?光明區(qū)勤誠達學(xué)校2023-2024學(xué)年第一學(xué)期九年級10月月考數(shù)學(xué)試卷

一．選擇題（每題3分，共30分）
1．已知線段a、b、c、d是成比例線段，如果a＝1，b＝2，c＝3，那么d的值是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．1
2．在下列命題中，正確的是（　　）
A．一組對邊平行的四邊形是平行四邊形
B．有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
C．有一個角是直角的四邊形是矩形
D．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形
3．如圖，某小區(qū)有一塊長為18米、寬為6米的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地（圖中陰影部分），它們的面積之和為60平方米，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道．若設(shè)人行通道的寬度為x米，則下列所列方程正確的是（　?。?br />
A．（18﹣2x）（6﹣2x）＝60 B．（18﹣3x）（6﹣x）＝60
C．（18﹣2x）（6﹣x）＝60 D．（18﹣3x）（6﹣2x）＝60
4．下列兩個三角形不一定相似的是（　　）
A．兩個等邊三角形
B．兩個頂角是120°的等腰三角形
C．兩個全等三角形
D．兩個直角三角形
5．一個僅裝有球的不透明盒子里，共有20個紅球和白球（僅有顏色不同），小明進行了摸球試驗，摸到紅球可能性最大的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC交l1、l2、l3于點A、B、C，直線DF交l1、l2、l3于點D、E、F，已知，若DE＝3，則DF的長是（　　）

A． B．4 C． D．7
7．如圖1，在矩形ABCD中，動點P從點B出發(fā)，沿BC、CD、DA運動至點A停止，設(shè)點P運動的路程為x，△ABP的面積為y，如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，則矩形ABCD的周長是（　　）

A．18 B．20 C．26 D．36
8．小紅有三頂帽子，分別為白色、紅色和粉色，有兩條圍巾，分別為白色和紅色．她隨機拿出一頂帽子和一條圍巾戴上，恰好為紅色帽子和紅色圍巾的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH是位似圖形，點O是位似中心．若，四邊形ABCD的面積是100，則四邊形EFGH的面積是（　?。?br />
A．4 B．16 C．36 D．
10．如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E，F(xiàn)，連接BD、DP，BD與CF相交于點H，給出下列結(jié)論：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△PHB．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

二．填空題（每題3分，共15分）
11．已知m2+n2+2m＝﹣10+6n，則mn的值為 　 ?。?br /> 12．如圖是小明的健康綠碼示意圖，用黑白打印機打印于邊長為2cm的正方形區(qū)域內(nèi)，為了估計圖中黑色部分的總面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機擲點，經(jīng)過大量重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)點落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，據(jù)此可以估計黑色部分的總面積約為 　 　cm2．

13．如圖，數(shù)學(xué)活動課上，為測量學(xué)校旗桿高度，小藝同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小藝的眼睛離地面高度為1.6米，同時量得小藝與鏡子的水平距離為2米，鏡子與旗桿的水平距離為10米，則旗桿的高度為 　 　米．

14．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，．以A為圓心，AD為半徑作弧交BC于點E，則圖中陰影部分的面積為 　 　．

15．如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片ABCD，折痕是DM，點C落在點E處，分別延長ME、DE交AB于點F、G，若點M是BC邊的中點，則FG＝　 　cm．


三．解答題（共55分）
16．（8分）解方程：
（1）4x2﹣3x﹣1＝0； （2）x（x﹣4）＝2﹣8x．



17．（9分）據(jù)中國載人航天工程辦公室消息，“天宮課堂”第二課于2022年3月23日15時40分在中國空間站開講，神舟十三號乘組航天員翟志剛、王亞平、葉光富將相互配合進行授課，這也是中國航天員第三次進行太空授課，屆時，航天員將在軌演示太空“冰雪”實驗、液橋演示實驗，水油分離實驗、太空拋物實驗．
某中學(xué)為了解學(xué)生對“航空航天知識”的掌握情況，從初一年級800人隨機抽取50名學(xué)生進行測試，并對成績（百分制）進行整理，信息如下：
（Ⅰ）成績頻數(shù)分布表：
成績x（分）
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
頻數(shù)
4
a
14
b
4
?
（Ⅱ）成績在70≤x＜80這一組的是（單位：分）：
70 70 71 72 72 74 77 77 78 78 78 79 79 79
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）表中a＝　 　，b＝　 　．在這次試中，成績的中位數(shù)是 　 　分，成績不低于80分的人數(shù)占測試人數(shù)的百分比為 　 ?。?br /> （2）這次測試成績的平均數(shù)是76.6分，甲的測試成績是77分．乙說：“甲的成績高于平均數(shù)，所以甲的成績高于一半學(xué)生的成績．”你認(rèn)為乙的說法正確嗎？請說明理由．
（3）在90≤x＜100之間的四名同學(xué)有兩位男生和兩位女生，學(xué)校打算選派一位男生和一位女生參加市里舉辦的“航空航天知識”，請求出選中一男一女的概率．

