2023年湖南省長沙市長沙縣中考數(shù)學(xué)二模試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  下列各數(shù)中是無理數(shù)的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列根式中與是同類二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  湘雅路過江通道工程是長沙市區(qū)“十八橫十六縱”三十四條主干路之一，位于三一大道與營盤路之間，總投資億元其中數(shù)據(jù)億元精確到哪位？(    )A. 萬位 B. 十萬位 C. 百萬位 D. 億位4.  如圖是由個大小相同的正方體組成的幾何體，下列說法正確的是(    )A. 主視圖與左視圖一樣
B. 主視圖與俯視圖一樣
C. 左視圖與俯視圖一樣
D. 三視圖都不一樣5.  如圖，擲飛鏢游戲中，擲中陰影部分的概率是(    )A.
B.
C.
D.
 6.  正六邊形的半徑為，則它的邊心距是(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知一組數(shù)據(jù)為，，，，，，，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 8.  年月日，“泰國開摘節(jié)”采摘的榴蓮搶“鮮”人湘，標(biāo)志著長沙一曼谷定期國際貨運(yùn)航線正式通航，長沙一曼谷的航線距離是，往返一次逆風(fēng)航行所需的時間比順風(fēng)的時間多小時，設(shè)飛機(jī)在靜風(fēng)中的速度為，風(fēng)速為，則可列方程(    )A.  B.
C.  D. 9.  二次函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是(    )A.  B.  C.  D. 10.  如圖，中，，利用尺規(guī)分別以，為圓心，大于的長為半徑畫弧相交于兩點(diǎn)，連接交點(diǎn)，交于點(diǎn)，下列說法不一定正確的是(    )
 A.  B.
C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.  因式分解：______．12.  一元一次方程的解為，則 ______ ．13.  如圖，的半徑為，弦，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則的長為______ ．
 14.  長沙市馬欄山視頻文創(chuàng)園濱河路與楓林塘路交會處，有一棵多歲的古樟樹，類似于圓柱體的樹木主干高需要刷保護(hù)料，樹干的半徑為，則需粉刷的面積是______ 結(jié)果保留．
 15.  反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則的取值范圍是______ ．
 16.  如圖，已知在中，，高，內(nèi)接矩形的頂點(diǎn)、在邊上，、分別在、上，則內(nèi)接矩形的最大面積為______ ．
 三、解答題（本大題共9小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
計算：．18.  本小題分
解不等式組．19.  本小題分
如圖，在平行四邊形中，、分別平分和，分別交、于點(diǎn)、．
若，求的度數(shù)；
求證：四邊形是平行四邊形．
20.  本小題分
“你點(diǎn)我檢”活動從年月日開始，市場監(jiān)管部門通過抽檢品種和抽樣場所了解情況以下是名檢測員對某學(xué)校的甲、乙兩個食堂進(jìn)行打分調(diào)查的統(tǒng)計結(jié)果：  號號號號號號號號號號甲乙根據(jù)以上數(shù)據(jù)，將下面表格補(bǔ)充完整： 類型分?jǐn)?shù)分分分分分甲頻數(shù)______ ______ 甲頻率______ ______ 乙頻數(shù)______ ______ 乙頻率______ ______ 分別求出甲、乙食堂打分的平均數(shù)；
從穩(wěn)定性角度分析，學(xué)生應(yīng)該選哪個食堂用餐比較合適．
參考公式．21.  本小題分
長沙第一高樓位于芙蓉區(qū)五一商圈的國金中心，是旅游打卡圣地，小明想了解它的具體高度，通過下面方法進(jìn)行測算如圖，小明站在樓前的平地處，觀測到國金大廈的最高點(diǎn)仰角為，他朝正前方筆直行走米來到處，此時觀測到國金大廈的最高點(diǎn)仰角為，若小明的眼睛離地面米．
求長沙第一高樓國金大廈的高度；
小明還要走多遠(yuǎn)的距離才能到達(dá)國金大廈？

