2023-2024學年浙江省臺州市椒江區(qū)書生中學八年級（上）第一次段考數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.下列常見的微信表情包中，屬于軸對稱圖形的是(    )A.  B.  C.  D. 2.下列各組圖形中，表示是中邊的高的圖形為(    )A.  B.  C.  D. 3.將一副三角板按如圖所示方式擺放，使有刻度的邊互相垂直，則(    )A.
B.
C.
D.
 4.如圖，是尺規(guī)作圖中“畫一個角等于已知角”的示意圖，該作法運用了“全等三角形的對應角相等”這一性質，則判定圖中兩三角形全等的條件是(    )
A.  B.  C.  D. 5.如圖，點、點在上，，，添加一個條件，不能證明≌的是(    )A.
B.
C.
D. 6.如圖，已知等腰三角形，若以點為圓心，長為半徑畫弧，交腰于點，則下列結論一定正確的是(    )

 A.  B.
C.  D. 7.圖中表示被撕掉一塊的正邊形紙片，若，則的值是(    )A.
B.
C.
D. 8.如圖，在中，、分別是線段、的垂直平分線，若，則的度數(shù)是(    )
A.  B.  C.  D. 9.如圖，已知是的角平分線，過點作于點，的面積為，，：：，則的長為(    )
 A.  B.  C.  D. 10.如圖，在四邊形中，平分，，，，則面積的最大值為(    )A.
B.
C.
D. 二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）11.平面直角坐標系中，點與點______ 關于軸對稱．12.如圖，≌，，，則 ______ ．
 13.如圖所示，______．
 14.如圖，已知為的中線，，，的周長為，則的周長為__．
 15.如圖，，，，、、三點在同一條直線上且，，則 ______ ．
 16.已知等邊的邊長是，，，若點在線段上運動，則的最小值是______ ．
 三、解答題（本大題共8小題，共66.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.本小題分
如圖，是的中點，，求證：．
18.本小題分

如圖，已知和是兩條公路，，是兩個村莊，建立一個車站，使車站到兩個村莊距離相等，即，且到，兩條公路的距離相等．請用尺規(guī)作圖法作出點的位置．保留作圖痕跡，不寫作法
19.本小題分
如圖，在中，，過點作，垂足為，延長至點使在邊上截取，連接求證：．
20.本小題分

如圖，在長度為個單位長度的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，點、、在小正方形的頂點上．
在圖中畫出與關于直線成軸對稱的．
的面積為______．
在直線上找一點在答題紙上圖中標出，使的長最短．
21.本小題分

如圖，已知，，，與交于點．
求證：≌；
若，求的度數(shù)．
22.本小題分
如圖，在五邊形中，平分，平分．
五邊形的內(nèi)角和為______度；
若，，，求的度數(shù)．
23.本小題分
如圖，的外角的平分線交邊的垂直平分線于點，于，于．
求證：；
若，，求的長．

 24.本小題分
如圖，在中，，，，平分，交邊于點，點是邊的中點點為邊上的一個動點．
______ ， ______ ；
若是等腰三角形，求的度數(shù)；
若點在線段上，連接、，則的值最小時的長度 ______ ．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，、、選項中的圖形都不是軸對稱圖形．
故選：．
根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2.【答案】 【解析】解：的高是過頂點與垂直的線段，只有選項符合．
故選：．
根據(jù)高的定義：”過三角形的頂點向對邊作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線“解答．
本題考查了三角形的高線，屬于基礎題，熟記概念是解題的關鍵．3.【答案】 【解析】解：如圖，由題意可知，，，

兩個三角板中有刻度的邊互相垂直，
，
，
故選：．
如圖見解析，先根據(jù)三角板可得，，再根據(jù)角的和差可得，然后根據(jù)三角形的外角性質即可得．
本題考查了三角板中的角度計算、三角形的外角性質，熟練掌握三角形的外角性質是解題關鍵．4.【答案】 【解析】【分析】
本題考查作圖尺規(guī)作圖，全等三角形的判定等知識，解題的關鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學知識解決問題．
如圖，由作圖可知，，根據(jù)證明≌．
【解答】
解：如圖，由作圖可知，，．

