?南科大附屬光明鳳凰學校2023-2024學年第一學期九年級10月月考數(shù)學試卷

一．選擇題（每題3分，共30分）
1．把一元二次方程4+4x＝5x2化為一般形式正確的是（　?。?br /> A．4+4x+5x2＝0 B．5x2﹣4x+4＝0 C．5x2﹣4x﹣4＝0 D．5x2+4x﹣4＝0
2．如圖的幾何體是由一些小正方形組合而成的，則這個幾何體的俯視圖是（　　）

A． B． C． D．
3．如果3x＝4y（y≠0），那么下列比例式中成立的是（　?。?br /> A． B． C． D．
4．如圖，以點O為位似中心，將△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝4，則的值為（　?。?br />
A． B．3 C． D．
5．若順次連接四邊形ABCD各邊中點所得四邊形是矩形，則四邊形ABCD必定是（　　）
A．菱形
B．對角線相互垂直的四邊形
C．正方形
D．對角線相等的四邊形
6．關于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（　　）
A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2
7．如圖，每個小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與△A1B1C1相似的是（　?。?br />
A． B．
C． D．
8．如圖，在一幅長為60cm，寬為40cm的矩形風景畫的四周鑲一條相同寬度的紙邊，制成一幅矩形掛圖．若要使整個掛圖的面積是3500cm2，設紙邊的寬為x（cm），則x滿足的方程是（　　）

A．（60+x）（40+x）＝3500 B．（60+2x）（40+2x）＝3500
C．（60﹣x）（40﹣x）＝3500 D．（60﹣2x）（40﹣2x）＝3500
9．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊BC上，BE：EC＝1：2，連接AE交BD于點F，則BF：FD＝（　?。?br />
A．2：3 B．1：2 C．1：3 D．1：4
10．如圖，邊長為的正方形ABCD，對角線AC，BD相交于O，E為BC邊上一動點（不與B，C重合），OF⊥OE交CD于F，G為EF中點．給出如下四個結論：①∠OEF＝45°；②點E在運動過程中，△OEF面積不變化；③△CEF周長的最小值為；④點E在運動過程中，OG與CG始終相等，其中正確的結論是（　　）

A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④

二．填空題（每題3分，共15分）
11．方程x2﹣6x+4＝0的兩個實根分別為x1，x2，那么x1x2﹣x1﹣x2的值為　 　．
12．已知黃金矩形的寬為﹣2，則這個黃金矩形的面積是　 ?。ㄗⅲ簩挕瞄L＝的矩形為黃金矩形）
13．如圖，△ABC與△DEF位似，點O為位似中心，若，△ABC的周長為4，則△DEF的周長為 　 　．

14．如圖，矩形紙片ABCD中，BC＝8cm，把矩形紙片沿直線BD折疊，點C落在點E處，BE交AD于點F，若BF＝cm，則CD的長度為 　 ?。?br />
15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足為D，E為BC的中點，AE與CD交于點F，則DF的長為　 　．


三．解答題（共55分）
16．（8分）解方程：
（1）（x﹣1）（x+3）＝5； （2）2x2﹣4x+1＝0（用配方法）




17．（6分）已知關于x的方程x2+2mx+m2﹣2＝0．
（1）試說明：無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若方程有一個根為3，求2m2+12m+2053的值．





18．（6分）如圖1，滹沱河是山西地區(qū)一條途經(jīng)了舟山和太行山的知名河流，這條河流的流域面積達到了2.73萬平方公里，其發(fā)源地處于山西省繁峙縣泰戲山橋兒溝村，這條河流早在《山海經(jīng)》中就有出現(xiàn)過，被叫做為虔池．為了估算河流的寬度，我們在河的對岸選定一個目標P，在近岸取點A和C，使點P、A、C共線且與河垂直，接著在過點C且與直線PC垂直的直線上選擇適當?shù)狞cD，確定PD與過點A且與PC垂直的直線交點B，測得AC＝50m，CD＝120m，AB＝80m，請根據(jù)這些數(shù)據(jù)求河的寬度PA．