 22.  本小題分
小美打算買一束百合和康乃馨組合的鮮花，在“母親節(jié)”祝福媽媽已知買支百合和支康乃馨共需花費(fèi)元，支康乃馨的價格比支百合的價格多元．
求買一支康乃馨和一支百合各需多少元？
小美準(zhǔn)備買康乃馨和百合共支，且百合不少于支設(shè)買這束鮮花所需費(fèi)用為元，康乃馨有支，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并設(shè)計一種使費(fèi)用最少的買花方案，寫出最少費(fèi)用．23.  本小題分
如圖，四邊形是矩形，，，對角線、相交于點(diǎn)．
求的長；
點(diǎn)是上一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作兩條對角線的垂線段，垂足分別是、，求的值．
24.  本小題分
我們不妨約定：函數(shù)、、為常數(shù)與軸、軸交點(diǎn)和原點(diǎn)構(gòu)成圖形是等腰直角三角形時的函數(shù)稱“函數(shù)”，等腰直角三角形中除掉原點(diǎn)外的兩個頂點(diǎn)稱“點(diǎn)”，例如：函數(shù)與軸交于點(diǎn)、，與軸交于，是等腰直角三角形，則是“函數(shù)”，其中、是“點(diǎn)”．
若一次函數(shù)是“函數(shù)”，求的值，并求出“點(diǎn)”；
若二次函數(shù)、、為常數(shù)，，是過的“函數(shù)”、與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，、為“點(diǎn)”，過點(diǎn)作直線平行于軸，是直線上的動點(diǎn)，是軸上的動點(diǎn)，．
當(dāng)點(diǎn)落在“函數(shù)”上不與點(diǎn)重合，且時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
取的中點(diǎn)，當(dāng)為何值時，的最小值是？25.  本小題分
如圖，已知圓是四邊形的外接圓，是直徑連接交于點(diǎn)．
如圖，是弧的中點(diǎn)，當(dāng)，求的度數(shù)；
如圖，，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)至，其中與重合，求證：；
如圖，，是的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，當(dāng)時，求的值．


答案和解析 1.【答案】 解析：解：是有理數(shù)，
選項(xiàng)A不符合題意；
是分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)，
選項(xiàng)B不符合題意；
是無理數(shù)，
選項(xiàng)符合題意；
，它是有理數(shù)，
選項(xiàng)D不符合題意，
故選：．
運(yùn)用無理數(shù)的定義進(jìn)行逐一辨別、求解．
此題考查了無理數(shù)的辨別能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用無理數(shù)的定義．
 2.【答案】 解析：解：、與不是同類二次根式，不符合題意；
B、與不是同類二次根式，不符合題意；
C、與不是同類二次根式，不符合題意；
D、，與是同類二次根式，符合題意；
故選：．
根據(jù)同類二次根式的概念判斷即可．
本題考查的是同類二次根式的概念、二次根式的性質(zhì)，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．
 3.【答案】 解析：解：數(shù)據(jù)億精確到的位數(shù)是十萬位．
故選：．
根據(jù)近似數(shù)的精確度求解．
本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數(shù)字等說法．
 4.【答案】 解析：解：該幾何體的主視圖和左視圖完全相同，均為底層兩個小正方形，上層的左邊是一個小正方形；俯視圖底層右邊是一個小正方形，上層是兩個小正方形，
故選：．
根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案．
本題考查了簡單組合體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖．
 5.【答案】 解析：解：設(shè)圓的半徑為，
則陰影的面積為，圓的面積為，
擲中陰影部分的概率是．
故選：．
用陰影部分的面積除以圓的面積即可求得概率．
此題主要考查了幾何概率，會計算扇形的面積是解題關(guān)鍵．
 6.【答案】 解析：解：如圖，連接、；過點(diǎn)作于點(diǎn)．

