第二十講 計(jì)數(shù)綜合提高下  一、上樓梯模型找尋每種情況與前面若干種情況之間的關(guān)系二、幾何圖形分平面——增量分析考慮每次增加一個(gè)圖形時(shí)，所增加的平面數(shù)，在分析問題時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：交點(diǎn)越多越好；交點(diǎn)多決定段數(shù)多（兩種情況，即封閉圖形和不封閉圖形）；有幾段則增加幾部分（有直線要先畫直線）．三、傳球法傳球法是樹形圖的簡化版本；傳球規(guī)則決定累加規(guī)則； （1）首先從傳球者角度考慮傳球方法；（2）其次從接球者角度考慮如何累加；可以使用傳球法的題型；（1）對(duì)相鄰數(shù)位上的數(shù)字大小有要求的計(jì)數(shù)問題；（2）環(huán)形染色問題．四、插板法
用于求解“把m個(gè)相同的球放到n個(gè)不同的盒子中”這類問題．a)         注意：球必須是相同的，盒子必須是不同的．b)        如果要求每個(gè)盒子至少一個(gè)球，那么方法數(shù)為（把個(gè)板插到個(gè)空隙中）．c)         如果要求每個(gè)盒子可以為空，那么方法數(shù)為（先借n個(gè)球，然后按照每個(gè)盒子至少1個(gè)去放，最后再從每個(gè)盒子中拿出1個(gè)還回去）．d)        對(duì)其它情況，如：每個(gè)盒子至少2個(gè)，或者某些盒子可以沒有，某些盒子至少2個(gè)等，則需要做相應(yīng)調(diào)整后才可應(yīng)用上述結(jié)果．五、對(duì)應(yīng)法解計(jì)數(shù)問題關(guān)鍵在于看出問題的本質(zhì)，根據(jù)問題本質(zhì)找到合適的方法，進(jìn)行解題．六、對(duì)于可以旋轉(zhuǎn)或者可以翻轉(zhuǎn)的題目，解題時(shí)要注意區(qū)分是否是不同情形．
這種題目通常要先固定一個(gè)部分，使之不能旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)，如果固定一個(gè)不夠，則還需要再固定一個(gè)．例1． 滿足下面性質(zhì)的三位數(shù)稱為“紅數(shù)”：它的個(gè)位比十位大，十位比百位大，并且任意相鄰兩位數(shù)字的差都不超過3．例如246、367是“紅數(shù)”，但278就不是“紅數(shù)”．請(qǐng)問：一共有多少個(gè)“紅數(shù)”？
「分析」大家還記得“傳球法”嗎？
 練習(xí)1、滿足以下條件的四位數(shù)稱為“N數(shù)”：它的個(gè)位比十位大，十位比百位小，百位比千位大，并且任意相鄰兩位數(shù)字差不超過2，例如3524是“N數(shù)”，但1234不是“N數(shù)”．一共有多少個(gè)“N數(shù)”？
 例2． （1）在一個(gè)平面上畫出6個(gè)正方形，最多可以把平面分成幾個(gè)部分？122
（2）在一個(gè)平面上畫出3個(gè)三角形、2個(gè)圓、1條直線，最多可以把平面分成幾個(gè)部分？
「分析」本題可以采用遞推計(jì)數(shù)法．

練習(xí)2、在一個(gè)平面上畫1條直線，2個(gè)三角形和3個(gè)長方形，那么最多可把這個(gè)平面分成多少部分？

 例3． 一個(gè)長方形被分成7部分，現(xiàn)在將每一部分染上紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色之一，要求相鄰兩部分的顏色不同，共有多少種染色方法？
「分析」這道題目是否可以轉(zhuǎn)化為一道環(huán)形染色問題呢？

練習(xí)3、將如圖的8部分用3種不同的顏色著色，且相鄰的部分不能使用同一種顏色，不相鄰部分可以同色，那么共有多少種著色方法？



 例4． 0、1、6、8、9顛倒過來后分別為0、1、9、8、6，而2、3、4、5、7顛倒過來后不是一個(gè)數(shù)字，如果一個(gè)自然數(shù)顛倒過來看等于它本身，則稱其為“混沌數(shù)”，如69、101、8118等，那么六位數(shù)中有多少個(gè)“混沌數(shù)”？
「分析」大家先判斷哪些數(shù)字可以出現(xiàn)在“混沌數(shù)”中．


練習(xí)4、如果一個(gè)自然數(shù)反過來寫等于它本身，則稱其為“回文數(shù)”，如12321、22、232等都是“回文數(shù)”，那么六位數(shù)中有多少個(gè)“回文數(shù)”？
   
