?專題23?二次函數(shù)拋物線與三角形的綜合
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一、解答題
1．如圖1，拋物線交x軸于點和點，交y軸于點C．

(1)求此拋物線的解析式；
(2)點P為直線下方拋物線上一動點，連接，求面積的最大值；
(3)如圖2直線l為該拋物線的對稱軸，在直線l上是否存在一點M使為直角三角形，若存在，請求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．
2．拋物線 與軸交于點和，與軸交于點，連接．點是線段下方拋物線上的一個動點（不與點，重合），過點作軸的平行線交于，交軸于，設(shè)點的橫坐標為．

(1)求該拋物線的解析式；
(2)用關(guān)于的代數(shù)式表示線段，求的最大值及此時點的坐標；
(3)過點作于點，，
①求點的坐標；
②連接，在軸上是否存在點，使得為直角三角形，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
3．如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象交x軸于點A（1，0），B（3，0），交y軸于點C．
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）點P是直線BC下方拋物線上的一動點，求△BCP面積的最大值；
（3）直線x=m分別交直線BC和拋物線于點M，N，當△BMN是等腰三角形時，直接寫出m的值．

4．綜合與探究
如圖，拋物線經(jīng)過，兩點，與軸交于點，作直線．

(1)求拋物線和直線的函數(shù)解析式．
(2)是直線上方拋物線上一點，求面積的最大值及此時點的坐標．
(3)在拋物線對稱軸上是否存在一點，使得以點，，為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
5．如圖，直線與軸、軸分別交于點、點，經(jīng)過、兩點的拋物線與軸的另一個交點為，頂點為．

(1)求該拋物線的解析式；
(2)在該拋物線的對稱軸上是否存在點，使以，，為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出所符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
6．已知拋物線：與軸交于，兩點．

(1)求拋物線的表達式；
(2)平移拋物線得到新拋物線，使得新拋物線經(jīng)過原點，且與軸的正半軸交于點，記新拋物線的頂點為，若是等腰直角三角形，求出點的坐標．
7．已知：如圖，拋物線與坐標軸分別交于點，，，點是線段上方拋物線上的一個動點．

(1)求拋物線的解析式．
(2)當?shù)拿娣e最大時，求點的坐標．
(3)過點作軸的垂線，交線段于點，再過點作軸交拋物線于點，連接，請問是否存在點使為等腰直角三角形？請直接寫出點的坐標．
8．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，，與軸的交點為，且．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；
(2)點為的中點，過點作的平行線交軸于點，點為拋物線上第二象限內(nèi)的一動點，連接，，求四邊形面積的最大值及此時點的坐標；
(3)將該拋物線向左平移得到拋物線，使經(jīng)過原點，與原拋物線的交點為，點為拋物線對稱軸上的一點，若以點，，為頂點的三角形是直角三角形，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標，并把求其中一個點的坐標的過程寫出來．
9．在平面直角坐標系中，拋物線：經(jīng)過，兩點；

(1)若拋物線：經(jīng)過，求拋物線解析式；
(2)拋物線：直線有，兩個交點，為坐標原點，若是以為腰的等腰三角形，請直接寫出的值；
(3)直線分別與拋物線：，拋物線：恰好有三個公共點，若其中一個公共點是另外兩個公共點連接線段的中點，求的值．
10．如圖，拋物線y＝ax2﹣ax﹣12a經(jīng)過點C(0，4)，與x軸交于A，B兩點，連接AC，BC，M為線段OB上的一個動點，過點M作PM⊥x軸，交拋物線于點P，交BC于點Q．
（1）直接寫出a的值以及A，B的坐標：a＝　 　，A （　 　，　 　），B （　 　，　 ?。?；
（2）過點P作PN⊥BC，垂足為點N，設(shè)M點的坐標為M(m，0)，試求PQ+PN的最大值；
（3）試探究點M在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

