第十九講 計(jì)數(shù)綜合提高上   一、 枚舉法．
1、簡(jiǎn)單枚舉．
2、分類枚舉．
3、特殊的枚舉：標(biāo)數(shù)法、樹形圖．
 二、 加法原理——分類如果完成一件事有幾類方式，在每一類方式中又有不同的方法，那么把每類的方法數(shù)相加就得到所有的方法數(shù)．加法原理的類與類之間會(huì)滿足下列要求：
(1)只能選擇其中的某一類，而不能幾類同時(shí)選；
(2)類與類之間可以相互替代，只需要選擇某一類就可以滿足要求．
 三、 乘法原理——分步如果完成一件事分為幾個(gè)步驟，在每一個(gè)步驟中又有不同的方法，那么把每步的方法數(shù)相乘就得到所有的方法數(shù)．乘法原理的步與步之間滿足下列要求：
(1)每步都只是整件事情的一個(gè)部分，必須全部完成才能滿足結(jié)論；
(2)步驟之前有先后的順序，先確定好一步，再做下一步，……，直到最后．
 四、 排列：從m個(gè)不同的元素中取出n個(gè)（），并按照一定的順序排成一列，其方法數(shù)叫做從m個(gè)不同元素中取出n個(gè)的排列數(shù)，記作，它的計(jì)算方法如下：五、 組合：從m個(gè)不同元素中取出n個(gè)（）作為一組（不計(jì)順序），可選擇的方法數(shù)叫做從m個(gè)不同元素中取出n個(gè)不同的組合數(shù)，記作，它的計(jì)算方法如下：
注意：幾個(gè)常用公式：；；；．
 六、 一些好用的計(jì)數(shù)技巧和方法：捆綁法：對(duì)于要求必須站在一起的人，可以采用事先捆綁的方法來(lái)處理．插空法：對(duì)于不能相鄰的情況，先把其他人先排好，再把不能相鄰的人插入其他人之間的空隙中．有重復(fù)數(shù)字的數(shù)字排列問題，可以用“數(shù)字挑位置”的方法解決．數(shù)字0不能作為多位數(shù)的首位，在計(jì)數(shù)時(shí)需要特別注意．對(duì)挑出的對(duì)象有特殊要求的計(jì)數(shù)問題，一般來(lái)說(shuō)要優(yōu)先考慮有特殊要求的對(duì)象或位置，盡可能地讓余下的對(duì)象或位置的確定變得簡(jiǎn)單．當(dāng)滿足要求的情況很多時(shí)，可以嘗試用排除法計(jì)算不滿足要求的情況，再?gòu)乃锌赡艿那闆r中排除不滿足要求的，也能得到問題的答案．
 例1． 某人射擊8槍，命中4槍，命中的4槍中恰好有3槍連在一起的情況有多少種？
「分析」首先仔細(xì)思考一下命中的4槍之間是否有順序區(qū)別？然后確定其中3槍連在一起的位置選擇有多少種情況？
 練習(xí)1、在由1和2組成的六位數(shù)中（例如112111、111111等），恰好有3個(gè)1連在一起的六位數(shù)有多少個(gè)？
 例2． 一種電子表在6時(shí)24分30秒的顯示為6:24:30，那么從6時(shí)到7時(shí)這段時(shí)間里，此表的5個(gè)數(shù)字都不相同的時(shí)刻一共有多少個(gè)？
「分析」分鐘的十位和秒鐘的十位可能性比較少，所以，應(yīng)優(yōu)先確定．

練習(xí)2、現(xiàn)在我們規(guī)定一種記日期的方式，把“2012年05月12日”寫作“120512”，即只需寫出后面六位數(shù)，那么在2013年有多少天按這種計(jì)數(shù)方式寫出的六位數(shù)六個(gè)數(shù)字互不相同？
 例3． 納達(dá)爾和費(fèi)德勒進(jìn)行網(wǎng)球比賽，誰(shuí)先得6分就贏得此局，最后費(fèi)德勒在第一局6:4獲勝，已知在過程中費(fèi)德勒從未落后過，那么比賽過程一共有多少種不同的可能？
「分析」大家還記得最短路線問題中曾經(jīng)學(xué)習(xí)過的標(biāo)數(shù)法嗎？

