線CC1與直線MP所成角的余弦值的最大值為
答案　BCD
解析　如圖，取A1D1的中點E，分別取A1A，B1B上靠近點A1，B1的四等分點F，G，連接EM，EF，F(xiàn)G，MG，

則EM綉A1B1，F(xiàn)G綉A1B1，
所以EM綉FG，所以點E，M，F(xiàn)，G四點共面.
連接GC，因為MG2＝＋＝，
MC2＝＋a2＝，GC2＝＋a2＝，
所以MG2＋MC2＝GC2，所以MG⊥MC.
由正方體的性質(zhì)知A1B1⊥平面B1C1CB，
所以ME⊥平面B1C1CB，
又MC?平面B1C1CB，所以ME⊥MC.
因為MG∩ME＝M，MG，ME?平面MEFG，
所以MC⊥平面MEFG，
所以點P的軌跡為四邊形MEFG(不含點M).
對于A，點P的軌跡與AA1有唯一交點F，而F不是AA1的中點，故A不正確；
對于B，因為點P在側(cè)面AA1D1D內(nèi)的軌跡為EF，四邊形MEFG為平行四邊形，
所以EF＝MG＝，故B正確；
對于C，根據(jù)點P的軌跡可知，當(dāng)P與F重合時，MP的長度有最大值.
由正方體的性質(zhì)知A1B1⊥平面B1C1CB，
所以FG⊥平面B1C1CB.
又MG?平面BB1C1C，所以FG⊥MG.
連接MF，則MF＝＝，故C正確；
對于D，當(dāng)直線CC1與直線MP所成角的余弦值最大時，直線CC1與直線MP所成的角最小，由于點P的軌跡為四邊形MEFG(不含點M)，
所以直線CC1與直線MP所成的最小角就是直線CC1與平面MEFG所成的角，
又向量與平面MEFG的法向量的夾角為∠C1CM，且sin∠C1CM＝＝，
所以直線CC1與平面MEFG所成角的余弦值為，
即直線CC1與直線MP所成角的余弦值的最大值為，故D正確.綜上所述，選BCD.


基礎(chǔ)題型訓(xùn)練

一、單選題
1．若三個平面兩兩相交，有三條交線，則下列命題中正確的是
A．三條交線為異面直線
B．三條交線兩兩平行
C．三條交線交于一點
D．三條交線兩兩平行或交于一點
【答案】D
【詳解】試題分析：三個平面兩兩相交，有三條交線，三條交線兩兩平行或交于一點．如三棱柱的三個側(cè)面兩兩相交，
交線是三棱柱的三條側(cè)棱，這三條側(cè)棱是相互平行的；
但有時三條交線交于一點，如長方體的三個相鄰的表面兩兩相交，
交線交于一點，此點就是長方體的頂點
考點：平面與平面之間的位置關(guān)系
2．下面四個命題中，其中正確的命題是（???）
：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行
：兩個平面垂直，如果有一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與其中一個平面垂直
：一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那該直線與交線平行
：一條直線與一個平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線就與這個平面平行
A．與 B．與 C．與 D．與
【答案】D
【分析】利用面面平行的性質(zhì)定理判斷A；由面面垂直的性質(zhì)定理判斷B；利用線面平行的性質(zhì)定理判斷C；利用線面平行的判定定理判斷D.
【詳解】對于，利用面面平行的性質(zhì)定理可知正確；
對于，面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面，若這條直線不在這兩個平面內(nèi)時錯誤；
對于，利用線面平行的性質(zhì)定理可知正確；
對于，線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行，故這條直線在平面內(nèi)就錯了，故錯誤；
故選：D
3．如圖，已知正方體，則直線是平面與　(　　)

A．平面的交線 B．平面的交線
C．平面的交線 D．平面的交線
【答案】B
【分析】根據(jù)點線、線面的位置關(guān)系，判斷線面關(guān)系，進而判斷屬于是哪兩個面的交線.
【詳解】連接.