11．如圖，拋物線的圖象與直線有唯一交點．

(1)求拋物線和直線的解析式；
(2)若點拋物線與軸的交點分別為點、，拋物線的對稱軸上是否存在一點，使的值最小？如果有，請求出這個最小值，如果沒有，請說明理由．
(3)直線與軸交于點，點是軸上一動點，請你寫出使是等腰三角形的所有點的橫坐標．
12．如圖，拋物線的圖象與x軸交點為A和B，與y軸交點為，與直線交點為A和C．

(1)求拋物線的解析式；
(2)在直線上是否存在一點M，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出點M的坐標，如果不存在請說明理由．
(3)若點E是x軸上一個動點，把點E向下平移4個單位長度得到點F，點F向右平移4個單位長度得到點G，點G向上平移4個單位長度得到點H，若四邊形與拋物線有公共點，請直接寫出點E的橫坐標的取值范圍．
13．如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點，已知．

(1)求拋物線的表達式；
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點，使是以為腰的等腰三角形？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，請說明理由；
(3)點是第一象限拋物線上的一個動點，當點運動到什么位置時，的面積最大？求出的最大面積及此時點的坐標．
14．已知拋物線的頂點A在x軸上．，是拋物線上兩點，若，則；若，則，且當y的絕對值為1時，為等腰直角三角形（其中）．
(1)求拋物線的解析式；（用含有m的式子表示）
(2)當，過點Q作軸，若，探究與之間數(shù)量關(guān)系；
(3)直線交拋物線于點D，將拋物線以直線為對稱軸向右翻折得到新拋物線，直線y=kx經(jīng)過點D，交原拋物線的對稱軸于點E，交新拋物線于另一點H，問的面積是否存在最大值或最小值，若存在，求出面積最值和m的值，若不存在，請說明理由．

參考答案：
1．(1)
(2)有最大值為6
(3)M的坐標是或

【分析】（1）把，代入拋物線的解析式即可求解；
（2）求出直線的解析式是，設(shè)點，則，可得，當時，有最大值為6；
（3）設(shè)，先求,，，分三種情況討論：①當時；②當時，； ③當時，分別求出t即可，
【詳解】（1）解：把，代入拋物線的解析式得：

解得：，
∴；
（2）過點 作軸交與點E

當 時， ，
∴ ，
設(shè)點，直線的解析式是，
把，代入得，
解得： ，
∴直線的解析式是，
∵軸交于E，
∴，
∴
∵=

∴當時，有最大值為6，
（3）存在點M，使得為直角三角形，理由如下：
拋物線的對稱軸是直線 ，設(shè)，
∵，
∴,，
當 時，
則有
∴，
解得：
∴；
②當時，
則，
∴，
∴解得：
∴；??
③當時，
則，，
∴，
整理得：
解得：
∴方程無解
∴綜上所述，M的坐標是或．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，兩點間的距離，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
2．(1)
(2)，
(3)①；②存在，或

【分析】（1）將點和代入解析式，列方程組求解即可得到答案；
（2）令求出點C坐標，從而求出直線解析式，用t表示點P點坐標，從而得到關(guān)于t的函數(shù)，求出最值即可得到答案；
（3）①根據(jù)題意用t表示點H的坐標根據(jù)面積列方程求解即可得到答案；②設(shè)出點坐標，分，兩類討論，根據(jù)勾股定理逆定理即可得到答案．
【詳解】（1）將點和代入解析式，
得，解得，
∴該拋物線的解析式為；
（2）由題意可得P點坐標為，
令得，
∴點C坐標為，
設(shè)直線的解析式為，將B、C坐標代入，
得，解得，
∴直線的解析式為，
∵軸，
∴點M的坐標為，
∴，
∵，
∴當時，的值最大， ，
此時點的坐標為：；
（3）①由題意可得，如圖1，

∵，軸，
∴點C、H縱坐標相同，點N、H、P的橫坐標相同，
∴點H的坐標為，點N的坐標為，
∵，
∴，
即，
解得，（不符合題意舍去）
∴點P的坐標為；
②當時，如圖2所示，