在和中，
，
≌，
故選：．5.【答案】 【解析】解：，
，
即，
當時，利用可得≌，故A不符合題意；
當時，利用可得≌，故B不符合題意；
當時，利用可得≌，故C不符合題意；
當時，無法證明≌，故D符合題意；
故選：．
根據(jù)求出，再根據(jù)全等三角形的判定定理進行分析即可．
本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關鍵，全等三角形的判定定理有，，，，兩直角三角形全等還有等．6.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查了等腰三角形的性質，當?shù)妊切蔚牡捉菍嗟葧r其頂角也相等，難度不大．
首先利用等腰三角形的性質證得，然后根據(jù)題意得，即是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質證得，易證得，即可求解．
【解答】
解：，
，
以點為圓心，長為半徑畫弧，交腰于點，
，
，
，
．
故選：．7.【答案】 【解析】解：如圖，延長，交于點，

，
，
正多邊形的一個外角為，
．
故選：．
延長、交于點，根據(jù)得到，于是可以得到正多邊形的一個外角為，進而可得正多邊形的邊數(shù)．
本題主要考查多邊形的內(nèi)角和外角和，掌握相關定義是解題的關鍵．8.【答案】 【解析】解：，
，
、分別是線段、的垂直平分線，
，，
，，
，
，
，
故選：．
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質得出，，求出，，再求出，再求出答案即可．
本題考查了等腰三角形的性質，三角形內(nèi)角和定理，線段的垂直平分線的性質等知識點，能根據(jù)線段垂直平分線性質得出和是解此題的關鍵，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，等邊對等角，三角形內(nèi)角和等于．9.【答案】 【解析】解：如圖，過點作于點，

是的平分線，
．
的面積為，：：，
的面積為，的面積為，
，
，
．
故選：．
過點作于點，再根據(jù)角平分線的性質和等高三角形的面積比等于底的比即可解得．
本題考查角平分線的性質，解題的關鍵是熟練掌握角平分線的性質．10.【答案】 【解析】解：分別延長與交于點，作交延長線于點，
平分，，
，三線合一，
，
，
，
，
當點、重合時，最大，最大值為，
，
故選：．
分別延長與交于點，作交延長線于點，求面積最大值轉化成求線段的最大值即可．
本題考查了等腰三角形的性質，三線合一是解本題的關鍵．11.【答案】 【解析】解：平面直角坐標系中，點與點關于軸對稱．
故答案為：．
根據(jù)關于軸對稱的點性質，橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相等即可解答．
根據(jù)關于軸對稱的點性質，橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相等即可解答．12.【答案】 【解析】解：≌，，，
，，
，
故答案為：．
根據(jù)全等三角形的性質得出，，代入求出即可．
本題考查了全等三角形的性質的應用，注意：全等三角形的對應邊相等．13.【答案】 【解析】解：如圖，

，，，
．
故答案為：．
根據(jù)三角形外角性質得到，，根據(jù)四邊形內(nèi)角和即可得解．
此題考查了多邊形的內(nèi)角、三角形外角性質，熟記三角形外角性質及四邊形的內(nèi)角和是解題的關鍵．14.【答案】 【解析】解：是邊上的中線，
，
和周長的差，
的周長為，比長，
周長為：．
故答案為．
根據(jù)三角形中線的定義可得，再表示出和的周長的差就是、的差，然后計算即可．
本題主要考查了三角形的中線的定義，把三角形的周長的差轉化為已知兩邊、的長度的差是解題的關鍵．15.【答案】 【解析】解：，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，，
，
故答案為．
先證明≌，得出，再由外角得出，從而得出答案．
本題考查了全等三角形的判定和性質，判斷三角形全等的方法：，，，，還有．16.【答案】 【解析】解：如圖，