因為，，而，面，
所以面，則面，故面面.
故選：B
4．如圖，在圓臺OO1中，，點C是底面圓周上異于A、B的一點，，點D是BC的中點，l為平面與平面的交線，則交線l與平面所成角的大小為（????）
??
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由線面平行的性質(zhì)定理可證得，所以直線l與平面所成角即直線與平面所成角，由線面垂直的判定定理可證得平面，過點作交于點，易證得平面，所以為交線l與平面所成角，求解即可.
【詳解】因為，因為，D分別是，BC的中點，所以，
所以平面，平面，所以平面，
平面，平面平面，
所以，，所以，
所以直線l與平面所成角即直線與平面所成角，
因為為直徑，所以，因為，即，
又因為平面，
平面，所以，平面，
所以平面，過點作交于點，
因為平面，所以，，
，平面，所以平面，
所以為交線l與平面所成角，
因為，，
.
所以，結(jié)合圖知.
故選：B.
??
5．、兩個動點從棱長為的正方體的頂點出發(fā)沿棱向前運動.動點運動的路線是，運動規(guī)則如下：第段與第段（其中是正整數(shù)）所在直線一定是異面直線.動點運動的路線是，它和點具有相同的運動規(guī)則.那么動點運動完段、動點運動完段后各自停止在正方體的某個頂點處，此時動點、的距離是（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可知點、運動的路線呈現(xiàn)周期性變化，且以段為一個周期，確定動點運動完段后、動點運動完段后，這兩個動點的位置，即可求得動點、的距離.
【詳解】點運動的路線為，
點運動的路線為，
由上可知，點、運動的路線呈現(xiàn)周期性變化，且以段為一個周期，
因為，，
所以，動點運動完段后與點重合，動點運動完段與點重合，
此時，動點、的距離是.
故選：C.