∵，
∴點Q、P的縱坐標相同，
∴此時Q點坐標為，
即；
當時，如圖3所示，

設(shè)，
根據(jù)勾股定理得，
解得 ，
∴，
綜上所述，點的坐標為或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的幾何綜合，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值問題，動點圍成直角三角形問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出點的坐標，利用性質(zhì)列式求解．
3．（1）這個二次函數(shù)的表達式是y=x2﹣4x+3；（2）S△BCP最大=；（3）當△BMN是等腰三角形時，m的值為，﹣，1，2．
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得PE的長，根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)等腰三角形的定義，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案．
【詳解】解：（1）將A（1，0），B（3，0）代入函數(shù)解析式，得
，
解得，
∴二次函數(shù)的表達式是y=x2-4x+3；
（2）當x=0時，y=3，即點C（0，3），
設(shè)BC的表達式為y=kx+b，將點B（3，0）點C（0，3）代入函數(shù)解析式，得
，
解這個方程組，得

直線BC的解析是為y=-x+3，
過點P作PE∥y軸
，
交直線BC于點E（t，-t+3），
PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，
∴S△BCP=S△BPE+SCPE=（-t2+3t）×3=-（t-）2+，
∵-＜0，
∴當t=時，S△BCP最大=.
（3）M（m，-m+3），N（m，m2-4m+3）
MN=m2-3m，BM=|m-3|，
當MN=BM時，①m2-3m=（m-3），解得m=，
②m2-3m=-（m-3），解得m=-
當BN=MN時，∠NBM=∠BMN=45°，
m2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）
當BM=BN時，∠BMN=∠BNM=45°，
-（m2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍），
當△BMN是等腰三角形時，m的值為，-，1，2．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是利用面積的和差得出二次函數(shù)，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)，解（3）的關(guān)鍵是利用等腰三角形的定義得出關(guān)于m的方程，要分類討論，以防遺漏．
4．(1)；
(2)；的最大值為
(3)或 或或 或

【分析】（1）根據(jù)兩點、的坐標解出二次函數(shù)的解析式，根據(jù)、兩點的坐標解出直線的 解析式；
（2）建立二次函數(shù)的關(guān)系式，求出面積的最大值及此時點D的坐標
（3）分三種情況討論即可求出點的坐標．
【詳解】（1）解：把，代入得，
，解得，
，
，
，
設(shè)直線的解析式為，
把 代入得，
，
，
；
（2）解：如圖，

過點 作 于點 交 于點，
設(shè)， ，
，

，
，
當時，的最大值為，
，
；
（3）解：二次函數(shù)的對稱軸為：，設(shè)點的坐標為，
①當為等腰三角形的底邊時，中點的坐標為
作直線且過，設(shè)的直線方程為 ，
，解得
方程為
令， ，
；
②當為等腰三角形的腰，為頂角時，
，
解得或，
或；
③當為等腰三角形的腰，為頂角時，
，
解得或，
或，
綜上所述，點的坐標為或 或或 或．
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)與三角形的綜合應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．(1)
(2)存在，或或或

【分析】（1）先由直線與軸、軸分別交于點、點，求出點和點的坐標，再將點、點的坐標代入列方程組求出、的值即可；
（2）存在以，，頂點的等腰三角形，先由拋物線的解析式求出其頂點坐標和對稱軸，再按或或為底邊進行分類討論，根據(jù)勾股定理或等腰三角形的性質(zhì)分別求出的長即可求得點的坐標．
【詳解】（1）解：直線與軸、軸分別交于點、點，
當時，由得；當時，，
，，
把、代入，得，解得，
該拋物線的解析式為；
（2）解：存在．
理由如下：
，
該拋物線的頂點為，對稱軸為直線，
設(shè)，
①等腰三角形以為底邊，如圖1所示：

，
由得，或，
，，；
②等腰三角形以為底邊，作于點，如圖2所示：

，
，
，
，
；
③等腰三角形以為底邊，作，交直線于點，如圖3所示：

，
，
，
，
，，
，解得，
，
，
綜上所述，點的坐標為或或或．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識與方法，在解第（2）題時，應(yīng)注意分類討論，此題難度較大，屬于壓軸題．
6．(1)
(2)或