作于點，交于點，
是等邊三角形，，
，
，
是等邊三角形，，
，
，
，
當時，
的值最小，
故答案為：．
可以作于點，交于點，根據(jù)是等邊三角形，，得，所以，利用勾股定理求出的長，當時，的值最小，由此得到答案．
本題考查了等邊三角形的性質，勾股定理，直角三角形度角所對的直角邊等于斜邊的一半，解決本題的關鍵是找到動點的位置．17.【答案】證明：是的中點，
，
，
，
在和中，
，
≌，
． 【解析】先證出，再由平行線證出同位角相等，然后由證明≌，得出對應角相等即可．
本題考查了全等三角形的判定與性質、平行線的性質；熟練掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等是解決問題的關鍵．18.【答案】解：如圖，點即為所求．
 【解析】連接，作線段的垂直平分線，作平分，直線交于點，點即為所求．
本題考查作圖應用與設計作圖，角平分線的性質，線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是掌握角平分線的性質，線段的垂直平分線的性質，屬于中考?？碱}型．19.【答案】證明：在中，，，
．
．
．
，
．
在和中，
，
≌．
． 【解析】利用三角形內(nèi)角和定理得的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的判定與性質可得結論．
此題考查的是全等三角形的判定與性質，掌握其性質定理是解決此題的關鍵．20.【答案】解：如圖所示，即為所求；

；
連接，交于，點即為所求． 【解析】【分析】
首先確定、、三點關于軸的對稱點位置，再連接即可；
利用矩形面積減去周圍多余三角形的面積即可；
連接，于直線的交點就是點位置．
此題主要考查了作圖--軸對稱變換，關鍵是正確確定組成圖形的關鍵點關于對稱軸的對稱點位置．
【解答】
解：見答案；
，
故答案為；
見答案．21.【答案】證明：，
，即，
在和中，
，
≌；
解：，，
，
由知≌，
．
，
． 【解析】根據(jù)證明兩個三角形全等；
根據(jù)三角形全等的性質和三角形外角的性質可得結論．
本題考查了全等三角形的性質和判定，尤其是掌握直角三角形特殊的全等判定：，在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．22.【答案】解：；
在五邊形中，，，，，
，
平分，平分，
，，
，
． 【解析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角，能熟記多邊形的內(nèi)角和定理是解此題的關鍵．
根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式求出即可；
求出，根據(jù)角平分線定義求出，即可求出答案．23.【答案】證明：連接、，

點在的垂直平分線上，
，
是的平分線，且于，于．
，
在和中，

≌，
；
解：在和中，

≌，
，
，，
，
即，
解得． 【解析】本題考查了角平分線上的點到角兩邊的距離相等的性質，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質，全等三角形的判定與性質，熟記性質并作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．
連接、，根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得，然后利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等證明即可；
利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得，再根據(jù)、的長度表示出、，然后解方程即可．24.【答案】     【解析】解：，，
，
，
點是邊的中點，
，
平分，
；
故答案為：，．
平分，
，
當時，
，
；
當時，
；
當時，
；
綜上，的度數(shù)為或或．
如圖，點在上，且，作點關于的對稱點，

，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
當點、、三點共線時，的值最小，
又根據(jù)垂線段最短，
當時，有最小值，
，
，，
，
，
．
故答案為：．
根據(jù)題意可得，則，即可求出的長，再根據(jù)角平分線的性質即可求出的度數(shù)．
根據(jù)題意可得，分三種情況：當時；當時；當時．再依次根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．
過點作，作點關于的對稱點，根據(jù)題意可得，，，根據(jù)可證明≌，則，，因此，以此得出當點、、三點共線時，的值最小，此時，最后根據(jù)解含度角的直角三角形即可得到結果．
本題主要考查軸對稱最短路線問題、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、含度角的直角三角形、角平分線的性質，本題綜合性較強，作出輔助線，得出當點、、三點共線時，的值最小是解題關鍵．

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