2023年湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)沙縣中考數(shù)學(xué)二模試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  下列各數(shù)中是無(wú)理數(shù)的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列根式中與是同類二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  湘雅路過(guò)江通道工程是長(zhǎng)沙市區(qū)“十八橫十六縱”三十四條主干路之一，位于三一大道與營(yíng)盤(pán)路之間，總投資億元其中數(shù)據(jù)億元精確到哪位？(    )A. 萬(wàn)位 B. 十萬(wàn)位 C. 百萬(wàn)位 D. 億位4.  如圖是由個(gè)大小相同的正方體組成的幾何體，下列說(shuō)法正確的是(    )A. 主視圖與左視圖一樣
B. 主視圖與俯視圖一樣
C. 左視圖與俯視圖一樣
D. 三視圖都不一樣5.  如圖，擲飛鏢游戲中，擲中陰影部分的概率是(    )A.
B.
C.
D.
 6.  正六邊形的半徑為，則它的邊心距是(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知一組數(shù)據(jù)為，，，，，，，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 8.  年月日，“泰國(guó)開(kāi)摘節(jié)”采摘的榴蓮搶“鮮”人湘，標(biāo)志著長(zhǎng)沙一曼谷定期國(guó)際貨運(yùn)航線正式通航，長(zhǎng)沙一曼谷的航線距離是，往返一次逆風(fēng)航行所需的時(shí)間比順風(fēng)的時(shí)間多小時(shí)，設(shè)飛機(jī)在靜風(fēng)中的速度為，風(fēng)速為，則可列方程(    )A.  B.
C.  D. 9.  二次函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是(    )A.  B.  C.  D. 10.  如圖，中，，利用尺規(guī)分別以，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧相交于兩點(diǎn)，連接交點(diǎn)，交于點(diǎn)，下列說(shuō)法不一定正確的是(    )
 A.  B.
C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.  因式分解：______．12.  一元一次方程的解為，則 ______ ．13.  如圖，的半徑為，弦，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為______ ．
 14.  長(zhǎng)沙市馬欄山視頻文創(chuàng)園濱河路與楓林塘路交會(huì)處，有一棵多歲的古樟樹(shù)，類似于圓柱體的樹(shù)木主干高需要刷保護(hù)料，樹(shù)干的半徑為，則需粉刷的面積是______ 結(jié)果保留．
 15.  反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則的取值范圍是______ ．
 16.  如圖，已知在中，，高，內(nèi)接矩形的頂點(diǎn)、在邊上，、分別在、上，則內(nèi)接矩形的最大面積為______ ．
 三、解答題（本大題共9小題，共72.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.  本小題分
計(jì)算：．18.  本小題分
解不等式組．19.  本小題分
如圖，在平行四邊形中，、分別平分和，分別交、于點(diǎn)、．
若，求的度數(shù)；
求證：四邊形是平行四邊形．
20.  本小題分
“你點(diǎn)我檢”活動(dòng)從年月日開(kāi)始，市場(chǎng)監(jiān)管部門(mén)通過(guò)抽檢品種和抽樣場(chǎng)所了解情況以下是名檢測(cè)員對(duì)某學(xué)校的甲、乙兩個(gè)食堂進(jìn)行打分調(diào)查的統(tǒng)計(jì)結(jié)果：  號(hào)號(hào)號(hào)號(hào)號(hào)號(hào)號(hào)號(hào)號(hào)號(hào)甲乙根據(jù)以上數(shù)據(jù)，將下面表格補(bǔ)充完整： 類型分?jǐn)?shù)分分分分分甲頻數(shù)______ ______ 甲頻率______ ______ 乙頻數(shù)______ ______ 乙頻率______ ______ 分別求出甲、乙食堂打分的平均數(shù)；
從穩(wěn)定性角度分析，學(xué)生應(yīng)該選哪個(gè)食堂用餐比較合適．
參考公式．21.  本小題分
長(zhǎng)沙第一高樓位于芙蓉區(qū)五一商圈的國(guó)金中心，是旅游打卡圣地，小明想了解它的具體高度，通過(guò)下面方法進(jìn)行測(cè)算如圖，小明站在樓前的平地處，觀測(cè)到國(guó)金大廈的最高點(diǎn)仰角為，他朝正前方筆直行走米來(lái)到處，此時(shí)觀測(cè)到國(guó)金大廈的最高點(diǎn)仰角為，若小明的眼睛離地面米．
求長(zhǎng)沙第一高樓國(guó)金大廈的高度；
小明還要走多遠(yuǎn)的距離才能到達(dá)國(guó)金大廈？