19．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，過點C作CE⊥AB交AB的延長線于點E，連接OE．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的長．



20．（8分）如圖，AF，AG分別是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．
（1）求證：△ABC∽△ADE；
（2）若DE＝3，，求BC的長．


21．（9分）一款服裝每件進價為80元，銷售價為120元時，每天可售出20件，為了擴大銷售量，增加利潤，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件服裝降價1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）設每件衣服降價x元，則每天銷售量增加 　 　件，每件商品盈利 　 　元（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）在讓利于顧客的情況下，每件服裝降價多少元時，商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家能達到平均每天盈利1500元嗎？請說明你的理由．






22．（10分）綜合與實踐
【經(jīng)典再現(xiàn)】人教版八年級數(shù)學下冊教科書69頁14題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．求證AE＝EF．（提示：取AB的中點H，連接HE．）
（1）請你思考題中的“提示”，這樣添加輔助線的目的是為了構造出 　 　≌　 　，進而得到AE＝EF．
【類比探究】
（2）如圖2，四邊形ABCD是矩形，且，點E是邊BC的中點，∠AEF＝90°，且EF交矩形外角的平分線CF于點F，求的值（用含n的式子表示）；
【綜合應用】
（3）如圖3，P為邊CD上一點，連接AP，PF，在（2）的基礎上，當，∠PAE＝45°，PF＝時，請直接寫出BC的長．


南科大鳳凰學校10月月考數(shù)學試卷參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．把一元二次方程4+4x＝5x2化為一般形式正確的是（　?。?br /> A．4+4x+5x2＝0 B．5x2﹣4x+4＝0 C．5x2﹣4x﹣4＝0 D．5x2+4x﹣4＝0
【解答】解：方程4+4x＝5x2化為一般形式為5x2﹣4x﹣4＝0，
故選：C．
2．如圖的幾何體是由一些小正方形組合而成的，則這個幾何體的俯視圖是（　?。?br />
A． B． C． D．
【解答】解：從幾何體的上面看，是一個“田”字，
故選：A．
3．如果3x＝4y（y≠0），那么下列比例式中成立的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】解：A、由比例的性質，得3x＝4y與3x＝4y一致，故A符合題意；
B、由比例的性質，得4x＝3y與3x＝4y不一致，故B不符合題意；
C、由比例的性質，得4x＝3y與3x＝4y不一致，故C不符合題意；
D、由比例的性質，得xy＝12與3x＝4y不一致，故D不符合題意．
故選：A．
4．如圖，以點O為位似中心，將△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝4，則的值為（　?。?br />
A． B．3 C． D．
【解答】解：∵以點O為位似中心，將△OAB放大后得到△OCD，
∴△OAB∽△OCD，∴＝，
∵OA＝2，AC＝4，∴OC＝2+4＝6，∴＝，故選：A．
5．若順次連接四邊形ABCD各邊中點所得四邊形是矩形，則四邊形ABCD必定是（　　）
A．菱形 B．對角線相互垂直的四邊形
C．正方形 D．對角線相等的四邊形
【解答】解：∵四邊形EFGH是矩形，∴∠FEH＝90°，
又∵點E、F、分別是AD、AB、各邊的中點，
∴EF是三角形ABD的中位線，∴EF∥BD，
∴∠FEH＝∠OMH＝90°，
又∵點E、H分別是AD、CD各邊的中點，
∴EH是三角形ACD的中位線，∴EH∥AC，
∴∠OMH＝∠COB＝90°，即AC⊥BD．故選：B．