【分析】（1）把，代入求解即可；
（2）設(shè)新拋物線的頂點為，根據(jù)是等腰直角三角形，可得，由新拋物線經(jīng)過原點，得，故，求解即可．
【詳解】（1）解：把，代入得：
，
解得，
拋物線的表達式為；
（2）解：過作軸于，如圖：

將拋物線平移得到新拋物線，
兩拋物線形狀相同，
設(shè)新拋物線的頂點為，則新拋物線解析式為，
是等腰直角三角形，軸，
，即，
又新拋物線經(jīng)過原點，
，即，
，
解得或或，
時，新拋物線頂點是原點，、、重合，不能構(gòu)成，故舍去，
時，，此時，
時，，此時，
是等腰直角三角形，點P的坐標為或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)解析式及圖像的平移，解題的關(guān)鍵是設(shè)出平移后拋物線的解析式，根據(jù)已知列方程．
7．(1)
(2)
(3)存在，點的坐標為，

【分析】（1）根據(jù)題意,由待定系數(shù)法即可求出答案；
（2）過點作軸的垂線，交線段于點，由，即可得到答案；
（3）由題意可知，，若是等腰直角三角形，則，進而求解．
【詳解】（1）解：拋物線與坐標軸分別交于點，，，
，解得，
拋物線的表達式為；
（2）解：，，
設(shè)直線的表達式為，則，解得，
直線的表達式為：，
點的橫坐標為，則，
過點作軸的垂線，交線段于點，如圖所示：

，
，
，拋物線開口向下，有最大值，
當時，的值取最大，此時；
（3）解：存在，理由如下：
由題意可知，，若是等腰直角三角形，則，

由（1）可得，，
軸，
，
，
，解得（舍，，（舍，，
當是等腰直角三角形時，點的坐標為，．
【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)、圖形的面積計算等，綜合運用相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．
8．(1)
(2)四邊形面積的最大值為，此時點
(3)滿足條件的點的坐標為、、、，過程見解析

【分析】（1）由點的坐標可知的長，根據(jù)，即可得出點的坐標以及，再根據(jù)點、的坐標利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)解析式；
（2）由、的坐標可得，，求出直線的解析式，由可得的解析式以及點的坐標，設(shè)，利用分割圖形求面積法即可找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；
（3）求出拋物線，可得點的坐標為，設(shè)，分別表示出，，分三種情況，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：拋物線與軸交于點、，
，
，
，
，
，
將、代入中得，解得，
所求拋物線解析式為：；
（2）解：連接，如圖所示：

、，點為的中點，
，
設(shè)直線的解析式為，將，代入表達式得，解得，
直線的解析式為，
，
設(shè)的解析式為，
，解得，
的解析式為，
點，
設(shè)，



，
，
當時，最大，且最大值為，此時點；
（3）解：，
拋物線向左平移個單位得到拋物線，使經(jīng)過原點，
，對稱軸為直線，
聯(lián)立，解得，
點的坐標為，
設(shè)，
，
，
，
，
①當時，，
，解得，
；
②當時，，
，解得，
；
③當時，，
，解得或，
或，
綜上可知：滿足條件的點的坐標為、、、，．
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖像上點的坐標特征，平移的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式，利用分類討論思想是解決本題的關(guān)鍵．
9．(1)
(2)或或
(3)或

【分析】（1）把，，分別代入拋物線解析式，解方程組，即可求解；
（2）把，，分別代入拋物線解析式，可得，即可求得，，再分兩種情況：和，分別計算，即可分別求得；
（3）首先可求得：，：，分別聯(lián)立成方程，即可求得三個公共分別點為，，，再分①當為中點時；②當為中點時；③當為中點時，根據(jù)求中點坐標公式，即可分別求得．
【詳解】（1）解：把，，分別代入拋物線解析式，得：
，
解得，
；
（2）解：把，分別代入拋物線解析式，得：
，
解得
，