在中，，，
，
故選：．
根據(jù)正六邊形的特點(diǎn)，通過中心作邊的垂線，連接半徑，結(jié)合解直角三角形的有關(guān)知識解決．
本題考查的是正多邊形和圓，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 解析：解：這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次，次數(shù)最多，
所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是，
故選：．
根據(jù)眾數(shù)的定義求解即可．
本題主要考查眾數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．
 8.【答案】 解析：解：飛機(jī)在靜風(fēng)中的速度為，風(fēng)速為，
飛機(jī)在順風(fēng)中的速度為，在逆風(fēng)中的速度為．
根據(jù)題意得：．
故選：．
由飛機(jī)在靜風(fēng)中的速度及風(fēng)速，可得出飛機(jī)在順風(fēng)中的速度為，在逆風(fēng)中的速度為，結(jié)合實(shí)際路程速度，結(jié)合往返一次逆風(fēng)航行所需的時間比順風(fēng)的時間多小時，即可得出關(guān)于的分式方程，此題得解．
本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 解析：解：將二次函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式是，即．
故選：．
直接運(yùn)用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”解答．
此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．
 10.【答案】 解析：解：由作圖得：為的中點(diǎn)，
，
，
，
故A、、D正確，
故選B．
由作圖得：為的中點(diǎn)，由直角三角形的性質(zhì)及等邊對等角求解．
本題考查了基本作圖，掌握直角三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 解析：解：原式，
故答案為  12.【答案】 解析：解：把代入方程得：，
解得：，
故答案為：．
把代入方程，即可得出一個關(guān)于的一元一次方程，求出方程的解即可．
本題考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出一個關(guān)于的一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 解析：解：是的中點(diǎn)，
，，
在中，．
故答案為：．
根據(jù)垂徑定理的推論得，再根據(jù)勾股定理即可求出答案．
本題考查了垂徑定理，關(guān)鍵是由是的中點(diǎn)得到．
 14.【答案】 解析：解：


故需粉刷的面積是．
故答案為：．
根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式計算即可求解．
本題考查了圓柱的側(cè)面積計算，關(guān)鍵是熟練掌握圓柱的側(cè)面積公式．
 15.【答案】 解析：解：這個反比例函數(shù)的圖象分布在第一、三象限，
，
解得．
故答案為：．
由反比例函數(shù)圖象位于第一、三象限得到，即可求出的范圍．
此題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】 解析：解：四邊形為矩形，
，．
，
，
設(shè)，則．
，
∽，
，
，

矩形的面積


．
，
當(dāng)時，內(nèi)接矩形的最大面積為．
故答案為：．
利用矩形的性質(zhì)和平行線之間的距離相等的性質(zhì)得到，設(shè)，則；利用相似三角形的判定與性質(zhì)，對應(yīng)高的比對應(yīng)相似比求得線段的長度，再利用矩形的面積公式求得用含的代數(shù)式表示的矩形的面積，最后利用配方法和二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．
本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，配方法，利用配方法求得函數(shù)的最大值是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：原式