 例5． 把一條均勻木棍五等分，然后用5種顏色給這5部分染色，要求相鄰的部分不能同色，那么一共有多少種不同的染法？（旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)后相同算同一種）
「分析」大家可以先不考慮旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)的情況算出染法數(shù)，再減去反轉(zhuǎn)后相同的染色情況．
 例6． 給一個(gè)正四面體的4個(gè)面染色，每個(gè)面只允許用一種顏色，且4個(gè)面的顏色互不相同．現(xiàn)有5種顏色可選，共有多少種不同的染色方式？（旋轉(zhuǎn)后相同算同一種）
「分析」大家可以采用固定一個(gè)面開始染色的方法進(jìn)行分析．

 
解析幾何之父——笛卡爾勒內(nèi)·笛卡爾（Rene Descartes，1596——1650），著名的法國哲學(xué)家、科學(xué)家和數(shù)學(xué)家．笛卡爾常作笛卡兒，1596年3月31日生于法國安德爾-盧瓦爾省，1650年2月11日逝于瑞典斯德哥爾摩）． 他對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了重要的貢獻(xiàn)，因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何之父．他還是西方現(xiàn)代哲學(xué)思想的奠基人，是近代唯物論的開拓者提出了“普遍懷疑”的主張．他的哲學(xué)思想深深影響了之后的幾代歐洲人，開拓了所謂“歐陸理性主義”哲學(xué)．物理學(xué)方面笛卡爾靠著天才的直覺和嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理，在物理學(xué)方面做出了有益的貢獻(xiàn)．自從1619年讀了開普勒的光學(xué)著作后，笛卡兒就一直關(guān)注著透鏡理論；并從理論和實(shí)踐兩方面參與了對(duì)光的本質(zhì)、反射與折射率以及磨制透鏡的研究．他把光的理論視為整個(gè)知識(shí)體系中最重要的部分． 笛卡爾運(yùn)用他的坐標(biāo)幾何學(xué)從事光學(xué)研究，在《屈光學(xué)》中第一次對(duì)折射定律提出了理論上的推證．笛卡爾發(fā)現(xiàn)了動(dòng)量守恒原理．他還發(fā)展了宇宙演化論、漩渦說等理論學(xué)說，雖然具體理論有許多缺陷，但依然對(duì)以后的自然科學(xué)家產(chǎn)生了影響． 他認(rèn)為光是壓力在以太中的傳播，他從光的發(fā)射論的觀點(diǎn)出發(fā)，用網(wǎng)球打在布面上的模型來計(jì)算光在兩種媒質(zhì)分界面上的反射、折射和全反射，從而首次在假定平行于界面的速度分量不變的條件下導(dǎo)出折射定律．不過他的假定條件是錯(cuò)誤的，他的推證得出了光由光疏媒質(zhì)進(jìn)入光密媒質(zhì)時(shí)速度增大的錯(cuò)誤結(jié)論．他還對(duì)人眼進(jìn)行光學(xué)分析，解釋了視力失常的原因是晶狀體變形，設(shè)計(jì)了矯正視力的透鏡．在力學(xué)上，笛卡爾發(fā)展了伽利略的運(yùn)動(dòng)相對(duì)性的思想，例如在《哲學(xué)原理》一書中，舉出在航行中的海船上海員懷表的表輪這一類生動(dòng)的例子，用以說明運(yùn)動(dòng)與靜止需要選擇參照物的道理． 笛卡爾在《哲學(xué)原理》第二章中以第一和第二自然定律的形式比較完整地第一次表述了慣性定律：只要物體開始運(yùn)動(dòng)，就將繼續(xù)以同一速度并沿著同一直線方向運(yùn)動(dòng)，直到遇到某種外來原因造成的阻礙或偏離為止．這里他強(qiáng)調(diào)了伽利略沒有明確表述的慣性運(yùn)動(dòng)的直線性．在這一章中，他還第一次明確地提出了動(dòng)量守恒定律：物質(zhì)和運(yùn)動(dòng)的總量永遠(yuǎn)保持不變．笛卡兒對(duì)碰撞和離心力等問題曾作過初步研究，給后來惠更斯的成功創(chuàng)造了條件． 天文學(xué)方面笛卡爾把他的機(jī)械論觀點(diǎn)應(yīng)用到天體，發(fā)展了宇宙演化論，形成了他關(guān)于宇宙發(fā)生與構(gòu)造的學(xué)說．