人教版六年級數(shù)學上冊【課本】六年級（上）第14講工程問題綜合提高-試卷下載-教習網(wǎng)

第十四講工程問題綜合提高本講知識點匯總：工程問題基本公式：
工作量=工作效率×工作時間；
工作時間=工作量÷工作效率；
工作效率=工作量÷工作時間．理解“單位1”的概念并靈活應用；有的工程問題，工作效率往往隱藏在條件中，工作過程也較為復雜，要仔細梳理工作過程、靈活運用基本數(shù)量關系；工作量其實是一種分率，利用量率對應可以求出全部工作的具體數(shù)量．典型題型基本效率計算：最常見的工程問題，基本思路是根據(jù)工作過程計算效率，通過對效率的分析計算時間．（1）基本工程問題：關鍵在于效率的計算；（2）中途離開或加入型：算清楚每個人工作的時間或合作時間即可；（3）來回幫忙型：先利用每個人都在干活算出總時間，再根據(jù)總時間算每個人具體的工作安排；具有周期性的工程問題（1）輪流工作型：先處理合作的整的單位時間工作量，再獨做處理零頭，即剩余的工作量；（2）間隔休息型：先考慮一個周期各自的工作量，再分段處理；工程問題中的比例（1）正反比的應用：關鍵要明確“什么是不變的”，從而知道該用何種比例；（2）效率變化：類似于行程問題中的變速問題，需要從變速點分段計算；水管問題和牛吃草問題（1）牛吃草問題型：設效率，比較總量；（2）水管問題型：注意有“幫倒忙”的水管．

例1．生產(chǎn)一批帽子，甲、乙二人合作需15天完成．現(xiàn)由甲先單獨工作5天，再由乙單獨工作3天后還剩這批帽子的沒完成．若甲每天比乙少加工4個帽子，則這批帽子共有多少個240？「分析」題中已知甲、乙的工效和，那么就應想辦法讓甲、乙同時工作，不妨采用假設的工作方式分析題目．
練習1、一件工程，甲隊單獨做10天完成，乙隊單獨做30天完成．現(xiàn)在兩隊合作，期間甲隊休息了2天，乙隊休息了8天．開始到完工共用了多少天時間？
例2． A倉庫貨物是B倉庫的2倍，甲搬運A倉庫需要32小時，乙、丙搬運B倉庫分別需要24小時和12小時．甲在A倉庫、乙在B倉庫同時開始搬運貨物，丙開始幫助甲搬運，中途又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運，最后兩倉庫貨物同時搬完．丙幫助甲搬了多少小時12？
「分析」總的工作量是已知的，工作效率的和也知道，在整個工作的過程中沒有人休息，那么，我們可以求出工作時間．

練習2、墨莫帶著阿呆和阿瓜去割草．單獨割完一個草地的草，阿呆需要9個小時，阿瓜需要12個小時，墨莫只需要18個小時就行．現(xiàn)在阿呆和阿瓜各自負責一個大小相同的草地．墨莫先幫助阿瓜，一會去幫助阿呆，最后阿呆和阿瓜一起完成了割草的任務，那么墨莫共幫助阿呆割了多少個小時2？
例3．小鹿、小羊、小豬三名打字員承擔一項打字任務，若由這3人中的某人單獨完成全部打字任務，則小鹿需24小時，小羊需20小時，小豬需16小時．
（1）如果鹿、羊、豬三人同時打字，那么需要多少小時完成？
（2）如果按鹿、羊、豬的次序輪流每人各打1小時，那么需要多少小時完成？
「分析」（1）直接計算即可；（2）分析可得每3個小時可以作為一個周期，那么在完成工作的過程中需要多少個整周期哪？

練習3、一個水池有兩根進水管，單開甲管12小時注滿，單開乙管15小時注滿，現(xiàn)在甲乙管輪流打開，甲管打開1小時，乙管打開1小時，甲管打開1小時，乙管打開1小時……重復交替下去，那么注滿水池共需要多少小時？
例4．甲工程隊每工作6天必須休息1天，乙工程隊每工作5天必須休息2天，一項工程，甲工程隊單獨做需104天（含休息），乙工程隊單獨做需82天（含休息），如果兩隊合作，從2012年8月28日開工，則該工程在哪一天可以竣工？
「分析」分析可得兩個工程隊都是每7天為一個周期，那么一個周期內(nèi)它們完成的工作量分別是多少呢？

練習4、姜太公“三天打魚兩天曬網(wǎng)”（打三天魚休息兩天），周文王“四天打魚一天曬網(wǎng)”，姜太公打滿一缸魚要38天，周文王打滿同樣的一缸魚要37天，兩人從2012年9月2號開始打魚，在幾月幾號可以合打滿一缸魚？
例5．一批蜘蛛俠模型，做了后，提速25%，提前3小時完成任務；如果做了400個模型后，提速20%，可以提前2小時完成任務，那么這批模型有多少個1000？
「分析」不妨畫出一個類似行程問題的線段圖來分段分析本題．