二、多選題
6．下列命題中，正確的是（????）
A．夾在兩個平行平面間的平行線段相等
B．三個兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直
C．如果直線平面，，那么過點且平行于直線的直線有無數(shù)條，且一定在內(nèi)
D．已知，為異面直線，平面，平面，若直線滿足，，，，則與相交，且交線平行于
【答案】ABD
【分析】利用平面平行的性質(zhì)，平面垂直，線面平行的相關(guān)性質(zhì)逐項進行分析即可求解.
【詳解】如圖，,且，求證：.
??
因為,所以過可作平面，且平面與平面和分別相交于和.
因為，所以，因此四邊形是平行四邊形，所以,故選項A正確；
如圖所示，平面，，，，，，
??
在平面內(nèi)作異于的直線，因為，，所以，
因為，所以，，，所以，則，
又因為，，所以，則，
同理可得：，所以，故選項B正確；
若直線平面，，在平面內(nèi)過點且平行于直線的直線有且只有一條，故選項C錯誤；
因為，為異面直線，平面，平面，則與相交，但未必垂直，且交線垂直于直線，，
又直線滿足，，則交線平行于，故選項D正確，
故選：ABD.
7．已知點是棱長為2的正方體的底面上一個動點（含邊界），若是的中點，且滿足平面，則（????）
A．所在的平面與正方體表面的交線為五邊形
B．所在的平面與正方體表面的交線為六?形
C．長度的最大值是
D．長度的最小值是
【答案】BC
【分析】作出過且與平面平行的平面與正方體表面的交線即可判斷A、B；用向量法表示出，再用二次函數(shù)的知識求解.
【詳解】如圖，
??
所在的平面與正方體表面的交線為如圖所示正六邊形，故A錯誤，B正確；
以所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
??
其中，分別是的中點，
則直線的方程為所以不妨設(shè)線段上的點，
點，則，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．故C正確，D錯誤．
故選：BC．
8．已知點P是空間中的一個動點，正方體棱長為2，下列結(jié)論正確的是（????）
??
A．若動點P在棱AB上，則直線與始終保持垂直
B．若動點P在棱AB上，則三棱錐的體積是定值
C．若動點P在對角線AC上，當(dāng)點P為AC中點時，直線與平面ABCD所成的角最小
D．若動點P在四面體內(nèi)部時，點P與該四面體四個面的距離之和為定值
【答案】ABD
【分析】根據(jù)立體幾何相關(guān)定理逐項分析.
【詳解】對于A，連接，如圖：
??
則平面平面，平面，
平面，平面，，正確；
對于B，如圖：
??
連接PC，，，則三棱錐的體積等于三棱錐的體積，
平面，點P到平面的距離為定值，即三棱錐的高為定值，底面三角形的面積為定值，
所以三棱錐的體積為定值，正確；
對于C，連接DP，如圖：
??
設(shè)直線與平面ABCD的夾角為，在中，，當(dāng)P為AC的中點時，DP最小，最大，即最大，錯誤；
對于D，因為，四面體是正四面體，
本問題等價于當(dāng)P點在四面體內(nèi)部時到各個面的距離之和為定值，如圖：
??
顯然，，其中是點P到四個面的距離，
，為定值，正確；
故選：ABD.
9．如圖，已知正方體的棱長為1，則下列結(jié)論中正確的是（????）
??
A．若E是直線AC上的動點，則平面
B．若E是直線上的動點，F(xiàn)是直線BD上的動點，則
C．若E是內(nèi)（包括邊界）的動點，則直線與平面ABC所成角的正切值的取值范圍是
D．若E是平面內(nèi)的動點，則三棱錐的體積為定值
【答案】ABD
【分析】對于A：連接，證明出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)即可證明；對于B：連接，證明出面，利用線面垂直的性質(zhì)即可證明；對于C：判斷出即為直線與平面ABC所成角，得到，求出的范圍，即可求出的范圍，即可判斷；對于D：利用等體積法轉(zhuǎn)化得到，即可求得.
【詳解】對于A：連接.
在正方體中，，，
所以四邊形為平行四邊形，所以.
又平面,平面，所以平面.
同理可證：平面.
因為，平面,平面,
所以平面平面.
因為E是直線AC上的動點，所以平面，所以平面，故A正確；
??
對于B：連接.
因為為正方體，所以，
又 面面ABCD，所以.
因為面,面,，所以面.
因為E是直線上的動點，F(xiàn)是直線BD上的動點，所以面.
所以，故B正確；
??
對于C：在正方體中，面.
對于平面，為垂線，為斜線，為射影，
所以即為直線與平面ABC所成角，所以.
設(shè)，則.
因為E是內(nèi)（包括邊界）的動點，所以當(dāng)E與O重合時，最小，
當(dāng)E與B重合時，最大，
所以，故C錯誤；
??
對于D：三棱錐的體積.
由A的證明過程可知：平面平面，
所以平面內(nèi)任一點到平面的距離都相等.
因為E是平面內(nèi)的動點，
所以.
即三棱錐的體積為定值，故D正確.
故選：ABD.

三、解答題
10．如圖所示，正方體的棱長為a．

(1)過正方體的頂點A，B，截下一個三棱錐，求正方體剩余部分的體積；
(2)若M，N分別是棱AB，BC的中點，請畫出過，M，N三點的平面與正方體表面的交線（保留作圖痕跡，畫出交線，無需說明理由），并求出交線圍成的多邊形的周長；
(3)設(shè)正方體外接球的球心為O，求三棱錐的體積．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)

【分析】（1）利用等體積法求出三棱錐的體積，再用正方體體積減去即可；
（2）根據(jù)點、線、面的位置關(guān)系作出圖形，再利用三角形相似等知識點則可求出相關(guān)線段長；
（3）根據(jù)（1）中三棱錐的體積以及正方體和正三棱錐的性質(zhì)即可求出三棱錐的高，再利用棱錐的體積公式即可.
【詳解】（1）因為正方體，所以平面，
則為三棱錐的高，，，
則，
則正方體剩余部分的體積為.
（2）畫直線交，延長線分別為點，
再分別連接，分別交于點，
順次連接，五邊形即為交線圍成的多邊形，

易得，，則為等腰直角三角形，
則，根據(jù)∽，，
則，則，，
同理可得，，而，
則五邊形的周長為.
（3）
連接，易知的中點即為正方體外接球的球心點，
且，
易得三棱錐為正三棱錐，
而三棱錐的頂點在底面上的投影即為等邊三角形的中心點，
且點均在直線上，