18．（7分）2023年杭州亞運會吉祥物一開售，就深受大家的喜愛．某商店以每件35元的價格購進某款亞運會吉祥物，以每件58元的價格出售．經(jīng)統(tǒng)計，4月份的銷售量為256件，6月份的銷售量為400件．
（1）求該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率；
（2）從7月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗，發(fā)現(xiàn)該吉祥物每降價1元，月銷售量就會增加20件．當(dāng)該吉祥物售價為多少元時，月銷售利潤達8400元？



19．（8分）如圖，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，∠EDO＝15°．
（1）試比較線段AO與AE的大?。⒆C明你的結(jié)論；
（2）連接OE，求∠AOE的大小．






20．（6分）園林部門計劃在某公園建一個長方形花圃ABCD，花圃的一面靠墻（墻足夠長），另外三邊用木欄圍成，如圖2所示BC＝2AB，建成后所用木欄總長120米，在圖2總面積不變的情況下，園林部門在花圃內(nèi)部設(shè)計了一個正方形的網(wǎng)紅打卡點和兩條寬度相等的小路如圖3，小路的寬度是正方形網(wǎng)紅打卡點邊長的，其余部分種植花卉，
花卉種植的面積為1728平方米．
?
（1）求長方形ABCD花圃的長和寬；
（2）求出網(wǎng)紅打卡點的面積．






21．（8分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，點P從點D出發(fā)向點A運動，運動到點A停止，同時，點Q從點B出發(fā)向點C運動，運動到點C即停止，點P、Q的速度都是1cm/s．連接PQ、AQ、CP．設(shè)點P、Q運動的時間為ts．
（1）當(dāng)t為何值時，四邊形ABQP是矩形；
（2）當(dāng)t為何值時，四邊形AQCP是菱形；
（3）分別求出（2）中菱形AQCP的周長和面積．








22．（9分）在矩形ABCD上有一個動點P，點P沿AD—DC—CA 運動，并且不與點A重合，連接BP，以BP為直角邊作等腰直角三角形BPQ，AB＝6，AD＝4．
（1）當(dāng)點P沿AD—DC—CA運動時，求出等腰直角三角形BPQ面積的最大值；
（2）當(dāng)點P在AD上運動時，△BPQ的邊PQ與DC交于點E，如圖（1）所示，若AP：AD＝1：2，則AB：PD等于 　 ?。蝗?AP：AD＝1：n，則AB：PD等于 　 　；
（3）如圖（2）所示，當(dāng)點P（不與點D，C重合）在DC上運動時，請你判斷梯形ABPD的面積是否可以為△BPQ面積的4倍，若可以，請求出PC的長度；若不可以，請說明理由．


光明區(qū)勤誠達學(xué)校10月月考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．已知線段a、b、c、d是成比例線段，如果a＝1，b＝2，c＝3，那么d的值是（　?。?br /> A．8 B．6 C．4 D．1
【解答】解：∵線段a、b、c、d是成比例線段，a＝1，b＝2，c＝3，
∴a：b＝c：d，
即1：2＝3：d，
解得：d＝6．
故選：B．
2．在下列命題中，正確的是（　　）
A．一組對邊平行的四邊形是平行四邊形
B．有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
C．有一個角是直角的四邊形是矩形
D．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形
【解答】解：A、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故A選項錯誤；
B、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故B選項正確；
C、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故C選項錯誤；
D、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故D選項錯誤．
故選：B．
3．如圖，某小區(qū)有一塊長為18米、寬為6米的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地（圖中陰影部分），它們的面積之和為60平方米，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道．若設(shè)人行通道的寬度為x米，則下列所列方程正確的是（　　）