． 解析：利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪的運(yùn)算法則、絕對值的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值計算即可．
本題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、絕對值的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：由得：，
由得：，
則不等式組的解集為． 解析：分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：四邊形是平行四邊形，
，，
，
平分，
，
；
證明：四邊形是平行四邊形，
，，，
、分別是和的角平分線，
，，
，
，，
，，
，，
，
，即，
，
四邊形是平行四邊形． 解析：由平行四邊形的性質(zhì)可得出答案；
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，，由角平分線定義證出，即可證明四邊形是平行四邊形．
本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．
 20.【答案】               解析：解：由題意得，
甲食堂分的頻數(shù)為，頻率為；分的頻數(shù)為，頻率為；
乙食堂分的頻數(shù)為，頻率為；分的頻數(shù)為，頻率為；
故答案為：、、、、、、、；
甲食堂打分的平均數(shù)為：；
乙食堂打分的平均數(shù)為：；
答：甲、乙食堂打分的平均數(shù)均為；
甲食堂打分的方差為，
乙食堂打分的方差為，
甲食堂打分的方差比乙食堂打分的方差大，
乙食堂更穩(wěn)定，學(xué)生應(yīng)該選乙食堂用餐比較合適．
根據(jù)統(tǒng)計表數(shù)據(jù)以及頻數(shù)與頻率的定義可得答案；
根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算公式解答即可；
根據(jù)方差公式求出甲、乙食堂打分的方差，再根據(jù)方差的意義解答即可．
本題考查了加權(quán)平均數(shù)，方差以及頻數(shù)與頻率，掌握相關(guān)定義與公式是解答本題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：由題意得：米，米，，，
是的一個外角，，，
，
，
米，
在中，米，
米，
長沙第一高樓國金大廈的高度為米；
由題意得：，
在中，，米，
米，
米，
小明還要走米才能到達(dá)國金大廈． 解析：根據(jù)題意可得：米，米，，，先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，從而可得米，然后在中，利用含度角的直角三角形的性質(zhì)求出的長，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可解答；
根據(jù)題意可得：，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，即可解答．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：設(shè)買一支康乃馨需元，買一支百合需元，
則根據(jù)題意得：
解得：
答：買一支康乃馨需元，買一支百合需元；
根據(jù)題意得：，
百合不少于支，
，
解得：，
，
隨的增大而減小，
當(dāng)時，最小，
即買支康乃馨，買支百合費(fèi)用最少，元，
答：與之間的函數(shù)關(guān)系式：，買支康乃馨，買支百合費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為元． 解析：設(shè)買一支康乃馨需元，買一支百合需元，根據(jù)題意列方程組求解即可；
根據(jù)康乃馨和百合的費(fèi)用之和列出函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和百合不少于支求函數(shù)的最小值即可．
本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)和二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用題意寫出函數(shù)關(guān)系式．
 23.【答案】解：四邊形是矩形，，，
，，
，
的長為；
如圖，連接，
四邊形是矩形，
，，
，
，
，
． 解析：根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，然后利用勾股定理即可解決問題；
連接，利用，列出方程即可求出結(jié)果．
本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)．
 24.【答案】解：在中，令得，令得，
直線與軸交點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為，
根據(jù)“函數(shù)”的定義可得：，
解得，
當(dāng)時，，
“點(diǎn)”為，；
當(dāng)時，，
“點(diǎn)”為，；
設(shè)，則的兩個實(shí)數(shù)根為和，
，
，，
，
、為“點(diǎn)”，
；
將，，代入得：
，
解得，
拋物線的解析式為，
在中，令得：，
解得或，
，
過點(diǎn)作直線于點(diǎn)，如圖：

，
在中，，，
，
，
，
解得：，
；
連接、，如圖：

由是的中點(diǎn)，
，
點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，
，，
，，，
在中，，
當(dāng)時，即時，滿足條件的點(diǎn)在線段上，
的最小值為，
，
解得；
；
當(dāng)，即時，滿足條件的點(diǎn)落在線段的延長線上，
的最小值為，
解得；
；
綜上所述，的值為或． 解析：根據(jù)“函數(shù)”的定義可得：，解得，當(dāng)時，“點(diǎn)”為，；當(dāng)時，“點(diǎn)”為，；
設(shè)，可得；求出拋物線的解析式為，可得，過點(diǎn)作直線于點(diǎn)，由，，知，故，得：，從而；
連接、，由是的中點(diǎn)，知點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，由，得，當(dāng)時，，得；；當(dāng)，，得；．
本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及新定義，待定系數(shù)法，最短路徑等，等腰直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解“函數(shù)和“點(diǎn)”概念．
 25.【答案】解：是弧的中點(diǎn)，
，
，
，
；
證明：是直徑，
，
，．
，
．
將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)至，
，，．
，
．
，
．．



．
；
解：是的中點(diǎn)，
，
設(shè)，則，
是直徑，
，

，
，
，
．
在和中，
，
≌，
．

，，
，
∽，
，
，，
． 解析：利用等弧對等弦，等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理解答即可；
利用圓周角定理和勾股定理求得，，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)求得；利用等式的性質(zhì)和等量代換，通過計算即可得出結(jié)論；
設(shè)，則，利用全等三角形的判定與性質(zhì)求得，利用勾股定理求得，，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得，，計算即可得出結(jié)論．
本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．
  

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2022年湖南省長沙市長沙縣中考數(shù)學(xué)一模試卷（含解析）

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