 22.  本小題分
小美打算買一束百合和康乃馨組合的鮮花，在“母親節(jié)”祝福媽媽已知買支百合和支康乃馨共需花費(fèi)元，支康乃馨的價(jià)格比支百合的價(jià)格多元．
求買一支康乃馨和一支百合各需多少元？
小美準(zhǔn)備買康乃馨和百合共支，且百合不少于支設(shè)買這束鮮花所需費(fèi)用為元，康乃馨有支，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并設(shè)計(jì)一種使費(fèi)用最少的買花方案，寫(xiě)出最少費(fèi)用．23.  本小題分
如圖，四邊形是矩形，，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)．
求的長(zhǎng)；
點(diǎn)是上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作兩條對(duì)角線的垂線段，垂足分別是、，求的值．
24.  本小題分
我們不妨約定：函數(shù)、、為常數(shù)與軸、軸交點(diǎn)和原點(diǎn)構(gòu)成圖形是等腰直角三角形時(shí)的函數(shù)稱“函數(shù)”，等腰直角三角形中除掉原點(diǎn)外的兩個(gè)頂點(diǎn)稱“點(diǎn)”，例如：函數(shù)與軸交于點(diǎn)、，與軸交于，是等腰直角三角形，則是“函數(shù)”，其中、是“點(diǎn)”．
若一次函數(shù)是“函數(shù)”，求的值，并求出“點(diǎn)”；
若二次函數(shù)、、為常數(shù)，，是過(guò)的“函數(shù)”、與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，、為“點(diǎn)”，過(guò)點(diǎn)作直線平行于軸，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，是軸上的動(dòng)點(diǎn)，．
當(dāng)點(diǎn)落在“函數(shù)”上不與點(diǎn)重合，且時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
取的中點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，的最小值是？25.  本小題分
如圖，已知圓是四邊形的外接圓，是直徑連接交于點(diǎn)．
如圖，是弧的中點(diǎn)，當(dāng)，求的度數(shù)；
如圖，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，其中與重合，求證：；
如圖，，是的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．


答案和解析 1.【答案】 解析：解：是有理數(shù)，
選項(xiàng)A不符合題意；
是分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)，
選項(xiàng)B不符合題意；
是無(wú)理數(shù)，
選項(xiàng)符合題意；
，它是有理數(shù)，
選項(xiàng)D不符合題意，
故選：．
運(yùn)用無(wú)理數(shù)的定義進(jìn)行逐一辨別、求解．
此題考查了無(wú)理數(shù)的辨別能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用無(wú)理數(shù)的定義．
 2.【答案】 解析：解：、與不是同類二次根式，不符合題意；
B、與不是同類二次根式，不符合題意；
C、與不是同類二次根式，不符合題意；
D、，與是同類二次根式，符合題意；
故選：．
根據(jù)同類二次根式的概念判斷即可．
本題考查的是同類二次根式的概念、二次根式的性質(zhì)，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開(kāi)方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．
 3.【答案】 解析：解：數(shù)據(jù)億精確到的位數(shù)是十萬(wàn)位．
故選：．
根據(jù)近似數(shù)的精確度求解．
本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個(gè)有效數(shù)字等說(shuō)法．
 4.【答案】 解析：解：該幾何體的主視圖和左視圖完全相同，均為底層兩個(gè)小正方形，上層的左邊是一個(gè)小正方形；俯視圖底層右邊是一個(gè)小正方形，上層是兩個(gè)小正方形，
故選：．
根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案．
本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖．
 5.【答案】 解析：解：設(shè)圓的半徑為，
則陰影的面積為，圓的面積為，
擲中陰影部分的概率是．
故選：．
用陰影部分的面積除以圓的面積即可求得概率．
此題主要考查了幾何概率，會(huì)計(jì)算扇形的面積是解題關(guān)鍵．
 6.【答案】 解析：解：如圖，連接、；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．