A．（18﹣2x）（6﹣2x）＝60 B．（18﹣3x）（6﹣x）＝60
C．（18﹣2x）（6﹣x）＝60 D．（18﹣3x）（6﹣2x）＝60
【解答】解：設(shè)人行通道的寬度為x米，根據(jù)題意可得：
（18﹣3x）（6﹣2x）＝60，
故選：D．
4．下列兩個三角形不一定相似的是（　?。?br /> A．兩個等邊三角形
B．兩個頂角是120°的等腰三角形
C．兩個全等三角形
D．兩個直角三角形
【解答】解：A、兩個等邊三角形，所有的角都是60°，相等，可以判定兩三角形相似，故本選項錯誤；
B、兩個頂角是120°的等腰三角形，兩個底角一定都是30°，可以判定兩三角形相似，故本選項錯誤；
C、全等是相似的特殊情況，兩個全等三角形一定相似，故本選項錯誤；
D、兩個直角三角形，只有一個直角對應(yīng)相等，無法判定相似，故本選項正確．
故選：D．
5．一個僅裝有球的不透明盒子里，共有20個紅球和白球（僅有顏色不同），小明進行了摸球試驗，摸到紅球可能性最大的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【解答】解：∵一個僅裝有球的不透明盒子里，共有20個紅球和白球（僅有顏色不同），0＜4＜10＜16，
∴摸到紅球可能性最大的是D選項．
故選：D．
6．如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC交l1、l2、l3于點A、B、C，直線DF交l1、l2、l3于點D、E、F，已知，若DE＝3，則DF的長是（　?。?br />
A． B．4 C． D．7
【解答】解：∵直線l1∥l2∥l3，
∴＝．
∵＝，AC＝AB+BC，
∴＝＝，
∴EF＝DE＝4，
∴DF＝DE+EF＝7．
故選：D．
7．如圖1，在矩形ABCD中，動點P從點B出發(fā)，沿BC、CD、DA運動至點A停止，設(shè)點P運動的路程為x，△ABP的面積為y，如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，則矩形ABCD的周長是（　　）

A．18 B．20 C．26 D．36
【解答】解：∵動點P從點B出發(fā)，沿BC、CD、DA運動至點A停止，而當(dāng)點P運動到點C，D之間時，△ABP的面積不變，
函數(shù)圖象上橫軸表示點P運動的路程，x＝4時，y開始不變，說明BC＝4，x＝9時，接著變化，說明CD＝9﹣4＝5，
∴AB＝5，BC＝4，
∴矩形ABCD的周長＝2（AB+BC）＝18．
故選：A．
8．小紅有三頂帽子，分別為白色、紅色和粉色，有兩條圍巾，分別為白色和紅色．她隨機拿出一頂帽子和一條圍巾戴上，恰好為紅色帽子和紅色圍巾的概率是（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】解：畫樹狀圖為：