由（1）得，
即，解得，
而，所以
所以，
則.
11．如圖所示，在四棱錐中，平面平面，，且，設(shè)平面與平面的交線為．

(1)作出交線（寫出作圖步驟），并證明平面；
(2)記與平面的交點為，點S在交線上，且，當(dāng)二面角的余弦值為，求的值．
【答案】(1)直線即為所求作的直線，證明見解析
(2)

【分析】（1）延長AB、DC交于Q點，即可得到交線，通過證明，即可證明線面垂直；
（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量得出，解方程即可.
【詳解】（1）延長，交于點，連結(jié)，則直線即為所求作的直線：??????
因為，所以
又因為，所以，分別為，中點，
且為正三角形，所以，??????
又，平面平面且交線為，且平面，
所以平面，
且面PAB，所以，????
又，且平面，平面,
所以平面，即平面：??????

（2）取的中點，連結(jié)，則，
又平面平面且交線為，且平面，
所以平面，????
以為原點，，所在直線為，軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，
由，得，
所以，，????
顯然平面的一個法向量為，?????
設(shè)平面的法向量為，
則，即
取，則，，
所以平面的一個法向量為，????
所以，解得
所以當(dāng)二面角的余弦值為時，
12．如圖所示，正方體的棱長為a.

(1)過正方體的頂點，B，截下一個三棱錐，求正方體剩余部分的體積；
(2)若M，N分別是棱AB，BC的中點，請畫出過，M，N三點的平面與正方體表面的交線（保留作圖痕跡，畫出交線，無需說明理由），并求出交線圍成的多邊形的周長；
【答案】(1)
(2)作圖見解析，

【分析】（1）利用等體積法求出三棱錐的體積，再用正方體體積減去即可；
（2）根據(jù)點?線?面的位置關(guān)系作出圖形，再利用三角形相似等知識點則可求出相關(guān)線段長；
【詳解】（1）因為正方體，所以平面，
則為三棱錐的高，，，
則，
則正方體剩余部分的體積為.
（2）畫直線交，延長線分別為點，
再分別連接，分別交于點，
順次連接，五邊形即為交線圍成的多邊形，

易得，，則為等腰直角三角形，
則，根據(jù)∽，，
則，則，，
同理可得，，而，
則五邊形的周長為.
13．如圖，在直三棱柱中，，為的中點，點分別在棱上，，平面與平面的交線為．以為原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．求：

（1）點到平面的距離；
（2）交線的單位方向向量；
（3）點到交線為的距離．
【答案】（1）；（2）或；（3）.
【分析】（1）根據(jù)題中的空間直角坐標(biāo)系求得平面的法向量，從而可求的直線與平面所成角的正弦值，即可得出答案；
（2）交線的方向向量為，求出平面的法向量，則交線與平面和平面的法向量都垂直，從而可求的交線的一條方向向量，即可得出答案；
（3）設(shè)直線與交線l所成的角為，求出，根據(jù)即可得出答案.
【詳解】解：（1）由題意得：，
則，
設(shè)平面的一條法向量，
則，令，則，
所以，
則，
即直線與平面所成角的正弦值為，
所以點到平面的距離；
（2），
設(shè)平面的一條法向量，
則，可取，
設(shè)交線的方向向量為，
則，可取，
所以交線的單位方向向量，
所以或；
（3）設(shè)直線與交線l所成的角為，
則，所以，
所以點到交線為的距離．
14．如圖，是圓的直徑，點是圓上異于，的點，平面，，，，分別為，的中點，平面與平面的交線為，在圓上.
??
(1)在圖中作出交線（說明畫法，不必證明），并求三棱錐的體積；
(2)若點滿足，且與平面所成角的正弦值為，求的值.
【答案】(1)答案見解析，
(2)或