在中，，，
，
故選：．
根據(jù)正六邊形的特點(diǎn)，通過(guò)中心作邊的垂線，連接半徑，結(jié)合解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決．
本題考查的是正多邊形和圓，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 解析：解：這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次，次數(shù)最多，
所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是，
故選：．
根據(jù)眾數(shù)的定義求解即可．
本題主要考查眾數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．
 8.【答案】 解析：解：飛機(jī)在靜風(fēng)中的速度為，風(fēng)速為，
飛機(jī)在順風(fēng)中的速度為，在逆風(fēng)中的速度為．
根據(jù)題意得：．
故選：．
由飛機(jī)在靜風(fēng)中的速度及風(fēng)速，可得出飛機(jī)在順風(fēng)中的速度為，在逆風(fēng)中的速度為，結(jié)合實(shí)際路程速度，結(jié)合往返一次逆風(fēng)航行所需的時(shí)間比順風(fēng)的時(shí)間多小時(shí)，即可得出關(guān)于的分式方程，此題得解．
本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 解析：解：將二次函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是，即．
故選：．
直接運(yùn)用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”解答．
此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．
 10.【答案】 解析：解：由作圖得：為的中點(diǎn)，
，
，
，
故A、、D正確，
故選B．
由作圖得：為的中點(diǎn)，由直角三角形的性質(zhì)及等邊對(duì)等角求解．
本題考查了基本作圖，掌握直角三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 解析：解：原式，
故答案為  12.【答案】 解析：解：把代入方程得：，
解得：，
故答案為：．
把代入方程，即可得出一個(gè)關(guān)于的一元一次方程，求出方程的解即可．
本題考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出一個(gè)關(guān)于的一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 解析：解：是的中點(diǎn)，
，，
在中，．
故答案為：．
根據(jù)垂徑定理的推論得，再根據(jù)勾股定理即可求出答案．
本題考查了垂徑定理，關(guān)鍵是由是的中點(diǎn)得到．
 14.【答案】 解析：解：


故需粉刷的面積是．
故答案為：．
根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式計(jì)算即可求解．
本題考查了圓柱的側(cè)面積計(jì)算，關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A柱的側(cè)面積公式．
 15.【答案】 解析：解：這個(gè)反比例函數(shù)的圖象分布在第一、三象限，
，
解得．
故答案為：．
由反比例函數(shù)圖象位于第一、三象限得到，即可求出的范圍．
此題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】 解析：解：四邊形為矩形，
，．
，
，
設(shè)，則．
，
∽，
，
，

矩形的面積


．
，
當(dāng)時(shí)，內(nèi)接矩形的最大面積為．
故答案為：．
利用矩形的性質(zhì)和平行線之間的距離相等的性質(zhì)得到，設(shè)，則；利用相似三角形的判定與性質(zhì)，對(duì)應(yīng)高的比對(duì)應(yīng)相似比求得線段的長(zhǎng)度，再利用矩形的面積公式求得用含的代數(shù)式表示的矩形的面積，最后利用配方法和二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．
本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，配方法，利用配方法求得函數(shù)的最大值是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：原式