練習(xí)3、皇馬和巴薩兩隊(duì)進(jìn)行足球比賽，最后皇馬5:3獲勝，已知在過程中皇馬從未落后過，那么進(jìn)球過程一共有多少種不同的可能？
 例4． 小王左口袋里有10張黑卡片，分別寫著1到10，右口袋里有10張紅卡片，也分別寫著1到10．他從兩個(gè)口袋里各取出一張卡片，然后計(jì)算兩張卡片上數(shù)的乘積，如果乘積恰好是6的倍數(shù)，那么共有多少種不同的取法？
「分析」兩個(gè)數(shù)的乘積是6的倍數(shù)這兩個(gè)數(shù)需要符合什么要求？

練習(xí)4、小高有12個(gè)黑球，分別寫著1到12，還有10個(gè)紅球，分別寫著1到10．他從兩個(gè)種球里各取出一個(gè)，然后計(jì)算兩球上數(shù)的乘積，如果乘積恰好是10的倍數(shù)，那么共有多少種不同的取法？
（注：此題中6不能倒過來(lái)當(dāng)9用，9也不能倒過來(lái)當(dāng)6用）
 例5． NBA總決賽在洛杉磯湖人和波士頓凱爾特人隊(duì)之間進(jìn)行，比賽采用7局4勝制，比賽分為主場(chǎng)和客場(chǎng)，第1，第2，第6，第7場(chǎng)均在洛杉磯進(jìn)行，第3~5場(chǎng)在波士頓進(jìn)行．最終湖人隊(duì)在自己的主場(chǎng)獲得總冠軍，那么比賽中的勝負(fù)結(jié)果有多少種可能？
「分析」由7局4勝制及主場(chǎng)獲勝兩個(gè)要求你可得出什么？通過分析尋找一下解決這道題目的突破口．

 例6． 各位數(shù)字均不大于5，且能被99整除的六位數(shù)共有多少個(gè)？
「分析」99的整除特性是什么，在這道題目中任何應(yīng)用？

年齡“外號(hào)”知多少總角：指童年．語(yǔ)出《詩(shī)經(jīng)》，如《詩(shī)?衛(wèi)風(fēng)?氓》“總角之宴”．垂髫：指童年． 古時(shí)童子未冠，頭發(fā)下垂，因而以”垂髫”代指童年．束發(fā)：指青少年．
 一般指15歲左右，這時(shí)應(yīng)該學(xué)會(huì)各種技藝．及笄：指女子15歲． 語(yǔ)出《禮記?內(nèi)則》“女子……十有五年而笄”．“笄”，謂結(jié)發(fā)而用笄貫之，表示已到出嫁的年歲． 待年：指女子成年待嫁，又稱“待字”． 弱冠：指男子20歲． 語(yǔ)出《禮記?曲禮上》“二十曰弱，冠”．古代男子20歲行冠禮，表示已經(jīng)成年． 而立：指30歲． 語(yǔ)出《論語(yǔ)?為政》“三十而立”．以后稱三十歲為“而立”之年．不惑：指40歲． 語(yǔ)出《論語(yǔ)?為政》“四十而不惑”．以后用“不惑”作40歲的代稱．艾： 指50歲．語(yǔ)出《禮記?曲禮上》“五十曰艾”．老年頭發(fā)蒼白如艾．花甲：指60歲．
作業(yè)8個(gè)同學(xué)排成一排照相，其中4個(gè)人要站在一起，共有多少種站法？


 甲、乙隊(duì)之間進(jìn)行籃球比賽，比賽采用7局4勝制，等比到第6場(chǎng)就分出了勝負(fù)，甲贏得了比賽，那么有多少種可能？


 甲、乙、丙、丁四人各有一個(gè)作業(yè)本混放在一起，4個(gè)人看也不看就隨便各拿了1本，那么至少有一人拿錯(cuò)有多少種可能？


 小明左口袋里有8張紅卡片，上面寫著1到8，右口袋里有8張黑卡片，上面也寫著1到8，如果從兩個(gè)口袋里各取出一張卡片，然后計(jì)算得到卡片上兩數(shù)的乘積，那么能被6整除的乘積共有多少個(gè)？（6不能倒過來(lái)當(dāng)9用）


 各位數(shù)字均不大于4，且能被99整除的六位數(shù)共有多少個(gè)？100

 

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