6．關于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（　　）
A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2
【解答】解：根據(jù)題意得k≠0且Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0，
解得k≥﹣2且k≠0．
故選：C．
7．如圖，每個小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與△A1B1C1相似的是（　?。?br />
A． B． C． D．
【解答】解：因為△A1B1C1中有一個角是135°，選項中，有135°角的三角形只有B，且滿足兩邊成比例夾角相等，故選：B．
8．如圖，在一幅長為60cm，寬為40cm的矩形風景畫的四周鑲一條相同寬度的紙邊，制成一幅矩形掛圖．若要使整個掛圖的面積是3500cm2，設紙邊的寬為x（cm），則x滿足的方程是（　?。?br />
A．（60+x）（40+x）＝3500 B．（60+2x）（40+2x）＝3500
C．（60﹣x）（40﹣x）＝3500 D．（60﹣2x）（40﹣2x）＝3500
【解答】解：設紙邊的寬為xcm，那么掛圖的長和寬應該為（60+2x）和（40+2x），
根據(jù)題意可得出方程為：（60+2x）（40+2x）＝3500，
故選：B．
9．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊BC上，BE：EC＝1：2，連接AE交BD于點F，則BF：FD＝（　?。?br />
A．2：3 B．1：2 C．1：3 D．1：4
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，
∵BE：EC＝1：2，
∴BE：BC＝1：3，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴△BEF∽△DAF，
∴BE：AD＝BF：DF＝1：3．
故選：C．
10．如圖，邊長為的正方形ABCD，對角線AC，BD相交于O，E為BC邊上一動點（不與B，C重合），OF⊥OE交CD于F，G為EF中點．給出如下四個結論：①∠OEF＝45°；②點E在運動過程中，△OEF面積不變化；③△CEF周長的最小值為；④點E在運動過程中，OG與CG始終相等，其中正確的結論是（　?。?br />
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
【解答】解：①∵四邊形ABCD是正方形，AC、BD相交于點O，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，AC⊥BD，
∵OE⊥OF，
∴∠BOC＝∠EOF＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
在△OBE和△OCF中，，
∴△OBE≌△OCF（ASA），
∴OE＝OF，
∵∠BOE＝∠COF，
∴∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴△OEF是等腰直角三角形；
∴∠OEF＝45°，故①正確；
②∵OE的值隨著點E在運動，先變大，后減少，
∴△OEF面積也先變大，后減少；故②錯誤；
③∵△OBE≌△OCF，
∴BE＝CF，
∴，
設BE＝CF＝x，則，
∴，
∴當時，EF有最小值，最小值為，
∴△CEF周長的最小值為；故③正確；
④∵∠EOF＝∠BCD＝90°，G為EF中點．

∴，
∴點E在運動過程中，OG與CG始終相等，故④正確；
綜上，①③④正確，
故選：D．

二．填空題（共5小題）
11．方程x2﹣6x+4＝0的兩個實根分別為x1，x2，那么x1x2﹣x1﹣x2的值為　﹣2?。?br /> 【解答】解：根據(jù)題意得x1+x2＝6，x1x2＝4，
所以x1x2﹣x1﹣x2
＝x1x2﹣（x1+x2）
＝4﹣6
＝﹣2．
故答案為﹣2．
12．已知黃金矩形的寬為﹣2，則這個黃金矩形的面積是　　．
【解答】解：∵黃金矩形的寬為﹣2，
∴黃金矩形的長＝（﹣2）÷＝，
∴這個黃金矩形的面積＝（﹣2）?＝．
故答案為．
13．如圖，△ABC與△DEF位似，點O為位似中心，若，△ABC的周長為4，則△DEF的周長為 　2　．

【解答】解：∵△ABC與△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AC∥DF，
∴△AOC∽△DOF，
∴＝＝2，
∴△ABC的周長：△DEF的周長＝2，
∵△ABC的周長為4，
∴△DEF的周長為2，
故答案為：2．
14．如圖，矩形紙片ABCD中，BC＝8cm，把矩形紙片沿直線BD折疊，點C落在點E處，BE交AD于點F，若BF＝cm，則CD的長度為 　6cm?。?br />
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，AB＝CD＝8（cm），
∴∠ADB＝∠FDB，
根據(jù)對折得，∠FDB＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠ADB，
∴BF＝DF＝（cm）（等邊對等角），
∴AF＝AD﹣DF＝8﹣＝（cm），
∴AB＝＝＝6（cm），
∴CD＝AB＝6（cm），
故答案為：6cm．
15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足為D，E為BC的中點，AE與CD交于點F，則DF的長為　?。?br />
【解答】解：如圖，過點F作FH⊥AC于H．