共有6種等可能的結(jié)果，其中恰好為紅色帽子和紅色圍巾的結(jié)果數(shù)為1種，
所以恰好為紅色帽子和紅色圍巾的概率＝．
故選：C．
9．如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH是位似圖形，點O是位似中心．若，四邊形ABCD的面積是100，則四邊形EFGH的面積是（　?。?br />
A．4 B．16 C．36 D．
【解答】解：∵四邊形ABCD與四邊形EFGH是位似圖形，點O是位似中心，
∴四邊形ABCD與四邊形EFGH相似，＝，
∵＝，
∴＝，
∴四邊形EFGH的面積：四邊形ABCD的面積＝（）2＝（）2＝，
∴四邊形EFGH的面積＝×100＝16．
故選：B．
10．如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E，F(xiàn)，連接BD、DP，BD與CF相交于點H，給出下列結(jié)論：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△PHB．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　?。?br />
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：∵△BPC是等邊三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，故①正確；
∵△BPC是等邊三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠PEF＝∠PFE＝60°，
∴△PEF是等邊三角形，
∴PE＝PF，
∴CP+PF＝CP+PE，
∴CF＝BE，
在Rt△ABE中，
∠ABE＝∠ABC﹣∠PBC＝30°，
∴BE＝2AE，
∴CF＝2AE，故②正確；
∴∠PDE＝15°，
∵∠PBD＝∠PBC﹣∠HBC＝60°﹣45°＝15°，
∴∠EBD＝∠EDP，
∵∠DEP＝∠DEB，
∴△BDE∽△DPE，
∴∠EPD＝∠BDE＝45°，
∵∠BPC＝∠EPF＝60°，
∴∠FPD＝105°，
∵∠BHP＝∠BCH+∠HBC＝105°，
∴∠DPF＝∠BHP，
又∵∠PDF＝∠DBP＝15°，
∴△BHP∽△DPF，故④正確；
∴，
∴＝，
∵∠DCF＝30°，
∴DC＝DF，
∴＝，
∴＝＝，故③錯誤，
故選：B．
二．填空題（共5小題）
11．已知m2+n2+2m＝﹣10+6n，則mn的值為 　﹣1?。?br /> 【解答】解：∵m2+n2+2m＝﹣10+6n，
∴m2+n2+2m+10﹣6n＝0，
∴（m+1）2+（n﹣3）2＝0，
∴m+1＝0，n﹣3＝0，
∴m＝﹣1，n＝3，
∴mn＝（﹣1）3＝﹣1．
故答案為：﹣1．
12．如圖是小明的健康綠碼示意圖，用黑白打印機打印于邊長為2cm的正方形區(qū)域內(nèi)，為了估計圖中黑色部分的總面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機擲點，經(jīng)過大量重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)點落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，據(jù)此可以估計黑色部分的總面積約為 　2.4　cm2．

【解答】解：∵經(jīng)過大量重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)點落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，
∴點落入黑色部分的概率為0.6，
∵邊長為2cm的正方形的面積為4cm2，
設(shè)黑色部分的面積為S，
則＝0.6，
解得S＝2.4（cm2）．
∴估計黑色部分的總面積約為2.4cm2．
故答案為：2.4．
13．如圖，數(shù)學(xué)活動課上，為測量學(xué)校旗桿高度，小藝同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小藝的眼睛離地面高度為1.6米，同時量得小藝與鏡子的水平距離為2米，鏡子與旗桿的水平距離為10米，則旗桿的高度為 　8　米．
?

【解答】解：由題意得：∠ABO＝∠CDO＝90°，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴＝，
∵AB＝1.6米，OB＝2米，OD＝10米，
∴＝，
解得：CD＝8，
∴旗桿的高度為8米，
故答案為：8．

14．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，．以A為圓心，AD為半徑作弧交BC于點E，則圖中陰影部分的面積為 　16﹣8﹣4π　．

【解答】解：由題意得：AE＝AD＝4，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝90°，
∵AB＝4，
∴BE＝＝4，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
∴∠DAE＝45°，
∵矩形ABCD的面積＝AD?AB＝16，扇形AED的面積＝＝4π，△ABE的面積＝AB?BE＝8，
∴陰影的面積＝矩形ABCD的面積﹣扇形AED的面積﹣△ABE的面積＝16﹣8﹣4π．
故答案為：16﹣8﹣4π．
15．如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片ABCD，折痕是DM，點C落在點E處，分別延長ME、DE交AB于點F、G，若點M是BC邊的中點，則FG＝　　cm．

【解答】解：如圖，連接DF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB＝BC＝4cm，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∵點M是BC邊的中點，
∴CM＝BM＝BC＝2cm，
由折疊得：DE＝CD＝4cm，EM＝CM＝2cm，∠DEM＝∠C＝90°，
∴∠DEF＝180°﹣90°＝90°，AD＝DE，
∴∠A＝∠DEF，
在Rt△DAF和Rt△DEF中，
，
∴Rt△DAF≌Rt△DEF（HL），
∴AF＝EF，
設(shè)AF＝xcm，則EF＝xcm，
∴BF＝（4﹣x）cm，F(xiàn)M＝（x+2）cm，
在Rt△BFM中，BF2+BM2＝FM2，
∴（4﹣x）2+22＝（x+2）2，
解得：x＝，
∴AF＝EF＝cm，BF＝4﹣＝cm，F(xiàn)M＝+2＝cm，
∵∠FEG＝∠DEM＝90°，
∴∠FEG＝∠B＝90°，
∵∠EFG＝∠BFM，
∴△FGE∽△FMB，
∴＝，即＝，
∴FG＝cm，
故答案為：．