【分析】（1）由線線平行即可找到直線，由等體積法即可求解體積，
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角即可求解線面角，進而可求解.
【詳解】（1）過點作交圓于點，（ ，分別為，的中點，所以,又，所以,故為平面與平面的交線）
因為是圓的直徑，所以，，
所以，所以四邊形為矩形，
因為，，所以，
因為平面，為的中點，
所以點到平面的距離為，
所以
（2）以為坐標(biāo)原點，分別以，，的方向作為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
??
則，，，，，
所以，，，
，
設(shè)平面的法向量為，則
即，不妨取，得
因為與平面所成角的正弦值為，
所以
所以，所以或
15．（1）如圖，在正方體中，試畫出平面與平面的交線.
??
（2）如圖，在直角梯形ABCD中，，，S是直角梯形ABCD所在平面外一點，畫出平面SBC和平面SAD的交線.
??
【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析
【分析】先利用平面幾何的性質(zhì)作出兩平面的另一個公共點，進而得到兩平面的交線.
【詳解】（1）記，連接AO，
則AO即為平面與平面的交線，如圖：
??
（2）延長BC與AD延長線交于點O，連接SO，
則SO即為平面SBC和平面SAD的交線，如圖：
??
16．如圖，在棱長為2的正方體中，P、Q分別為棱和中點.
??
(1)請在圖中作出過A、P、Q三點的正方體
的截面（保留作圖痕跡，畫出交線，無需說明理由），并求交線所圍成的多邊形周長；
(2)求（1）中的截面與平面ABCD所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)作圖見解析，
(2)

【分析】（1）作出截面求周長即可.
（2）用幾何法找到二面角的平面角，在三角形中求解即可.
【詳解】（1）如圖，多邊形AMPQN即為所作截面.
??
因為P、Q分別為棱和中點，，
所以，即，
又，，所以，則，
在中，，
所以，
同理：，，
又在中，，
所以截面周長為.
（2）由正方體的性質(zhì)可知只需求截面與平面所成的銳二面角.
連接交PQ于E，連接AE，
因為在正方體中，面，面，
所以，
又易知，，所以，
又面，所以平面，
因為平面，所以，
又截面與平面的交線為，所以即為所求二面角的平面角，
易得，，
所以在中，，
所以，
即所求二面角的余弦值為.




提升題型訓(xùn)練

一、單選題
1．已知m，n為異面直線，平面，平面，，則l（????）
A．與m，n都相交 B．與m，n中至少一條相交
C．與m，n都不相交 D．與m，n中一條相交
2．已知異面直線a、b分別在平面內(nèi)，，那么c與a、b的關(guān)系為（????）
A．與a、b都相交 B．至少與a、b之一相交
C．至多與a、b之一相交 D．只能與a、b之一相交
3．把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比地推廣到空間，結(jié)論還正確的是（????）
A．如果一條直線與兩條平行線中的一條相交，則與另一條相交
B．如果一條直線與兩條平行線中的一條垂直，則與另一條垂直
C．如果兩條直線同時與第三條直線相交，則這兩條直線相交或平行
D．如果兩條直線同時與第三條直線垂直，則這兩條直線平行
4．如圖所示，P是正方體中棱上異于端點的一個內(nèi)點，連接并延長，則與直線（????）

A．相交 B．相交 C．相交 D．相交
5．已知m、n為不同的直線，為不同的平面．則下列命題中錯誤的是（????）
A．m，n是內(nèi)兩相交直線，則與相交的充要條件是m，n至少有一條與相交；
B．m，n為異面直線，過空間任一點P，一定能作一條直線l與m，n都垂直；
C．與l都不垂直，則m與n一定不垂直；
D．m，n為異面直線、過空間任一點P，一定能作一條直線l與m，n都相交．
6．若異面直線分別在平面，內(nèi)，且，則直線（????）
A．與直線都相交
B．至少與中的一條相交
C．至多與中的一條相交
D．與直線中的一條相交，與另一條平行
7．已知a，b為異面直線，aìα，bìβ，α∩β＝c，則直線c一定（????）
A．同時和直線a，b相交 B．至少與直線a，b中的一條相交
C．至多與直線a，b中的一條相交 D．與直線a，b中一條相交，一條平行
8．異面直線a，b，若，，且，則直線c與a，b的關(guān)系是（????）
A．c與a，b都相交 B．c與a，b都不相交
C．c至多與a，b中的一條相交 D．c至少與a，b中的一條相交
9．已知直線，分別在兩個不同的平面，內(nèi)，則下列結(jié)論成立的是（????）
A．若，則 B．若，則
C．若與相交，則與相交 D．若與相交，則與相交
10．已知正方體的棱長為為的中點，為所在平面上一動點，為所在平面上一動點，且平面，則下列命題正確的個數(shù)為（????）
（1）若與平面所成的角為，則動點所在的軌跡為圓；
（2）若三棱柱的側(cè)面積為定值，則動點所在的軌跡為橢圓；
（3）若與所成的角為，則動點所在的軌跡為雙曲線；
（4）若點到直線與直線的距離相等，則動點所在的軌跡為拋物線
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