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝?AC?BC＝?AB?CD，
∴CD＝，AD＝＝＝，
∵FH∥EC，
∴＝，
∵EC＝EB＝2，
∴＝，設FH＝2k，AH＝3k，CH＝3﹣3k，
∵tan∠FCH＝＝，
∴＝，
∴k＝，
∴FH＝，CH＝3﹣＝，
∴CF＝＝＝，
∴DF＝﹣＝，
解法二：過E做EM⊥AB，利用平行線等分線段解決問題．
故答案為．
三．解答題（共7小題）
16．解方程：
（1）（x﹣1）（x+3）＝5
（2）2x2﹣4x+1＝0（用配方法）
【解答】解：（1）原方程整理可得x2+2x﹣8＝0，
則（x+4）（x﹣2）＝0，
∴x+4＝0或x﹣2＝0，
解得：x＝﹣4或x＝2；

（2）∵，
∴，
∴，
則或，
∴原方程的解為
17．已知關于x的方程x2+2mx+m2﹣2＝0．
（1）試說明：無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若方程有一個根為3，求2m2+12m+2053的值．
【解答】解：（1）∵Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣2）
＝4m2﹣4m2+8
＝8＞0，
∴無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）∵方程有一個根為3，
∴32+6m+m2﹣2＝0，
整理，得：m2+6m＝﹣7，
∴2m2+12m+2053
＝2（m2+6m）+2053
＝2×（﹣7）+2053
＝﹣14+2053
＝2039．
18．如圖1，滹沱河是山西地區(qū)一條途經(jīng)了舟山和太行山的知名河流，這條河流的流域面積達到了2.73萬平方公里，其發(fā)源地處于山西省繁峙縣泰戲山橋兒溝村，這條河流早在《山海經(jīng)》中就有出現(xiàn)過，被叫做為虔池．為了估算河流的寬度，我們在河的對岸選定一個目標P，在近岸取點A和C，使點P、A、C共線且與河垂直，接著在過點C且與直線PC垂直的直線上選擇適當?shù)狞cD，確定PD與過點A且與PC垂直的直線交點B，測得AC＝50m，CD＝120m，AB＝80m，請根據(jù)這些數(shù)據(jù)求河的寬度PA．
【解答】解：由題意得，AB⊥PC，CD⊥PC，AC＝50m，CD＝120m，AB＝80m，
∴AB∥CD，
∴∠PAB＝∠PCD，∠PBA＝∠PDC，
∴△PAB∽△PCD，
∴＝，即＝，
∴＝，
解得PA＝100，
答：PA的長為100m．
19．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，過點C作CE⊥AB交AB的延長線于點E，連接OE．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的長．

【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝CD，且AB＝BC，
∴CD＝AB，且AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，且AB＝BC，
∴四邊形ABCD是菱形；
（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，BO＝DO＝2，
∵AO＝＝＝4，
∵CE⊥AB，AO＝CO，
∴EO＝AO＝CO＝4．

20．如圖，AF，AG分別是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．
（1）求證：△ABC∽△ADE；
（2）若DE＝3，，求BC的長．