三．解答題（共7小題）
16．解方程：
（1）4x2﹣3x﹣1＝0； （2）x（x﹣4）＝2﹣8x．
【解答】解：（1）x1＝－，x2＝1．
（2）x（x﹣4）＝2﹣8x
整理得x2+4x﹣2＝0，
∵a＝1，b＝4，c＝﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝16+8＝24，
∴x＝．
即x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
17．據(jù)中國載人航天工程辦公室消息，“天宮課堂”第二課于2022年3月23日15時40分在中國空間站開講，神舟十三號乘組航天員翟志剛、王亞平、葉光富將相互配合進行授課，這也是中國航天員第三次進行太空授課，屆時，航天員將在軌演示太空“冰雪”實驗、液橋演示實驗，水油分離實驗、太空拋物實驗．
某中學(xué)為了解學(xué)生對“航空航天知識”的掌握情況，從初一年級800人隨機抽取50名學(xué)生進行測試，并對成績（百分制）進行整理，信息如下：
（Ⅰ）成績頻數(shù)分布表：
成績x（分）
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
頻數(shù)
4
a
14
b
4
?
（Ⅱ）成績在70≤x＜80這一組的是（單位：分）：
70 70 71 72 72 74 77 77 78 78 78 79 79 79
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）表中a＝　10　，b＝　18?。谶@次試中，成績的中位數(shù)是 　78.5　分，成績不低于80分的人數(shù)占測試人數(shù)的百分比為 　44%　．
（2）這次測試成績的平均數(shù)是76.6分，甲的測試成績是77分．乙說：“甲的成績高于平均數(shù)，所以甲的成績高于一半學(xué)生的成績．”你認(rèn)為乙的說法正確嗎？請說明理由．
（3）在90≤x＜100之間的四名同學(xué)有兩位男生和兩位女生，學(xué)校打算選派一位男生和一位女生參加市里舉辦的“航空航天知識”，請求出選中一男一女的概率．
【解答】解：（1）a＝50×20%＝10，b＝50﹣4﹣10﹣14﹣4＝18，
將這50名學(xué)生的成績從小到大排列，處在中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)為＝78.5，因此中位數(shù)是78.5，
成績不低于80分的人數(shù)占測試人數(shù)的百分比為，
故答案為：10，18，78.5，44%；
（2）不正確，利用中位數(shù)進行判斷比較合理，由于中位數(shù)是78.5分，甲的測試成績是77分，因此甲的成績在一半以下；
（3）從2男2女中隨機選取2人所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：

共有12種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中1男1女的有8種，
所以從2男2女中隨機選取2人是一男一女的概率為＝．
18．2023年杭州亞運會吉祥物一開售，就深受大家的喜愛．某商店以每件35元的價格購進某款亞運會吉祥物，以每件58元的價格出售．經(jīng)統(tǒng)計，4月份的銷售量為256件，6月份的銷售量為400件．
（1）求該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率；
（2）從7月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗，發(fā)現(xiàn)該吉祥物每降價1元，月銷售量就會增加20件．當(dāng)該吉祥物售價為多少元時，月銷售利潤達8400元？
【解答】解：（1）設(shè)該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為x，
根據(jù)題意得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合題意，舍去）．
答：該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為25%；
（2）設(shè)該吉祥物售價為y元，則每件的銷售利潤為（y﹣35）元，月銷售量為400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）件，
根據(jù)題意得：（y﹣35）（1560﹣20y）＝8400，
整理得：y2﹣113y+3150＝0，
解得：y1＝50，y2＝63（不符合題意，舍去）．
答：該款吉祥物售價為50元時，月銷售利潤達8400元．
19．如圖，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，∠EDO＝15°．
（1）試比較線段AO與AE的大?。⒆C明你的結(jié)論；
（2）連接OE，求∠AOE的大小．