． 解析：利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪的運(yùn)算法則、絕對(duì)值的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可．
本題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、絕對(duì)值的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：由得：，
由得：，
則不等式組的解集為． 解析：分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：四邊形是平行四邊形，
，，
，
平分，
，
；
證明：四邊形是平行四邊形，
，，，
、分別是和的角平分線，
，，
，
，，
，，
，，
，
，即，
，
四邊形是平行四邊形． 解析：由平行四邊形的性質(zhì)可得出答案；
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，，由角平分線定義證出，即可證明四邊形是平行四邊形．
本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
 20.【答案】               解析：解：由題意得，
甲食堂分的頻數(shù)為，頻率為；分的頻數(shù)為，頻率為；
乙食堂分的頻數(shù)為，頻率為；分的頻數(shù)為，頻率為；
故答案為：、、、、、、、；
甲食堂打分的平均數(shù)為：；
乙食堂打分的平均數(shù)為：；
答：甲、乙食堂打分的平均數(shù)均為；
甲食堂打分的方差為，
乙食堂打分的方差為，
甲食堂打分的方差比乙食堂打分的方差大，
乙食堂更穩(wěn)定，學(xué)生應(yīng)該選乙食堂用餐比較合適．
根據(jù)統(tǒng)計(jì)表數(shù)據(jù)以及頻數(shù)與頻率的定義可得答案；
根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式解答即可；
根據(jù)方差公式求出甲、乙食堂打分的方差，再根據(jù)方差的意義解答即可．
本題考查了加權(quán)平均數(shù)，方差以及頻數(shù)與頻率，掌握相關(guān)定義與公式是解答本題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：由題意得：米，米，，，
是的一個(gè)外角，，，
，
，
米，
在中，米，
米，
長(zhǎng)沙第一高樓國(guó)金大廈的高度為米；
由題意得：，
在中，，米，
米，
米，
小明還要走米才能到達(dá)國(guó)金大廈． 解析：根據(jù)題意可得：米，米，，，先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，從而可得米，然后在中，利用含度角的直角三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答；
根據(jù)題意可得：，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，即可解答．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：設(shè)買一支康乃馨需元，買一支百合需元，
則根據(jù)題意得：
解得：
答：買一支康乃馨需元，買一支百合需元；
根據(jù)題意得：，
百合不少于支，
，
解得：，
，
隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，最小，
即買支康乃馨，買支百合費(fèi)用最少，元，
答：與之間的函數(shù)關(guān)系式：，買支康乃馨，買支百合費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為元． 解析：設(shè)買一支康乃馨需元，買一支百合需元，根據(jù)題意列方程組求解即可；
根據(jù)康乃馨和百合的費(fèi)用之和列出函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和百合不少于支求函數(shù)的最小值即可．
本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)和二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用題意寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式．
 23.【答案】解：四邊形是矩形，，，
，，
，
的長(zhǎng)為；
如圖，連接，
四邊形是矩形，
，，
，
，
，
． 解析：根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，然后利用勾股定理即可解決問(wèn)題；
連接，利用，列出方程即可求出結(jié)果．
本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)．
 24.【答案】解：在中，令得，令得，
直線與軸交點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為，
根據(jù)“函數(shù)”的定義可得：，
解得，
當(dāng)時(shí)，，
“點(diǎn)”為，；
當(dāng)時(shí)，，
“點(diǎn)”為，；
設(shè)，則的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和，
，
，，
，
、為“點(diǎn)”，
；
將，，代入得：
，
解得，
拋物線的解析式為，
在中，令得：，
解得或，
，
過(guò)點(diǎn)作直線于點(diǎn)，如圖：

，
在中，，，
，
，
，
解得：，
；
連接、，如圖：

由是的中點(diǎn)，
，
點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，
，，
，，，
在中，，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，滿足條件的點(diǎn)在線段上，
的最小值為，
，
解得；
；
當(dāng)，即時(shí)，滿足條件的點(diǎn)落在線段的延長(zhǎng)線上，
的最小值為，
解得；
；
綜上所述，的值為或． 解析：根據(jù)“函數(shù)”的定義可得：，解得，當(dāng)時(shí)，“點(diǎn)”為，；當(dāng)時(shí)，“點(diǎn)”為，；
設(shè)，可得；求出拋物線的解析式為，可得，過(guò)點(diǎn)作直線于點(diǎn)，由，，知，故，得：，從而；
連接、，由是的中點(diǎn)，知點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，由，得，當(dāng)時(shí)，，得；；當(dāng)，，得；．
本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及新定義，待定系數(shù)法，最短路徑等，等腰直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解“函數(shù)和“點(diǎn)”概念．
 25.【答案】解：是弧的中點(diǎn)，
，
，
，
；
證明：是直徑，
，
，．
，
．
將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，
，，．
，
．
，
．．



．
；
解：是的中點(diǎn)，
，
設(shè)，則，
是直徑，
，

，
，
，
．
在和中，
，
≌，
．

，，
，
∽，
，
，，
． 解析：利用等弧對(duì)等弦，等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理解答即可；
利用圓周角定理和勾股定理求得，，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)求得；利用等式的性質(zhì)和等量代換，通過(guò)計(jì)算即可得出結(jié)論；
設(shè)，則，利用全等三角形的判定與性質(zhì)求得，利用勾股定理求得，，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得，，計(jì)算即可得出結(jié)論．
本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
  

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