【解答】（1）證明：∵AF，AG分別是△ABC和△ADE的高，
∴AF⊥BC，AG⊥DE，
∴∠AFB＝90°，∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠B＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°，
∵∠BAF＝∠DAG，
∴∠B＝∠ADG，
又∵∠EAD＝∠BAC，
∴△ABC∽△ADE；
（2）解：∵△ADE∽△ABC，
∴，
∵，BC＝3，
∴，
∴BC＝．
21．一款服裝每件進價為80元，銷售價為120元時，每天可售出20件，為了擴大銷售量，增加利潤，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件服裝降價1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）設每件衣服降價x元，則每天銷售量增加 　2x　件，每件商品盈利 ?。?0﹣x）　元（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）在讓利于顧客的情況下，每件服裝降價多少元時，商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家能達到平均每天盈利1500元嗎？請說明你的理由．
【解答】解：（1）設每件衣服降價x元，則每天銷售量增加2x件，每件商品盈利（40﹣x）元．
故答案為：2x，（40﹣x）；
（2）設每件服裝降價x元，則每件的銷售利潤為（40﹣x）元，平均每天的銷售量為（20+2x）件，
依題意得：（120﹣x﹣80）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
又∵需要讓利于顧客，
∴x＝20．
答：每件服裝降價20元時，能讓利于顧客并且商家平均每天能贏利1200元；
（3）商家不能達到平均每天盈利1500元，理由如下：
設每件服裝降價y元，則每件的銷售利潤為（120﹣y﹣80）元，平均每天的銷售量為（20+2y）件，
依題意得：（120﹣y﹣80）（20+2y）＝1500，
整理得：y2﹣30y+350＝0．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣30）2﹣4×1×350＝﹣500＜0，
∴此方程無解，
即不可能每天盈利1500元．
22．綜合與實踐
【經(jīng)典再現(xiàn)】人教版八年級數(shù)學下冊教科書69頁14題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．求證AE＝EF．（提示：取AB的中點H，連接HE．）
（1）請你思考題中的“提示”，這樣添加輔助線的目的是為了構造出 　△AHE　≌　△ECF　，進而得到AE＝EF．
【類比探究】
（2）如圖2，四邊形ABCD是矩形，且，點E是邊BC的中點，∠AEF＝90°，且EF交矩形外角的平分線CF于點F，求的值（用含n的式子表示）；
【綜合應用】
（3）如圖3，P為邊CD上一點，連接AP，PF，在（2）的基礎上，當，∠PAE＝45°，PF＝時，請直接寫出BC的長．
?
【解答】解：（1）如圖1，

取AB的中點H，連接EH，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCD＝90°，
∵E是BC的中點，
∴BE＝CE＝BH＝AH＝BC＝AB，
∴∠AHE＝∠ECF＝135°，
∵∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△AHE≌△ECF（AAS），
故答案為：△AHE≌△ECF；
（2）如圖2，

在AB上截取BH＝CE，連接EH，
∵E時BC的中點，
∴BE＝CE，
不妨設BH＝BE＝CE＝1，則BC＝2，
∵，∴AB＝2n，
∴AH＝2n﹣1
由（1）得：∠BAE＝∠CEF，∠AHE＝ECF＝135°，
∴△AHE∽△ECF，∴；
（3）如圖3，

∵，
∴可設AB＝6x，BC＝4x，則BE＝CE＝2x，
延長EF，AP，交于點R，作RH⊥AD，交AD延長線于H，交BC的延長線與G，作FT⊥CD于T，
∵∠AEF＝90°，∠PQE＝45°，
∴△AER是等腰直角三角形，
∴AE＝ER，
由（1）知：∠BAE＝∠CEF，
∵∠B＝∠G＝90°，
∴△ABE≌△EGR（AAS），
∴EG＝AB＝6x，GR＝BE＝2x，
∴DH＝CG＝EG﹣EC＝6x﹣2x＝4x，
HR＝GH﹣GR＝6x﹣2x＝4x，
∵CD∥GH，
∴△APD∽△ARH，∴，
∴PD＝，
∴CP＝CD﹣PD＝6x﹣2x＝4x，
由（2）知：，
∴，
∴CF＝x，
∴CT＝FT＝x，
∴PT＝CP﹣CT＝3x，
由PT2+FT2＝PF2得，
（3x）2+x2＝（2，
∴x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴BC＝4x＝2．

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這是一份廣東省深圳市光明區(qū)勤誠達學校2023-2024學年上學期九年級10月月考數(shù)學試卷，共19頁。試卷主要包含了在下列命題中，正確的是，下列兩個三角形不一定相似的是等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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廣東省深圳市光明區(qū)勤誠達學校2023-2024學年上學期九年級10月月考數(shù)學試卷

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