【解答】解：（1）AO＝AE；理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AO＝DO，
∵DE平分∠ADC
∴∠CDE＝∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，
又∵∠EDO＝15°，
∴∠ADO＝60°；
∴△OAD是等邊三角形；
∴AD＝AO＝DO，
∴AO＝AE；
（2）∵△OAD是等邊三角形，
∴∠DAO＝60°，
∴∠OAE＝90°﹣∠DAO＝30°，
∵AO＝AE，
∴∠AOE＝（180°﹣30°）÷2＝75°．
20．園林部門計劃在某公園建一個長方形花圃ABCD，花圃的一面靠墻（墻足夠長），另外三邊用木欄圍成，如圖2所示BC＝2AB，建成后所用木欄總長120米，在圖2總面積不變的情況下，園林部門在花圃內(nèi)部設(shè)計了一個正方形的網(wǎng)紅打卡點和兩條寬度相等的小路如圖3，小路的寬度是正方形網(wǎng)紅打卡點邊長的，其余部分種植花卉，
花卉種植的面積為1728平方米．
?
（1）求長方形ABCD花圃的長和寬；
（2）求出網(wǎng)紅打卡點的面積．
【解答】解：（1）設(shè)AB＝x米，
∴BC＝2AB＝2x米，
根據(jù)題意，得2x+x+x＝120，
解得x＝30，
∴AB＝30米，BC＝60米，
答：長方形ABCD花圃的長為60米，寬為30米；
（2）設(shè)網(wǎng)紅打卡點的邊長為m米，
根據(jù)題意，得（60﹣m）+m2＝60×30﹣1728，
解得m1＝4，m2＝﹣24（舍去），
∴網(wǎng)紅打卡點的面積為4×4＝16（平方米），
答：網(wǎng)紅打卡點的面積為16平方米．
21．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，點P從點D出發(fā)向點A運動，運動到點A停止，同時，點Q從點B出發(fā)向點C運動，運動到點C即停止，點P、Q的速度都是1cm/s．連接PQ、AQ、CP．設(shè)點P、Q運動的時間為ts．
（1）當(dāng)t為何值時，四邊形ABQP是矩形；
（2）當(dāng)t為何值時，四邊形AQCP是菱形；
（3）分別求出（2）中菱形AQCP的周長和面積．

【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，
∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，
由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
當(dāng)BQ＝AP時，四邊形ABQP為矩形，
∴t＝16﹣t，得t＝8，
故當(dāng)t＝8s時，四邊形ABQP為矩形；

（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四邊形AQCP為平行四邊形，
∴當(dāng)AQ＝CQ時，四邊形AQCP為菱形
即＝16﹣t時，四邊形AQCP為菱形，解得t＝6，
故當(dāng)t＝6s時，四邊形AQCP為菱形；

（3）當(dāng)t＝6s時，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，
則周長為4×10cm＝40cm；
面積為10cm×8cm＝80cm2．
22．在矩形ABCD上有一個動點P，點P沿AD—DC—CA 運動，并且不與點A重合，連接BP，以BP為直角邊作等腰直角三角形BPQ，AB＝6，AD＝4．
（1）當(dāng)點P沿AD—DC—CA運動時，求出等腰直角三角形BPQ面積的最大值；
（2）當(dāng)點P在AD上運動時，△BPQ的邊PQ與DC交于點E，如圖（1）所示，若AP：AD＝1：2，則AB：PD等于 　3　；若 AP：AD＝1：n，則AB：PD等于 　?。?br /> （3）如圖（2）所示，當(dāng)點P（不與點D，C重合）在DC上運動時，請你判斷梯形ABPD的面積是否可以為△BPQ面積的4倍，若可以，請求出PC的長度；若不可以，請說明理由．

【解答】解（1）∵當(dāng)點P移動到點D處時，BP＞BA＞BC，此時BP＝BD＝＝（最大），
∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴△BPQ的面積＝BP2＝×（）2＝26，
即P點運動到D點的時，△BPQ有面積的最大值26；
（2）如圖1，當(dāng)AP：AD＝1：2時，AP＝PD＝AD＝2，
此時，AB：PD＝6：2＝3，
當(dāng)AP：AD＝1：n時，AP＝AD×＝，
∴PD＝AD﹣AP＝4﹣＝，
∴AB：PD＝6：＝，
故答案為：3，；
（3）不存在，理由如下：
如圖2，設(shè)PC＝y(tǒng)，
則DP＝6﹣y，BP2＝42+y2，
若梯形ABPD的面積＝4×△BPQ的面積，
則[（6﹣y）+6]×4＝4×（42+y2），
即y2+y+4＝0，其中Δ＝﹣15＜0，
∴該方程無解，
∴當(dāng)P點在DC上運動時，梯形ABPD的面積不可能是等腰直角三角形BPQ的面積的4倍．

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