二、多選題
11．a(chǎn)，b，c是空間中的三條直線，下列說法中正確的是（????）
A．若，則
B．若a與b相交，b與c相交則a與c也相交
C．若a，b分別在兩個相交平面內(nèi)，則這兩條直線可能平行、相交或異面
D．若a與c相交b與c異面，則a與b異面
12．，，c是空間中的三條直線，下列說法中錯誤的是（????）
A．若，，則
B．若與相交，與c相交，則與c也相交
C．若，分別在兩個相交平面內(nèi)，則這兩條直線可能平行、相交或異面
D．若與c相交，與c異面，則與異面
13．（多選）若直線和是異面直線，平面，平面，，那么下列說法中不正確的有（????）
A．l至少與和中的一條相交 B．l與和都相交
C．l至多與和中的一條相交 D．l與和都不相交
14．若直線a，b是異面直線，點O是空間中不在直線a，b上的任意一點，則（????）
A．不存在過點O且與直線a，b都相交的直線
B．過點O一定可以作一條直線與直線a，b都相交
C．過點O可以作無數(shù)多條直線與直線a，b都相交
D．過點O至多可以作一條直線與直線a，b都相交

三、填空題
15．已知a、b、c是空間中的三條直線，下列說法中錯誤的是______．（寫出所有滿足條件的說法序號）
①若，，則；
②若a與b相交，b與c相交，則a與c也相交；
③若a、b分別在兩個相交平面上，則這兩條直線可能平行、相交或異面；
④若a與c相交，b與c異面，則a與b異面．
16．如圖，已知正方體的棱長為1，則下列結(jié)論中正確的序號是______．（填所有正確結(jié)論的序號）

①若E是直線AC上的動點，則平面；
②若E是直線上的動點，F(xiàn)是直線BD上的動點，則；
③若E是內(nèi)（包括邊界）的動點，則直線與平面ABC所成角的正切值的取值范圍是；
④若E是平面內(nèi)的動點，則三棱錐的體積為定值



相關(guān)試卷

備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)好題精練第七章立體幾何與空間向量突破2空間幾何體的截面交線問題命題點3截面的交線問題：

這是一份備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)好題精練第七章立體幾何與空間向量突破2空間幾何體的截面交線問題命題點3截面的交線問題，共2頁。

2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)8.9 幾何體的截面（交線）及動態(tài)問題(解析版)：

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)8.9 幾何體的截面（交線）及動態(tài)問題(解析版)，共45頁。試卷主要包含了截面定義，下列命題中，正確的是，如圖所示，正方體的棱長為a等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)8.9 幾何體的截面（交線）及動態(tài)問題（原卷版）：

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)8.9 幾何體的截面（交線）及動態(tài)問題（原卷版），共21頁。試卷主要包含了截面定義，下列命題中，正確的是，如圖所示，正方體的棱長為a等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2024高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：8.9 幾何體的截面（交線）及動態(tài)問題（原卷版）

2024高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：8.9 幾何體的截面（交線）及動態(tài)問題（原卷版）
2024高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：8.9 幾何體的截面（交線）及動態(tài)問題(解析版)

2024高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：8.9 幾何體的截面（交線）及動態(tài)問題(解析版)
高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項分層特訓(xùn)微專題14空間幾何體的展開圖、截面、交線、軌跡問題含答案

高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項分層特訓(xùn)微專題14空間幾何體的展開圖、截面、交線、軌跡問題含答案
2023高考數(shù)學(xué)二輪專題 微專題18 幾何體的截面或交線

2023高考數(shù)學(xué)二輪專題 微專題18 幾何體的截面或交線
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部