解得，，
，，
設(shè)，，
當時，，
解得或；
當時，，
解得，
綜上，a的值為或或；
（3）解：∵經(jīng)過，，
∴，
解得，
∴：，：，
∴，，
解得：，，
，，
，，
解得：，，
，，
∴三個公共點為，，
①當為中點時，，
解得不合題意，舍去；
②當為中點時，，
解得；
③當為中點時，，
解得；
綜上，或．
【點睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點問題，等腰三角形的性質(zhì)，求線段中點坐標公式，采用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．
10．（1）﹣，﹣3，0，4，0；（2）；（3）存在，Q(1，3)或Q(，)
【分析】（1）先將C（0，4）代入y＝ax2﹣ax﹣12a可得a的值，然后令y＝0即可求得A、B坐標；
（2）由OB＝OC可得∠CBO＝45°，即△PNQ是等腰直角三角形，PQ＝PN，故求PQ+PN最大值，只需求出PQ最大值，并用m表示出PQ，再求最值即可；
（3）用m表示出△ACQ三邊的長，分AC＝AQ、AC＝CQ 、AQ＝CQ三種情況解答即可．
【詳解】解：（1）將C（0，4）代入y＝ax2﹣ax﹣12a得4＝﹣12a，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+x+4，
令y＝0得0＝﹣x2+x+4，解得x1＝4，x2＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（4，0），
故答案為：﹣；﹣3，0；4，0；
（2）∵y＝﹣x2+x+4，
∴令x＝0得y＝4，
∴C（0，4），OC＝4，
而B（4，0）有OB＝4，
∴OB＝OC，△BOC為等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，
∵PM⊥x軸，
∴∠BQM＝45°＝∠PQC，
∵PN⊥BC，
∴△PQN是等腰直角三角形，
∴PQ＝PN，
∴PQ+PN＝2PQ，
∴PQ+PN取最大值即是PQ取最大值，
由C（0，4），B（4，0）可得BC解析式為y＝﹣x+4，
∵M（m，0），
∴P（m，﹣m2+m+4），Q（m，﹣m+4），
∴PQ＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣2）2+，
∴m＝2時，PQ最大值為，
∴PQ+PN的最大值為；
（3）∵A（﹣3，0），C（0，4），Q（m，﹣m+4），
∴AC＝＝5，AQ＝＝，CQ＝＝，
以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形，分三種情況：
①AC＝AQ時，＝5，解得m＝0（此時Q與C重合，舍去）或m＝1，
∴Q（1，3）；
②AC＝CQ時，＝5，解得m＝或m＝﹣（此時M不在線段OB上，舍去），
∴Q（，）；
③AQ＝CQ時，＝，解得m＝12.5（此時M不在線段OB上，舍去），
綜上所述，以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形，Q(1，3)或Q(，)．
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)綜合運用，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意表示相關(guān)點的坐標、線段長度并運用列方程求解．
11．(1)，
(2)
(3)或或或

【分析】（1）將點代入，可求拋物線的解析式；將點代入，然后根據(jù)拋物線與直線由唯一交點，求出，即可求直線的解析式；
（2）根據(jù)拋物線的對稱軸可知M、N點關(guān)于對稱軸對稱，則當A、P、N三點共線時，有最小值，最小值為的長；
（3）設(shè)，分別求出，，，再由等腰三角形三邊關(guān)系，分類討論即可．
【詳解】（1）將點代入，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為，
將點代入，
∴，
∴，
∵拋物線的圖象與直線有唯一交點，
∴有兩個相等實數(shù)根時，
∴，
解得，
∴直線解析式為；
（2）存在點P，使的值最小，理由如下，連接，，．

當時，，
解得或，
∴，，
∵，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∵M、N點關(guān)于對稱軸對稱，
∴，
∴，
∴當A、P、N三點共線時，有最小值，最小值為的長．
∵，
∴，
∴的最小值為；
（3）當時，，
∴，
設(shè)，
∴，
當時，，
解得或（舍）；
當時，，
解得或；
當時，，
解得；
綜上所述：Q點橫坐標為或或或．
【點睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與坐標軸的交點，勾股定理，等腰三角形的定義，軸對稱的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用拋物線的對稱性求最小值的方法是解題的關(guān)鍵．
12．(1)
(2)存在，
(3)