例6．甲、乙兩項工程分別由一、二隊來完成．在晴天，一隊完成甲工程需要12天，二隊完成乙工程需要18天；在雨天，一隊的工作效率要下降40%，二隊的工作效率要上升20%．結果兩隊同時完成這兩項工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天？
「分析」在解決某些工程問題時列方程是個不錯的選擇．

智慧的結晶——《夢溪筆談》宋代是中國古代數(shù)學最輝煌的時期之一．北宋大科學家沈括的名著《夢溪筆談》中，有10多條有關數(shù)學的討論，內(nèi)容既廣且深，堪稱我國古代數(shù)學的瑰寶．沈括最重要的數(shù)學探討是隙積術和會圓術．隙積術在我國數(shù)學史上開辟了高階等差級數(shù)求和的研究領域．所謂“隙積”，指的是有空隙的堆積體、例如酒店中堆積的酒壇、疊起來的棋子等，這類堆積體整體上就像一個倒扣的斗，與平截頭的長方錐（芻童）很像．但是隙積的邊緣不是平的，而中間又有空隙，所以不能照搬芻童的體積公式．沈括經(jīng)過思考后，發(fā)現(xiàn)了正確的計算方法．他以堆積的酒壇為例說明這一問題：設最上層為縱橫各2個壇子，最下層為縱橫各12個壇子，相鄰兩層縱橫各差1壇，顯然這堆酒壇共11層；每個酒壇的體積不妨設為1，用芻童體積公式計算，總體積為，酒壇總數(shù)也應是這個數(shù)．顯然，酒壇數(shù)不應為非整數(shù)，問題何在呢？沈括提出，應在芻童體積基礎上加上一項“”即為，酒壇實際數(shù)應為．加上去的這一項正是一個體積上的修正項．在這里，沈括以體積公式為基礎，把求解不連續(xù)的個體的累積數(shù)（級數(shù)求和），化為連續(xù)整體數(shù)值來求解，可見他已具有了用連續(xù)模型解決離散問題的思想．會圓術是對圓的弧矢關系給出的比較實用的近似公式，主要思想是局部以直代曲．沈括進一步應用《九章算術》中弧田的面積近似公式，求出弧長，這便是會圓術公式．沈括得出的雖是近似公式，但可以證明，當圓心角小于45°時，相對誤差小于2%，所以該公式有較強的實用性．這是對劉徽割圓術以弦（正多邊形的邊）代替圓弧思想的一個重要佐證，很有理論意義．后來，郭守敬、王恂在歷法計算中，就應用了會圓術．在《夢溪筆談》中，沈括還應用組合數(shù)學法計算得出圍棋可能的局數(shù)是3361種，并提出用數(shù)量級概念來表示大數(shù)3361的方法．沈括還在書中記載了一些運籌思想，如將暴漲的汴水引向古城廢墟來搶救河堤的塌陷，以及用挖路成河、取土、運輸，最后又將建筑垃圾填河成路的方法來修復皇宮等．沈括對數(shù)的本質(zhì)的認識也很深刻，指出：“大凡物有定形，形有真數(shù)．”顯然他否定了數(shù)的神秘性，而肯定了數(shù)與物的關系．他還指出：“然算術不患多學，見簡即用，見繁即變，乃為通術也．”
作業(yè)一項工程，甲隊單獨做20天完成，乙隊單獨做30天完成，現(xiàn)在由兩隊合作，其間乙隊休息了若干天，從開始到完工共用了14天，那么乙隊休息了多少天？5
一項工作由甲先做6小時，再由乙做12小時即可完成，如果甲先做8小時，乙再做6小時也可完成．如果甲先做3小時，則乙還需要做幾小時？21
某工程可由若干臺機器在規(guī)定的時間內(nèi)完成．如果增加2臺機器，則需要用規(guī)定時間的就可完成；如果減少2臺機器，那么就要推遲小時完成．問由一臺機器完成這項工程需要多少小時？56
草場上放有一堆草，并且還有一片草以均勻的速度生長著，如果放養(yǎng)8頭牛，則10天可以吃完；如果放養(yǎng)10頭牛，則6天可以吃完，那么如果放養(yǎng)15頭牛，可以吃幾天？3
搬運一個倉庫的貨物，甲需要10小時，乙需要12小時，丙需要15小時．現(xiàn)有兩個相同的倉庫A和B，甲在A倉庫，乙在B倉庫同時開始搬運貨物，丙先幫助甲搬運，中途又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運，最后兩個倉庫貨物同時搬完，那么丙幫助甲幾小時，幫助乙幾小時？3，5

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