他認(rèn)為，從發(fā)展的觀點(diǎn)來看而不只是從已有的形態(tài)來觀察，對(duì)事物更易于理解．他創(chuàng)立了漩渦說．他認(rèn)為太陽的周圍有巨大的漩渦，帶動(dòng)著行星不斷運(yùn)轉(zhuǎn)．物質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)處于統(tǒng)一的漩渦之中，在運(yùn)動(dòng)中分化出土、空氣和火三種元素，土形成行星，火則形成太陽和恒星．他認(rèn)為天體的運(yùn)動(dòng)來源于慣性和某種宇宙物質(zhì)漩渦對(duì)天體的壓力，在各種大小不同的漩渦的中心必有某一天體，以這種假說來解釋天體間的相互作用． 笛卡爾的太陽起源的以太漩渦模型第一次依靠力學(xué)而不是神學(xué)，解釋了天體、太陽、行星、衛(wèi)星、彗星等的形成過程，比康德的星云說早一個(gè)世紀(jì)，是17世紀(jì)中最有權(quán)威的宇宙論．  數(shù)學(xué)方面笛卡爾最杰出的成就是在數(shù)學(xué)發(fā)展上創(chuàng)立了解析幾何學(xué)．在笛卡兒時(shí)代，代數(shù)還是一個(gè)比較新的學(xué)科，幾何學(xué)的思維還在數(shù)學(xué)家的頭腦中占有統(tǒng)治地位．笛卡爾致力于代數(shù)和幾何聯(lián)系起來的研究，于1637年，在創(chuàng)立了坐標(biāo)系后，成功地創(chuàng)立了解析幾何學(xué)．他的這一成就為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)．解析幾何直到現(xiàn)在仍是重要的數(shù)學(xué)方法之一．此外，現(xiàn)在使用的許多數(shù)學(xué)符號(hào)都是笛卡爾最先使用的，這包括了已知數(shù)a、 b、 c以及未知數(shù)x、 y、 z等，還有指數(shù)的表示方法．他還發(fā)現(xiàn)了凸多面體邊、頂點(diǎn)、面之間的關(guān)系，后人稱為歐拉-笛卡爾公式．還有微積分中常見的笛卡爾葉形線也是他發(fā)現(xiàn)的．笛卡爾心形線：r=a(1－sinθ) 用的就是直角坐標(biāo)圖（注：實(shí)際上是極坐標(biāo)系） 當(dāng)θ=0°時(shí)，r=a(1－0)=a …… A點(diǎn) 當(dāng)θ=90°時(shí)，r=a(1－1)=0 …… B點(diǎn) 當(dāng)θ=180°時(shí)，r=a(1－0)=a …… C點(diǎn) 當(dāng)θ=270°時(shí)，r=a(1+1)=2a …… D點(diǎn) 把A、B、C、D四點(diǎn)用弧線連接起來，就是有名的心形線！  個(gè)人名言：讀杰出的書籍，有如和過去最杰出的人物促膝交談．讀一切好書，就是和許多高尚的人談話．僅僅具備出色的智力是不夠的，主要的問題是如何出色地使用它．世界之大，而能獲得最公平分配的是常識(shí)．我思故我在．要以探求真理為畢生的事業(yè)．意志、悟性、想象力以及感覺上的一切作用，全由思維而來．越學(xué)習(xí)，越發(fā)現(xiàn)自己的無知．一個(gè)為情感所支配，行為便沒有自主之權(quán)，而受命運(yùn)的宰割． 
作業(yè)8個(gè)人圍成一圈做游戲，共有多少種不同的方法？

 滿足下面性質(zhì)的三位數(shù)稱為“黑數(shù)”：它的個(gè)位比十位小，十位比百位小，并且任意相鄰兩位數(shù)字的差都不超過3．例如642、520是“黑數(shù)”，但872就不是“黑數(shù)”．一共有多少個(gè)“黑數(shù)”？53

 一個(gè)五位數(shù)只由1、2、3、4組成，它的每相鄰兩位數(shù)字的差都是1，這樣的五位數(shù)有多少個(gè)？26

 如果在一個(gè)平面上畫出4個(gè)凸五邊形，最多可以把平面分成多少個(gè)部分？

 給一個(gè)正四面體的4個(gè)面染色，每個(gè)面只允許用一種顏色，且4個(gè)面的顏色互不相同．現(xiàn)有8種顏色可選，共有多少種不同的染色方式？（旋轉(zhuǎn)后相同算同一種）

 

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