【分析】（1）先求得，然后將，代入，即可求函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)，根據(jù)是等腰三角形，分類討論，根據(jù)勾股定理即可求解；
（3）設(shè)點E的橫坐標，分別求出，，，，當F點在拋物線上時，或，當G點在拋物線上時，或，結(jié)合圖象可得時，四邊形與拋物線有公共點．
【詳解】（1）解：由得，時，，
∴．
∵拋物線經(jīng)過、D兩點，
∴，解得
∴拋物線的解析式為．
（2）解：由，令，，
解得：，
∴；
∵，
∴，
∵是直線上的點，設(shè)，
當為斜邊時，,
∴，
解得：，
∴
當為直角時，,
∴
解得：（根據(jù)圖形，不合題意舍去）
∴
綜上所述，存在
（3）解：∵點E的橫坐標，
∴，
由題可知，，，，
當F點在拋物線上時，，
解得或，
當G點在拋物線上時，，
解得或，
∴時，四邊形與拋物線有公共點．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．
13．(1)
(2)存在點，或或
(3)當點運動到位置時，的面積最大，最大面積為4，此時

【分析】（1）根據(jù)，，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；
（2）可設(shè)出點坐標，則可表示出、和的長，分、兩種情況分別得到關(guān)于點坐標的方程，可求得點坐標；
（3）首先根據(jù)、的坐標求得直線的解析式，可設(shè)點坐標，則可表示出點的坐標，從而可表示出的長，可表示出的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值及此時點的坐標．
【詳解】（1）解：將，代入得，解得，
拋物線的表達式為；
（2）解：存在點，使是以為腰的等腰三角形．
理由如下：根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，分兩種情況討論，如圖所示：

，
對稱軸為直線，
，，
，
設(shè)，
①當時，，解得或（舍去），
；
②當時，，解得或，
或；
綜上所述：點坐標為或或；
（3）解：當點運動到位置時，的面積最大．
理由如下：
令，則，解得或，
，
設(shè)直線的解析式為，得，解得，
直線的解析式為，
過點作軸，交拋物線于點，如圖所示：

設(shè)，則，
，
，拋物線開口向下，有最大值，
當時，最大為2，
，
當時，的面積最大，最大值為4，此時．
答：的最大面積為4，此時．
【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、方程思想及分類討論思想等知識，解決本題的關(guān)鍵是待定系數(shù)法的應(yīng)用，用點的坐標表示出和，用點坐標表示出的面積．
14．(1)
(2)
(3)存在，的面積有最小值，此時；的面積有最大值，此時．

【分析】（1）先求出拋物線的頂點坐標，然后再用頂點式和待定系數(shù)法解答即可；
（2）如圖2：過點P作軸交于點E，令，則，可得，再根據(jù)列式求得，進而得到，最后根據(jù)正切函數(shù)即可解答；
（3）先求出D點坐標，再求得拋物線翻折后的解析式為，然后確定H點的坐標，進而確定面積的表達式，然后根據(jù)m的取值范圍確定最大值和最小值即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點A在x軸上，
∴拋物線的頂點的縱坐標為0，
∵，則，則，
∴直線是拋物線的對稱軸，且，
∴拋物線頂點為，
∴拋物線的解析式為，
當時，，解得或
∵，
∴，
如圖1：過點A作交于點H，
∴，
∴，解得a=1
∴．

（2）解：如圖2：過點P作軸交于點E，

令，則，
∵，
∴
∵，
∴
∴，解得：或（舍），
∴
∴
∴
∴，
∴．
（3）解：當時，，
∴，
∵直線經(jīng)過點D，
∴，
∴
當時，，
∴，
拋物線翻折后的解析式為，
當時，解得或，
∴
∴


∵，
∴
∴當時，的面積有最小值，此時；
當時，的面積有最大值，此時．

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、二次函數(shù)與幾何的綜合、求二次函數(shù)解析式等知識點，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是解答本題的關(guān)鍵．

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